16届高二理科数学《乐学七中》白皮书第1章答案(1.1节-1.3节)
高中数学第1章数列 等比数列前n项和的性质及应用同步练习湘教版选择性必修第一册
第2课时等比数列前n项和的性质及应用A级必备知识基础练1.(2022河南南阳高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则实数a的值等于()A.-4B.-1C.0D.12.已知在等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3+…+a2k+1=85，a2+a4+…+a2k=42，则k=()A.2B.3C.4D.53.已知{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若S4=6，S8=18，则S16=()A.48B.54C.72D.904.(2022天津河西高二期末)已知等比数列的首项为-1，前n项和为S n，若，则公比q=()A.2B.-2C.D.-5.已知在等比数列{a n}中，a1=1，且=8，那么数列的公比为，S5= .6.已知正项等比数列{a n}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q= .7.(2022安徽宣城高二期末)已知等比数列{a n}为递增数列，且前n项和为S n，S3=，a3a4=a5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若4a n=3S n，求正整数n的值.B级关键能力提升练8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a3=5，S4=20，则=()A.9B.10C.12D.179.(2022河南新乡高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则数列{a n}的公比q=()A.2B.-2C. D.-10.某工厂购买一台价格为a万元的机器，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足()A.b=B.b=C.b=D.<b<11.已知等比数列{a n}的公比q>0，前n项和为S n，则的大小为()A.B.C.D.12.(多选题)(2022江苏常州高二期中)记数列{a n}的前n项和为S n，则下列四个说法错误的有()A.若对于∀n∈N+，=a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B.若S n=Aq n+B(非零常数q，A，B满足q≠1，A+B=0)，则数列{a n}为等比数列C.若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列D.设数列{a n}是等比数列，若a1<a2<a3，则{a n}为递增数列13.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车，以后电力型公交车每年投入的辆数比上一年增加50%.(1)求该市在2028年应该投入多少辆电力型公交车;(2)求到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.(已知37=2 187，38=6 561)C级学科素养创新练14.某市为鼓励全民健身，从2021年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知2021年7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，自8月起，A型健身器材每月的投放量均为a 台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%.若2021年12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为()A.243B.172C.122D.7415.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若，求的值.参考答案第2课时等比数列前n项和的性质及应用1.B根据题意，等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则a1=41+a=4+a，a2=S2-S1=(42+a)-(4+a)=12，a3=S3-S2=(43+a)-(42+a)=48，则有(4+a)×48=144，解得a=-1.故选B.2.B设等比数列{a n}的公比为q，则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2k q=85，即q(a2+…+a2k)=85-1=84.因为a2+a4+…+a2k=42，所以q=2.则a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=，即128=22k+1，解得k=3，故选B.3.D因为{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，且由题意可知q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12也成等比数列，且公比为=2.所以S12-S8=2(S8-S4)=24，所以S12=42，因此S16-S12=2(S12-S8)=48，所以S16=90.故选D.4.D(方法1)当q=1时，=2，不满足题意;当q≠1时，S10=，S5=，则=q5+1=，解得q=-.故选D.(方法2)设S10=31k，S5=32k(k∈R，且k≠0)，则由S10=S5+q5S5可知31k=S5(1+q5)=32k(1+q5)，解得q=-.故选D.5.831设公比为q，∵=8，a1=1，∴=q3=8，∴q=2.∴S5==31.6.2设等比数列{a n}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，前2n项之和为S2n，则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.由S2n=3S奇，得(1+q)S奇=3S奇.因为a n>0，所以S奇>0，所以1+q=3，q=2.7.解(1)设公比为q，由a3a4=a5，可得q5=a1q4，故a1q=1.因为S3=a1+a2+a3=，所以+1+q=，解得q=3或q=.故可得a1>0，又因为{a n}为递增数列，所以q=3.故a n=a2q n-2=.(2)由(1)可得，S n=，若4a n=3S n，则4×3n-2=(3n-1)，解得n=2.8.B设等比数列{a n}的公比为q，因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20，所以q=3，则=q2+1=10.故选B.9.C由已知q≠1，则解得10.D因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12，所以12b<a(1+0.005)12，所以b<.显然12b>a，即<b<.11.C+1，+1.因为q>0，所以+1>0，即.12.AC若a n=0，满足对于∀n∈N+，=a n a n+2，但数列{a n}不是等比数列，故A错误.当n≥2时，a n=S n-S n-1=Aq n+B-(Aq n-1+B)=Aq n-1(q-1)且q≠1;当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式.故数列{a n}是首项为A(q-1)，公比为q的等比数列，故B正确.若数列{a n}为等比数列，当公比q=-1，且n为偶数时，此时S n，S2n-S n，S3n-S2n，…均为0，不是等比数列，故C错误.设数列{a n}是等比数列，且公比为q，若a1<a2<a3，即a1<a1q<a1q2，若a1>0，可得1<q<q2，即q>1，则{a n}为递增数列;若a1<0，可得1>q>q2，即0<q<1，则{a n}为递增数列.故D正确.13.解(1)依题意可知，从2022年起每年投入的电力型公交车的辆数可构成等比数列{a n}，其中a1=128，q=，则a7=a1q6=128×6=1458.故2028年应投入电力型公交车1458辆.(2)设{a n}的前n项和为S n，则S n==256n-1.由S n>(10000+S n)×，得S n>5000，即256n-1>5000，即n>，又n∈N+，∴n≥8.故到2029年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.14.D设B型健身器材这6个月投放量构成数列{b n}，则b n是以b1=64为首项，以q=为公比的等比数列，∴其前6项和为S6==1330.则令5a+300+1330≥2000，解得a≥74，故选D.15.解(方法1)设等比数列{a n}的公比为q，由题意可知q≠1，则S n=.∵，∴，即1+q5=3，∴q5=2，∴.(方法2)设S5=k，S10=3k(k∈R，且k≠0)，由题意可得q≠-1，则S5，S10-S5，S15-S10，S20-S15成等比数列，则S15-S10=4k，S20-S15=8k，可得S15=7k，S20=15k，故.。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。
