2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第6讲第2课时正、余弦定理的综合问题

第 2 课时 正、余弦定理的综合问题角度一 计算三角形的面积与三角形面积有关的问题 （多维探究 ）（1）（2019高考全国卷n ）△ ABC 的内角nA ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b = 6,a = 2c , B =-，则△ ABC 的面积为 _________ .（2）（2020福建五校第二次联考）在厶ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a 2+ b 2 — c 2= 3ab ,且 acsin B = 2 3sin 。

，则厶 ABC 的面积为 _______________ .【解析】（1）法一：因为a = 2c , b = 6, B = f 所以由余弦定理b 2= a 2 + c 2— 2accosB , 3 得 62= (2c)2+ c 2— 2X 2c X ccos 扌,得 c = 2 3,所以 a = 4 3,所以△ ABC 的面积n法二：因为 a = 2c , b = 6, B =-,所以由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2accos B ,得 62= (2c)2 3 + c 2 — 2 x 2c x ccos 扌，得 c = 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a 2= b 2 + c 2 ,所以 A =(所以△ ABC 的面积S = 1x 2j 3x 6= 6筋.厂 a 2+ b 2— c 2 J 3ab 肃(2)因为a 2+ b 2— c 2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C =莎=W b =2'又0 < Cv n ,所以C = f •因为acsin B = 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得11n故 S* 1absin C =1x2.3sin6=求三角形面积的方法 S = ^acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sinabc = 2 3c ,所以 ab = 2 3.【答(1)6 .3_3 2_3 2 .(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2020湖南五市十校共同体联考改编) 已知a, b, c分别为△ ABC的内角A, B, C的对边，(3b —a)cos C= ccos A, c是a, b的等比中项，且△ ABC的面积为 3 2，贝U ab= _________ , a+ b= ________ .【解析】因为(3b—a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得3sin Bcos C = sin Acos C1+ sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为sin B^0,所以cos C = 3,贝卩 C 为锐角，所以sin C = ^3~.由△ ABC的面积为3 , 2,可得gabsin C= 3 2,所以ab= 9•由c是a,11b的等比中项可得c2= ab,由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,所以(a + b)2=~3ab= 33,所以a+ b= . 33.【答案】9 ■ 33已知三角形面积求边、角的方法(1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.1. （2020济南市模拟考试)在厶ABC 中，AC = 5, BC = 10, cos A =等，则△ ABC 的面积为（）5A.QB. 5C. 10D四D. 2解析：选A.由AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2+ AC2—2AC AB cos A,得AB2—4AB—5=0,解得AB = 5,而sin A = 1 —cos2A^55，故S ZABC =5X 5 X 寿5=号.选A.2. (2020长沙市统一模拟考试)已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且B + Casi n(A+ B)= csin —2 —.⑴求A;(2)若厶ABC的面积为.3,周长为8,求a.A解：⑴由题设得asin C = ccos^,由正弦定理得A sin Asin C= sin Ceos?,所以sin A = cos ?,所以2sinAcosA = cosA,所以sinA= *,所以A = 60°⑵由题设得^bcsin A= . 3,从而bc= 4.由余弦定理a2= b2+ c2—2bccos A,得a2= (b + c)2—12.13又 a + b + c= 8,所以a2= (8 —a)2—12,解得a = ~.三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研）（2019高考全国卷川）△ ABC的内角A, _ _ , , 、，A+ C , . AB, C的对边分别为a, b, c.已知asin—厂 =bsin A.⑴求B;⑵若△ ABC为锐角三角形，且c= 1,求厶ABC面积的取值范围.、A+ C【解】⑴由题设及正弦定理得sin Asin~2 —= sin Bsin A.A+ C 因为sin A丸,所以sin—厂 =sin B.A + C B—B B B由A+ B + C= 180° 可得sin—= cos^,故cos? = 2sin?cos?.