高考数学考点通关练第八章概率与统计62离散型随机变量及其分布列试题理 (2)
苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第八章 概率 8.2.1 随机变量及其分布列
8.2 离散型随机变量及其分布列8.2.1 随机变量及其分布列A 级必备知识基础练1.(多选题)下列表述中,X 表示的是离散型随机变量的是( ) A.某座大桥一天经过的车辆数XB.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数XC.一天之内的温度XD.一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X 表示该射击手在一次射击中的得分2.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X 3.随机变量X 的分布列为P(X=k)=c k (k+1),k=1,2,3,4,c 为常数,则P23<X<52的值为( ) A.45B.56C.23D.344.设随机变量X的分布列为则P(|X-3|=1)=( )A.712B.512C.14D.165.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,则P(X=2)= .6.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a,b,c 成等差数列,且c=ab.则这名运动员得3分的概率是.7.将一枚骰子掷两次,记第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X,求X的分布列.B级关键能力提升练8.(多选题)已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列,则( )A.a=13B.b=13C.c=13D.P(|X|=1)=239.袋子中装有大小相同的8个小球,其中白球5个,分别编号1,2,3,4,5;红球3个,分别编号1,2,3.现从袋子中任取3个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)=( )A.528B.17C.1556D.2710.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是( )A.0,13B.-13,13C.[-3,3]D.[0,1]11.若随机变量X 的概率分布为X 0 1 P9c 2-c3-8c则常数c= . 12.随机变量Y 的分布列如下:则x= ;P(Y>3)= . 13.设随机变量X 的分布列为P X=k 5=ak(k=1,2,3,4,5).求:(1)常数a 的值; (2)P X≥35的值;(3)P 110<X<710的值.14.设集合S是不等式+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的样本点;(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.C级学科素养创新练15.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取 2张.①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.参考答案8.2 离散型随机变量及其分布列 8.2.1 随机变量及其分布列1.ABD A,B,D 中的X 可以取的值可以一一列举出来,而C 中的X 可以取某一区间内的一切值,属于连续型随机变量.2.BCD 只有A 中随机变量X 的取值有6个,不服从两点分布.3.B 由分布列性质得c 1×2+c 2×3+c 3×4+c4×5=1,即45c=1,c=54.所以P23<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54×11×2+12×3=56.故选B.4.B 根据分布列的性质得出13+m+14+16=1,所以m=14,随机变量X 的分布列为所以P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(个,则C 10-m 2C 102=1-79,解得m=5.P(X=2)=C 52C 51C 103=512.6.16由题意得2b=a+c,c=ab,a+b+c=1,且a≥0,b≥0,c≥0,联立得a=12,b=13,c=16,故该名运动员得3分的概率是16.7.解第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5, 则P(X=-5)=136,P(X=-4)=236=118,…,P(X=5)=136.故X 的分布列为8.BD ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 由分布列的性质得a+b+c=3b=1,∴b=13.∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-13=23.9.D X=3共有两种情况,第一种情况表示3个小球中有1个3,P 1=C 21C 42C 83=314,第二种情况表示3个小球中有2个3,P 2=C 22C 41C 83=114,所以P(X=3)=P 1+P 2=314+114=27.故选D.10.B 由题意可设随机变量X 取x 1,x 2,x 3的概率分别为a-d,a,a+d,则由分布列的性质得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=13.由{13-d ≥0,13+d ≥0,解得-13≤d ≤13.11.13由随机变量分布列的性质可知{9c 2-c +3-8c =1,0≤9c 2-c ≤1,0≤3-8c ≤1,整理得{9c 2-9c +2=0,0≤9c 2-c ≤1,解得c =13.14≤c ≤38,12.0.1 0.45 由∑i=16p i =1,得x=0.1.P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45. 13.解由题意,随机变量X 的分布列为(1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115. (2)P X ≥35=P X=35+P X=45+P X=1=315+415+515=45,或P X ≥35=1-P X ≤25=1-115+215=45.(3)∵110<X<710,∴X=15,25,35.∴P110<X<710=P X=15+P X=25+P X=35=115+215+315=25.14.解(1)由x 2-x-6≤0,得-2≤+n=0,所以A 包含的样本点为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以ξ=m 2的所有不同取值为0,1,4,9, 且有P(ξ=0)=16,P(ξ=1)=26=13,P(ξ=4)=26=13,P(ξ=9)=16.故ξ的分布列为15.解(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X 的取值只有0和1两种情况. P(X=1)=C 41C 101=410=25,则P(X=0)=1-P(X=1)=1-25=35.所以X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖. 故所求概率P=C 41C 61+C 42C 60C 102=3045=23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,则P(Y=0)=C 40C 62C 102=1545=13,P(Y=10)=C 31C 61C 102=1845=25,P(Y=20)=C 32C 60C 102=345=115, P(Y=50)=C 11C 61C 102=645=215, P(Y=60)=C 11C 31C 102=345=115.所以随机变量Y 的分布列为。