高中数学必修第一册第七章综合测试01含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第七章综合测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列事件中，随机事件的个数是（）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x R∈，则x的值不小于0.A.1B.2C.3D.42.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（）A.0.2B.0.28C.0.52D.0.83.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”4.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A.13B.512C.12D.7125.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是（）A.13B.310C.25D.346.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是（）A.颜色相同B.颜色不全同C.颜色全不同D.无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为（）A.34B.38C.14D.188.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率()P A是（）A.23B.13C.19D.118二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()f n ，则随着n 的逐渐增加，下列说法不正确的是（）A .()f n 与某个常数相等B .()f n 与某个常数的差逐渐减小C .()f n 与某个常数差的绝对值逐渐减小D .()f n 在某个常数附近摆动并趋于稳定10.下列四个命题中，假命题有（）A .对立事件一定是互斥事件B .若A ，B 为两个事件，则()()()P A B P A P B =+C .若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=D .若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件11.下列说法中错误的是（）A .抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B .如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖C .在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平D .一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数212.在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（）A .恰有1件一等品的概率为35B .恰有2件一等品的概率为310C .至多有1件一等品的概率为25D .至多有1件一等品的概率为710第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，戴眼镜的概率为________.14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.15.A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站在一排，则A 或B 在边上的概率为________.16.如图，元件()1234i A i =，，，通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.18.（本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.19.（本小题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.20.（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.21.（本小题满分12分）在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为231 543，，，求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率.22.（本小题满分12分）某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.2．【答案】A【解析】设“摸出红球”为事件M ，“摸出白球”为事件N ，“摸出黑球”为事件E ，则()()()1P M P N P E ++=，所以()()()110.520.280.2P E P M P N --=-=-=.故选A .3．【答案】A【解析】由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.4．【答案】A【解析】设2名男生记为12A A ，，2名女生记为12B B ，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，有121112212212211121122221A A A B A B A B A B B B A A B A B A B A B A B B ，，，，，，，，，，，，共12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有11122122A B A B A B A B ，，，，共4种情况，则所求事件发生的概率为41123P ==.故选A .5．【答案】C【解析】用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有（2，2，5），（2，3，4），（2，4，3），（2，5，2），（3，2，4），（3，3，3），（3，4，2），（4，2，3），（4，3，2），（5，2，2），共有10种可能性，而丙领到的钱数不少于乙、丁的情况有（2，4，3），（2，5，2），（3，3，3），（3，4，2），共计4种，故所求概率为42105=.故选C .6．【答案】B【解析】有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为31279=；颜色不全同的结果有24种，其概率为248279=；颜色全不同的结果有6种，其概率为62279=；无红球的结果有8种，其概率为827，故选B .7．【答案】A【解析】每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为328=，三个图形颜色完全相同的有2种（全是红或全是蓝），则三个图形颜色不全相同的涂法种数为826-=.所以三个图形颜色不全相同的概率为6384=，故选A .8．【答案】B【解析】设事件A 和B 发生的概率为x 和yA 发生而B 不发生的概率()=1x y -,B 发生而A 不发生的概率()=1y x -()()1=1x y y x --,所以x y=独立事件A 和B 都不发生的概率()()1=119x y --=则()()1113x y -=-=则23x =二、9．【答案】ABC【解析】随着n 的增大，频率()f n 会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，A 、B 、C 错误，D 正确.10．