2022-2023学年浙江省温州市龙港市八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年浙教新版八年级上册数学期中复习试卷(有答案)
2022-2023学年浙教新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝2∠B，则∠A＝（）A．30o B．45o C．60o D．70o3．下列说法中，不一定成立的是（）A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞bC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果ac2＞bc2，那么a＞b4．如图，△ABE≌△ACF．若AB＝5，AE＝2，BE＝4，则BF的长度是（）A．4B．3C．5D．65．若一个三角形的三个内角的度数比为3：4：7，则这个三角形的最大内角的度数为（）A．90°B．75°C．60°D．120°6．已知△ABC的周长是36cm，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，△ABD的周长是30cm，则AD的长是（）A．6 cm B．8 cm C．12 cm D．20 cm7．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB，与△ABC另一边交于点E，若∠A＝α度，则∠AEB的度数为（）A．α或180﹣2αB．180﹣2αC．90°或180﹣2αD．90°或α8．下列4个命题中，真命题是（）A．a是实数，则也是实数B．一个数的算术平方根是正数C．直角都相等D．垂直于同一条直线的两条直线平行9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BC＝4，BE＝2.5，则DE的长是（）A．1B．1.5C．0.5D．210．已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP ＝1，连接BP、CP，将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连接AB′，则AB′的最大值为（）A．6B．2+2C．3+2D．4+二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．不等式2x+4＞0的解集是．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，正方形内的数字代表其面积，则S的值为．13．如图，点E在线段AC上，△ABC≌△DAE，若BC＝4，DE＝7，则EC＝．14．已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为5cm．则底边长为cm．15．如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．16．如图，△ABC≌△EDC，∠C＝90°，点D在线段AC上，点E在线段CB延长线上，则∠1+∠E＝°．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（6分）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，使△ABC是等腰三角形，在方格中画出满足条件的点C．（用C1、C2……表示）18．（8分）用不等式的性质解下列不等式．（1）x﹣3＜1；（2）4x≥3x﹣1；（3）﹣x+2＞5；（4）﹣3x﹣9＞0．19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E．求证：（1）CD＝BE；（2）AB＝AC+CD．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．21．（10分）已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE＝CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q（1）求∠BPD的度数；（2）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．22．（12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E．（1）证明：AE＝ED；（2）求线段DE的长．23．（12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例启发，解决问题解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝3，求CD的长．（请画出符合题意的图形，并直接写出结果）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、不是轴对称图形，本选项错误；C、是轴对称图形，本选项正确；D、不是轴对称图形，本选项错误．故选：C．2．解：∵∠C＝90o，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴∠A＝2∠B＝60°，故选：C．3．解：根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个整式，不等号的方向不变．可知A不符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个整式，不等号的方向不变．可知B 不符合题意；若c＝0则不等式不成立，C符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时乘以或除以一个正数不等号的方向不变，可知D不符合题意．故选：C．4．解：∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF＝2，∴BF＝AB﹣AF＝3，故选：B．5．解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，7k°，则3k°+4k°+7k°＝180°，解得7k°＝90°．所以最大的内角是90°．故选：A．6．解：根据题意，AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，又AD⊥BC，即D为BC的中点，∵△ABC的周长是36cm，∴AB+AC+BC＝36，即2AB+2BD＝36，∵△ABD的周长是30cm，∴AB+BD+AD＝30，∴AD＝30﹣18＝12（cm），故选：C．7．解：如图1，∵点D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝α，∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣2α；如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠B＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵点D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝90°﹣，∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝α，综上所述，∠AEB的度数为α或180﹣2α，故选：A．8．解：A、a是实数，则不一定是实数，如a＝0，则没有意义，不是实数，故本选项错误；B、一个数的算术平方根是非负数，故本选项错误；C、直角都相等，故本选项正确；D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项错误．故选：C．9．解：延长AD交BC于N，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∵BE＝2.5，∴BM＝2.5，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∵BC＝4，∴BN＝2，∴NM＝2.5﹣2＝0.5，∴DM＝2NM＝1∴DE＝EM﹣DM＝2.5﹣1＝1.5．故选：B．10．解：连接BB′，如图：由旋转可知：PB＝PB′，∠BPB′＝90°，∴∠PBB′＝45°，∴BB′＝PB，∴＝，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠PBB′，∴∠ABB′＝∠CBP，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴△ABB′∽△CBP，∴＝＝，∴AB'＝CP，∵PC≤CD+DP＝2+1，∴点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大，∴AB′≤（2+1）＝4+，∴AB′的最大值为4+．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：移项得：2x＞﹣4，解得：x＞﹣2，故答案为：x＞﹣212．解：∵∠ACB＝90°，∴BC2+AC2＝AB2，即S+9＝12，解得S＝3．故答案为：3．13．解：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC＝4，AC＝DE＝7，∴CE＝AC﹣AE＝7﹣4＝3，故答案为：3．14．解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（16﹣5）÷2＝5.5（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是16﹣5×2＝6（cm），能够组成三角形．故该等腰三角形的底边长为：5或6cm．故答案为：5或6．15．解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．16．解：∵△ABC≌△EDC，∴∠1＝∠EDC，∵∠C＝90°，∴∠EDC+∠E＝90°，∴∠1+∠E＝90°，故答案为：90．三．解答题（共7小题，满分66分）17．解：如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC．18．解：（1）两边都加上3可得x＜4；（2）两边都减去3x，得：x≥﹣1；（3）两边都减去2，得：﹣x＞3，两边都乘以﹣3，得：x＜﹣9；（4）两边都加上9，得：﹣3x＞9，两边都除以﹣3，得：x＜﹣3．19．（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BE．∵AD是△ABC的角平分线，∴CD＝DE，∴CD＝BE；（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC．∵由（1）知CD＝BE，∴AB＝AE+BE＝AC+CD．20．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴△ADC是等腰三角形．21．解：（1）∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．（2）由（1）得△ABE≌△CAD，在Rt△BPQ中，∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∵PQ＝3，∴BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴BE＝BP+PE＝7，∴AD＝BE＝7．22．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠BAD＝∠EDA，∴AE＝ED；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠BDE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∵∠BAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝DE，∵AE＝ED，∴DE＝BE＝AE，∵AB＝AE+BE＝5，∴DE＝2.5．23．解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝30°，∵∠EBC＝∠D+∠BED，∴∠D＝∠BED＝30°，∴BD＝BE＝AE．故答案为：＝；（2）结论：AE＝BD．理由如下：如图2中，作EF∥BC交AC于F．∵∠AEF＝∠B＝60°，∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，∴∠EFC＝∠DBE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，且∠DBE＝∠EFC，BE＝CF，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD＝EF＝AE，∴BD＝AE，故答案为：＝；（3）如图3中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠CEF，∠ABC＝∠AEF＝60°，∠ACB＝∠AFE＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF＝3，∴BE＝CF，∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∴∠EDC＝∠CEF，且BE＝CF，∠F＝∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△DBE≌△EFC（AAS）∴BD＝EF＝3，∴CD＝DB+BC＝3+2＝5．。
2022-2023学年八年级数学上学期期中考前必刷卷含答案解析(人教版)(三)
2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03数学（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2022·浙江丽水·八年级期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列各线段能构成三角形的是（ ） A ．7cm 、5cm 、12cm B ．6cm 、7cm 、14cm C ．9cm 、5cm 、11cmD ．4cm 、10cm 、6cm3．（2022·河南·漯河市第二实验中学八年级期末）如图所示，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒4．（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，在ABC 中，A m ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A ，得22015A A BC ∠∠和2015A CD ∠的平分线交于点2016A ，则2016A ∠为多少度？（ ）A ．20132m B ．20142m C ．20152m D ．20162m5．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）如图，A B C D E F G H I J ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒6．（2022·山东威海·七年级期末）已知点P 是直线l 外一点，要求过点P 作直线l 的垂线PQ ．下列尺规作图错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022·山东聊城·八年级期末）已知如图，在∠ABC 中，∠ACB 是钝角，依下列步骤进行尺规作图： （1）以C 为圆心，CA 为半径画弧；（2）以B 为圆心，BA 为半径画弧，交前弧于点D ； （3）连接BD ，交AC 延长线于点E明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．∠ABC ＝∠CBEB ．BE ＝DEC ．AC ∠BDD ．S △ABC ＝12AC •BE8．（2020·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，DE ∠AB 于点E ，DF ∠BC ，且BD =FC ，BE =DC ，∠AFD =155°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°9．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端A ，B 的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC AC =，EC BC =，最后测出DE 的长即为A ，B 的距离．明明：如图②，先过点B 作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C ，D 两点，使BC CD =，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于点E ，则测出DE 的长即为A ，B 的距离．聪聪：如图③，过点B 作BD AB ⊥，再由点D 观测，在AB 的延长线上取一点C ，使∠=∠BDC BDA ，这时只要测出BC 的长即为A ，B 的距离． 以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）A ．乐乐和明明B ．乐乐和聪聪C ．明明和聪聪D ．三人的方案都可行10．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在ABC 中，CAB ∠和CBA ∠的角平分线相交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，若PAB △，PAC △，PBC 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则有（ ）A ．123S S S <+B ．123S S S =+C ．123S S S >+D ．1232S S S =+11．（2022·重庆沙坪坝·七年级期末）如图，在Rt∠ABC 中，90ABC ∠=，45C ∠=，点E 在边BC 上，将∠ABE 沿AE 翻折，点B 落在AC 边上的点D 处，连结DE 、BD ，若5BD =．下列结论：①AE 垂直平分BD ；②112.5CEA ∠=︒；③点E 是BC 的中点；④∠CDB 的周长比∠CDE 的周长大5．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2022·云南红河·八年级期末）如图，在等边ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB EF +存在最小值，则这个最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．813．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AB 上的点，且BE ＝CD ，AD 与CE 相交于点F ，连接BF ，延长FE 至G ，使FG ＝F A ，若∠ABF 的面积为m ，AF ：EF ＝5：3，则∠AEG 的面积是（ ）A ．25mB ．13mC ．38mD ．35m14．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．过点A 作AF //BC 且AF AD =，点E 是AC 上一点且AE AB =，连接EF ，DE ，连接FD 交BE 于点G ．下列结论中正确的有（ ）个．①FAE DAB ∠=∠；②BD EF =；③FD 平分AFE ∠；④ABDE ADEF S S =四边形四边形；⑤BD GE =A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC ＝AE ，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使∠ABC ∠∠ADE ．（只写出一种即可）16．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．17．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期中）如图，12l l ∥，点D 是BC 的中点，若∠ABC 的面积是10cm 2，则∠BDE 的面积是_______cm 2．18．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图所示，∠B 0C = 10°，点A 在OB 上，且OA = 1，按下列要求画图:以点A 为圆心、1为半径向右画弧交OC 于点1A 得到第1条线段1AA ；再以点1A 为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得到第2条线段12A A ；再以点2A 为圆心、1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得到第3条线段23A A …这样画下去，直到得到第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n = _________ .三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·河南·安阳市第五中学八年级期中）如图，AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，若∠B =42°，∠C =72°，求∠AEC 和∠DAE 的度数．20．（2022·四川眉山·七年级期末）点C 为BD 上一点，△ABC ∠△CDE ，AB =1，DE =2，∠B =110°．(1)求BD 的长； (2)求∠ACE 的度数．21．