广雅中学2015-2016学年度(上)高三期末监测试题

广雅中学2015-2016学年度（上）高三期末监测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则=Q P ( ) A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．(0,1)2. i 是虚数单位,复数错误！未找到引用源。

的虚部为( ) A ．2iB ．-2iC ．2D ．-23.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的错误！未找到引用源。

倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为( ) A ．)652sin(π+=x y 错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

)621sin(π+=x y C ．错误！未找到引用源。

)322sin(π+=x y D ．错误！未找到引用源。

（第7题图）4. 已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥； ②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；③若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； ④若m n m //,=βα ，且βα⊄⊄n n ,， 则βα//,//n n ，其中真命题的个数是 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“n=k 到n=k+1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2(2k+1) B ．2k+1 C ．112++k k D ．132++k k 7. 如果执行右边的程序框图，且输入6n =， 4m =，则输出的p = ( )A ．240B ．120C ．720D ．3608.） A 9.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同 的选派方案共有( )种.A.27B.30C.33D.3610. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．]23,1[ B ．]2,1[- C ．)2,1[- D ．23,1[11．已知函数22)1lg()(221---=x x x f ；()111)(2-+⋅-=x x x x f ；)1(log )(23++=x x x f a ，ABCD )1,0(≠>a a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=21121)(4x x x f ，()0≠x ，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（ ）A ．都是偶函数B ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D ． 一个奇函数，三个偶函数 12.若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ） A ．]6,2[- B ．)1,6(- C ．)2,6(- D ．)2,4(-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）13. 在某项测量中，测量结果ξ～()2,1σN ,若ξ在()2,0内取值的概率为,8.0则ξ在(]2,∞-内取值的概率为___________.14．在5)1)(1(x x -+的展开式中4x 的系数是 （用数字作答）. 15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且.sin )2(sin )2(sin 2C b c B c b A a +++=则A 的大小是 ．16. 如图，已知点A 、B 、C 、D 是球O 的球面上四点，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，O 的体积等于___________.三．解答题：（ 本大题8个小题 ，共70分,解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项a a =1（0>a ）,该数 列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）设n n Sb 1=，121-=n a c n ，且n B 、n C 分别为数列{}n b ，{}n c 的前n 项和，当2n ≥时，试比较n B 与n C 的大小。

18. （本小题满分12分）如图，在Rt △ACD 中,CD=4，AD=32，︒=∠90CAD ，以CD 为轴，将△ACD 按逆时针方向旋转90°到 △BCD 位置，E 为AD 的中点： （Ⅰ）证明：AB ⊥CD（Ⅱ）求二面角B-CE-D 的平面角的余弦值。

19. （本小题满分12分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望E ξ. （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少. 20．（本小题满分12分）如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.（Ⅰ）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23， 求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过 点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和 C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦 长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．21. （本小题满分12分）已知函数x a x a ax x f ln )1(21)(22++-=． （Ⅰ）若函数)(x f 在e]上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈53,0a 时，求)(x f 在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:7.02ln <)请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲) 已知AD 为圆O 的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A ， 直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M连接DC ，AB=10，AC=12。

（Ⅰ）求证：BA ·DC=GC ·AD ； （Ⅱ）求BM 。

23．（本小题满分10分）选修4－4（坐标系与参数方程） 已知曲线的极坐标方程是1=ρ，CA以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23221（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx //2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值.24．（本小题满分10分）选修4－5（不等式选讲） 已知a ＋b ＝1，对a ∀，b ∈（0，＋∞），1a2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立， （Ⅰ）求1a ＋4b的最小值； （Ⅱ）求x 的取值范围。

参考答案一、选择题：ABCCC ADDBA CC 6、试题分析：考点：数学归纳法当k n =时，原式是()()()k k k k ++++......21，当1+=k n 时，变为()()()()()2212......32+++++k k k k k k ， 所以增乘的代数式是()()()()12212212+=+++k k k k二、填空题：13、 0.9 14、 -5 15、,32π或 120 16、29π三、解答题：17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111(),a a a =⋅………………………1分 得2111()(3)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以d a =………………………2分 所以na a n =………………………3分1(1),.2n n an n a na S +==………………………4分 （II ）解：因为1211()1n S a n n =-+，所以 n B 123111121(1)1n A S S S S a n =++++=-+ ………………………6分因为1122n n a a --=，所以n C 21122211()11111212(1).1212n nnnB a a a a a a --=++++=⋅=-- ………………………9分 当0122,21n nn n n n n C C C C n ≥=++++>+ 时，………………………11分即1111,12n n -<-+ 所以，当0,n na A B ><时n B <n C ………………………12分 18、证明：（Ⅰ）BH DC AH DC ⊥⊥, ,H BH AH = …………1分⊥DC 平面ABH ,又因为⊂AB 平面ABH ………………………3分所以CD AB ⊥………………………4分(Ⅱ)分别以HD HB HA ,,为z y x ,,轴，建立如图所示的直角坐标系由已知条件不难求得：1,3,3====HC HD HB AH ………………………5分 所以)0,0,3(A ,)0,3,0(B ,)1,0,0(-C ,)3,0,0(D ………………………6分又因为点E 为中点，所以点)23,0,23(E 所以)25,0,23(=CE ,)23,3,23(-=BE ，)0,3,0(=HB …………7分 设平面BCE 的一个法向量为),,(z y x =所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02332302523z y x z x 令3=x 解得：53=y ，53-=z 所以平面BCE 的一个法向量为)53,53,3(-=n …………9分 又⊥HB 平面DEC ,所以向量)0,3,0(=为平面DEC 的一个法向量……10分设所求二面角是θ，所以29293259253353cos =⨯++==θ……12分 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力． 解：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19x C P A C -=-=，………………………2分得到5x =．故白球有5个．………………………3分（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是………………………4分注解：（每算对2各给1分） ξ的数学期望 155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………8分 （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =，所以2y n <，21≤y n -，故112≤y n -．………9分 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则 23()551y P B n =+⨯-231755210≤+⨯=．………11分 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n．故袋中红球个数最少．………12分20. 解：(Ⅰ)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．………1分 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，………2分圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23， 所以d ＝22－ 3 2＝1. ………3分由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4 |1＋k 2，………4分 从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，………5分所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. ………6分(Ⅱ)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．………7分因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k 4－a －b |1＋1k2，………9分 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，………10分从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，………11分 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验点P1和P 212分21.解（Ⅰ）)(x f 在e]上单调递减， 0)1()(2,≤+-+=∴a x a ax x f 在e]上恒成立………………………1分方法一：)1(2+≤+∴a x aaxxx a a 1112+≤+∴在e]上恒成立………2分 令),1(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=e e x xx x g ),1(11)(2,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=e e x x x g 令0)(,=x g 则1=x0)(11,<<≤x g x时当; 0)(1,><≤x g e x 时当11111)(2+≥+∴+≤+=∴e exx ee x x x g ………4分 0))(1()1(112222≥--=++-∴+≤+∴e a ea e a e ea e e a a e a ea ≥≤∴或1……………6分方法二：)1(2+≤+∴a x a ax （可做如下分类讨论）（1）当0≤a 时，结论显然成立………………………2分（2）当0>a 时，可化为：a a x x 11+≤+对任意∈x e]上恒成立………3分 显然，当∈x ),0(+∞时，对钩函数xx x h 1)(+=在[]1,0上是减函数，在[]+∞,1上是增函数。