因为COSB M 0,故sinB = 2，因此B= 60°⑵由题设及⑴知厶ABC的面积S ZABC =丄…亠宀》口csin A sin (120 °-C) 羽1由正弦疋理得a= sin C =Sin~C =2tan~C+2.由于△ ABC为锐角三角形，故0 °A<90 ° 0°C<90 °由(1)知A+ C = 120°所以30°<C<90 ° 故2<a<2,从而^V S^BCV^3.因此，△ABC面积的取值范围是3,产8 2求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.题多解）（2020福州市质量检测）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若角A , B ,C 成等差数列，且b = j.（1）求厶ABC 外接圆的直径； ⑵求a + c 的取值范围.解：⑴因为角A , B , C 成等差数列，所以2B = A + C ,n又因为A + B + C = n 所以B = 3.b 2根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R = T~- == 1.sin B n⑵法一：由B = n 知A + C =竽，可得0 v Av ¥ 由⑴知厶ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得 a b c= = = 1 sin A sin B sin C'所以 a + c = sin A + sin C 2n=sin A + sin 3 — Asin A + ； cos A2 nn n 5 n因为0vA v-3-,所以6v A+ 6v 孑sin 3- 1 n ,所以2< sin A+ 6 W 1，从而 #< . 3sin A+ 6 < 3,所以a+ c的取值范围是Y， 3 .n法二：由⑴知，B = 3，b2= a2+ c2—2accos B= （a+ c）2—3ac>（a + c）2—3* = 4（a+ c）2（当且仅当a = c时，取等号），因为b=¥,所以（a+ c）2 W 3，即a+ c W、.;3,又三角形两边之和大于第三边，所以丁<a+ c W 3,所以a+ c的取值范围是^3, . 3 .解三角形与三角函数的综合应用（师生共研）(2020湖南省五市十校联考)已知向量1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x), x€ R，设函数f(x) = m n +(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2) 设a，b，c 分别为△ ABC 的内角A, B，C 的对边，若f(A) = 2, b+ c= 2 2,^ ABC1的面积为步，求a的值.1 n【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ ~= sin 2x+ 6 + 1.n n n n n令2x+ 点€ —o+ 2 k n, o + 2k n , k € Z ,解得x€ —k n, a + k n , k€ Z,6 2 2 3 6n n所以函数f(x)的单调递增区间为—3+ k n, "+ k n , k€ Z.n(2)因为f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2,n所以sin 2A+ 6 = 1.因为0v A< n 所以6< 2A + n< 所以2A+ n= § 即A= £6 6 6 6 2 6标注条件，合理建模1 1由厶ABC 的面积S= ?bcsin A = ?,得bc= 2,又 b + c= 2 . 2 ,所以a2= b2+ c2—2bccos A = (b + c)2—2bc(1 + cos A),解得a= .3—1.解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.△ ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b= 2a—2ccos B.⑴求角C的大小；⑵求.3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角A, B的值.解：⑴法一：在厶ABC中，由正弦定理可知sin B= 2sin A—2sin Ccos B,又A+ B + C= n则sin A= sin( —(B + C)) = sin(B+ C),于是有sin B = 2sin(B + C)—2sin Ccos B = 2sin BcosC+ 2cos Bsin C—2sin Ceos B,整理得sin B= 2sin Bcos C,又sin B 丸，小1贝U cos C= 2，n 因为0<C< n则C = 3.a2+ c2—b2法二：由题可得b= 2a —2c -2ac整理得a2+ b2—c2= ab,1即cos C= 2，n因为0<C< n则C = 3.(2)由⑴知C=n，贝y B+n= n—A ,于是3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( —A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为A = -3——B,所以0<A<-3n,所以3<A+n<nn n n故当A = 2时，2sin A+7的最大值为2,此时B=:.6 3 2［基础题组练］则厶ABC 的面积等于（ ）C . 9 D. |解析：选 B.因为 cos A =~47,则 sin A = 3,所以 S ZABC = 1 x bcsin A = ^^,故选 B. 2.在△ ABC 中，已知C = n b = 4, ABC 的面积为2^3,贝V c =（）3A. 2,7B. .7 C . 2 ,2D . 2.3解析：选 D.