（2022·上海市曹杨第二中学附属学校七年级期末）如图，ABC 中，AB AC =，且D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点，BE CF =，DEF B ∠=∠，点G 是DF 的中点，猜想EG 和DF 的位置关系，并说明理由．22．（2021·贵州毕节·八年级期末）如图所示，在ABC 中，8AB =，4AC =，点G 为BC 的中点，DG BC ⊥交BAC ∠的平分线AD 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ．(1)求证：BE CF =； (2)求AE 的长．23．（2020·福建龙岩·八年级期末）如图，射线OK 的端点O 是线段AB 的中点，请根据下列要求作答：（1）尺规作图：在射线OK 上作点C D ，，连接AC BD ，，使=AC BD ＞12AB ；（2）利用（1）中你所作的图，求证：ACO BDO ∠=∠．24．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，∠ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)当运动时间为t 秒时，BQ 的长为 厘米，BP 的长为 厘米．（用含t 的式子表示） (2)当t 为何值时，∠PBQ 是直角三角形；(3)如图2，连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．25．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．(3)在（2）的条件下，若40GHCS=，CE =15，请直接写出BF 的长．26．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，l 是过点C 的任意一条直线，过A 作AD ∠l 于D ，过B 作BE ∠l 于E ．(1)求证：△ADC ∠△CEB ；(2)如图②延长BE 至F ，连接CF ，以CF 为直角边作等腰Rt FCG ，90FCG ∠=︒，连接AG 交l 于H ．试探究BF 与CH 的数量关系．并说明理由；2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03（人教版2022）数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14B C B D B B A D D A C B A D1．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意故选：C【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：根据题意，如图：︒-︒-︒=︒，根据三角形内角和定理，第一个三角形中边长为b的对角为：180606555∠图中的两个三角形是全等三角形，∠第一个三角形中边长为b 的对角等于第二个三角形中的∠α， ∠∠α=55︒． 故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4．D【分析】先根据角平分线的定义以及三角形外角的性质证明112A A ∠=∠，同理211124A A A ==∠∠∠，321128A A A ==∠∠∠，4311216A A A ==∠∠∠，由此得出规律11122n n n A A A -==∠∠∠，从而得到答案．【详解】解：∠ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，∠1122ACD ACD ABC A BC ==∠∠，∠∠， ∠111A ABC ACD A A BC ACD +=+=∠∠∠，∠∠∠， ∠1122A A BC ACD +=∠∠∠，111222A A BC ACD ∠+∠=∠， ∠112A A ∠=∠，同理211124A A A ==∠∠∠，321128A A A ==∠∠∠，4311216A A A ==∠∠∠，，∠11122n n n A A A -==∠∠∠，∠201620162016122m A A ==∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 5．B【分析】先根据三角形的外角性质可得1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=，12345∠+∠+∠+∠+∠正好是五边形的外角和为360︒． 【详解】解：如图：∠1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=，12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒，∠360A B C D E F G H I J ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的外角和，解题的关键是得出1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=．6．B【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可． 【详解】A 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，∠AP =BP ，AQ =BQ ，∠点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的垂直平分线上， ∠ 直线PQ 垂直平分线线段AB ，即直线l 垂直平分线线段PQ ， 本选项不符合题意；B 、B 选项无法判定直线PQ 垂直直线l ，本选项符合题意；C 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，∠AP = AQ ，BP =BQ ，∠点A 在线段PQ 的垂直平分线上，点B 在线段PQ 的垂直平分线上， ∠ 直线AB 垂直平分线线段PQ ，即直线l 垂直平分线线段PQ ， 本选项不符合题意；D、如图，连接AC、BC、DP、PQ，∠AC=BC，AD=BD，∠点C在线段AB的垂直平分线上，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ 直线CD垂直平分线线段AB，∠390∠=︒由作图痕迹可知：12∠=∠，∠CD PQ，∠4390∠=∠=︒∠PQ∠AB，本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键．7．A【分析】根据作图得到AC=CD，AB=BD，证明∠ABC∠∠DBC，从而得到结论．【详解】解：由作图可知：AC=CD，AB=BD，∠BC=BC，∠∠ABC∠∠DBC（SSS），∠∠ABC=∠CBE，无法证明其余三个选项的结论，故选A．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．D【分析】证明Rt △FDC ∠Rt △DEB （HL ），由全等三角形的性质得出∠DFC ＝∠EDB ＝25°，即可得出答案．【详解】解：∠∠AFD ＝155°， ∠∠DFC ＝25°， ∠DF ∠BC ，DE ∠AB ， ∠∠FDC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △FDC 和Rt △DEB 中，CF BD CD BE =⎧⎨=⎩，∠Rt △FDC ∠Rt △DEB （HL ）， ∠∠DFC ＝∠EDB ＝25°，∠∠EDF ＝180°−∠BDE −∠FDC ＝180°−25°−90°＝65°． 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9．D【分析】在三个图中分别证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：在∠ABC 和∠DEC 中，DC ACDCE ACB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC ∠∠DEC （SAS ）， ∠AB =DE ，故乐乐的方案可行； ∠AB ∠BF ， ∠∠ABC =90°， ∠DE ∠BF ， ∠∠EDC =90°， 在∠ABC 和∠EDC 中，ABC EDC BC CDACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC ∠∠EDC （ASA ）， ∠AB =ED ，故明明的方案可行； ∠BD ∠AB ， ∠∠ABD =∠CBD ， 在∠ABD 和∠CBD 中，ABD CBD BD BDBDC BDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠CBD （ASA ）， ∠AB =BC ，故聪聪的方案可行， 综上可知，三人方案都可行， 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．A【分析】过P 点作PD AB ⊥于D PE BC ⊥，于E PF AC ⊥，于F ，先根据角平分线的性质得到PD PE PF ==，再利用三角形面积公式得到123111222S AB PD S AC PF S BC PE =⋅=⋅=⋅，，，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断．【详解】解：过P 点作PD AB ⊥于D PE BC ⊥，于E PF AC ⊥，于F ，如图，CAB ∠和CBA ∠的角平分线相交于点P ，PD PF PD PE ∴==，，PD PE PF ∴==，123111222S AB PD S AC PF S BC PE =⋅=⋅=⋅，，， AB AC BC <+，123S S S ∴<+．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．11．C【分析】根据翻折后图形大小不变，三角形的外角和，三角形周长，即可判断出正确．【详解】∠ADE 是ABE △翻折而得的∠AB AD =，BAE DAE ∠=∠∠AE 垂直平分BD故①正确；∠Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒∠45BAC ∠=︒ ∠122.52CAE BAE BAC ∠=∠=∠=︒ ∠BAE ABC CEA ∠+∠=∠∠22.590112.5CEA ∠=︒+︒=︒故②正确；∠ADE 是ABE △翻折而得的∠BE DE =，90ADE ∠=︒∠90EDC ∠=︒∠45C ∠=︒∠45CED ∠=︒∠DE DC =∠DC DE BE ==，但BE CE ≠∠E 不是BC 的中点故③错误；∠55CDB C DC BC BD DC BE EC DC DE EC =++=+++=+++CDE C DC DE EC =++∠5CDB CDE C C -=故④正确．故正确的结论的是：①②④．故选：C ．【点睛】本题考查翻折的性质和三角形的知识，解题的关键是掌握翻折的性质，三角形外角和定理，三角形周长等．12．B【分析】先连接CE ，再根据EB =EC ，将FE +EB 转化为FE +CE ，最后根据两点之间线段最短，求得CF 的长，即为FE +EB 的最小值．【详解】解：如图，连接CE ，∠等边∠ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠AD 是BC 边上的高线，即AD 垂直平分BC ，∠EB =EC ，∠BE +EF =CE +EF ，∠当C 、F 、E 三点共线时，EF +EC =EF +BE =CF ，∠等边∠ABC 中，F 是AB 边的中点，∠AD =CF =6，即EF +BE 的最小值为6．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．13．A【分析】先根据SAS 定理证出ACD CBE ≅，从而可得60AFG =︒∠，根据等边三角形的判定可得AFG 是等边三角形，再根据SAS 定理证出ACF ABG ≅，从而可得60BGC BAC AFG ∠=∠=︒=∠，根据平行线的判定可得AF BG ∥，从而可得AFG ABF S S m ==，然后根据:5:3AF EF =可得:2:5EG FG =，最后根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：∠ABC 是等边三角形，∠,60BC AC AB ACB CBA BAC ==∠=∠=∠=︒，在ACD △和CBE △中，BC AC ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ACD CBE ≅，∠CAD BCE ∠=∠，∠60BCE ACE ACB ∠+∠=∠=︒，∠60AFG CAD ACE BCE ACE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∠FG FA =，∠AFG 是等边三角形，,60AF AG FAG ∴=∠=︒，BAC BAD FAG BAD ∴∠-∠=∠-∠，即CAF BAG ∠=∠，在ACF 和ABG 中，AC AB CAF BAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACF ABG ∴≅，ACF ABG ∴∠=∠，又AEC BEG ∠=∠，60BGC BAC ∴∠=∠=︒，BGC AFG ∴∠=∠，AF BG ∴∥，AFG ABF S S m ∴==（同底等高），∠:5:3AF EF =，FG FA =，∠:5:3FG EF =，∠:2:5EG FG =，∠:2:5AEG AFG SS =， ∠2255AEG AFG S S m ==， 即AEG △的面积为25m ， 故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．14．D【分析】由“SAS ”可证∠ABD ∠∠AEF ，利用全等三角形的性质判断可求解．【详解】解：∠AD ∠BC ，AF ∠BC ，∠AF ∠AD ，∠∠F AD =∠BAC =90°，∠∠F AE =∠BAD ，故①正确；在∠ABD 和∠AEF 中，AB BE BAD EAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠AEF （SAS ），∠BD =EF ，∠ADB =∠AFE =90°，故②正确；∠AF =AD ，∠DAF =90°，∠∠AFD =45°=∠EFD ，∠FD 平分∠AFE ，故③正确；∠∠ABD ∠∠AEF ，∠S △ABD =S △AEF ，∠S 四边形ABDE =S 四边形ADEF ，故④正确；如图，过点E 作EN ∠EF ，交DF 于N ，∠∠FEN =90°，∠∠EFN =∠ENF =45°，∠EF =EN =BD ，∠END =∠BDF =135°，在∠BGD 和∠EGN 中，BDG ENG BGD EGN BD NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BDG ∠∠ENG （AAS ），∠BG =GE ，故⑤正确，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）【分析】根据等式的性质可得∠BAC ＝∠DAE ，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∠∠1＝∠2，∠∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∠∠BAC ＝∠DAE ，∠AE ＝AC ，∠再添加AB ＝AD ，利用“SAS”可以证明∠ABC ∠∠ADE ；添加∠B ＝∠D ，利用“AAS” 可以证明∠ABC ∠∠ADE ；添加∠C ＝∠E ，利用“ASA” 可以证明∠ABC ∠∠ADE ．故答案为：∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 16．6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =∠=∠=∠，再根据三角形的内角和定理可得30CBE ∠=︒，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠， ED 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ABE A ∴∠=∠，ABE CBE A ∴∠=∠=∠，又90C ∠=︒，90ABE CBE A ∴∠+∠+∠=︒，解得30CBE ∠=︒，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，在Rt BCE 中，90C ∠=︒，30CBE ∠=︒，2BE CE ∴=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．17．5【分析】利用平行线之间的距离相等可得∠ABC 和∠BDE 的高相等，再根据点D 是BC 中点可得∠ABC 的面积是∠BDE 面积的2倍，从而可得结果．【详解】解：∠12l l ∥，∠∠ABC 和∠BDE 的高相等，∠点D 为BC 中点，10ABC S =△cm 2，∠S △ABC=2S △BDE =10cm 2，∠S △BDE =5cm 2，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，利用平行线之间的距离处处相等得出∠ABC 和∠BDE 的高相等是解题的关键．18．8【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得1A AB ∠的度数，21A AC ∠的度数，32A A B ∠的度数，43A A C ∠的度数，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．【详解】解：由题意可知：1121,AO A A A A A A ==，…；则111212AOA OA A A AA A A A ∠=∠∠=∠，，…； ∠∠BOC =10°，∠12 20A AB BOC ∠=∠=︒，同理可得21324354 30 40 50 60A AC A A B A A C A A B ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，，，， 65768770 8090A A C A A B A A C ∠=︒∠=︒∠=︒，，，∠第9个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∠最多能画8条线段；故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．19．∠AEC =75°，∠DAE =15°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线的定义得到∠BAE =∠CAE =12∠BAC =33°，根据三角形的外角性质求出∠AEC ，根据直角三角形的性质求出∠DAE ．【详解】解：∠∠BAC +∠B +∠C =180°，∠B =42°，∠C =72°，∠∠BAC =66°，∠AE 平分∠BAC ，∠∠BAE =∠CAE =12∠BAC =33°， ∠∠AEC =∠B +∠BAE =75°，∠AD ∠BC ，∠∠ADE =90°，∠∠DAE =90°-∠AEC =15°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．20．(1)BD 的长为3；(2)∠ACE 的度数为110°．【分析】（1）利用全等三角形的性质得到CD =AB =1，BC =DE =2，据此即可求得BD 的长；（2）利用全等三角形的性质得到∠ECD =∠A ，再利用三角形的外角性质即可求解．（1）解：∠△ABC ∠△CDE ，AB =1，DE =2，∠CD =AB =1，BC =DE =2，∠BD =BC +CD =2+1=3；（2）解：∠△ABC ∠△CDE ，∠∠ECD =∠A ，∠∠ACD =∠ACE +∠ECD =∠A +∠B ，∠∠ACE =∠B =110°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．21．EG 垂直平分DF ，理由见解析【分析】根据题意，证明BDE ∠CEF △可得ED EF =，根据等腰三角形三线合一，结合G 是DF 的中点，即可得证．【详解】EG 垂直平分DF ，理由如下：AB AC =，B C ∴∠=∠，DEC B BDE DEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEF B ∠=∠，BDE CEF ∴∠=∠，在BDE 和CEF △中，B C BDE CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDE ∴∠()CEF AAS ，ED EF ∴=， 又点G 是DF 的中点，EG ∴垂直平分DF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明BDE ∠CEF △是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）如图所示，连接BD ，CD ，先利用SAS 证明∠BGD ∠∠CGD 得到BD =CD ，再由角平分线的性质得到DE =DF ，即可利用HL 证明Rt ∠DEB ∠Rt ∠DFC 则BE =CF ；（2）证明Rt ∠ADE ∠Rt ∠ADF （HL ），得到AF =AE ，由（1）得BE =CF ，则AE =AF =AC +CF ，据此求出BE 的长，即可求出AE 的长．