【答案】BCD【解析】A 正确；当且仅当A 与B 互斥时才有()()()P A B P A P B =+ ，对于任意两个事件A ，B ，满足()()()()P A B P A P B P AB =+ -，B 不正确；()P A B C 不一定等于1，还可能小于1，所以C 不正确；D 不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ={摸到红球或黄球}，事件B ={摸到黄球或黑球），显然事件A 与B 不互斥，但()()()()11122P A P B P A P B ===，+.故选B 、C 、D .11．【答案】ABD【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A 、B 、D 错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C 正确.故选A 、B 、D .12．【答案】ABD【解析】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.其中恰有1件一等品的取法有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），故恰有1件一等品的概率为1610P =；恰有2件一等品的取法有（1，2），（1，3），（2，3），共3种，故恰有2件一等品的概率为2310P =，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为3211371010P P ===--.故选A 、B 、D .三、13．【答案】0.640.73【解析】500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为3200.64500=，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的365人，即戴眼镜的学生的频率为3650.73500=，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73.14．【答案】13【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种.故所求概率为3193P ==.15．【答案】56【解析】A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，基本事件共24种，如下图所示.A ，B 都不在边上共4种，所以A 或B 在边上的概率为451246P =-=.16．【答案】0.8829【解析】电流能通过A 1，A 2的概率为0.90.90.81⨯=，电流能通过A 3的概率为0.9，故电流不能通过A 1，A 2且也不能通过A 3的概率为10.8110.90.019-⨯-=（）（）.故电流能通过系统A 1，A 2，A 3的概率为10.0190.981-=.而电流能通过A 4的概率为0.9，故电流能在M ，N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=.四、17．【答案】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=.（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.18．【答案】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2)，(A 1，A 3)，{A 1，A 4}，{A 1，A 5)，{A 1，A 6)，{A 2，A 3}，{A 2，A 4)，{A 2，A 5}，{A 2，A 6)，{A 3，A 4)，{A 3，A 5)，{A 3，A 6)，{A 4，A 5)，{A 4，A 6)，{A 5，A 6}，共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B ）的所有可能结果为(A 1，A 2)，{A 1，A 3)，{A 2，A 3)，共3种.所以()31155P B ==.19．【答案】（1）从3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，而此人任一天到达该地的概率均为113，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.20．【答案】（1）总体平均数为56789107.516+++++=（）.（2）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以，所求的概率为()715P A =.21．【答案】设A 表示事件“甲通过体能测试”，B 表示事件“乙通过体能测试”，C 表示事件“丙通过体能测试”.由题意有：()()()231543P A P B P C ===，.（1）设M 1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即1M ABC =.由事件A ，B ，C 相互独立，可得()()()()()1231154310P M P ABC P A P B P C ===⨯⨯=.（2）设M 2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2M ABC ABC ABC =++，由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ABC ABC ，，两两互斥，因此所示概率为()()()()()()()()()()2P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C=++2312312311115435435360324=⨯⨯-⨯-⨯+-⨯⨯+=（）（）（.（3）设M 3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则3M ABC ABC ABC =++，由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ABC ABC ，，两两互斥，因此所求概率为()()()()()()()()()()3P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C=++231231231111115435435435112=⨯-⨯-⨯⨯-+-⨯-+-=⨯（）（）（）（）（）（.22．【答案】（1）10.0050.0150.0200.0300.005100.25=-++++⨯=第四小组的频率（）.（2）依题意可得，()450.005550.015650.020750.025850.030950.0051072.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=平均数.（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50）分数段的3人编号为A 1，A 2，A 3，将[90，100]分数段的3人编号为B 1，B 2，B 3，从中任取两人，则由样本点构成集合Ω={（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3）}，共15个，其中，在同一分数段内的事件所含样本点为（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），共6个，故概率62155P ==.。