由 S = ^absin C = 2a x 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c 2= a 2+ b 2— 2abcos C = 12,故 c = 2 3.3. （2020河南三市联考）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边，sin A : sin B = 1 ： •,3, c = 2cos C =・.3,则厶 ABC 的周长为（）A . 3+3 ,3B . 2 ,3C . 3 + 2 ,3D . 3+ . 3解析：选C.因为sin A : sin B = 1 :3,所以b =・，3a ,a 2 +b 2—c 2 a 2 +（寸da ） 2— c 2由余弦定理得cosC =2ab = 2a x 3a又c = . 3,所以a = . 3, b = 3,所以△ ABC 的周长为4. （2020湖南师大附中4月模拟）若厶ABC 的内角A , b = 2, c = 5, △ ABC 的面积 S=jcos A ，则 a =（）B. .5C. 13D . . 175 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c = 5, S = ^2cos A = ?bcsin A = . 5sin A ,所以 sin A =?cos A.「△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 b = •, 7, c = 4,3 + 2 3,故选 C.B ,C 的对边分别为a , b , c ,且的面积为4 3,且2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（）A. 10B. 12C. 8 + 3D. 8+ 2 31 解析：选B.因为△ ABC的面积为4二3,所以qacsin B = 4 3.因为2bcos A+ a = 2c,所以由正弦定理得2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos Asin B,所以sin A = 2cos B sin A,因为sin A工0,所以cos B =刁因为0< B<n所以B= n,所以ac= 16,又a+ c= 8,所以a= c= 4,所以△ ABC为正三角形，所以△ ABC 3的周长为3X 4= 12.故选B.6. _____________________________________________________________ 在△ ABC 中，A = ^, b2sin C = 4 2sin B,则厶ABC 的面积为___________________________________解析：因为b2sin C = 4.2sin B ,所以b2c=4 ,2b,所以bc= 4 .J2,1 1 2S^\BC= qbcsin A= 5x4,2 x = 2.答案：27. (2020江西赣州五校协作体期中改编)在厶ABC中，A =扌，b = 4 , a = 2,3 ,贝V B= _________ ,△ ABC的面积等于________ .bsin A4X sin3解析：△ ABC中，由正弦定理得sin B= —a —=--------- = 1.又B为三角形的内角，所以B=才,所以c= b2- a2= 42-( 2 .'3) 2= 2 ,1所以S ZABC = 2X 2^3= 2.3.答案：才2 3sin A 5c的对边，且B为锐角，若赢=畐,sin解析：由sinA =5c?a= 5c?a=5c ① sin B 2b b 2b 2c,①4 ,b的值为S A ABC= ^4^,则&在△ ABC 中，a , b,c分别是内角A , B ,厂厂由S A\BC = ?acsin B = ~且sin B =：得~ac= 5 ,联立①，②得a = 5,且c = 2. 由sin B=J 且B 为锐角知cos B =3443由余弦定理知 b 2= 25+ 4 — 2X 5X 2X 4= 14, b = .14. 答案：• 1439.在△ ABC 中，/ A = 60° c = 7a.⑴求sin C 的值；⑵若a = 7,求厶ABC 的面积.3解：⑴在厶ABC 中，因为/ A = 60° c = 7a ,csin A 3 x/33\[3所以由正弦定理得sin C = —7— =玄—=荷3. 3⑵因为a =乙所以c = 7X7= 3.1 由余弦定理 a 2= b2 + c 2—2bccos A 得 72 = b 2 + 32— 2b X 3 X -, 解得b = 8或b =— 5(舍).所以△ ABC 的面积 S = ^bcsin A = *X 8X 3X^ = ^3.10. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且 3 acos C = (2b — . 3c)cos A.(1)求角A 的大小；⑵若a = 2，求△ ABC 面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A — 3sin Ccos A , 从而.3s in (A + C) = 2si n Bcos A ,即.3sin B = 2sin Bcos A.n又A 为三角形的内角，所以A = 6.⑵由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ,得 4 = b 2 + c 2— 2bc X 牙 >2bc — , 3bc , 1所以bc w 4(2 + .3),所以S MBC = ^bcsin A < 2 + .3,故厶ABC 面积的最大值为 2+ .3.又B 为三角形的内角,所以sin B 丸,于是cos A =1 5 2亦所以sin2A +cos2A= 4cos2A +cos2A= 4cos2A =1.易得cos A=T.所以a2= b2+c2-2bccos A= 4+5- 2x 2x 5x^= 9- 8= X 所以a= 1.故选A.5. （2020开封市定位考试）已知△ ABC的内角A, B , C的对边分别为a , b , c , △ ABC。