2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则直线c 与直线b （ ） A ．异面 B ．相交C ．平行D ．不可能平行【答案】D【解析】试题分析：若a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 不可能是平行直线． 否则，若c ∥b ，则有a ∥b ∥c ，得出a ，b 是共面直线．与已知a ，b 是异面直线矛盾． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系2．已知等差数列{a n }中，2a +a 8=16，4a =1，则6a 的值为( ) A ．15 B ．17C ．22D ．64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得a 5，进而可得数列的公差，而a 6=a 5+d ，代入化简可得． 【详解】由等差数列的性质可得2a 5=a 2+a 8=16，解得a 5=8 ∴等差数列{a n }的公差d=a 5-a 4=8-1=7， ∴a 6=a 5+d=8+7=15 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题． 3．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．【考点】指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．4．等比数列{}n a 满足5115a a -=，426a a -=．则公比q 的值为（ ）A ．2B ．12C ．1D ．2或12【答案】D【解析】等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，所以得5142156a a a a -=-，即41131152a q a a q a q -=-，∴222(1)(1)5(1)2q q q q +-=-，化简得22520q q -+=，解得2q =或12q =，故选D ． 5．若2)1(2tan πα-=，则)3(tan πα-=( ) A ．13 B ．3C ．13-D ．-3【答案】A【解析】根据凑角的思路可得tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再用正切的差角公式求解即可. 【详解】tan tan211124tan tan 31241231tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=== ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭,故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数给值求值型的问题以及正切的差角公式,属于基础题. 6．设数列是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【解析】试题分析：因为等差数列的前三项之和为12，所以前三项为4,4,4d d -+，则()()244448,1612d d d -+=∴-=， 因为数列是递增的，所以0d >，2d =，因此它的首项是2，故选B.【考点】等差中项的应用.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =( )A ．12n ﹣ B ．21n ﹣ C ．13n ﹣ D ．32n -【答案】C【解析】利用11n n n a S S ++=-可推导得{}n S 为等比数列,再求通项公式即可. 【详解】易得11123n n n n n n S a S S S S +++==-⇒=,故{}n S 是以111S a ==为首项,公比为3的等比数列.故11133n n n S --=⋅=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式推导前n 项和n S 为等比数列进而求得{}n S 通项公式的方法.属于基础题.8．若0()απ∈，，且214sin cos αα+=，则tan α的值等于( )A ．2B C ．D ．【答案】D【解析】利用同角三角函数的关系将原式化简成关于cos α的二次方程,求得1cos 2α=-,继而根据0()απ∈，可得α的值与tan α的值即可.【详解】由214sin cos αα+=,得2(411)40cos cos αα-+-=, 即24430cos cos αα--=,解得12cos α=-或32cos α=(舍).∵0()απ∈，,∴23πα=,∴23tan tan πα==故选：D. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的运用,属于基础题. 9．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A【解析】∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A10．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-【答案】C【解析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础 11．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为12的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案． 【详解】设第一天的步数为1a ，依题意知此人每天的步数构成公比为12的等比数列， 所以61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，11119238422n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由1384302nn a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，212.8n ∴>，解得4n ≥,故选B ． 【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．12．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足123112x x x +=,则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{||100,}M x x x =≤∈Z ,则由M 中的三个元素组成的所有数列中,“β等差数列”的个数为 A ．25 B ．50C ．51D ．100【答案】B【解析】首先要确定构成“β等差数列”的三个数的内在关系，312x x =-和2112x x =-，结合所给集合找出符合条件的数组有50组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足123112x x x +=，知 2131232112x x x x x x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去2x ，并整理得，1313(2)()0x x x x +-= 所以13x x =（舍去），312x x =-， 于是有2112x x =-． 