专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。
概率与统计(理科)
概率与统计（理科）一、高考考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差。
抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归。
二、考试要求：（1）了解离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
（3）会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
（4）会用样本频率分布去估计总体分布。
（5）了解正态分布的意义及主要性质。
（6）了解线性回归的方法和简单应用。
三、应试策略1、正确理解有关概念。
（1）随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无法确定，这种试验叫做随机试验。
（2）频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率。
（3）互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
（4）互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件，而相互独立事件则是指两个事件是否发生与否相互之间没有影响。
2、公式的应用（1）常用公式 ①等可能事件的概率：基本事件总数中所含基本事件数A n m A P ==)( ②互斥事件的概率：)()()(B P A P B A P +=+③对立事件的概率：1)()()(____=+=+A P A P A A P④相互独立事件的概率：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅⑤n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(（2）注意事项：①每个公式都有成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立。
②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法，一般题中总有关键语说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法。
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)
机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.
3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .
高考数学 12.1 离散型随机变量的分布列、期望、方差课时闯关 理(含解析)人教版
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 12.1 离散型随机变量的分布列、期望、方差课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E ξ＝1.6，D ξ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析：选A.∵ξ～B (n ，p )， ∴E ξ＝np ，D ξ＝np (1－p )．由np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，可得n ＝8，p ＝0.2.2．两台相互独立工作的机器，产生故障的概率分别为12和13，设ξ表示产生故障的机器台数，则P (ξ＝1)等于( )A.12B.16C.13D.56解析：选A.ξ＝1表示恰有一台产生故障，因此P (ξ＝1)＝12×(1－13)＋(1－12)×13＝12.3．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品可平均获利( )A ．36元B ．37元C ．38元D ．39元解析：选B.本题实际上是求期望．E ξ＝0.6×50＋0.3×30－0.1×20＝30＋9－2＝37，所以选B.4＝1，X －1 0 1 2P a b c 112则a ，b 的值分别为( A ．a ＝14，b ＝14 B ．a ＝112，b ＝16C ．a ＝512，b ＝14D ．a ＝14，b ＝512解析：选C.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得a ＝512，b ＝14.5．(2012·高考上海卷)设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2，若记D ξ1、D ξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．D ξ1＞D ξ2B ．D ξ1＝D ξ2C ．D ξ1＜D ξ2D ．D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 解析：选A.E ξ1＝0.2x 1＋0.2x 2＋0.2x 3＋0.2x 4＋0.2x 5 ＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)．E ξ2＝0.2×x 1＋x 22＋0.2×x 2＋x 32＋…＋0.2×x 5＋x 12＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． ∴E ξ1＝E ξ2，记作x ，∴D ξ1＝0.2[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2] ＝0.2[x 21＋x 22＋…＋x 25＋5x 2－2(x 1＋x 2＋…＋x 5)x ] ＝0.2(x 21＋x 22＋…＋x 25－5x 2)．同理D ξ2＝0.2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－5x 2. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 25＋x 212， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25. ∴D ξ1>D ξ2. 二、填空题 6．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为运动会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：由题意知ξ∈{0,1,2}．∵P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴E ξ＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.答案：477．随机变量ξ其中a ，b ，c 成等差数列．若E ξ＝3，则D ξ的值是________．