高考数列题型总结（优秀范文五篇）

高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。

7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例1、已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。

求an。

例1、解∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例2、已知{a1n}满足an+1=2an，而a1=2，求an=？（2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知{a=12，a1n}中a1n+1=an+4n2，求-1an.解：由已知可知an+1-an=1(2n+1)(2n-1)=12(12n-1-12n+1)令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）文德教育an=a1+12(1-12n-1)=4n-34n-2★ 说明只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、{an}中，a1=1，对于n＞1（n∈N）有an=3an-1+2，求an.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。

两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an-1 n+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即an=2·3n-1-1 解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a23n-24-a3=4·3，…，an-an-1=4·，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）b2n+1-bn=3(b题的解法，得：b2nn-bn-1)由上n=3-2(3)∴abnn=2=3(1n1nn2)-2(3)(5)递推式为an+2=pan+1+qan思路：设an+2=pan+1+qan,可以变形为：an+2-αan+1=β(an+1-αan)，想于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求an。

文德教育(6)递推式为Sn与an的关系式关系；2）试用n表示an。

∴Sn+1-Sn=(an-an+1)+(12n-2-12n-1)∴a1n+1=an-an+1+2n-1∴a1n+1=2an+1n2上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。

∴2nan= 2+（n-1）·2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{an}等差，{bn}等比，那么{anbn}叫做差比数列）即把每一项都乘以{bn}的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

⎫适用于数列⎧⎨1⎫⎧⎪1⎪⎩a⎬和⎨n⋅an+1⎭⎪⎩a{an+a⎬（其中n+1⎪n}等差）⎭可裂项为：1a=1d(1a-1，n⋅an+1na)n+11=1an+an+1d(an+1-an)等差数列前n项和的最值问题：（文德教育1、若等差数列{an}的首项a1>0，公差d<0，则前n项和Sn有最大值。

（ⅰ）若已知通项a，则S⎧a⎨n≥0nn最大⇔⎩a；n+1≤0（ⅱ）若已知Sn=pn2+qn，则当n取最靠近-q2p的非零自然数时Sn最大；2、若等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项aS⎧an≤0n，则n最小⇔⎨；⎩an+1≥0（ⅱ）若已知S=pn2n+qn，则当n取最靠近-q2p的非零自然数时Sn最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知Sn（即a1+a2+Λ+an=f(n)）求an，用作差法：a={S,(n=1)nS1。

n-Sn-1,(n≥2)⎧f(1),(n=已知aγaf(n)求a⎪1)12γΛγan=n，用作商法：an=⎨f(n)。

⎪(n-1),(n≥⎩f2)⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。

⑷若an+1-an=f(n)求an用累加法：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+Λ+(a2-a1)+a1(n≥2)。

⑸已知an+1a=f(n)求an，用累乘法：an=anna⋅an-1⋅Λ⋅a2n-1an-2a⋅a1(n≥2)。

1⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如ann=kan-1+k的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。

（2）形如a1n=an-kan-1+b的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如akn+1=an 的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到an+1-an-1=d或an+1a=q时，分奇数项偶数项讨论，结果可n-1能是分段形式。

数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是文德教育等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①1=1-1；②1=1n(n+1)nn+1n(n+k)k(1n-1n+k)；③1k2<1k2-1=12(1k-1-1k+1)，11k-1k+1=1(k+1)k<111k2<(k-1)k=k-1-；k④111 ；⑤n11n(n+1)(n+2)=12[n(n+1)-(n+1)(n+2)](n+1)!=n!-；(n+1)!⑥2(n+1-n)=212n+n+1<n<n+n-1=2(n-n-1)二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an（n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1）3、求差（商）法如：{a1n}满足12a1+22a2+……+12nan=2n+5<1>解：n=1时，12a1=2⨯1+5，∴a1=14 n≥2时，12a11+22a12+……+2n-1an-1=2n-1+5<2><1>-<2>得：12nan=2∴an+1n=2∴an=⎧14(n=1)⎨⎩2n+1(n≥2)数列{a5n}满足Sn+Sn+1=3an+1，a1=4，求an（注意到a+1n+1=Sn+1-Sn代入得：SnS=4n 又S是等比数列，Sn1=4，∴{Sn}n=4n≥2时，an-1n=Sn-Sn-1=……=3·44、叠乘法例如：数列{aan+1n}中，a1=3，a=nnn+1，求an解：a2·a3……an=1·2a1a2an-123……n-1n，∴ana=11n文德教育又a31=3，∴an=n5、等差型递推公式由an-an-1=f(n)，a1=a0，求an，用迭加法n≥2时，a2-a1=f(2)⎫ a⎪3-a2=f(3)⎪⎬两边相加，得：…………⎪an-an-1=f(n)⎪⎭ an-a1=f(2)+f(3)+……+f(n)∴an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)［练习］数列{a=3n-1n}，a1=1，an+an-1(n≥2)，求an（a1nn=2(3-1)）6、等比型递推公式an=can-1+d(c、d为常数，c≠0，c≠1，d≠0)可转化为等比数列，设an+x=c(an-1+x)⇒an=can-1+(c-1)x 令(c-1)x=d，∴x=dc-1∴⎨⎧ad⎫n+c-1⎬是首项为⎭ad⎩1+c-1，c为公比的等比数列∴add⎫n+c-1=⎛⎝an-11+c-1⎪⎭·c ∴a⎛d⎫n-1n=⎝a1+c-1⎪⎭c-d c-1［练习］数列{an}满足a1=9，3an+1+an=4，求ann-1（an=8⎛4⎫⎝-3⎪⎭+1）7、倒数法例如：a2an1=1，an+1=an+2，求an由已知得：1a=an+2=1n+12a+1n2an ∴11a-1=2n+1an ∴⎧⎨1⎫⎩a⎬为等差数列，1=1，公差为1 n⎭a126∴111a=1+(n-1)·n2=2(n+1)∴an=2n+12．数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。