人教A版北京初升高衔接课程C专题二次函数的简单应用4星

专题:二次函数的简单应用（★★★★)教学目标灵活应用二次函数解决动点问题、最值问题、面积问题。

知识梳理10min ．动点题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。

利用二次函数解决最值问题,的一般步骤: 第一步设自变量;第二步建立函数的解析式;ﻩ第三步确定自变量的取值范围；ﻩ第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内)。

利用二次函数解决面积问题：通过观察、分析、概括、总结的方法了解二次函数面积问题的基本类型，并力争熟练掌握二次函数中面积问题的相关计算.在二次函数的综合题目中常常涉及到与面积相关的问题,研究思路为：（1）分析图形的成因 （2)识别图形的形状 (3）找出图形的计算方法（4)在求图形的面积时常常使用到以下公式：抛物线解析式y=ax2 +ｂx+ｃ (a ≠0）抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–ｘ２︱=a∆抛物线顶点坐标(-ab 2,ab ac 442-）典例精讲ﻩﻩﻩ ﻩﻩ １８mi ｎ.(★★★★） 例1 如图，在平面直角坐标系ｘOy 中，直线AB 与ｘ轴交于点Ａ, 与ｙ轴交于点Ｂ， 且OA = 3，AB = ５．点P 从点O 出发沿O Ａ以每秒1个单位长的速度向点Ａ匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿A Ｏ返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，ＤＥ保持垂直平分PQ ,且交ＰＱ于点D ，交折线ＱB －ＢＯ-O Ｐ于点E .点P 、Ｑ同时出发，当点Q 到达点B时停止运动,点Ｐ也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t ＞０)． (1）求直线AB 的解析式;(2）在点P 从O 向A 运动的过程中,求△AP Ｑ的面积S 与t 之间的函数关系式(不必写出t 的取值范围);【答案】解:(1)在Rt △AO Ｂ中，OA = 3，ＡB ＝ ５，由勾股定理得 224OB AB OA =-=.∴A （3，0），B （0，4）. 设直线A Ｂ的解析式为y kx b +=.∴30,4.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得 4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线ＡＢ的解析式为443y x +=-.…………2分 (2)如图，过点Q 作QF ⊥ＡO 于点F. ∵ ＡQ = OP= t ，∴3AP t =-． 由△A ＱF ∽△ABO ，得QF AQBO AB=. ∴45QF t =．∴45QF t =. ∴14(3)25S t t =-⋅， ∴22655S t t =-+．(★★★★) 例2 在平面直角坐标系xO ｙ中，抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2,n)在这条抛物线上.（1) 求点B 的坐标;(2) 点Ｐ在线段ＯA 上,从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线,与直线OB 交于点E 。

延长ＰE 到点D 。

使得ED ＝ＰＥ. 以PD 为斜边在P Ｄ右侧作等腰直角三角形ＰCD （当P 点运动时，Ｃ点、D 点也随之y xEDQ POB AFABOPQ DExy运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求O Ｐ的长;若P 点从Ｏ点出发向Ａ点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段ＯA 上另一点Ｑ从A 点出发向Ｏ点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动,P 点也同时停止运动)。

过Ｑ点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。

延长QF 到点Ｍ,使得F Ｍ=QF,以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，Ｎ点也随之运动)。

若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻ｔ的值.【答案】解：（1） ∵拋物线y= -41-m x 2+45m x +ｍ2-3ｍ+2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m １=1，ｍ2＝２，由题意知m ≠1，∴m ＝2,∴拋物线的解析式为ｙ= -41ｘ2+25x,∵点Ｂ（2,n)在拋物线 y= -41x 2+25x 上，∴n=4，∴B 点的坐标为(2，4）。

(2) 设直线OB 的解析式为y=k 1x ，求得直线OBy=2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点,可求得Ａ点的 坐标为（10,0)，设P 点的坐标为（ａ,0），则E 点的坐标为 (ａ,２a)，根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。