解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋ca ＋b ＋c ＝1－a ＋c ＝13⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝13，c ＝12所以E ξ2＝(－1)2×16＋02×13＋12×12＝23，则D ξ＝E ξ2－(E ξ)2＝23－(13)2＝59.答案：598．(2011·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________. 解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量XEX ＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3.答案：53三、解答题9．(2012·高考湖北卷)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 解：(1)由已知条件和概率的加法公式有： P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300) ＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700) ＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：于是，EY DY ＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300) ＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P 300≤X <900 P X ≥300 ＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.10．(2012·高考四川卷)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (ξ＝2)＝C 23·110·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000.故随机变量ξE ξ＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.11．(探究选做)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(3)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23. P (X ＝k )＝C k 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫136－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6)． X所以EX ＝729×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23， 所以EX ＝6×23＝4，即X 的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A .则P (A )＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝3281. 即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.(3)设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则P (B )＝A 24A 44A 66＝25.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然25＝3280≠3281，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．。
高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析
重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。
概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。
取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。
解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
2023届 高考一轮复习学案第八章 第3课时 离散型随机变量及其分布列(1) (PDF版含答案)
第3课时离散型随机变量及其分布列(1)知识技能1．通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念．2．理解取有限值的离散型随机变量的概率分布的概念，会求简单的离散型随机变量的概率分布．3．理解两点分布(0-1分布)．思想方法将随机变量的定义与函数的定义进行类比，理解“样本点的数量化”．核心素养1．在用函数思想研究概率问题及理解相关概念的过程中，发展数学抽象素养．2．通过对概率模型两点分布(01分布)的理解，发展数学建模素养．重点：理解离散型随机变量及其分布列的概念，求解简单离散型随机变量的概率分布．难点：与函数类比理解随机变量．问题导引预习教材P102～105，思考下面的问题：1．随机变量是如何定义的？你能说出随机变量定义与函数定义的相同点与不同点吗？解一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量．相同点：都是集合与集合之间的对应关系，随机变量定义中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域．不同点：Ω不一定是数集．2．你能各举出一个离散型随机变量和连续型随机变量的例子吗？3.随机变量的概率分布如何表示？解P(X＝x i)＝p i,i＝1,2,…，n，或X x1x2…x nP p1p2…p n即时体验1．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上一面的点数，若用X表示这个点数，则X的可能取值为__1,2,3,4,5,6__.2．口袋中装有编号分别为1,2,3,4的4只小球，若从中任取1只球，记取到的小球的编号为X，则P(X＝1)表示__取到的小球的编号为1的概率__.提示当取到的小球的编号为1时，X＝1.3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个；(√)(2)随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率；(√)(3)某品牌节能灯的寿命X是离散型随机变量．(×)一、问题情境为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在34个省级行政区中，随机抽取6个进行突击检查，抽取到的省级行政区只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.(1)Ω中包含的样本点数目是多少？(2)设抽得的省级行政区中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点，X 都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？分析：(1)借助组合的知识，可知Ω所包含的样本点数目为C634.(2)我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而随机选取的是6个省级行政区，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0,1,2,3,4中的任意一个．