2023-2024学年浙江省台金七校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 13．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√25．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√106．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ）A ．97B ．119C ．139D ．527．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+41010．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√3312．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 ．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是 ．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 ． 16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为 ．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高．18．（12分）已知圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝r 2（r ＞0），两点A （﹣3，0）、B （﹣5，0）． （1）若r ＝6，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程； （2）若圆C 上存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝10，求圆C 半径r 的取值范围．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx−2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，FB ＝FC ＝BC ＝2，AB ＝4，G 是棱CF 上一点． （1）证明：AE ∥平面BCF ；（2）当BG ∥平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：直线x −√3y +1＝0互为斜截式，得y =√33x +√33∴直线x −√3y +1＝0d 的斜率为√33，设倾斜角为θ，则tan θ=√33，∴θ=π6 故选：A ．2．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1 B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 1解：建系如图：设该正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0，、D （0，0，0），A 1（1，0，1）、 B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），对于A 选项，A 1B →=(0，1，−1)，AC 1→=(−1，1，1)，则A 1B →⋅AC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥AC 1； 对于B 选项，DC 1→=(0，1，1)，A 1B →⋅DC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥C 1D ，B 对； 对于C 选项，CB 1→=(1，0，1)，CB 1→⋅DC 1→=1，故C 1D 和B 1C 不垂直，C 错；对于D 选项，C 1B 1→=(1，0，0)，A 1B →⋅C 1B 1→=0，故A 1B ⊥B 1C 1，D 对． 故选：C ．3．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →解：CG →=CA →+AG →=CA →+12AD →=（BA →−BC →）+12（BD →−BA →）＝（a →−b →）+12(c →−a →)=12a →−b →+12c →． 故选：B ．4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√2解：依题意可得AB →=(−1，−1，2)，BC →=(1，−1，0)，OA →=(1，2，0)， 设平面ABC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅BC →=x −y =0，取n →=(1，1，1)， 所以点O 到平面ABC 的距离是d =|OA →⋅n →||n →|=1+23=√3．故选：B ．5．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√10解：对于A 项：当直线l 与直线x +y +2＝0平行，得斜率为：−3kk+2=−1，解得：k ＝1，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线x +y +2＝0垂直，得斜率：−3k k+2=1，解得：k =−12，故B 项正确； 对于C 项：直线l 化简为：（3x +y ﹣10）k +2y ﹣2＝0，由{3x +y −10=02y −2=0，解得：{x =3y =1，即l 恒过定点（3，1），故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：√(3−0)2+(1−0)2=√10，故D 项正确． 故选：C ．6．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ） A ．97B ．119C ．139D ．52解：由题意知，点F （0，1），设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），其中x 1＞0，y 1＞0， 由于|PF |＝5，所以|PF |＝y 1+1＝5，即y 1＝4，将y 1＝4代入C ：x 2＝4y 得x 12=16，∵x 1＞0，∴x 1＝4，即P （4，4）， 故直线l 的斜率为k PM =46=23，其方程为y =23(x +2)， 联立{y =23(x +2)x 2=4y ，可得3x 2﹣8x ﹣16＝0，解得x 2=−43，x 1=4， 所以y 2=23×(−43+2)=49， 由抛物线的定义，得|QF|=y 2+1=139． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)解：如图所示，圆心为C （3，0），半径为r =√2，圆心C 到直线l 的距离为d =6|m|√m 2+1，考虑P A 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|CA |＝|CB |，|PC |＝|PC |，则△P AC ≌△PBC ， 设∠APC ＝θ，则∠APB ＝2θ， 因为AC ⊥P A ，则sinθ=|AC||PC|≤√2d， 所以当PC ⊥l 时，θ最大，此时，∠APB 最大，因为对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则2θ＜π2，可得θ＜π4， 则√2d ＜sin π4=√22，可得d =6|m|√m 2+12，解得m ＜−√24或m ＞√24， 所以m 的取值范围是（﹣∞，−√24）∪（√24，+∞）． 故选：B ．8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73解：如图，延长PF 1交交双曲线于M 点，连接PF 2，QF 1，MF 2，因为F 1P →=2F 2Q →，所以PM ∥QF 2，根据双曲线的对称性可得M ，Q 关于原点对称， 所以MF 1→=F 2Q →，则四边形F 1MF 2Q 为平行四边形，所以∠PMF 2=∠F 1QF 2=π3， 设|MF 1|＝|F 2Q |＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义可得：|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a +2m ，|MF 2|＝2a +m ，|PM |＝2m +m ＝3m ，在△PMF 2中，由余弦定理得|PF 2|2=|PM|2+|MF 2|2−2|PM|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2a +2m)2=(3m)2+(2a +m)2−2×3m ×(2a +m)×12， 化为4a 2+4m 2+8am ＝9m 2+4a 2+4am +m 2﹣6am ﹣3m 2， 整理得m =10a3， 所以|MF 1|=10a3，|MF 2|=16a3，在△F 1MF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2c)2=(10a3)2+(16a3)2−2×10a3×16a3×12，整理得c 2=499a 2，所以c =73a ． 则该双曲线的离心率是ca=73．故选：D ．