（1）解：如图所示，连接BD ，CD ，∠G 是BC 的中点，DG ∠BC ，∠BG =CG ，∠BGD =∠CGD =90°，又∠DG =DG ，∠∠BGD ∠∠CGD （SAS ），∠BD =CD ，∠AD 平分∠BAC ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠DE =DF ，∠DEB =∠DFC =90°，又∠DB =DC ，∠Rt ∠DEB ∠Rt ∠DFC （HL ），∠BE =CF ；（2）解：在Rt ∠ADE 和Rt ∠ADF 中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ADE ∠Rt ∠ADF （HL ），∠AF =AE ，由（1）得BE =CF ，∠AE =AF =AC +CF ，∠AB =AE +BE =AC +CF +BE =AC +2BE ，∠AB =8，AC =4，∠BE =2，∠AE =AB -BE =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据尺规作图的步骤作图即可；（2）延长CO 至点E 使得OE OC =，连接BE ，先证明AOC BOE ∆≅∆，再证明∠DBE 是等腰三角形即可.【详解】（1）如图1,AC BD 、即为所求.（2）如图2，延长CO 至点E 使得OE OC =，连接BE∠O AB 点为线段的中点，=OA OB ∴，AOC BOE ∆∆在和中，∠=OC OE AOC EOB OA OB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，AOC BOE ∴∆≅∆，,AC BE ACO OEB ∴=∠=∠，AC BD =又，BE BD ∴=，BDO OEB ∴∠=∠，ACO BDO ∴∠=∠.【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形，解题的关键是做辅助线把所证的角或线段放到两个全等的三角形中.24．(1)t ，（6﹣t ）；(2)2或4；(3)∠CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米；（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；（3）只需要证明△ABQ∠△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM ＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化．（1）解：∠点P、Q的速度都为1厘米/秒．∠BQ＝t厘米，AP＝t厘米，∠BP=AB-AP=（6-t）厘米，故答案为：t，（6﹣t）；（2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，①如图1，当∠PQB＝90°时，∠△ABC是等边三角形，∠∠B＝60°，∠∠BPQ＝30°，∠PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，∠∠B＝60°，∠∠BQP＝30°，∠BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），解得，t=4，∠当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形；（3）解：∠CMQ 不变，理由如下：∠△ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠ABC =∠CAB =60°，在△ABQ 与△CAP 中，60AB CA B CAP AP BQ t =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∠△ABQ ∠△CAP （SAS ），∠∠BAQ ＝∠ACP ，∠∠CMQ ＝∠ACP +∠CAM ＝∠BAQ +∠CAM ＝∠BAC ＝60°，∠∠CMQ 不会变化．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．24．(1)26P ∠=︒ (2)①12P B D ∠=∠+∠（），理由见解析； ②1180()2P B D ∠=︒-∠+∠； ③190+()2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P +∠3=∠1+∠ABC ，∠P +∠2=∠4+∠ADC ，相加得到2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，继而得到2∠P =∠ABC +∠ADC ，代入数据得∠P 的值；（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P AD +∠P =∠PCD +∠D ，∠P AB +∠P =∠4+∠B ，分别用∠2，∠3表示出∠P AD 和∠PCD ，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP +∠P +∠4+∠B =360°，∠2+∠P +∠PCD +∠D =360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP 和∠PCD ，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∠2+∠P =∠PCD +∠D ，分别用∠2，∠3表示出∠BAD 、∠BCD 和∠PCD ，再整理即可得解；（1）解：∠AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的结论得：∠P +∠3=∠1+∠ABC ①，∠P +∠2=∠4+∠ADC ②，①+②，得2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC，∠2∠P =∠ABC +∠ADC，∠∠P =12（∠ABC +∠ADC ）=12（36°+16°）=26°．（2）12P B D ∠=∠+∠（），理由如下： ①∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠P AD +∠P =∠PCD +∠D ③，∠P AB +∠P =∠4+∠B ④，∠∠P AB =∠1，∠1=∠2，∠∠P AB =∠2，∠∠P AD=∠P AB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∠∠2+∠P =∠3+∠B ⑤，③+⑤得∠2+∠P +∠P AD +∠P =∠3+∠B +∠PCD +∠D ，∠∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D 即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∠12P B D∠=∠+∠（）．②11802P B D∠=︒-∠+∠（），理由如下：如图4，∠AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°∠2∠P+∠B+∠D=360°，∠11802P B D∠=︒-∠+∠（）；③1902P B D∠=︒+∠+∠（），理由如下：如图5，∠AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∠∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P ﹣∠B =180°+∠D， ∠1902P B D ∠=︒+∠+∠（）．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．26．(1)证明见解析(2)2BF CH =，理由见解析(3)323【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC CEB ∠=∠=︒，从而可得90DAC DCA ∠+∠=︒，再根据90ACB ∠=︒可得DAC ECB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得证；（2）作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，先根据ASA 定理证出ACM CBF ≅△△，根据全等三角形的性质可得,CM BF AM CF ==，从而可得AM GC =，再根据ASA 定理证出AMH GCH ≅△△，根据全等三角形的性质可得MH CH =，由此即可得出结论； （3）先根据ADC CEB ≅可得15AD CE ==，再根据AMH GCH ≅△△可得40G AMH HC S S ==△，利用三角形的面积公式可得163MH =，然后根据MH CH =，2BF CH =即可得出答案．（1）证明：,AD DE BE DE ⊥⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，90DAC DCA ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90ECB DCA ∴∠+∠=︒，DAC ECB ∴∠=∠，在ADC 和CEB △中，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADC CEB ∴≅△△．（2）解：2BF CH =，理由如下：如图，作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，180MAC ACG ∴∠+∠=︒，3603609090180ACG BCF ACB FCG ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，MAC BCF ∠=∠∴，90ACM BCE ∠+∠=︒，90BCE CBF ∠+∠=︒，ACM CBF =∠∴∠，在ACM △和CBF 中，MAC FCB AC CB ACM CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ACM CBF ∴≅△△，,CM BF AM CF ∴==，Rt FCG 是等腰直角三角形，CF GC ∴=，AM GC ∴=，又AM CG ∥，MAH CGH ∴∠=∠，AMH GCH ∠=∠，在AMH 和GCH △中，MAH CGH AM GC AMH GCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMH GCH ≅△△，MH CH ∴=，2BF CM CH ∴==．（3）解：如图，作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，ADC CEB ≅△△，15CE =，15AD CE ∴==，AMH GCH ≅△△，40GHC S =， 40G AMH HC S S ∴==△，0124AD MH ∴⋅=，即420115MH =⨯， 解得163MH =， 又MH CH =，2BF CH =，3223BF MH ∴==． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的定义，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．。
2022-2023学年浙教新版八年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2022-2023学年浙教新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列银行图标中，属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ）A．1种B．2种C．3种D．4种3．已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）A．2a＜2b B．﹣5a＜﹣5bC．a﹣2＜b﹣2D．1.2+a＜1.2+b4．已知下列命题，其中真命题的个数（ ）（1）27的立方根是﹣3；（2）有理数与数轴上的点一一对应；（3）平方根是它本身的数有±1和0；（4）同位角相等；（5）等腰三角形两腰上的高相等；（6）若a2＝b2，则a＝b．A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，以下结论正确的是（ ）A．BC＝2AD B．AF＝AB C．AD＝CD D．BE＝CF6．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）A．4种B．3种C．2种D．1种7．已知平面直角坐标系上的动点A（x，y），满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣2≤a≤3，有下列四个结论：①﹣3≤x≤7 ②﹣2≤y≤0 ③0≤x+y≤5 ④若x≤0，则0≤y≤3．其中正确的结论是（ ）A．①③B．①②C．②④D．③④8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，那么BD等于（ ）A．6B．4C．3D．29．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和15，则b的面积为（ ）A．8B．22C．24D．2610．[问题背景]①如图1，CD为△ABC的中线，则有S△ACD＝S△BCD；②如图2，将①中的∠ACB特殊化，使∠ACB＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB＝2CD；[问题应用]如图3，若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CG⊥BG，若AG×BC＝16，则△BGC面积的最大值是（ ）A．2B．8C．4D．6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．如果有序数对（a，b）表示某栋楼房中a层楼b号房，那么有序数对（3，2）表示该栋楼房中的 层楼 号房，小明家在该栋楼的26层楼5号房，用有序数对表示为 ．12．“等角对等边”的逆命题是 ．13．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线．（1）若BO＝3cm，则AC＝ cm；（2）若BO＝6.5cm，AB＝5cm，则BC＝ cm．14．等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为84°，则等腰三角形的顶角大小为 ．15．有一条铁丝长a米，用去了一半少b米（已知a＞2b），则铁丝还剩 米．16．已知，在△ABC中，AB＝，∠C＝22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如果DC＝2，那么BD的长为 ．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（6分）解不等式组：．18．（8分）已知点P（2a﹣1，3﹣a），且点P在第二象限．（1）求a的取值范围；（2）若点P到坐标轴的距离相等，求点P的坐标．19．（8分）如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，边长分别为a和6，点D在边EC上．（1）求阴影部分图形的面积．（用含a的代数式表示）（2）当a＝4时，计算阴影部分图形的面积．20．（10分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．求证：（1）点D为EF的中点；（2）AD⊥BC．21．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．22．（12分）如图，AE∥BC，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠ACD＝24°，求∠CAE的度数．23．（12分）已知：等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，直线l过点B，过点A作AD⊥l于D，连接CD．①填空：∠CAD+∠CBD＝ °；②求的值．（2）如图2，∠CEB＝45°，连接AE，求证：AE2＝2CE2+BE2．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．2．解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5．故选：C．3．解：根据不等式的性质可得：选项A：根据不等式的性质2，在a＜b的两边同时乘以2，可得2a＜2b，故A正确，不符合题意；选项B：根据不等式的性质3，在a＜b的两边同时乘以﹣5，可得﹣5a＞﹣5b，故B不正确，符合题意；选项C：根据不等式的性质1，在a＜b的两边同时减去2，可得a﹣2＜b﹣2，故C正确，不符合题意；选项D：根据不等式的性质1，在a＜b的两边同时加上1.2，可得1.2+a＜1.2+b，故D 正确，不符合题意；综上，只有选项B不正确．故选：B．4．解：27的立方根是3，故（1）中的命题是假命题；有理数与数轴上的点一一对应，故（2）中的命题是假命题；平方根是它本身的数只有0，故（3）中的命题是假命题；如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题；等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题；若a2＝b2，则a＝±b，故（6）中的命题是假命题；故选：D．5．解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AE＝EC＝AC，AB＝2BF＝2AF，BD＝DC＝BC，故A、C、D都不一定正确；B正确．故选：B．6．解：设租二人间x间，租三人间y间，则四人间客房7﹣x﹣y．依题意得：，解得：x＞1．∵2x+y＝8，y＞0，7﹣x﹣y＞0，∴x＝2，y＝4，7﹣x﹣y＝1；x＝3，y＝2，7﹣x﹣y＝2．故有2种租房方案．故选：C．7．解：∵x＝1+2a，∴a＝，而﹣2≤a≤3，∴﹣2≤≤3，∴﹣3≤x≤7，所以①正确；∵y＝1﹣a，∴a＝1﹣y，∴﹣2≤1﹣y≤3，∴﹣2≤y≤3，所以②错误；∵x+y＝1+2a+1﹣a＝2+a，∴a＝x+y﹣2，∴﹣2≤x+y﹣2≤3，∴0≤x+y≤5，所以③正确；当x≤0，则1+2a≤0，解得a≤﹣，∴﹣2≤a≤﹣，∴﹣2≤1﹣y≤﹣，∴≤y≤3，所以④错误．故选：A．8．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质可知：AD＝2CD＝2×2＝4，根据勾股定理可得：AC＝＝2，又知，∠B＝30°，则AB＝2AC＝4，则根据勾股定理可得：BC＝＝6，则BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4．故选：B．9．解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2＝7+15＝22，即S b＝22，则b的面积为22，故选：B．10．解：[问题背景]①如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵CD为△ABC的中线，∴AD＝BD，∵S△ACD＝AD×CH，S△BCD＝×BD×CH，∴S△ACD＝S△BCD；②延长CD至Q，使DQ＝CD，连接BQ，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDQ，CD＝DQ，∴△ACD≌△BQD（SAS），∴AC＝BQ，∠ACD＝∠Q，∴AC∥BQ，∴∠ACB＝∠CBQ＝90°，又∵BC＝BC，∴△ACB≌△QBC（SAS），∴CQ＝AB，∴AB＝2CD；[问题应用]∵点G为△ABC的重心，∴BE，AD是△ABC的中线，∴AE＝CE，CD＝DB，S△ACD＝S△ABC＝S△BCE，∴S△AEG＝S△BDG，∴S△AEG＝S△CEG＝S△CDG＝S△BDG，∴S△AGC＝2S△CDG，∴AG＝2GD，∵CG⊥BG，∴当GD⊥BC时，△BGC面积有最大值，∴△BGC面积的最大值＝×BC×GD＝×BC×AG＝4，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：根据题意有序数对（3，2）表示该栋楼房中的3层楼2号房，小明家在该栋楼的26层楼5号房，用有序数对表示为（26，5）．故答案为：3，2；（26，5）．12．解：“等角对等边”的逆命题为等边对等角．故答案为等边对等角．13．解：（1）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线，BO＝3cm，∴AC＝2BO＝6cm；（2）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线，BO＝6.5cm，∴AC＝2BO＝13cm，又∵AB＝5cm，∴BC＝＝＝12（cm）．故答案为6；12．14．解：设∠ABC＝∠C＝2x°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠A＝180°﹣4x°，①当∠ADB＝84°时，在△ABD中，x+180﹣4x+84＝180，解得：x＝28，∴∠A＝180°﹣4×28°＝68°；②当∠CDB＝84°时，∵∠CDB＝∠A+∠ABD，∴84＝180﹣4x+x，解得：x＝32，∴∠A＝180°﹣4×32°＝52°；综上所述：∠A的度数为52°或68°，故答案为：52°或68°．15．解：由题可得，铁丝还剩a﹣（a﹣b）＝a+b（米），故答案为：（a+b）．16．解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，∴AD＝CD＝2，∴∠ADB＝2∠C＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝，又∵AB＝，∴Rt△ABF中，BF＝＝1，∴BD＝BF+DF＝1+；②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，同理可得，△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝，又∵AB＝，∴Rt△ABF中，BF＝＝1，∴BD＝DF﹣BF＝﹣1；故答案为：+1或﹣1．三．解答题（共7小题，满分66分）17．解：，由①得：x≤2，由②得：x＜﹣3，∴不等式组的解集为x＜﹣3．18．