在集合{}100,M x x x Z =≤∈中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以1x 必为2的被数，且1[50,50]x ∈-，10x ≠ 故这样的数组共50组．答案选B ． 【点睛】此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对象的本质特征，如本题中能构成“β等差数列”的三个数的内在关系，312x x =-和2112x x =-，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的．这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题．二、填空题13．如图所示的数阵中，用(),A m n 表示第m 行的第n 个数，则以此规律()8,2A 为__________．【答案】1122【解析】由题可令每一行的第一个数的分母为n a ，则有121324313,3,4,5,...1n n a a a a a a a a a n -=-=-=-=-=+，利用累加法，可得()()122nn n a ++=．从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和．令从第三行开始第二个数字为()3n b n ≥，则433544877,,...,b b a b b a b b a -=-=-=，将所有等式的左边和右边分别相加得83347...110b b a a a -=+++=，所以8311011012122b b =+=+=．所以()18,2122A =．故本题应填1122． 14．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 【答案】14π【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则222232114R =++=，142R =，则球的表面积为2144142ππ=. 15．已知,a b rr 为单位向量，且a b ⋅rr =0，若25c a b =r r，则cos ,a c <>=r r___________.【答案】23. 【解析】根据2||c v结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果. 【详解】因为25c a b =v v，0a b ⋅=vv ，所以225a c a a b v v v v ⋅=⋅2=，222||4||55||9c a a b b =-⋅+=vv v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16．已知{}n a 是等差数列，记12n n n n b a a a ++=（n 为正整数），设n S 为{}n b 的前n 项和，且512380a a =>，则当n S 取最大值时，n = ______． 【答案】16.【解析】由512380a a =>，知()55738+=a a d ，55605da =->，所以0d <．由1651150a a d d =+=->，17512450a a d d =+=<，知1231617180a a a a a a >>>>>>>L ，1231417180b b b b b b >>>>>>>L ，由此能够推导出n S 中16S 最大． 【详解】由12n n n n b a a a ++=且512380a a =>， 所以，()55738+=a a d所以，55605da =->，即0d < 因为1651105d a a d =+=->，17541205da a d =+=<所以，1216170a a a a >>>>>L 所以，121417180b b b b b >>>>>>L 因为，151516170b a a a =<，161617180b a a a =>15561005d a a d =+=->，18591305d a a d =+=<，1518a a <- 所以，1516b b >-即15160b b +> 所以，1614S S > 所以16S 最大． 故答案为：16 【点睛】本题考查数列前n 项和的最大值，对一个递减数列来讲，只要求得0n a ≥的最大的n 就可能得出结果（主要还要考虑一下是否有0n a =），而本题12n n n n b a a a ++=，会发现1b 至140b >，150b <，160b >，17b 开始往后均小于0.因此还要比较15b 与16b 的大小，确定15160b b +>是否成立．才能得出正确结论．三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3547a a a +=+且11020a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求满足不等式32n n S a <-的n 的值. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2，3，4.【解析】(1) 设数列{}n a 的公差为d ,再根据基本量方法求解即可. (2)先根据等差数列的求和公式求解n S ,再利用二次不等式的方法求解即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ,由3547a a a +=+,得112637a d a d +=++①. 由11020a a +=,得11045100a d +=②,解得11a =,2d =,所以()1121n a a n d n =+-=-；（2）因为11a =,21n a n =-,所以212nn a a S n n +==, 由不等式32n n S a <-,得()23212n n --<,所以2650n n -+<,解得15n <<,因为*n ∈N ,所以n 的值为2,3,4. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量法运用以及求和等,属于基础题.18．已知数列{}n a 前n 项和227n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{||}n a 的前20项和20T . 【答案】（1）228n a n =-；（2）224.【解析】(1)分当1n =与2n ≥时两种情况再利用{}n a 前n 项和n S 与通项的关系求解即可.(2)分析可知当14n <时,0n a <；14n ≥时；0n a ≥,再去绝对值利用n S 表达20T 代入计算即可. 【详解】（1）因为227n S n n =-,当1n =时,126a =-, 当2n ≥时, 227n S n n =-…①()()211271n S n n -=---…②①-②可得2127228n a n n --=-=,当1n =时,126a =-也满足. ∴228n a n =-.（2）令2280n a n -<=有14n <.