二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+410解：因为f(α+π3)=sin(α+π3+π6)=sin(α+π2)=cosα，故A 错误； 由题意，令x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π3+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称，故B 正确； 由题意知f(2x)=sin(2x +π6)，将f （2x ）图像上所有点向右平移π6个单位，得y =sin[2(x −π6)+π6]=sin(2x −π6)，故C 正确；因为f(α)=sin(α+π6)=35，且π3＜α＜5π6，所以π2＜α+π6＜π，所以cos(α+π6)=−45，因为sinα=[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)cos π6−cos(α+π6)sin π6，得sinα=3√3+410，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底解：选项A ，OA →在OB →上的投影向量为OA →⋅OB →|OB →|2⋅OB →=0+1+23•OB →=OB →，即选项A 正确；选项B ，因为G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，所以AG →=23×12（AB →+AC →）=13（AB →+AC →）， 所以OG →−OA →=13（OB →−OA →+OC →−OA →），整理得，OG →=13(OA →+OB →+OC →)，即选项B 正确；选项C ，因为OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，且−25+35+35≠1，所以A ，B ，C ，G 四点不共面，即选项C 错误；选项D ，由c →=λa →+μb →可知，a →，b →，c →共面，所以{a →，b →，c →}不能构成空间的一个基底，即选项D 错误． 故选：AB ．11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√33解：对于A ，若存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2，则点P 在以|F 1F 2|为直径的圆x 2+y 2＝1上，而点P 在椭圆上，易知椭圆C 1：x 24+y 23=1与圆x 2+y 2＝1无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，则可得|PF 1|＝4﹣|PF 2|， 所以|PM |﹣|PF 1|＝|PM |﹣（4﹣|PF 2|）＝|PM |+|PF 2|﹣4≥|MF 2|﹣4，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时满足题意，又F 2（1，0），M （4，4）可得|MF 2|＝5， 即|PM |﹣|PF 1|≥|MF 2|﹣4＝1，所以B 正确； 对于C ，将x 24+y 23=1变形可得3x 2+4y 2﹣12＝0，结合直线l 可得9cos 2θx 2+12cos 2θy 2﹣36cos 2θ＝0，联立直线l ：(3cosθ)⋅x =6−(2√3sinθ)⋅y ，消去x 可得y 2−2√3sinθ⋅y +3sin 2θ=0， 显然该方程仅有一解y =√3sinθ，所以当θ∈R 时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切，即C 正确； 对于D ，易知圆C 2：(x −1)2+y 2=1的圆心为F 2（1，0），所以可得|PN |≤|PF 2|+1， 不妨设P （x 0，y 0），则由x 024+y 023=1可得y 02=3−3x 024，则|PO||PN|≥√x 02+y 02√(x 0−1)2+y 02+1=√x 2+3−3x 024√(x 0−1)2+3−3x 024+1=√x 024+3√x 024−2x 0+4+1=√x 02+12√x 02−8x 0+16+2=√x 02+12√(x 0−4)2+2=√x 02+124−x 0+2=√x 02+126−x 0=√x 02+12x 02−12x 0+36，易知x 0∈[﹣2，2]，令f(x)=x 2+12x 2−12x+36，x ∈[−2，2]，则f ′(x)=−12(x−6)(x+2)(x 2−12x+36)2在x ∈[﹣2，2]上满足f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[﹣2，2]上单调递增，即f(x)≥f(−2)=14，因此可得|PO||PN|≥√x 02+12x 02−12x0+36≥√14=12，即|PO||PN|的最小值为12，即D 错误．故选：BC ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 解：根据题意，如图建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），M （0，2，1），N （x ，y ，0），A 1（2，0，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2）， 设N 的坐标为（x ，y ，0）； 依次分析选项：对于A ，假设∠ANM =π2，则NA →⋅NM →=0，且NA →=(2−x ，−y ，0)，NM →=(−x ，2−y ，1)，故N 轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，当x ＝0时，y ＝0，点（0，0）既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确；对于B ，若|A 1N|=√5，A 1（2，0，2）， N 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，则N 在底面内轨迹的长度是（x ﹣2）2+y 2＝1周长的14，即轨迹的长度为14×1×π=π4，B 正确，对于C ，A 1B →=(0，2，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设面A 1BC 1的法向量n →=(x ，y ，z)，故有{2y −2z =0−2x +2y =0，解得{x =1y =1z =1，故n →=(1，1，1)∵MN ∥平面A 1BC 1，∴MN →⋅n →=0，∴N 的轨迹方程为x +y ﹣3＝0， ∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，C 错误； 对于D 选项，B 1N →=(x −2，y −2，−2)，A 1M →=(−2，2，−1)， ∵B 1N ⊥A 1M ，∴B 1N →⋅A 1M →=0，∴N 的轨迹方程为﹣x +y +1＝0，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 （2，1，6） ． 解：空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是（2，1，6）． 故答案为：（2，1，6）．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是x 24−y 22=1 ．解：由题意可设双曲线方程为mx 2﹣ny 2＝1，m ，n ＞0； 由渐近线方程为x ±√2y =0可得n ＝2m ，将点A(√6，1)代入可得6m ﹣n ＝1，解得m =14，n =12， 所以双曲线标准方程为x 24−y 22=1．故答案为：x 24−y 22=1．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 116．解：依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点F(p 2，0)， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线MN 的方程为x =ty +p2，由{x =ty +p2y 2=2px，得：y 2﹣2pty ﹣p 2＝0，所以y 1y 2=−p 2，x 1x 2=y 12y 224p 2=p 24，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−34p 2=−3， 又p ＞0，所以p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，而y 1＝1，故y 2＝﹣4，所以x 1=y 124=14，x 2=y 224=4， 所以M 、N 两点到y 轴的距离之比为|x 1||x 2|=116．