解：（1）∵点P（2a﹣1，3﹣a），且点P在第二象限，∴，解得：a＜；（2）∵点P到坐标轴的距离相等，∴2a﹣1+3﹣a＝0，解得：a＝﹣2，故2a﹣1＝﹣5，3﹣a＝5，故点P的坐标为（﹣5，5）．19．解：（1）阴影部分图形的面积为：a2+62﹣a2﹣（a+6）×6＝a2﹣3a+18．（2）当a＝4时，原式＝×42﹣3×4+18＝8﹣12+18＝14．20．证明：（1）过点D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH，∵BF∥AC，DE⊥AC，∴BF⊥DF，∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，∴DF＝DH，∴DE＝DF，∴点D为EF的中点；（2）∵BF∥AC，∴∠C＝∠DBF，且∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△DCE≌△DBF（AAS）∴CD＝BD，∵BC平分∠ABF，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠C＝∠ABD，∴AC＝AB，且CD＝BD，∴AD⊥BC．21．解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．22．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∠ACD＝24°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180﹣90°﹣24°＝66°，∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠CAD＝66°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝66°．23．（1）解：①∵AD⊥l于D，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠CBD＝360°﹣∠ADB﹣∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故答案为：180；②如图1，延长DB至M，使BM＝AD，连接CM，由①可知，∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠CBM+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠CBM，在△CAD和△CBM中，，∴△CAD≌△CBM（SAS），∴CD＝CM，∠ACD＝∠BCM，∴∠BCM+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，即∠DCM＝90°，∴△CDM是等腰直角三角形，DM＝＝CD，∵DM＝BD+BM＝BD+AD，∴BD+AD＝CD，∴＝＝；（2）证明：如图2，过点C作CF⊥CE，使CF＝CE，连接EF、BF，则△CEF是等腰直角三角形，∴EF2＝CE2+CF2＝2CE2，∠CEF＝45°，∴∠BEF＝∠CEF+∠CEB＝45°+45°＝90°，∴BF2＝EF2+BE2＝2CE2+BE2，∵∠ACB＝90°，∠ECF＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECF+∠BCE，即∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴AE2＝2CE2+BE2．。
浙江省温州市实验中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案解析)
浙江省温州市实验中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若a b >，则下列式子中正确的是（）A ．22a b <B ．33a b -<-C ．33a b -<-D ．0a b -<3．如图，ABC DEF ≌△△，点,,,B E C F 在一条直线上．已知8,5BC EC ==，则CF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．不等式2x >-在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点．若70C ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒6．要说明命题“若a b >，则22a b >”是假命题，下列a ，b 的值能作为反例的是（）A ．21a b ==-，B ．12a b ==，C ．23a b =-=-，D ．32a b =-=，7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠= ，分别以,A B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点,M N ．过,M N 的直线分别交,AB AC 于点D ，E ．已知13CE AE =，ADE V 的面积为6，则ABC 的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．128．现有一直角三角形纸片，先将共一个侻角ABC ∠折叠（如图1），㑛点A 落在斜边BC 上的A '处，折痕与边AC 交于点D ．再将另一锐角DCB ∠折疘（如图2），使CD 也落在斜边上，折痕与A D '交于点P ，量得332DP A P '==，则点P 到CD 的距离为（）A ．4B ．3C ．2D ．329．如图，在Rt ABC △中，90,25ACB ABC ∠=∠= ，O 为斜边中点，将线段OA 绕点O逆时针旋转()090a α<< 至OP ，若CB CP =，则α的值为（）A ．80B ．65C ．50D ．4010．如图是一个卡通头像，其脸部是正方形ABCD ，帽子右侧是以AD 为斜边的Rt AFD △，帽子左侧是ABE ．若5,,60ABE ADF AE AF AE AF S S ==⊥+=△△，则正方形ABCD 的边长为（）A B C ．12D ．13二、填空题11．如图，ACD ∠是ABC 的一个外角，若110,45ACD B ∠=︒∠=︒，则A ∠=______．12．“x 的3倍与5的差不大于4”，用不等式表示为______．13．如图，在ABD △和ACE △中，,AB AC AD AE ==，若要证明ABD ACE ≌△△，还需要添加一个条件：______（写出一种即可）14．请写出“对顶角相等”这一命题的逆命题______．15．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆20cm OA OB ==，若衣架收拢时，60AOB ∠= ，则此时,A B 两点之间的距离为______cm ．16．定义新运算：1a b ab =-※，则不等式23x >-※的正整数解为______．17．如图，已知ABC ，点D 在BA 延长线上，且AB AC AD ==，点E 为BC 延长线上一点，连结DE ，过点A 作BC 的平行线交DE 于点F ，若120,5BCF DE ∠︒==，则CEF △的周长为______．三、解答题18．如图，门上针子P 处挂萡一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD ，则得10cm AB =，24cm AD =．如图1，当挂牌水平悬挂（即BC 与地面平行）时，测得挂绳20cm AP DP ==，此时点P 到BC 所在直线的距离为______cm ．将该门挂的挂绳长度缩短4cm 后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC 与地面平行，且点P D C 、、三点在同一直线上，则点B 的高度下降了______cm ．19．解不等式：()3151x x +<+．20．如图，在ABC 中，,CD BE 分别为,AB AC 上的高线，且CD BE =，,BE CD 相交于点O ．(1)求证：BDC CEB △≌△．(2)若5AB =，求AC 的长．21．如图，在88⨯正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上．(1)请在图中作出ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ''' ．(2)在线段A B ''上找一点P （点P 在格点上），使得ABP 为等腰三角形．22．如图，ABC 和EFC 为等腰直角三角形，90E ACB CF ︒=∠=∠，已知点E 在AB 上，连纳BF ．(1)求证：△≌△AEC BFC ．(2)苦1,105AE AEC =∠= ，求BE 的长．23．如图1，ABC 中，AB AC =，点N 为AC 中点，点D 为AB 上一点，连结CD ．已知::2:3:4,8BD AD CD CD ==．动点P 从点B 出发，以1个单位/秒的速度沿线段BA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t （秒）．(1)求证：CD AB ⊥．(2)若BPN △为等腰三角形时，求t 的值．(3)如图2，动点P 出发的同时，另有一点Q 从点D 出发沿线段DC 向终点C 运动，速度为13个单位/秒，连结,BQ PQ ，将线段,BQ PQ 绕点Q 分别向顺时针和逆时针方向旋转90 ，得到线段QE 和QF ，当,,E C F 三点共线时，直接写出t 的值为______．参考答案：1．B【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断，选择适合的选项即可．【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，为轴对称图形，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，能够根据定义判断出轴对称图形是解决本题的关键．2．C【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】A.,22a b a b >∴> ，故本选项不正确，不符合题意；B.a b > ，33a b \->-，故本选项不正确，不符合题意；C.a b > ，33a b ∴-<-，故本选项正确，符合题意；D.a b > ，0a b ∴->，故本选项不正确，不符合题意；故选择：C【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．3．B【分析】根据全等三角形的性质，找出相等的边，再求出CF 的长度即可．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，∴8BC EF ==，∴853CF EF EC =-=-=，故3CF =，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．4．A【分析】根据不等式在数轴上表示的方法，逐项分析即可．【详解】解：不等式为2x >-，故在数轴上对应2-的点标空心点，射线从2-对应的点出发向右无限延长，故A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查用数轴表示不等式的解集，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．5．A【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，然后由直角三角形两锐角互余得到9020CAD C ∠=︒-∠=︒，进而可求出BAD ∠的度数．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点∴AD BC ⊥，BAD CAD∠=∠∴9020CAD C ∠=︒-∠=︒∴20BAD CAD ∠∠︒==．故选：A ．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识点．6．C【详解】A.当a =2，b =-1时，满足a >b ，并满足a 2>b 2，所以不符合题意．B.当a =1，b =2时，不满足a >b ，也不满足a 2>b 2，所以不符合题意．C.当a =-2，b =-3时，满足a >b ，不满足a 2>b 2，符合题意．D.当a =-3，b =2时，不满足a >b ，满足a 2>b 2，不符合题意．故选：C【点睛】本题主要考查了命题的判定和证明及有理数乘方的计算，解题的关键是理解真假命题的定义，并通过代入数值判断出选项中可判断出命题为假命题的a ，b 值．7．B【分析】根据中垂线的性质找出全等得三角形，进而可以推出ABE 的面积，根据13CE AE =可推出BCE 的面积，进而可推出三角形ABC 的面积．【详解】解：连接EB ，由题意可知DE 为AB 的中垂线，∴ADE BED ≌，∵ADE V 的面积为6，∴BED 的面积为6，故ABE 的面积为12，∵13CE AE =，∴:3:1ABE BCE S S = ，∴1112433BCE ABE S S =⨯=⨯= ，∴41216ABC S =+= ，故选：B ．【点睛】本题考查中垂线的性质，等高模型，能够熟练掌握中垂线的性质是解决本题的关键．8．C【分析】过P 作PM CD ⊥与M ，根据将其一个锐角∠ABC 折叠，使点A 落在斜边BC 上的A '处，可得PA BC '⊥，根据将另一锐角DCB ∠折叠，使CD 也落在斜边BC 上，可得CP 是BCD ∠的平分线，即可得PM A P '=，而已知332A P '=，故2PM =，即点P 到CD 的距离为2．【详解】过P 作PM CD ⊥与M ，如图：∵将其一个锐角ABC ∠折叠，使点A 落在斜边BC 上的A '处，90BA D BAD '∴∠=∠=︒，PA BC '∴⊥，∵将另一锐角DCB ∠折叠，使CD 也落在斜边BC 上，∴DCP BCP ∠=∠，即CP 是BCD ∠的平分线，∵PA BC PM CD '⊥⊥，，∴PM A P '=，∵332A P '=，∴2A P '=，∴2PM =，即点P 到CD 的距离为2，故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．9．A【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OC OA OB ==，再证明BOC POC ≌，得BOC POC ∠∠=，便可求得结果．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，O 为斜边中点，∴OC OA OB ==，∴25OBC OCB ∠∠==︒，∴130BOC ∠=︒，由旋转知OA OP =，∴OB OP =，∵CB CP =，CO CO =，∴BOC POC ≌（SSS ），∴130BOC POC ∠∠==︒，∴18080BOC POC α=∠+∠-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，关键是证明三角形全等．10．D【分析】过点B 作BG EA ⊥，与EA 的延长线交于点G ，证明ABG ADF ≌得BG DF =，再跟进三角形面积之和为60，得出DF 的方程，求得DF ，最后跟进勾股定理求得结果．【详解】解：过点B 作BG EA ⊥，与EA 的延长线交于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∵AE AF ⊥，∴90FAG BAD ∠∠==︒，∴BAG FAD ∠∠=，在ABG 和ADF 中，90G F BAG DAF AB AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABG ADF ≌（AAS ），∴BG DF =，∵60ABE ADF S S == ，∴116022AE BG AF DF ⋅+⋅=，即11556022DF DF ⨯+⨯=，∴12DF =，∴13AD ===，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是构造全等三角形．11．65︒【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和解答即可．【详解】解：∵110,45ACD B ∠=︒∠=︒，ACD ∠是ABC 的外角，∴1104565A ACD B ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：65︒．【点睛】此题考查三角形的外角性质；关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．12．354x -≤##534x -+≤【分析】根据题意列不等式即可．【详解】解：根据题意可列不等式为：354x -≤，故答案为：354x -≤．【点睛】本题考查根据题意列不等式，能够根据题意正确的列出不等式是解决本题的关键．13．BD CE =，答案不唯一．【分析】已知两边相等，可以添加第三边或两边的夹角进行证明，添加BD CE =，可证()ABD ACE SSS ≌．【详解】解：BD CE =，在ABD △和ACE △中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD ACE SSS ∴ ≌．故答案为：BD CE =，答案不唯一．【点睛】本题考查了全等三角形的证明；熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．14．若两个角相等，则这两个角是对顶角【分析】把原命题的条件和结论互换即可得到它的逆命题【详解】命题：对顶角相等可以写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等，故逆命题为：若两个角相等，则这两个角是对顶角；故答案为：若两个角相等，则这两个角是对顶角【点睛】本题考查了互逆命题的概念，熟练掌握互逆命题的概念是解决问题的关键15．20【分析】根据有一个角是60︒的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．【详解】解：∵20cm OA OB ==，60AOB ∠= ，∴AOB 是等边三角形，∴20cm OA OB AB ===，故答案为：20．【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．16．1【分析】根据新定义得到123x ->-，解不等式求出答案即可．【详解】解：∵1a b ab =-※，∴由23x >-※得到123x ->-，解得2x <，∴不等式23x >-※的正整数解为1．故答案为：1【点睛】此题考查了新定义运算，根据新定义运算列出不等式，求出不等式的正整数解是解题的关键．17．7.5【分析】首先根据AB AC AD ==得到90DCE ∠=︒，然后证明出DFA DEB V V ∽，进而得到点F 是DE 的中点，最后证明出CFE 是等边三角形求解即可．【详解】∵AB AC AD==∴B ACB ∠=∠，ADC ACD∠=∠∵180B ACB ADC ACD ∠+∠+∠+∠=︒∴90ACB ACD ∠+∠=︒∴90DCE ∠=︒∵AF BE∥∴DFA DEBV V ∽∴12DF DA DE DB ==∴点F 是DE 的中点∴1 2.52FE FD FC DE ====∵120BCF ∠=︒∴18060FCE BCF ∠=︒-∠=︒∴CFE 是等边三角形∴CEF △的周长为 2.537.5CF CE EF ++=⨯=．故答案为：7.5．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判断，等边三角形的性质和判断等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．18．2621813⎛⎫- ⎝⎭【分析】（1）过点P 作PF BC ⊥于点F ，则PF 为所求，根据四边形ABCD 为矩形，可知PE AD ⊥，设垂足为F ，则20PA PD ==，PE AD ⊥，故124122AE DE ==⨯=，故在Rt APE中，16PE ===，故161026PF PE EF =+=+=（cm ）；（2）过点P 作PG ⊥水平面，垂足为G ，则AC 与底面平行，故DG AC ⊥与点H ，故过点B 作BI 垂直AC ，垂足为I ，由题可知202436PA PD +=⨯-=，则()1232PA PC PA PD DC ==++⋅=，在Rt ABC 中，26AC ==，根据PA PC PH AC =⊥，，可知1132AH AC ==，在Rt PAH 中，PH ===，根据1122ABC S AB BC AC BI =⋅=⋅ ，1110242622BI ⨯⨯=⨯⨯，则12013BI =（cm ），故12013PG PH HG PH BI =+=+=（cm ）．【详解】解：（1）过点P 作PF BC ⊥于点F ，则PF 为所求，∵四边形ABCD 为矩形，∴PE AD ⊥，∵20PA PD ==，PE AD ⊥，∴124122AE DE ==⨯=，在Rt APE 中，16PE ==，∴161026PF PE EF =+=+=（cm ），故答案为：26；（2）过点P 作PG ⊥水平面，垂足为G ，∴AC 与底面平行，∴PG AC ⊥与点H ，过点B 作BI 垂直AC ，垂足为I ，由题可知202436PA PD +=⨯-=，∴()1232PA PC PA PD DC ==++⋅=，在Rt ABC 中，26AC ==，∵PA PC PH AC =⊥，，∴1132AH AC ==，在Rt PAH 中，PH ===，∵1122ABC S AB BC AC BI =⋅=⋅ ，∴1110242622BI ⨯⨯=⨯⨯，12013BI =（cm ），∴12013PG PH HG PH BI =+=+=（cm ），120218261313PG PF -=-=（cm ），所以B 的高度下降了21813⎛⎫ ⎝⎭cm故答案为：21813⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，长方形的性质，能够根据题意构造合适的辅助线是解决本题的关键．19．1x >【分析】先去括号，再移项，再系数化1即可．