二、数学建构1．随机变量“问题情境”说明样本点与实数存在某种对应关系(即样本空间与实数集之间存在某种对应)，事实上，很多情况下的样本点容易与实数建立对应关系．有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系，例如：(1)在一块地里种下10棵树苗，用实数m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活树苗的棵数”；(2)抛掷两颗骰子，观察向上的点数，样本空间为Ω＝{(x,y)|x,y＝1,2,…，6}，用x＋y表示“两颗骰子向上的点数之和”，那么样本点(x,y)就与实数x＋y对应；(3)接听一个电话，用t(t∈(0,＋∞))表示“通话时长”．有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值，例如：(4)抛掷一枚硬币，将试验结果“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；(5)抽查学生的某项体育测试成绩，将成绩登记为优、良、中、及格、不及格分别用数值5,4,3,2,1来表示．由此可以看出，对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应，这时我们可通过引入一个取值依赖于样本点的变量X(如“问题情境”中的X)，来建立样本点和实数的对应关系，从而实现了样本点的数量化．由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量[1]．通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．例如，上面(1)中用变量X表示成活树苗的棵数，则X的可能取值为0,1,2,…，10，共11个．理解概念：(1)随机变量的取值X(ω)随着试验结果(样本点)ω的变化而变化，其取值依赖于样本点，并且所有可能取值是明确的．(2)类比函数理解随机变量：随机变量是建立在Ω到R的对应，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同的是Ω不一定是数集．巩固概念：(教材P103例1)下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？(1)一个实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2)明天的降雨量L(单位：mm)；(3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.分析：(1)根据条件可知，X是随机变量，可能的取值是1,2,3,4.(2)降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，可以是(3)用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，则样本空间为{HH,HT,TH,TT}．正面向上(即出现H)的次数X是随机变量，取值是0,1,2.由上例可知，(1)中X的可能取值为1,2,3,4，共有4个值；(3)中X的可能取值为0,1,2，共有3个值．像这种取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量．而(2)中取值为连续的实数区间(具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量．又由上例可知，引入随机变量后，我们可以比较方便地表示随机事件[2]：(1)中随机事件“从装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠的实验箱中任取1只，取到1号白鼠”可以表示为{X＝1}，而随机事件{X＜3}表示“从装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠的实验箱中任取1只，取到1号或2号白鼠”，这样复杂的随机事件也可以用随机变量的取值来表示．2．随机变量的概率分布既然随机事件可以用随机变量表示，那么随机事件发生的概率就可以用随机变量的取值的概率表示了．例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，则事件“掷出5点”可以表示为{X＝5}，事件“掷出的点数不大于3”可以表示为{X≤3}，事件“掷出奇数点”可以表示为{X＝1}∪{X＝3}∪{X＝5}，等等．由掷出各种点数的等可能性，可得P(X＝m)＝16，m＝1,2,3,4,5,6.这一规律可以用下表来描述．X123456P161616161616一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,…，x n，且P(X＝x i)＝p i,i＝1,2,…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．也可以将①用下表的形式来表示：X x1x2…x nP p1p2…p n我们将此表称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫作随机变量X的概率分布[3]．随机变量的概率分布不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征(均值、方差)的基础．3．随机变量的概率分布的性质随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率，因此，这里的p i(i＝1,2,…，n)满足条件：①p i≥0;②p1＋p2＋…＋p n＝1.①②即为离散型随机变量的概率分布的两个性质．利用这两个性质可以：(1)检查写出的分布列是否正确；(2)在求分布列中的某些参数时，可以利用其概率和为1这一条件列出方程求出参数．三、数学运用例1写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的10个红球和5个白球，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取2张卡片上的数字之和．[4](见学生用书课堂本P63) [处理建议]引导学生认真读题、理解题意，正确写出随机变量可能的取值．[规范板书]解(1)设所需要的取球次数为X，则X＝1,2,3,4,…，10,11.X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4, (11)(2)设所取2张卡片上的数字之和为X，则X＝3,4,5, (11)X＝3，表示“取出标有数字1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有数字1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有数字2,3或1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有数字2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有数字3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有数字2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有数字3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有数字4,6的两张卡片”；X＝11,表示“取出标有数字5,6的两张卡片”．