故答案为：116．16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为27√32π ．解：把平面P AB 展开到与底面ABCD 共面的P ′AB 的位置，延长DC 到D ′，使得CD ′＝1，则DF＝D ′F （如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE +EF +FD ＝P ′E +EF +FD ′最小，即P ′，E ，F ，D ′四点共线， 易知P ′D ＝6，DD ′＝4，P′D CF=DD′CD′，可得CF ＝3，所以BF =2，AB =2√2，DF =√13，∠DAF ＝45°， 由正弦定理可得△ADF 外接圆的半径r =12×√13sin45°=√262，设△ADF 外接圆圆心为O ′，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的球心O 一定在过O ′且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点P ，A 的距离相等，所以OA =√r 2+(PA2)2=√274=3√32， 即三棱锥P ﹣ADF 外接球的半径为R =3√32， 所以外接球的体积为V =43πR 3=27√32π． 故答案为：27√32π．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高． 解：（1）由a +2c cos A ＝2b 及正弦定理， 可得sin A +2sin C cos A ＝2sin B ，又在△ABC 中，易知A +B +C ＝π，可得A +C ＝π﹣B ， 所以sin （A +C ）＝sin （π﹣B ）＝sin B ，即sin A+2sin C cos A＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，可得sin A＝2sin A cos C，显然sin A≠0，所以1＝2cos C，所以cosC=12，又C∈（0，π），可得C=π3；（2）由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=12，代入c=√7b整理可得a2﹣ab﹣6b2＝0，解得a＝3b或a＝﹣2b（舍），所以△ABC的面积为S=12absinC=3√3，解得b＝2，所以a＝6，设BC边上的高为h，则S=12ℎ⋅|BC|=12aℎ=3√3，可得ℎ=√3，即BC边上的高为√3．18．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0），两点A（﹣3，0）、B（﹣5，0）．（1）若r＝6，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得|P A|2+|PB|2＝10，求圆C半径r的取值范围．解：（1）当r＝6时，圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝36，圆心为C（4，0），因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为d=√r2−32=√62−32= 3√3，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝﹣5，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+5），即kx﹣y+5k＝0，则d=9|k|√k+1=3√3，解得k=±√22，所以，直线l的方程为y=√22x+5√22或y=−√22x−5√22；（2）解：设点P（x，y），则|P A|2+|PB|2＝（x+3）2+y2+（x+5）2+y2＝10，整理可得（x+4）2+y2＝4，因为点P在圆C上，则圆C与圆（x+4）2+y2＝4有公共点，且圆（x+4）2+y2＝4的圆心为E（﹣4，0），半径为2，则|r﹣2|≤|CE|≤r+2，且|CE|＝8，故|r﹣2|≤8≤r+2，因为r＞0，解得6≤r≤10，故r的取值范围是[6，10]．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．解：（1）将正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1补成正三棱锥P ﹣ABC ，因为B 1C 1∥BC ，且BC ＝2B 1C 1＝2，则A 1、B 1分别为P A 、PB 的中点， 则P A ＝2AA 1＝2，PC ＝PB ＝P A ＝2，故△PBC 是边长为2的等边三角形， 由此可知，△P AB 、△P AC 都是边长为2的等边三角形，易知△ABC 是边长为2的等边三角形，△A 1B 1C 1是边长为1的等边三角形，故正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为3×34S △PAB +S △ABC +S △A 1B 1C 1=94×√34×22+√34×22+√34×12=7√32．（2）证明：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正△ABC 的中心， 取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，CM =ACsin π3=2×√32=√3，则CO =23CM =2√33， 因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP ⊥CO ， 所以，PO =√PC 2−OC 2=√22−(2√33)2=2√63， 以点O 为坐标原点，CO →、AB →、OP →的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(−2√33，0，0)、B(√33，1，0)、P(0，0，2√63)、A(√33，−1，0)、 D(√34，−34，√66)、E(−√312，14，√63)，则DE →=(−√33，1，√66)，CP →=(2√33，0，2√63)，CB →=(√3，1，0)，所以DE →⋅CP →=−23+23=0，DE →⋅CB →=−1+1=0，所以，DE ⊥CP ，DE ⊥CB ，因为CP ∩CB ＝C ，CP 、CB ⊂平面BCC 1B 1，故DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx −2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）当m ＝4时可得f(x)={x +4x−2，x ＞01−42x ，x ≤0； 显然当x ＞0时，x +4x −2≥2√x ⋅4x−2=2，当且仅当x ＝2时，等号成立， 当x ≤0时，易知函数1−42x 在（﹣∞，0]上单调递增，所以可得1−42x ≤1−420=−3， 即x ≤0时，1−42x ∈(−∞，−3]； 综上可知，函数f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）； （2）①当m ≤0时，函数y =x +mx −2在（0，+∞）上单调递增， 且当x 趋近于0时，y ＜0，当x 趋近于+∞时，y ＞0，即函数y =x +mx−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上单调递减，且当x ∈（﹣∞，0]时，y ＞0恒成立，即函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上无零点；所以当m ≤0时，函数f （x ）仅有1个零点；②当0＜m ＜1时，易知y =x +mx −2在(0，√m)上单调递减，在(√m ，+∞)上单调递增， 此时最小值为2√m −2＜0，即函数y =x +mx −2在（0，+∞）上存在两个零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＞0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上有一个零点；所以当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；③当m＝1时，易知y=x+1x−2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，此时最小值为0，即函数y=x+1x−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y=1−12x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为0，即函数y=1−12x在（﹣∞，0]上有一个零点；即当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；④当m＞1时，易知y=x+mx−2在(0，√m)上单调递减，在(√m，+∞)上单调递增，此时最小值为2√m−2＞0，即函数y=x+mx−2在（0，+∞）上无零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＜0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上无零点；所以当m＞1时，函数f（x）没有零点；综上可知，当m≤0时，函数f（x）仅有1个零点；当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；当m＞1时，函数f（x）没有零点．21．（12分）已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）当BG∥平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值．解：（1）证明：多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点，∵底面ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ，∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ，因为AD ∩DE ＝E ，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF ；（2）如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，∵△FBC 是等边三角形，∴FN ⊥BC ，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，∴MN ⊥NB ，以N 为坐标原点，NM ，NB ，NF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，A(4，1，0)，B(0，1，0)，C(0，−1，0)，D(4，−1，0)，F(0，0，√3)，则CF →=(0，1，√3)，设CG →=tCF →(0≤t ≤1)，则G(0，t −1，√3t)，可知BG →=(0，t −2，√3t)，AF →=(−4，−1，√3)，BD →=(4，−2，0)，由底面是平行四边形，得AE →=AF →+FE →=AF →+BD →=(0，−3，√3)，设平面AEF 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{−4x 1−y 1+√3z 1=0−3y 1+√3z 1=0，取z 1=√3，得n →=(12，1，√3)， 由题意BG ∥平面AEF ，则BG →⋅n →=0×12+(t −2)×1+√3t ×√3=0，解得t =12，∴CG →=12CF →，即G 是CF 中点， ∵AE →=(0，−3，√3)，∴E(4，−2，√3)，∴DE →=(0，−1，√3)，DG →=(−4，12，√32)，设平面DEG 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{−y 2+√3z 2=0−4x 2+12y 2+√32z 2=0， 取z 2＝1，得m →=(√34，√3，1)，BG →=(0，−32，√32)，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜BG →，m →＞|=|BG →⋅m →||BG →|⋅|m →|=|0−3√32+√32|√6716=4√6767 .∴BG 与平面DEG 所成角的正弦值为4√6767． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由题意可知离心率为e =c a =√32，将点D(√3，12)代入椭圆方程可得3a 2+14b 2=1， 又a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）易知A （﹣2，0），B （2，0），设直线l 的方程为x ＝my +4，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＜x 2，联立直线和椭圆方程{x 24+y 2=1x =my +4，整理可得（m 2+4）y 2+8my +12＝0，所以Δ＝（8m ）2﹣4×12（m 2+4）＞0，可得m 2＞12，且y 1+y 2=−8m m 2+4，y 1y 2=12m 2+4， 可得直线P A 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)=y 1my 1+6(x +2)， 直线QB 的方程为y =y2my 2+2(x −2)， 解得M(2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2−y 1，2y 1y 23y 2−y 1)， PQ =√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=4√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4， M 点到直线PQ 的距离为d =|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2 所以△PQM 的面积为S 1=12|PQ|⋅d =2×√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2=12√m 2−12m 2+4⋅|(y 1−y 2)3y 2−y 1|， △ABM 的面积为S 2=12|AB|⋅|2y 1y 23y 2−y 1|=4|y 1y 23y 2−y 1|， 所以S 1S 2=3×√m 2−12m 2+4⋅|y 1−y 2||y 1y 2|=3×√m 2−12m 2+4⋅4√m 2−12m 2+412m 2+4=m 2−12m 2+4=1−16m 2+4，又m 2＞12可得1−16m 2+4∈(0，1)， 即可得S 1S 2的取值范围是（0，1）．。
成才之路·北师大版数学必修1-1.1
第第一一章章 §§11
成成才才之之路路 ··高高中中新新课课程程 ·学习指导 ·北北师师大大版版··数数学学··必必修修11
4．集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出__来__写在_大__括__号___内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象_____属__于__一__个__集_，合并写在 _大__括__号____内的方法．
第第一一章章 §§11
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问题1：数学家说的集合是指什么？ 问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
第第一一章章 §§11
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综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
第第一一章章 §§11
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[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是 否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
1∈A.