【详解】解：()3151x x +<+3351x x +<+3513x x -<-22x -<-1x >，故不等式的解集为：1x >．【点睛】本题考查解一元一次不等式，能够熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．20．(1)证明见详解；(2)5AC =【分析】（1）CD ，BE 分别为AB ，AC 上的高得90BDC CEB ∠∠==︒，即可根据直角三角形全等得判定定理“HL ”证明Rt BDC Rt CEB ≌；（2）Rt BDC Rt CEB ≌，得ABC ACB ∠∠=，由“等角对等边”得5AC AB ==．【详解】（1）证明：∵CD ，BE 分别为AB ，AC 上的高，∴CD AB ⊥，BE AC ⊥，在Rt BDC 和Rt CEB 中，BC CB CD BE =⎧⎨=⎩，∴Rt BDC Rt CEB ≌（HL ）．（2）解：Rt BDC Rt CEB ≌，∴ABC ACB ∠∠=，∴5AC AB ==，∴AC 的长是5．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．21．(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）分别找到、、A B C 关于直线l 的对称点，然后顺次连接对称点即可；（2）ABC 与A B C ''' 关于直线l 成轴对称，且A B AB l '' ，故A B ''的中点即为所求．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点．22．(1)证明见详解；(2)BE【分析】（1）根据ABC 和EFC 为等腰直角三角形，90ACB ECF ∠=∠=︒，则AC BC =，EC FC =，90ACE BCF BCE ∠∠∠==︒-，由此可证△≌△AEC BFC （SAS ）；（2）作EG AC ⊥于点G ，求出30GCE ∠=︒，可得AG EG =，2CE EG =，根据222AG EG AE +=，可求2AG EG ==，进而可得CE2CG =，则22AC =+，利用勾股定理求出AB ，进而可求出BE 的长．【详解】（1）证明：∵ABC 和EFC 为等腰直角三角形，90ACB ECF ∠=∠=︒，∴AC BC =，EC FC =，90ACE BCF BCE ∠∠∠==︒-，AC BC ACE BCF EC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△AEC BFC （SAS ）；（2）作EG AC ⊥于点G ，则90AGE CGE ∠=∠=︒，∵105AEC ∠=︒，45A CBA ∠=∠=︒，18030GCE AEC A ∠∠∠=︒--=︒，∴AG EG =，2CE EG =，∵222AG EG AE +=，1AE =，∴22221AG EG ==，∴2AG EG ==，∴22CE =，∴2CG ==，∴AC AG CG =+=，∴1AB ===+⎝⎭∴11BE AB AE =-=-∴BE 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确的作出所需的辅助线是解题的关键．23．(1)证明见详解；(2)t的值为6514(3)485；【分析】（1）设2BD x =，3AD x =，4CD x =，则5AB x =，再利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）如图1中，，取AD 得中点H ，连接NH ，分两种情况：PB PN =，PB BN =，分别求解即可；（3）如图2中，过点E 作EK CD ⊥于点K ，过点F 作FJ DC ⊥交DC 的延长线于点J ，证得2BP CQ =，由此构建方程求解即可．【详解】（1）证明：设2BD x =，3AD x =，4CD x =，则5AB x =，∴5AC AB x ==，∴222225AD CD x AC +==，∴ACD 是直角三角形，∴CD AB ⊥；（2）如图1中，取AD 得中点H ，连接NH ，∵234BD AD CD =：：：：，8CD =，∴3BD =，6AD =，∵CD AB ⊥，∴10AB AC ===，∴AN CN =，142NH CD ==，437BH =+=，∴BN ===当PB PN =时，()22247t t =+-，∴6514t =，当BP BN =时，t =∵点P 在AB 上运动，∴不可能NB NP =，综上所述，满足条件的t 的值为6514（3）如图2中，过点E 作EK CD ⊥于点K ，过点F 作FJ DC ⊥交DC 的延长线于点J ，∵90EKQ BQE BDQ ∠∠∠===︒，∴90BQD EQK ∠∠+=︒，90EQK QEK ∠∠+=︒，∴BQD QEK ∠∠=，∵QB QE =，∴BQD QKE ≌（AAS ），∴QD EK =，BD KQ =，同理可证PDQ QJF ≌，∴DQ JF =，DP QJ =，∴EK FJ =，∵90EKC J ∠∠==︒，ECK FCJ ∠∠=，∴EKC FJC ≌（AAS ），∴CK CJ =，∴2QK JQ CQ CK CQ CJ CQ BD PD PB +=-++==+=，∴1283t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴485t =，故答案为：485．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，32．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．∠A＝∠C D．AD＝CD5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）A．2B．3C．D．8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）A．30°B．25°C．20°D．10°9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）A．B．C．D．二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 ．13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 ．14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ ．15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ ．16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF ＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ °．18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG 为等腰三角形且GA＝GC．21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠E ＝25°，∠EAC ＝100°，点F 是BC 的中点，连接AF ，求∠BAF 的度数．22．（10分）根据以下素材，探索完成任务探究纸伞中的数学问题素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP 是伞柄，伞骨AB ＝AC ，且AE＝AB ，AF ＝AC ，D 点为伞圈，DE ＝DF ．素材2伞圈D 能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D 滑动到D ′的位置，且A 、E 、D ′三点共线，测得AD ′＝50cm ，AE ＝20cm ，伞完全张开时∠BAC ＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）素材3项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D 点的正下方G 处，记为GH ，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN ＝150cm ．问题解决任务1判断AP 位置求证：AP 是∠BAC 的角平分线．任务2探究伞圈移动距离当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 移动的距离．任务3拟定撑伞方案求伞至少向下移动距离 cm ，使得人站在G 处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）23．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 是边AB 上一个动点，将△ACP 沿CP 对折得△A 'CP ．（1）则AC 的长为 ．（2）①当P 是AB 中点时，求证：∠CPB ＝2∠A '；②当AP 的长为多少时，A ′P 与△ABC 的一边平行？（3）设A ′C 与线段AB 相交于点D ，当CD ＝CB 时，则的值为 （直接写出答案）．2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，3【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不合题意；B、2+1＝3＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C、3+3＝6＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；D、3+2＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．故选：A．【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性，关键是根据三角形的稳定性解答．4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．∠A＝∠C D．AD＝CD【分析】由于∠ABD＝∠CBD，BD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴当添加AB＝CB时，△ABD≌△CBD（SAS），所以A选项不符合题意；当添加∠ADB＝∠CDB时，△ABD≌△CBD（ASA），所以B选项不符合题意；当添加∠A＝∠C时，△ABD≌△CBD（AAS），所以C选项不符合题意；当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°【分析】设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2＝3＝∠1+∠B＝78°，解出∠1即可．【解答】解：如图：∵m∥n，∴∠3＝∠2＝78°，∵∠3＝∠1+∠B，∴∠1＝∠3﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；故选：A．【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）A．2B．3C．D．【分析】连接AM，由作图可知，DE是AB的垂直平分线，有AM＝BM，故∠BAM＝∠B ＝15°，∠AMC＝30°，可得AM＝2＝BM，CM＝＝，从而BC＝CM+BM ＝+2．【解答】解：连接AM，如图：由作图可知，DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B＝15°，∴∠AMC＝30°，∵∠C＝90°，AC＝1，∴AM＝2＝BM，CM＝＝，∴BC＝CM+BM＝+2，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是根据已知得到DE是AB的垂直平分线，从而AM＝BM．8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）A．30°B．25°C．20°D．10°【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性质得到∠EFD＝∠D+∠DHF，由此求出∠D的度数，进而得到答案．【解答】解：延长EF交BD于H，∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF＝∠EFD＝∠D+∠DHF＝130°，∴∠D＝30°，故选：A．【点评】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）A．B．C．D．【分析】利用网格的特征和勾股定理求得△ABC的面积和线段AB的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：△ABC的面积＝3×4﹣2×24×13×3＝2＝5，AB＝＝，设AB边上的高为h，∴AB•h＝5，∴h＝5，∴h＝．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，分母有理化，本题是网格题，熟练掌握勾股定理和网格特征是解题的关键．10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）A．B．C．D．【分析】设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b，则由大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，可求出a，b，再求出S1，S2，即可解决问题．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b（不妨设a＜b），∴DQ＝BP＝EF＝b﹣a，HP＝b﹣（b﹣a）＝a，∵正方形ABCD的边长为，∴a2+b2＝74，①∵HP+BH＝12，∴a+b＝12，②解①②得：a＝5，b＝7，或a＝7，b＝5（舍去），∴PH＝CH＝5，QG＝DG﹣DQ＝5﹣（7﹣5）＝3，CG＝7，EF＝7﹣5＝2，∴四边形APCQ的面积为S1＝2×PH•CH+2×QG•CG+EF2＝52+3×7+22＝50，正方形ABCD的面积为S2＝74，∴＝＝，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算，弄清图中个量间的关系是解题的关键．二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，故答案为：真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 15 ．【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和6，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；当3为腰时，其它两边为3和6，因为3+3＝6，所以不能构成三角形，故舍去．所以答案只有15．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 76° ．【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D＝36°，∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．故答案为：76°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ 10 ．【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝5，从而进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴BC＝2BD，在Rt△ABD中，AD＝12，∴BD＝＝＝5，∴BC＝2BD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ 6cm ．【分析】先过点P作PG⊥AC，然后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明PG＝PF，同理再证明PE＝PG，最后根据EF＝PF+PE，求出答案即可．【解答】解：如图所示：过点P作PG⊥AC于点G，∵点P到AC的距离为3cm，∴GP＝3cm，∵EF⊥AB，∴∠AFP＝90°，∵AB∥CD，∴∠CEP+∠AFP＝180°，∴∠CEP＝180°﹣∠AFP＝90°，∴PE⊥CD，∵AP平分∠BAC，EF⊥AB，PG⊥AC，∴PF＝PG＝3cm，∵CP平分∠ACD，PE⊥CD，PG⊥AC，∴PE＝PG＝3cm，∴EF＝PF+PE＝3+3＝6cm，故答案为：6cm．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线和平行线的性质．16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF ＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．【分析】由勾股定理可求出BD的长，由HL证明Rt△ACD≌Rt△BFD，得到AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，证明出BE是AC边上的高，再利用面积法可求出BE的长．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△BFD中，∵BF＝10，DF＝6，∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵，BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，∴BE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ 30 °．【分析】设∠A＝x，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，再利用三角形的外角性质可得∠DEF＝2x，∠ADB＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEF＝∠DFE＝2x，从而利用三角形内角和定理可得∠EDF＝180°﹣4x，进而可得∠FDB＝6x﹣180°，最后利用等腰三角形的性质可得∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：设∠A＝x，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝x，∵BD＝CD，AE＝EF，∴∠A＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，∵∠DEF是△AEF的一个外角，∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DEF＝∠A+∠AFE＝2x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝2x，∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣4x，∴∠FDB＝∠ADB﹣∠EDF＝2x﹣（180°﹣4x）＝6x﹣180°，∵FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴∠A+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，∴x+x+6x﹣180°+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角的计算，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．【分析】先求出AE，OM，当支架调至E档时，可利用勾股定理求出AM，进而得到OE，M'E，过点M'作M'H⊥OA，利用勾股定理表示出M'H2列方程求出OH，进而可求出M'H即可．【解答】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm，∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，∴AE＝8cm，∵OK＝24cm，OM＝2MK，∴OM＝OM'＝16cm，设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm，在Rt△OAM中，由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2，即（x+8）2＝x2+162，解得x＝12，∴MA＝M'E＝OE＝12cm，过点M'作M'H⊥OA，设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm，由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2，即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2，解得y＝，∴M'H＝＝＝（cm）．答：支点M″到OA的距离为cm．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键．三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD＝CD，利用等边对等角证得结论即可．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG 为等腰三角形且GA＝GC．【分析】（1）根据全等三角形的判定可确定点P的位置．（2）连接DE，可知DE为线段AC的垂直平分线，则DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点即为所求的点G．【解答】解：（1）如图（甲），取格点P1，P2，P3，连接CP1，AP2，AP3，∵AB＝AP1，∠BAC＝∠P1AC＝60°，AC＝AC，∴△ABC≌△AP1C（SAS）．