[题后反思]解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点：(1)关键点：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果(样本点)．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．若本例(2)中条件不变，所取2张卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，那么Y有哪些取值？其中Y＝4表示什么含义？[规范板书]解Y的所有可能取值有：1,2,3,4,5.Y＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并说明这些取值所表示的随机试验的结果．[规范板书]解根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出.例2(教材P104例2)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设正面向上的次数为X，求随机变量X的概率分布．[5](见学生用书课堂本P64)[处理建议]分析X 的所有可能取值及其对应的样本点．[规范板书]解用H 表示“正面向上”，T 表示“反面向上”，可得下图[6]：故随机变量X 的概率分布如下表：X012P 141214[题后反思](1)求离散型随机变量分布列的基本步骤：①确定X 的可能取值x i (i ＝1,2,…，n )，以及取每个值表示的意义；②求出相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1,2,…，n )；③列成表格的形式．(2)写好分布列后，注意验证所有概率之和是否为1.抛一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X .(1)说明X ＝2表示的是什么事件，并求出P (X ＝2)；(2)求X 的分布列．[规范板书]解(1)X ＝2表示的事件是“恰有2次正面朝上”．因为抛一枚均匀的硬币3次，总共有2×2×2＝8种不同的情况，其中恰有两次正面朝上的情况共有C 23＝3种，所以P (X ＝2)＝38.(2)根据题意，X 的可能取值为0,1,2,3，由(1)中的方法可知P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝38，P (X ＝3)＝18.因此X 的分布列如下表所示．X0123P 18383818例3(教材P105例3)从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示“取到的白球个数”，则X的取值为0或1，即X＝，取到的球为红球，，取到的球为白球，求随机变量X的概率分布．[7](见学生用书课堂本P64) [规范板书]解由古典概型的知识，得P(X＝0)＝46＋4＝25，P(X＝1)＝66＋4＝35.故随机变量X的概率分布如下表所示．X01P253 5[题后反思]本例中，随机变量X只取两个可能值0和1.像这样的例子还有很多，例如：在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”；等等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布[8]，并记为X～0—1分布或X～两点分布．此处“～”表示“服从”．两点分布是一个重要的概率模型，一般地，两点分布如下表所示：X01P1－p p袋中装有4个白球和3个红球，从中摸出2个球，记X＝，两球全红，，两球非全红，求随机变量X的概率分布．[规范板书]解由题意知X服从两点分布，P(X＝0)＝C23C27＝17，所以P(X＝1)＝1－17＝67.故随机变量X的概率分布如下表所示．X01P1767[题后反思]在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率，便可以利用对立事件的概率和为1求出另一个结果的概率．四、课堂练习1．下列叙述的量中，是离散型随机变量的为(C)A.将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B.某人早晨在车站等出租车的时间C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D.袋中有2个黑球和6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性提示选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项C，是随机变量，其取值为1,2,3,…，所以是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．2．袋中有大小相同的6个红球和5个白球，从袋中每次任意取出一个球(取出的球不放回)，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(B)A.1,2,…，6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3,…提示可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.3．盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色3种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出1个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出1个球所得分数ξ的分布列．解设黄球的个数为n，则绿球的个数为2n，红球的个数为4n，盒中小球的总个数为7n.所以P(ξ＝1)＝4n7n＝47，P(ξ＝0)＝n7n＝17，P(ξ＝－1)＝2n7n＝27.故从该盒中取出1个球所得分数ξ的分布列为ξ10－1P471727五、课堂小结1．随机变量、离散型随机变量等概念；离散型随机变量的概率分布及其性质.2．求离散型随机变量的分布列的关键点：(1)确定随机变量的取值；(2)求每一个取值所对应的概率；(3)检验所有概率之和是否为1.3．易错点：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.[1]随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在19世纪中叶建立和提倡使用的.[2]随机变量实质是一个从试验结果的集合(样本空间)到实数集合的映射，一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值的概率．[3]概率分布实际上是建立了一个从随机变量的所有取值的集合到取值的概率的集合的映射．[4]巩固随机变量的概念，为后面解决离散型随机变量概率分布问题奠定基础．[5]初步体会求简单的概率分布．[6]通过此图，感受用函数思想研究概率问题．[7]进一步巩固求随机变量的概率分布．[8]一个所有可能结果只用两种的随机试验，通常称为伯努利试验(见“二项分布”一节)．如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．。
备考2020年高考数学一轮复习：63 离散型随机变量及其分布列(理科专用)