可求 得点C 的坐标为(3ａ，2a ），由C 点在拋物线上，得 ２a= -41⨯(3a)2+25⨯3a,即49a 2-211ａ＝0，解得a 1＝922,a 2=0 (舍去),∴O Ｐ=922。

依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB 的解析式为y=ｋ2x +b,由点A （１0，0）, 点B(2,4)，求得直线AB 的解析式为y= -21x +5，当P 点运动到t 秒时,两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。

如图2所示。

可证△DPQ 为等腰直角三 角形。

此时OP 、D Ｐ、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。

∴P Ｑ=DP=4t ，∴t +4t +2t=10,∴t=710。

第二种情况：ＰC 与MN 在同一条直线上。

如图3所示。

可证△PQM 为等腰直角三 角形。

此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、２t 个单位。

∴OQ=1０-２t ，∵F 点在 直线A Ｂ上，∴FQ=t ，∴MQ=2ｔ，∴ＰQ=MQ=ＣQ ＝2t,∴t +2t +2t=１0,∴t=2。

第三种情况:点P 、Q 重合时，ＰＤ、QM 在同一条直线上,如图４所示。

此时ＯP 、 A Ｑ的长可依次表示为t 、2t 个单位。

∴ｔ+２ｔ=10,∴t ＝310。

综上，符合题意的 t 值分别为710，2, 310。

（★★★★) 例3 如图，抛物线y ＝21x 2＋bx -２与ｘ轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且Ａ（一１，０).⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ＡB Ｃ的形状，证明你的结论；⑶点M (m ,0)是x 轴上的一个动点，当C Ｍ+D Ｍ的值最小时,求m 的值.【答案】(1）∵点A （-1,０)在抛物线ｙ=21x 2＋ bx -2上, ∴21× (-1 ）2＋ b × (－1) –2 = ０, 解得b ＝23-∴抛物线的解析式为ｙ＝21x 2-23x -2． y =21x 2-23x -2 =21 ( ｘ2-3x - ４ ) =21(x -23）２－825,∴顶点D 的坐标为 (23， -825).(2）当x = ０时ｙ = -２， ∴Ｃ（0,-2）,ＯC = 2。

当y ＝ 0时, 21ｘ2-23x -2 ＝ 0，∴x 1 = -1, x 2 = 4, ∴B (4,0)∴OA = 1， O Ｂ = 4, A Ｂ = 5.∵AB 2 = 25， A Ｃ２ ＝ ＯＡ２ + OC 2 = 5, BC 2 = OC ２ + OB 2＝ 20,∴A Ｃ２ ＋BC 2 = AB 2.E x O A B C y PMQN FDxy O A M (C ) B(E )DPQFN yxB OQ (P )NCDM EF∴△ABC 是直角三角形．(3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′,则Ｃ′(0，2)，OC ′＝2,连接Ｃ′Ｄ交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知,M Ｃ + MD 的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交ｘ轴于点E ．∵E Ｄ∥y 轴, ∴∠OC ′M =∠ＥＤM ,∠C ′OM ＝∠DEM ∴△C ′ＯM ∽△ＤE Ｍ.∴ED C O EM OM '=∴825223=-m m ，∴m =4124. 解法二:设直线C ′D 的解析式为ｙ = kx + ｎ , 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n = 2, 1241-=k .∴21241+-=x y .∴当ｙ = 0时， 021241=+-x ,4124=x ． ∴4124=m .(★★★★） 例4 已知顶点为A （1，5)的抛物线2y ax bx c =++经过点B(５,1).(1)求抛物线的解析式;（2）如图(15.1),设C,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点,求四边形ＡBC Ｄ周长的最小值（3)在（２)中，当四边形ABC Ｄ的周长最小时，作直线CD ．设点P(x ，ｙ)(ｘ＞0）是直线ｙ＝x 上的一个动点,Q 是OP 的中点，以ＰQ 为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形ＰRQ. ①当△PBR 与直线CD 有公共点时,求x 的取值范围;②在①的条件下，记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为S.求S 关于ｘ的函数关系式，并求S 的最大值。