∵AB＝CP2，∠BAC＝∠P2CA＝60°，AC＝CA，∴△ABC≌△CP2A（SAS）．∵AB＝CP3，∠BAC＝∠P3CA＝60°，AC＝CA，∴△ABC≌△CP3A（SAS）．则点P1，P2，P3均满足题意．（2）如图（乙），连接DE，由题意可知，AD＝CD＝CE＝AE，∴四边形ADCE为菱形，∴DE垂直平分AC．取DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点G1，G2，由线段垂直平分线的性质可知，G1A＝G1C，G2A＝G2C．则点G1，G2均满足题意．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等相关知识点是解答本题的关键．21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，点F是BC的中点，连接AF，求∠BAF的度数．【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC得到∠CAE＝∠BAD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；（2）由已知条件可求出∠ACE，从而得到∠B的度数，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，从而可利用三角形内角和定理求出∠BAF的度数．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠E＝25°，∠EAC＝100°，∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝55°，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE＝55°，∴AB＝AC，点F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴∠BAF＝90°﹣∠B＝35°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．22．（10分）根据以下素材，探索完成任务探究纸伞中的数学问题素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP 是伞柄，伞骨AB ＝AC ，且AE＝AB ，AF ＝AC ，D 点为伞圈，DE ＝DF ．素材2伞圈D 能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D 滑动到D ′的位置，且A 、E 、D ′三点共线，测得AD ′＝50cm ，AE ＝20cm ，伞完全张开时∠BAC ＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）素材3项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D 点的正下方G 处，记为GH ，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN ＝150cm ．问题解决任务1判断AP 位置求证：AP 是∠BAC 的角平分线．任务2探究伞圈移动距离当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 移动的距离．任务3拟定撑伞方案求伞至少向下移动距离 60 cm ，使得人站在G 处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）【分析】（1）利用SSS 证明△ADE ≌△ADF 即可得到答案；（2）过点E 作EG ⊥AD 于点G ，求出AD 的长，即可利用DD '＝AD '﹣AD 求出答案；（3）设AG 与BC 交于点O ，与BM 交于点Q ，先求出BO ，可得NG ，再求出MN ，进而可求出QG ，即为问题的答案．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，AF ＝AC ，∴AE ＝AF ，在△ADE 和△ADF 中，，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠EAD＝∠FAD，∴AP是∠BAC的角平分线；（2）解：∵AD′＝50cm，AE＝20cm，∴DE＝DE'＝30cm，∵∠BAC＝120°，∴∠EAD＝60°，过点E作EG⊥AD于点G，如图，在Rt△AEG中，AG＝AE•cos∠EAG＝20•cos60°＝10（cm），EG＝AE•sin∠EAG＝20•sin60°＝10（cm），在Rt△DEG中，由勾股定理，得DG＝＝＝≈24.5（cm），∴AD＝AG+DG＝34.5（cm），∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣34.5＝15.5（cm），答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5cm；（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，∴NG＝BO＝30cm，在Rt△BMN中，BN＝150cm，∠BMN＝60°，∴MN＝＝＝50（cm），∴MG＝MN﹣NG＝50﹣30＝20（cm），在Rt△QGM中，QG＝MG•tan60°＝20•＝60cm，故答案为：60．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P是边AB上一个动点，将△ACP沿CP对折得△A'CP．（1）则AC的长为 8 ．（2）①当P是AB中点时，求证：∠CPB＝2∠A'；②当AP的长为多少时，A′P与△ABC的一边平行？（3）设A′C与线段AB相交于点D，当CD＝CB时，则的值为 （直接写出答案）．【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；（2）①根据直角三角形的性质得出AP＝PC＝PB，进而利用翻折的性质证明即可；②分两种情况AP'∥BC和AP'∥AC，利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可；（3）利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得，AC＝，故答案为：8；（2）①∵∠C＝90°，P是AB中点，∴AP＝PC＝PB，∴∠A＝∠ACP，∴∠CPB＝2∠A，由翻折的性质得，∠A＝∠A'，∴∠CPB＝2∠A'；②∵A′P与△ABC的一边平行，当A'P∥AB时，因为两条直线都过A点，所以此种情况不存在；当A'P∥BC时，如图，A'C交AB于点O，∵A'P∥BC，∴∠A'＝∠A'CB，∵∠A＝∠A'，∠A+∠B＝90°，∴∠A'CB+∠B＝90°，∴∠COB＝90°，∴AB⊥A'C，∴∠COB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△COB∽△ACB，∴，即，解得：OC＝4.8，OB＝3.6，由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，∴OA'＝8﹣4.8＝3.2，OP＝10﹣3.6﹣x＝6.4﹣x，在Rt△A'PO中，A'P2＝OP2+OA'2，即x2＝3.22+（6.4﹣x）2，解得：x＝4，即AP＝4，当A'P∥AC时，如图，A'P交BC于点O，∵A'P∥AC，∴∠A'PB＝∠A，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A'PB+∠B＝90°，∴∠POB＝90°，∴BC⊥A'P，∴∠A'OC＝∠POB＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A'，∴△A'OC∽△ACB，∴，即，解得：OA'＝6.4，OC＝4.8，由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，∴PB＝10﹣x，OP＝x﹣6.4，OB＝6﹣4.8＝1.2，在Rt△POB中，PB2＝PO2+OB2，即（10﹣x）2＝（x﹣6.4）2+1.22，解得：x＝8，即AP＝8，综上所述，AP的值为4或8；（3）如图，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵CD＝CB，∴∠B＝∠CDB，∴∠A'DP＝∠CDB＝∠B，由翻折可知，∠A＝∠A'，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A'+∠A'DP＝90°，∴A'P⊥AB，∵CD＝CB＝6，AC＝A'C＝6，∴A'D＝8﹣6＝2，∵∠A＝∠A'，∠A'PD＝∠ACB，∴△A'PD∽△ACB，∴，∴，∴A'P＝，∴AP＝，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣，∴，故答案为：．【点评】此题是相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理，关键是利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答．。
浙江省温州市2023-2024学年度第一学期八年级期中数学模拟试题及解答
浙江省温州市2023-2024学年度第一学期八年级期中数学模拟试题及解答一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A2．若a b <，则下列结论错误的是（ ）A ．11a b +<+B ．22a b −<−C ．33a b <D ．4a <4b 【答案】B3．若ABC 的三边长为a ，b ，c ，则下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．2a =，3b =，4c =B ．A BC ∠+∠=∠C ．A ∠：B ∠：1C ∠=：3：2D ．()()2b c b c a +−= 【答案】A4.下列条件中，不能判定ABC 与DEF 一定全等的是（ ）A ．AB DE =，BC EF =，80B E ∠=∠=°B ．AB DE =，BC EF =，80AD ∠=∠=°C ．AB DE =，90AD ∠=∠=°，40BE ∠=∠=°D ．BC EF =，80A D ∠=∠=°，40BE ∠=∠=°【答案】B5．不等式1－2x ≤5的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A6.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是（）A. 4.8B. 5C. 5.5D. 6【答案】A7.如图，ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，AE 是ABC 高线，当42B ∠=°，66C ∠=°时，DAE ∠的度数为（ ）A ．6°B ．8°C ．10°D ．12°【答案】D8. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x 人，则可列不等式组为（ ）A ．()81<12<8x x -+B ．0<512<8x x +C ．()0<51281<8x x +--D ．8<12<8x x +【答案】C9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ， 梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D ′为1.5m ，则小巷的宽为（ ）A ．2.4mB ．2mC ．2.5mD ．2.7m【答案】D10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E 点，DF ⊥AC 于点F ，则下列四个结论： ①AD 上任意一点到AB ，AC 两边的距离相等； ②AD ⊥BC 且BD ＝CD ；③∠BDE ＝∠CDF ；④AE ＝AF ． 其中正确的有（ ）A ．②③B ．①③C ．①②④D ．①②③④【答案】D二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11. 用不等式表示“x 的3倍与2的和小于1”________________．【答案】321x +<【解析】12. 一个三角形两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为__________．【答案】1413．如图，在ABC 中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，3CD =，D 到AB 的距离是的【答案】314.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的C ′处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．【答案】1215. 某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 ．【答案】1016. 如图，在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，ABC ∠的平分线交CD 于E ，当4BC =，BCE 的面积为2时，DE 的长为 ．【答案】1三、解答题（8小题，共66分）17. 解不等式324x x −+≥−，并把解在已画好的数轴上表示出来．解：∵324x x −+≥−，∴243x x −≥−+，∴1x −≥−，则1x ≤，将不等式的解集表示在数轴上如下：18．如图，在88×正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上．(1)请在图中作出ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′′ ．(2)在线段A B ′′上找一点P （点P 在格点上），使得ABP 为等腰三角形． 解：（1）如图，（2）如图，19．解不等式组()35211123x x x x −≥− −+<①②，并写出它的所有整数解，并将解集在数轴上表示出来．解：()35211123x x x x −≥− −+< ①②，解不等式①得，3x ≥，解不等式②得，5x <，∴不等式组的解集为35x ≤<，∴不等式组的整数解为3，4．不等式组的解集在数轴上表示如下：20. 如图，点E ，F 在BC 上，BE CF ＝，A D ∠∠＝，B C ＝，AF 与DE 交于点O ．（1）求证：ΔΔABF DCE ≅；（2）若80AOE ∠=°，求OEF ∠的度数．解：（1）证明：BE CF =BF BE EF =+CE CF EF =+BF CE ∴=在ABF ∆和DCE ∆中A DBC BF CE ∠=∠ ∠=∠ =ΔΔ()ABF DCE AAS ∴≅；（2）ΔΔABF DCE ≅OEF OFE ∴∠=∠80AOE ∠=°40OEF OFE ∴∠=∠=°．21．骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况： 时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）周一 10 10 950周二 6 15 930(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；(2)甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．（1）解：设甲头盔的销售单价为x 元，乙头盔的销售单价为y 元，根据题意得：1010950615930x y x y += +=，解得：5540x y = =． 答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元；（2）解：设卖出m 个甲头盔，则卖出()100m −个乙头盔， 根据题意得：()()()554040301001250m m −+−−≥， 解得：50m ≥，∴m 的最小值为50．答：至少需要卖50个甲头盔．22．如图，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=°，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连结AD ．(1)若AD BE =．求证：CBE CAD ∠=∠． (2)若2BC =，ABD △是等腰三角形，求CD 的长． 解：（1）证明：∵ABC 是等腰直角三角形，∴AC CB =，90ACB ∠=°， 在Rt BCE △和Rt ACD 中，CB CA BE AD = =， ∴()Rt Rt HL BCE ACD ≌，∴CBE CAD ∠=∠． （2）①当AB AD =时，∵AC BD ⊥，∴2CDBC ==． ②当BD BA =时，设CD x =，∵ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=°， ∴AC BC =，222AC BC AB +=， ∴2AB BC =， ∴222x +=， ∴222x =−， 综上所述，CD 的长为2或222−．23. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.8 m 和2.4 m ，∠BOC ＝90°．(1)△CEO 与△ODB 全等吗？请说明理由．(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？(3)秋千的起始位置A 处与距地面的高是 m ．解：（1）△CEO 与△ODB 全等．理由如下：由题意可知∠CEO ＝∠BDO ＝90°，OB ＝OC ，∵∠BOC ＝90°，∴∠COE ＋∠BOD ＝∠BOD ＋∠OBD ＝90°．∴∠COE ＝∠OBD ，在△CEO 和△ODB 中，COE OBD CEO ODB OC OB ∠∠ ∠∠＝＝＝，∴△CEO ≌△ODB （AAS ）； （2）∵△CEO ≌△ODB ，∴CE ＝OD ，OE ＝BD ，∵BD 、CE 分别为1.8m 和2.4m ，∴DE ＝OD −OE ＝CE −BD ＝2.4−1.8＝0.6（m ）， 由题意，点B 距地面的高度是1.2m ，所以，点D 距地面的高度是1.2m ，点E 距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m ）所以，点C 距地面的高度是1.8m ．答：爸爸是在距离地面1.8m 的地方接住小丽的．（3）在Rt △BOD 中，22222.4 1.83OB OD BD =+=+=（m ）， ∴OA =3（m ）， ∴AD =OA -OD =3-2.4=0.6（m ）由（2）得，点D 距地面的高度是1.2m ，∴秋千的起始位置A 处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m ）， 答：秋千的起始位置A 处与距地面的高是0.6m ．24某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CDE ，按如图1的方式摆放，90ACB ECD ∠=∠=°．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图1，试探究ED 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)【深入探究】如图2，当B、D、E三点共线时，请探究此位置时线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，当B、D、E三点不共线时，连接AE，延长BD交AE于点F，连接CF，请猜想此位置时线段AF、BF、CF之间的数量关系：______．∥，理由如下：解：（1）ED BC如图1，ABC 和CDE 是等腰直角三角形， 45CDE CBA CED CAB ∴∠=∠=∠=∠=°， ED BC ∴∥；（2）2BE AE CE =+，理由如下： 如图2，ABC 和CDE 是等腰直角三角形， ∴90DCE ACB ∠=∠=°，AC BC =，CD CE =，2DE CE =， ∴ACE BCD ∠=∠，∴()SAS ACE BCD ≌ ，∴AE BD =，∴BE DE BD =+，∴2BE AE CE =+；（3）2BF AF CF =+，理由如下： 如图4，过点C 作CG CF ⊥交BF 于点G ，由（2）知，ACE BCD ≌△△， ∴CAF CBD ∠=∠， 90ACF ACG ∠+∠=°，90ACG GCB ∠+∠=°， ∴ACF BCG ∠=∠， CAF CBG ∠=∠，BC AC =， ∴()ASA BCG ACF ≌△△， ∴GC FC =，BG AF =， ∴GCF 为等腰直角三角形， ∴2GF CF =， ∴2BF BG GF AF CF =+=+。