故当14n <时,0n a <；14n ≥时；0n a ≥；2012131420(||||)(|||)T a a a a a ++⋯+++⋯+=1213141520()a a a a a a =-++⋯++++⋯+ 132013S S S =-+-20132S S =-224=.【点睛】本题主要考查了根据{}n a 前n 项和n S 与通项的关系求解{}n a 通项公式的方法,同时也考查了等差数列中有正负项的求和.属于中档题. 19．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S. 【答案】（1）3x =或34110x y -+=；（2）12【解析】试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为k ，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出k 求出切线方程，切线的斜率不存在时3x =验证即可；（2）先求直线 AO 的方程，再求C 到OA 的距离，再求OA 的长度，然后求出三角形AOC 的面积.试题解析：(1)由圆C ：2246120x y x y +--+=，配方，得22(2)(3)1x y -+-=，圆心()2,3C ，当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为()53y k x －＝－， 即530kx y k -+－＝，由1d ==，得34k =，又斜率不存在时直线3x =也与圆相切，故所求切线方程为3x =或34110x y -+=. (2)直线OA 的方程为53y x =，即530x y －＝，点C 到直线OA的距离为d ==OA ==1122S OA d ==.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.20．已知数列{}n a 满足1122n n n a a ++=+，且12a =.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设数列2n n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）1*(1)22N 2()n n n n S n ++=--∈，.【解析】(1) 等式两边除以12n +再证明即可.(2)利用等差等比数列的求和公式分组求和即可.【详解】（1）证明：由已知,等式两边除以12n +得1112122n n n n a a +++=+, 即11122n n n n a a ++-=,又1112a =. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,公差为1的等差数列； （2）2n n c n =-.∴12312321()22232()()()n n n S c c c c n +++⋯+-+-+-+⋯+-==1232222123()()n n +++⋯+-+++⋯+=()212(1)122nn n -+⋅=-- ＝1(1)222n n n ++--. 故数列{}n c 的前n 项和为：1*(1)22N 2()n n n n S n ++=--∈，. 【点睛】 本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法以及等差等比数列的求和方法,属于基础题.21．已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A m x n x x A ==>r r ，函数()f x m n =⋅r r 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 【答案】（Ⅰ）6A =;（Ⅱ）[]3,6-【解析】：（Ⅰ）()(sin ,1)cos ,cos 2)sin 2.26A f x m n x x x A x π⎛⎫=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭r r 因为()f x m n =⋅r r的最大值为6，所以 6.A =（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位， 得到()6sin 26sin 2.1263t x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变， 得到()6sin 4.3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 因为5[0,],24x π∈所以74,336x πππ≤+≤ ()6sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为76sin 3,6π⨯=-最大值为6sin 6,2π⨯= 所以()g x 在5[0,]24π上的值域为[]3,6.- 【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小22．已知数列{}n ,{b }n a 满足1n n a a +-=()()12,n n b b n ++-∈N(1)若11,23,n a b n ==+求数列{}n a 的通项公式;(2)若1a =6,n b =2,212n n n a λλ>++对一切n +∈N 恒成立,求实数λ取值范围.【答案】（1）n a =43n -；（2）34λ>. 【解析】（1）由23n b n =+，结合()112n n n n a a b b ++-=-可得数列{}n a 为等差数列，进而可得所求；（2）由2n n b =得n 112n n a a ++-=，利用累加法并结合等比数列的前n 项和公式求出n a ，化简得11122n n λ++>+∈N 对于一切恒成立，再利用数列的单调性求出11122n ++的最大值即可得出结论. 【详解】（1）由1123n a b n ==+，，可得()112n n n n a a b b ++-=-=4．∴数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，∴()14143n a n n =+-=-.（2）由16,2n n a b ==及()112n n n n a a b b ++-=-，得1n n a a +-=()1n 12222n n ++-=， ∴()n 122n n a a n --=≥，∴()()()()11232211n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L13222226n n -=+++++L14(12)612n --=+- 122(2)n n ++=≥，又16a =满足上式，∴122()n n n N a +++∈=．∵212n n a λλ>++对一切n +∈N 恒成立，即1221n n λ+>+n 对一切n +∈N 恒成立， ∴11122n λ+>+对一切n +∈N 恒成立． 又数列11122n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为单调递减数列， ∴1111111322422n +++≤+=， ∴34λ>， ∴实数λ取值范围为3(,)4+∞．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．。