【答案】解：⑴.设以A(1,５)为顶点的二次函数解析式为()512+-=x a y∵()512+-=x a y 的图像经过了点B(5，5)∴5)15(12+-⋅=a 解得41-=a ∴()51412+--=x y 即：41921412++-=x x y⑵.如图,作点A 关于y 轴对称点'A ，与y 轴交与点D,作点B 关于ｘ轴对称点'B ,与x 轴交与点C ，连接AD ，AC ，ＣB,ＢＡ.四边形ＡBCD 的周长最小。

∵A(1,５），Ｂ（５,１）∴()()155,1''--，，B A ∴DA CD BC AB C ABCD +++=四边形 ''B A AB +=()()()()2102624155115512222=+=++--+-+-=⑶.①如图∵()()155,1''--，，B A ∴直线AB 的解析式为4+-=x y∴直线4+-=x y 与直线x y =的交点()2,2M∵()y x P ,,点Q 为OP 的中点 ∴⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x Q ∵△PBR 与直线CD 有公共点，()2,2M∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≥222x x ,即42≤≤x(★★★★) 例5 如图,等腰梯形A ＢCD 的底边A Ｄ在x 轴上，顶点Ｃ在y 轴正半轴是,B(4,２），一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积,关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点,求m 的值.【答案】 解:过B 作BE ⊥ＡD 于E,连结OB 、CE 交于 点P ，∵Ｐ为矩形ＯCB Ｅ的对称中心，则过Ｐ点的直线平分矩形OC ＢE 的面积. ∵Ｐ为ＯB 的中点，而B(4，2）∴P 点坐标为（2,1) 在Rt △OD Ｃ与Rt △EAB 中，OC ＝BE ，AB=ＣD ∴Rt △O ＤC ≌R ｔ△EA Ｂ（ＨL ）， ∴S △O ＤC ＝Ｓ△EBA∴过点(０，－1)与P （2，１）的直线即可平分等腰梯形面积,这条直线为y=k ｘ-１ ∴2k-1=１,∴k ＝１又∵k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，故 ①当ｍ＝0时,ｙ＝-x+１,其图象与坐标轴有两个交点（0,1），（1,0）②当m ≠0时，函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象为抛物线,且与y 轴总有一个交点(0,2m ＋1） 若抛物线过原点时,2ｍ＋1＝0,即ｍ=21-，此时△＝(3ｍ＋1)２-4m(２ｍ+１)＝41＞0∴抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意.若抛物线不过原点,且与x 轴只有一个交点，也合题意,ﻫ此时△′=（３m+1）2-4ｍ(２ｍ+1)＝0 解之得：ｍ1＝ｍ２＝-1ﻫ综上所述，m 的值为m ＝0或21-或－1. （★★★★) 例6 如图,抛物线y ＝ａx ２＋c （a >0）经过梯形ABCD 的四个顶点,梯形的底AD 在ｘ轴上，其中A (-2,0）,B （－1, －3）.(1)求抛物线的解析式;(2）点Ｍ为ｙ轴上任意一点,当点Ｍ到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点Ｍ的坐标; (3)在第(2）问的结论下,抛物线上的点P 使S △PAD =4S △A ＢM 成立,求点Ｐ的坐标.【答案】 （1)、因为点A 、B 均在抛物线上,故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得:14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求（２）如图2,连接BD ,交ｙ轴于点Ｍ,则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩,故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-,故(0,2)M -(３)、如图３,连接ＡM ，BC 交y 轴于点N ，由(2）知，ＯM ＝OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知ＢN=MN=1，ﻩ易求22,2AM BM ==122222ABMS=⨯⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有:214422AD x -=⨯,即：2144422x ⨯-=⨯解之得:22x =±，0x =,故 符合条件的P 点有三个：123(22,4),(22,4),(0,4)P P P --巩固练习10min.xyN MO P 2P 1BDAP 3C1、(★★★） 在平面直角坐标系x Oy 中,抛物线223y mx mx n =++经过3５)A(0，2）两点。