2022-2023学年浙江省温州市八年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年浙江省温州市八年级（上）期末数学试卷1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是( )A. B. C. D.2. 两根木棒的长度分别为5cm ，8cm ，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是( )A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 15cm3. 函数中，自变量x 的取值范围是( )A. B. C. D.4. 若，则下列不等式成立的是( )A.B. C. D.5. 下列命题属于假命题的是( )A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 三边对应相等的两个三角形全等C. 全等三角形的对应边相等D. 全等三角形的面积相等6. 如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP 平分两条伞骨所成的角若支杆DF 需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等( )A. BEB. AEC. DED. DP7. 如图是画在方格纸上的温州部分旅游景点简图，建立直角坐标系后，狮子岩、永嘉书院与埭头古村的坐标分别是，，，下列地点中离原点最近的是( )A. 狮子岩B. 龙瀑仙洞C. 埭头古村D. 永嘉书院8. 如图，小亮进行以下操作：以点A 为圆心，适当长为半径作圆弧分别交AB ，AC 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点F ，作射线若，，则等于( )A. B.C. D.9. 已知点，在一次函数的图象上，则函数的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 如图，大正方形ABCD 由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成.点E 为小正方形的顶点，延长CE 交AD 于点F ，连结BF 交小正方形的一边于点G ，若为等腰三角形，，则小正方形的面积为( )A. 15B. 16C. 20D. 2511. “a 的3倍与2的差小于9”用不等式表示为______ .12. 点向右平移1个单位后所得点的坐标是______ .13. 一张小凳子的结构如图所示，，，则______14. 三角形三个内角度数之比是1﹕2﹕，则此三角形是______ 三角形．15. 已知一次函数，当时，x 的最大值为______ .16. 某种气体的体积与气体的温度对应值如表，若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于______ (01)23…10……100…103…17. 如图，在等腰三角形ABC 中，AD 是底边BC 上的高线，于点E ，交AD 于点F ，若，，则BD 的长为______ .18. 如图1，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为EF，铺开后沿BC 折叠，使点A与EF上的点D重合.如图2，再将该长方形纸片进行折叠，折痕分别为HG，KL，使长方形的两边均与EF重合；铺开后沿BP折叠，使点A与KL上的点Q重合.分别连结图1中的AD与图2中的AQ，则的值为______ .19. 解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上.20. 如图，是等边三角形，将BC向两端延长至点D，E，使，连结AD，AE，求证：21. 在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点，请在所给的网格区域含边界作图.画一个等腰三角形ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标.画一个，使与重叠部分的面积是面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标.22. 探究通过维修路段的最短时长.素材1：如图1，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段.[任务求段的总路程和甲车经过BC段的速度.[任务在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象. [任务丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？23. 如图，将一块含角的直角三角板AOB放置在直角坐标系中，其直角顶点O与原点重合，点A落在第一象限，点B的坐标为，AB与y轴交于点求点A的坐标.求OC的长.点P在x轴正半轴上，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长.答案和解析1.【答案】B【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：，，第三边，纵观各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是故选：根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可．本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意得，，解得故选：根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的取值范围，用到的知识点为：分式有意义，分母不为4.【答案】D【解析】解：因为，则，所以A选项不符合题意；B.因为，则，所以B选项不符合题意；C.因为，则，所以C选项不符合题意；D.因为，则，所以D选项符合题意．故选：根据不等式的性质3对A选项进行判断；根据不等式的性质1对B选项、C选项进行判断；根据不等式的性质2对D选项进行判断．本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：A、三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；B、三条边对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；D、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意；故选：利用全等三角形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质及判定方法，难度不大．6.【答案】C【解析】解：平分，在与中，，≌，，即所换长度应与DF的长度相等，故选：根据平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的应用，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：如右图所示，点O到狮子岩的距离为：，点O到龙瀑仙洞的距离为：2，点O到埭头古村的距离为：3，点O到永嘉书院的距离为：，，点O到龙瀑仙洞的距离最近，故选：根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到狮子岩、龙瀑仙洞、埭头古村、永嘉书院的距离，再比较大小即可．本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．8.【答案】D【解析】解：由作图知，AE是的角平分线，，，，在与中，，≌，，，，，，故选：根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：一次函数中，，随x的增大而增大，点，在一次函数的图象上，且，，，函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：根据一次函数的性质得出，可以求得，即可关键一次函数的性质得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：设小正方形为EHMN，如图，四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，，，，为等腰三角形，且，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，≌，，，，故选：由等腰三角形性质可得出，利用HL可证得，得出，根据余角的性质得出，进而推出，利用面积法求得，再运用勾股定理求得，即可求得答案．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．11.【答案】【解析】解：“a的3倍与2的差小于9”用不等式表示为，故答案为：先表示a的3倍，再表示“差”，最后由“”可得答案．本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．12.【答案】【解析】解：把点向右平移1个单位后所得点的坐标是，即故答案为：根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．此题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．13.【答案】50【解析】解：，，，，，，故答案为：根据等腰三角形的性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14.【答案】直角【解析】解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，由题意得，，解得，，此三角形是直角三角形．故答案为：直角．根据比例设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和等于列出方程求出k，再求出最大的角的度数，即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，利用设k法求解更简便．15.【答案】【解析】解：把代入得，，把代入得，，的最大值为，故答案为：把和分别代入，即可得到结论．本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．16.【答案】20【解析】解：设，把代入得，，，，把代入得，，，当气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于故答案为：设出一次函数关系式，代入两点解方程组即可．本题考查了函数的表达方式，熟练运用待定系数法是解题关键．17.【答案】3【解析】解：等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，，，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，故答案为：证明≌，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案．本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质性质，全等三角形的性质和判定和性质，能推出≌是解此题的关键．18.【答案】【解析】解：设，如图1，由折叠得，，EF垂直平分AB，；如图2，由折叠得，，，，，，，垂直平分BE，，，，，故答案为：设，在图1中，可求得，在图2中，由，，根据勾股定理得，，于是求得此题重点考查折对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，设，根据轴对称的性质和勾股定理推导出用含m的代数式表示AD和AQ的式子是解题的关键．19.【答案】解：，解①得，解②得，所以不等式组的解集为解集在数轴上表示为：【解析】分别解两个不等式得到和，再利用大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示它的解集．本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．20.【答案】证明：是等边三角形，，，，在和中，，≌，【解析】由等边三角形的性质得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明≌，得此题重点考查等边三角形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明及≌是解题的关键．21.【答案】解：如图，，即为所求，，如图，，即为所求，，【解析】根据等腰三角形的定义画出图形即可；利用三角形的中线平分三角形的面积，画出图形即可．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是；理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.【答案】解：【任务1】甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，甲车经过段所用时间为，由图2可知，当时，，段的总路程为220m，由图2可知BC段的路程为，甲车通过时间为10s，甲车经过BC段的速度为，段的总路程为220m，甲车经过BC段的速度为；【任务2】由图2可得，BC段的路程为80m，AB段的路程为60m，两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是乙车经过BC段的速度为，乙车经过BC段的时间为：，乙车经过AB段的时间为：，以此即可补全图象，如图，【任务3】设红绿灯2由绿灯变为红灯后x秒后丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则，随x的增大而减小，，当时，y取得最小值，最小值为，即丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要47秒．【解析】【任务1】根据图2即可得出段的总路程和甲车经过BC段的速度；【任务2】根据图2可求出BC、AB段的路程，结合乙车在该段路程的行驶速度，即可补全图象；【任务2】设红绿灯2由绿灯变为红灯后x秒后丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN 段等待红灯至离开点A需要y秒，根据题意可得到y与x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的取值范围即可解答．本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键．23.【答案】解：如图1中，过点B作轴于点E，过点A作轴于点，是等腰直角三角形，，，，，≌，，，，，，；设直线AB是解析式为，，，，，直线AB的解析式为，令，得到，，；分三种情形：①，，，≌，②当时，如图2中，则，，过点A作轴于点设，则，，，，③时，则，，综上所述，满足条件的OP的值为5或或【解析】如图1中，过点B作轴于点E，过点A作轴于点证明≌，推出，，可得结论；求出直线AB的解析式，可得点C的坐标，即可解决问题；分三种情形：①，②当时，③时，分别求解即可．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
浙江省温州市鹿城区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
2023学年第一学期八年级数学阶段性检测（试题卷）考生须知：1.考试范围：浙教版《数学》义务教育教科书八年级上册1.1~3.3②：全卷满分120分.2.考试时间100分钟，解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1.实验中学的入学导视图标中，其图案可看作轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.不等式的解在数轴上表示正确的是（）A. B.C.D.3.下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题的是（）A. B. C. D.4.如果，那么下列不等式正确的是（）A. B.C. D.5.如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB 、AC 是伞骨，DM ，EM 是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，，.弹簧M 在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（）A.ASAB.AASC.SSSD.HL6.以下列长度为边的三角形，能判断为直角三角形的是（）1x ≤k k 16k =8k =2k =1k =x y <33x y<22x y -<-22x y +>+11x y ->-AB AC =DM EM =ADM AEM ≌△△A.1，2B.2，3，4，37.如图，已知，以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点B 、A .连结BA ，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线AC ，AC 交OB 于点C ，则的度数是（）A.120°B.105°C.90°D.75°8.如图，在中，，BD 平分交AC 于点D ，作交AB 于点E .若，，则的周长为（）A.9B.10C.11D.129.如图，在中，，，D 是BC 的中点，动点P 从A 点出发以1cm/s 的速度向终点C 运动，设运动时间为，若BP 的中垂线恰好经过点D 时，则t 的值为（）A.12B.C.D.10.实验中学八年级举办了“精彩思辨”大赛.真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐.决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a ，b ，c （且a ，b ，c 均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军.下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法正确的是（）第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮最后得分真真c a 25灵灵c c 1260MON ∠=︒ACB ∠Rt ABC △90C ∠=︒ABC ∠DE BC ∥5AE =3BE =ADE △ABC △13cm AB AC ==10cm BC =()s t 1191312013132a b c >>颖颖b b 13A.真真可能有一轮比赛获得第二名B.灵灵有四轮比赛获得第三名C.颖颖可能有一轮比赛获得第一名D.每轮比赛第一名得分a 为6二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11.命题“如果，那么.”的逆命题是____________命题。
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2022-2023学年浙江省温州市龙港市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．下列图形分别是无公害食品、绿色食品、有机食品和安全食品的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．已知三角形的两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm4．可以用来说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（）A．a＝0，b＝﹣1B．a＝1，b＝0C．a＝2，b＝1D．a＝2，b＝﹣1 5．如图，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD与△ACD全等，则添加的条件可以是（）A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC 6．如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处．则B处到灯塔C的距离是（）A．20海里B．25海里C．30海里D．35海里7．分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．，，C．2，3，4D．9，12，158．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（）A．75°B．120°C．30°D．30°或120°9．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，则AC的长是（）A．2B．4C．2D．2+10．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（）A．B．39C．D．52二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：．12．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝．13．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是．14．如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为．15．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为．16．如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝度．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为．18．商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．锁芯O固定在距离门边（即EF）3.5cm处（即OD＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是cm．三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC．求证：∠C＝∠D．20．如图，AE，AD分别是△ABC的高线和角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数．21．方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长．（2）在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD．22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：△BCD≌△ACE．