备考2020年高考数学一轮复习：63 离散型随机变量及其分布列（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a( 13)i，i＝1，2，3，则a的值为()A．1B．913C．1113D．27132．（2分）离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:则P (32<X<113)等于（）A．0.25B．0.35C．0.45D．0.553．（2分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。
两人4局的得分情况如下：在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，则x的取值不可能是（）A．6B．7C．8D．94．（2分）离散型随机变量X的概率分布列如下：则c等于()A．0.1B．0.24C．0.01D．0.765．（2分）世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中，巴西队获得名次可用随机变量X表示，X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)，(n=1，2，3，4)，其中a为常数，则a的值为（）A．23B．45C．54D．566．（2分）已知随机变量X服从的分布列为则k的值为（）A．1B．2C．12D．37．（2分）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )A ．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B ．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C ．电视机的使用寿命D ．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数8．（2分）某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（ ） A ．70分B ．75分C ．80分D ．85分9．（2分）某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为( ) A ．35B ．1180C ．119D ．5910．（2分）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ξ ，则 ξ 所有可能取值的个数是（ ） A ．5B ．9C ．10D ．2511．（2分）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其分布列为 P(X) ，则 P(X =4) 的值为（ ） A ．1220B ．2755C ．27220D ．212512．（2分）随机变量 X 所有可能取值的集合是 {−2,0,3,5} ，且 P(X =−2)=14 ， P(X =3)=12,P(X =5)=112，则 P(X =0) 的值为（ ） A ．0B ．14C ．16D ．18二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，则D(ξ)=.14．（1分）设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=ck+1（k＝0，1，2，3），则P(ξ=2)=．15．（1分）已知随机变量X的分布列为P(X=i)= i2a(i=1，2，3)，则P(X=2)=. 16．（1分）已知随机变量X的分布列如下表，又随机变量Y=2X+3，则Y的均值是．17．（1分）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝{0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为．三、解答题(共5题；共55分)18．（10分）从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．（1）（5分）求X的分布列（结果用数字表示）；（2）（5分）求所选3个中最多有1名女生的概率．19．（10分）某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作ξ.（1）（5分）求该观众得分ξ为负数的概率；（2）（5分）求ξ的分布列．20．（10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16，12，13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.（1）（5分）求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；（2）（5分）当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围.21．（15分）自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）（5分）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35)内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）（5分）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）（5分）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列。
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高考数学考点通关练第八章概率与统计62离散型随机变量及
其分布列试题理
一、基础小题
1．已知离散型随机变量X的分布列为：
)
A. B．1 C．2 D．3
答案B
解析由分布列的性质知k＝1. 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1
次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B. C. D.2
3
答案C
解析设失败率为p，则成功率为2p.
∴X的分布列为：
∴由p＋2p＝1，得p＝，
即P(X＝0)＝.
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
)
A ．1
B ．1± C．1－ D ．1＋2
2 答案 C
解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧
1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q ＋q2＝1， ∴q ＝1－，故选C.
4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村
庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的
是( )
A ．P(X ＝2)
B ．P(X≤2) C．P(X ＝4) D ．P(X≤4)
答案 C
解析 X 服从超几何分布，故P(X ＝k)＝，k ＝4.
5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取
3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，
则P(X ＝4)的值为( )
A. B. C. D.2155
答案 C
解析 用完后放回盒中，旧球为4个，说明取出来的三个球中有
一个是新球，所以P(X ＝4)＝＝，故选C.
6．已知随机变量X 的分布列为：P(X ＝k)＝，k ＝1,2，…，则
P(2<X≤4)等于( )
A. B. C. D.516
答案 A。