第第一一章章 §§11
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3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
D．{x2－3x＋2＝0}
第七中学高二数学上学期期中试题文含解析
【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题．
5。对具有线性相关关系的两个变量x,y，测得一组数据如表所示：
x
2
4
5
6
8
y
20
m
60
70
n
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 ，则 ( ）
A。 119B。 120C。 129D。 130
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解 的值．
故此时共有: 种方法；
综上共有 种方法．
故选：C．
【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．
二、填空题(本大题共4小题）
9.如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 ， ,那么输出的p等于______。
【答案】210
【解析】
【分析】
讨论k从1开始取,分别求出p的值，直到不满足 ，退出循环，从而求出p的值.
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析: 在4本书中任选2本,分给甲； 剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人,每人得2本，
分2步进行分析:
在4本书中任选2本，分给甲，有 种情况，
剩下的2本送给乙，有1种情况，
则有6种不同的分法；
故选:B．
【详解】解:模拟程序的运行，可得
， ， ，
，
满足条件 ，执行循环体， ，
满足条件 ，执行循环体， ，
不满足条件 ，退出循环，输出p的值为210．
故答案为：210．
【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．
高考数学(理)自由复习步步高系列07(解析版)
【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：排列组合与二项式定理（1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，……，完成第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（2）排列与组合：①排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.排列数公式：!(1)(2)(1)()()!mnnA n n n n m m nn m=---+=≤-；!(1)(2)21nnA n n n n==--⋅.规定0!=1。
另外，!)!1(!nnnn -+=⋅；111--++=⋅+=mnmnmnmmmnmnmAACAAA；11--=mnmnnAA，!1)!1(1!1nnnn--=-。
注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）
2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e 的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.25.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.28.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值. 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 答案 A 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案B 解析抛物线的焦点为Fp2,0, 所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=__p2, 即x=y+p2,代入y2=2px消去x, 得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0, 由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标), 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1. 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 答案 B 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B 5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为. 答案22 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1__2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0, ∴y1-y2x1__2=-b2a2·x1+x2y1+y2. ∵y1-y2x1__2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2, ∴-b2a2=-12. ∴a2=2b2. 又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴e=ca=22. 6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 答案(1,5) 解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba2. ∴e=ca=a2+b2a21+4=5,∵e1, ∴1e5, ∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23. ∴椭圆的右焦点F(23,0). ∴设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=__23,其中m=1k. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立my=__23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0. ∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2. ∵AF=3FB,∴-y1=3y2, 把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2. 又k0,∴k=2. 8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x 轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB, 所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1, 由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0, ∴y1y2=-4, ∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433, ∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33__53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239. 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b20, ∴PB1·PB2=(__0,-b-y0)·(__0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b 2=a2+b2a. ∴r≤a2+b22a, ∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b__0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2__02x2, 化为y2b2__2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 答案3215 13.在直角坐标系xOy 中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. (1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2), 则kAM-kBM=y-2x+2-y-2__2=8-4yx2-4=-2, 可得x2=2y(x≠±2), 则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2, 又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2, 即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12, 直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2, 可得直线l的方程为y-m22=m+n2(__m), 化为y=m+n2__mn2, 可得y-6=m+n2(__2), 可得直线l恒过定点(2,6). 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O 为原点)面积的最大值. 解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2, 又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1, 联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1. (2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2, 联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为直线AB 与椭圆C相交于A,B两点, 所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)0,得k21, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2, 所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2. 点O(0,0)到直线k__y+2=0的距离d=21+k2, 所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2. 令k2-1=t,则k2=t2+1(t0), 所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32, 当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立, 此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.。