（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．23．根据以下素材，探索完成任务．三角形背景下角的关系探索素材1如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD．素材2研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论．素材3当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法．问题解决任务1补全图形请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的侧．任务2特例猜想有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系．任务3一般结论请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由．任务4拓展延伸除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系．24．如图，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF （∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D．（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．下列图形分别是无公害食品、绿色食品、有机食品和安全食品的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据三角形内角和定理即可得到结果．解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理．熟记三角形的内角和等于180°是解题的关键．3．已知三角形的两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【分析】已知三角形的两边长分别为4cm、9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．解：设第三边长为xcm，则由三角形三边关系定理得9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13．因此，本题的第三边应满足5＜x＜13，把各项代入不等式符合的即为答案．只有9cm符合不等式．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．4．可以用来说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（）A．a＝0，b＝﹣1B．a＝1，b＝0C．a＝2，b＝1D．a＝2，b＝﹣1【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．解：当a＝0，b＝﹣1时，a＞b，但|a|＜|b|，故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．如图，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD与△ACD全等，则添加的条件可以是（）A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，符合全等三角形判定定理，能判定△ABD≌△ACD（ASA）；B、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若BD＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若∠B＝∠DAC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故选：A．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．6．如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处．则B处到灯塔C的距离是（）A．20海里B．25海里C．30海里D．35海里【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等边三角形，根据等边三角形的性质，BC的值也可以求出．解：连接BC，据题意得，∠1＝30°，AB＝20×＝30，∴∠BAC＝90°﹣∠1＝60°，∵AC＝30，∴AB＝AC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝30（海里）．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．7．分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．，，C．2，3，4D．9，12，15【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；C、32+22≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；D、92+122＝152，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．8．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（）A．75°B．120°C．30°D．30°或120°【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算．解：分两种情况：当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时候，则顶角为30°．故选：D．【点评】在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．9．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，则AC的长是（）A．2B．4C．2D．2+【分析】首先由折叠得出DE＝CE，利用等边△ABC和∠ADE＝90°，AD＝1，得出AE ＝2，利用勾股定理得出DE，即可求得AC的长．解：∵将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，∴DE＝CE，∠A＝60°，∵∠ADE＝90°，AD＝1，∴AE＝2AD＝2，∴DE＝，∴AC＝AE+CE＝AE+DE＝2+，故选：D．【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，等边三角形的性质，找出相等的边，转化问题是解决问题的关键．10．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（）A．B．39C．D．52【分析】设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，由勾股定理得出（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，则DJ＝6，由勾股定理求出BE＝6，证明△AHI≌△BFK（ASA），由全等三角形的性质得出AI＝BK＝，则可得出答案．解：∵四边形ABCD和四边形GDJH是正方形，正方形ABCD的面积等于100，∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，x＝﹣8舍去，∴DJ＝6，∵△IJD面积等于，∴，∴IJ＝，∴IH＝HJ﹣IJ＝6﹣＝，∴AI＝＝＝，∵AB＝10，AE＝AG＝8，∴BE＝＝＝6，∴BF＝2，∴AH＝BF，∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，∵∠BFK＝∠AHI＝90°，∴△AHI≌△BFK（ASA），∴AI＝BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝10﹣＝，∴△KCD的面积＝CD•CK＝．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：内错角相等，两直线平行．【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用．12．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝5．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，∴AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，∴CD＝BD，∵BD＝5，∴CD＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是．【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝．故答案为：．【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．14．如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为1．【分析】根据△ACD的面积为△ABC面积的一半，△AEC的面积为△ACD面积的一半，即可得答案．解：∵AD为△ABC的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝2，S△AEC＝S△ACD＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，关键是利用三角形中线平分三角形的面积这一性质计算即可．15．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．16．如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝40度．【分析】由AD，CE是△ABC的两条高线，得∠ADC＝∠CEA＝90°，而AC＝CA，AD ＝CE，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADC≌Rt△CEA，得∠CAD ＝∠ACE＝25°，则∠ACD＝∠65°，∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝40°．解：∵AD，CE是△ABC的两条高线，∴AD⊥CB，CE⊥AD，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠CAD＝∠ACE＝25°，∵∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝∠65°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝65°﹣25°＝40°，故答案为：40．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明Rt△ADC≌Rt△CEA是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为6．【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，则AF＝BF，可得AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键．18．商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．锁芯O固定在距离门边（即EF）3.5cm处（即OD＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是12.5cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是15.5cm．【分析】过B作BM⊥OA于M，过C作CG⊥AO交AO延长线于G，CG交EF于H，由题意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，设OB＝OA＝xcm，在Rt△BOM中，有（x﹣0.5）2+3.52＝x2，即可解得OB＝12.5cm＝OA，知BD＝OM＝OA﹣AM＝12cm，证明△BOM≌△OCG（AAS），即得OG＝BM＝3.5cm，从而可得BH＝BD+DH＝15.5（cm）．解：过B作BM⊥OA于M，过C作CG⊥AO交AO延长线于G，CG交EF于H，如图：由题意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，设OB＝OA＝xcm，在Rt△BOM中，OM2+BM2＝OB2，∴（x﹣0.5）2+3.52＝x2，解得x＝12.5，∴OB＝12.5cm＝OA，∴BD＝OM＝OA﹣AM＝12.5﹣0.5＝12cm，∵OC⊥OB，∴∠BOM＝90°﹣∠COG＝∠GCO，∵OB＝OC，∠CGO＝90°＝∠BMO，∴△BOM≌△OCG（AAS），∴OG＝BM＝3.5cm，∴DH＝OG＝3.5cm，∴BH＝BD+DH＝12+3.5＝15.5（cm），故答案为：12.5，15.5．【点评】本题考查旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，熟练掌握“K型”全等的应用．三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC．求证：∠C＝∠D．【分析】由AC＝BD、BC＝AD、AB＝BA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC ≌△BAD，则∠C＝∠D．【解答】证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠C＝∠D．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△BAD是解题的关键．20．如图，AE，AD分别是△ABC的高线和角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数．【分析】△ABC中已知∠B＝40°，∠C＝60°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAD，根据三角形外角的性质求出∠ADE，则∠DAE＝90°﹣∠ADE．解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．【点评】本题考查的是三角形的角平分线和高的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．21．方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长．（2）在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD．【分析】（1）根据要求作出图形，利用勾股定理求出AB即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）如图1中，△ABC即为所求，AB＝＝5；（2）如图2中，△ADB即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：△BCD≌△ACE．（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等边三角形，得CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，则∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCD≌△ACE；（2）由△BCD≌△ACE，得BD＝AE＝1，则AD＝AB﹣BD＝2．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵△BCD≌△ACE，AE＝1，AB＝3，∴BD＝AE＝1，∴AD＝AB﹣BD＝3﹣1＝2，∴AD的长是2．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠BCD＝∠ACE是解题的关键．23．根据以下素材，探索完成任务．三角形背景下角的关系探索素材1如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD．素材2研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论．素材3当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法．问题解决任务1补全图形请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的右侧．任务2特例猜想有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系．任务3一般结论请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由．任务4拓展延伸除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系．【分析】任务一：画出图形可得结论；任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．进行探究即可；任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE．设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．利用角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE．解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧．故答案为：右；任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．∵BA＝BC，∠B＝40°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠E＝20°，∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°．猜想：∠BAD＝2∠CAE；任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE．理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．∵BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，∴∠BAD＝2∠CAE．任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE．理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．∵BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，∴∠BAD＝2∠CAE．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．24．如图，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF （∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D．（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是﹣．【分析】（1）△ACP为直角三角形，理由为：由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；（2）过点C作CH⊥AB于点H．点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求解即可；（3）过点C作CH⊥AB于点H．证明△CPH是等腰直角三角形，可得结论．解：（1）结论：△ACP是直角三角形，理由：当PD∥BC时，∠BCP＝∠EPF＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，∴△ACP是直角三角形；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H．∵CA＝CB＝，CH⊥AB，∴AH＝HB，∵∠A＝30°，∴CH＝AC＝，∴AH＝＝＝，∴AB＝2AH＝3，设∠PCB＝α．则∠PCD＝120°﹣α，①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝75°∴∠α＝120°﹣75°＝45°，此时点P与点H重合，PB＝；②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，∴α＝90°，此时BP＝2CP＝2PA，∴PB＝AB＝2；③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即120°﹣α＝120°，∴α＝0°，此时点P与点B重合（不符合题意）．综合所述，PB的值为或2；（3）如图，过点C作CH⊥AB于点H．∵DC′⊥AC，∴∠CDF＝∠FDC′＝45°，∵∠CDF＝∠CPD+∠PCD，∠CPD＝30°，∴∠PCD＝15°，∴∠CPH＝∠A+∠ACP＝45°，∵∠CHP＝90°，∴∠PCH＝∠∠CPH＝45°，∴CH＝PH＝，∵BAH＝，∴AP＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．。