二倍角公式的应用课件
= = = =
sin 40 cos 40 cos80
1 sin 80 cos 80 2 1 sin160 4 1 sin 20 4
四、小结:
1、本节课重点讲述了二倍角公式的应用， 通过例 题的分析，对二倍角公式有了理深刻的理解；
2、从角特点看，可得到换元的数学思想，从解题过程 中我们又可以学到一种“配凑”的数学方法
注意： “倍”是描述两个数量之间关系的， 1 2 是 的二倍，4 是 2 的二倍， 2 1 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想。 4
二、 逆用
例2.求下列各式的值
(1) sin 15 cos15
2 tan 22.5 (2) 1 tan2 22.5
1 1 1 解： （1） sin 15 cos 15 = ×2 sin 15 cos 15 = sin 30 = ； 2 2 4
；
注：本题也蕴含了一种“配凑”的数学思想。
(2)
2 tan 22.5 tan 45 1 2 1 tan 22.5
三、活用
例3 化简
(1)
（2）
解： (1)
1 1 sin cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 2
解（2）：2sin 20 cos 20 cos 40 cos80
2
2
k
k Z 4
一、正用
公式应用
分析：已知条件给出了2α的正弦值， 由于4α是2α的二倍角，即4α=2*2α， 因此可以考虑用二倍角公式
解：由于 〈 〈 ，得 〈 2 〈 5 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 2 22 = 4 又 sin2 2 〈2 〈 〈 ，得 2 2 解：由于 〈 解：由于 〈 〈 ，得 2 13 5 5 4 2 2 5 5 5 4 又 sin2 = 〈 2 〈 又 sin2 = 又 sin2 又 sin2 又 sin2 = = 13 5 = 13 2 13= 13 又 sin2 〈2 〈 13 5 2 12 2 〈 2 〈 2 13 5 所以 cos 2 1 ( 5 ) 12 . 2 1 sin2 2 又 sin2 = 5 22 13 12 5 22 25 12 5 12 13 5 12 2 2 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 13 又 sin2 = 2 2 所以 cos 2 5 1 sin sin 2 1 1 ( () ) .12 所以 cos 2 1 2 1 ) . 所以 cos 2 1 sin 22 ( ) . 所以 cos 2 1 sin 1 ( . 5 13 2 13 13 13 13 又所以 sin2 =2 1 sin 2 2 13 13 13 cos 1 ( 13 ) . 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×(2 )] 13 1312 513 5 2 2 12 2 2 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 =sin[2 × (2 =2sin2 )] 于是sin4 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 13 5 13 12 13 13 于是=2sin2 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 =2sin2 cos2 2 2 =2sin2 cos2 =2sin2 cos2 2120 =2sin2 cos2 所以 cos 2 5 1 sin 1 ( ) . 12 于是 sin4 =sin[2 × (2 =2sin2 cos2 )] 13 12 120 5 12 120 5 于是 sin4 =2 =sin[2 × (2 )] 13 12 120 5 12 120 5 12 120 5 × × = ; 12 120 5 =2 × × = ; =2 × × = ; =2 × ×（ ） = ; ; ; 120 cos2 == =2 ×× × = ; =2 × =2sin2 =2 × × 12 5 169 13 13 169 13 13 169 13 13 13 169 13 =2sin2 cos2 13 169 13 169 13 12 ; 120 =2 × × = 169 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×13 (2 )] 5 13 13 cos4 =cos[2 × (2 )] =2 × × 169= ; =cos[2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] 12 120 5 cos4 × (2 cos4 =cos[2 × (2 )] cos4=2 =cos[2 × (2 )]13 × = 169 13 =2sin2 × ; 2 cos2 22 2 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 ×(2169 )] (2 )] × =1-2sin 2 2 =1-2sin 2 13 13 =1-2sin 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 =1-2sin 2 5 2 12 2 120 119 5 =1-2sin 2 ; =2 × × =2 119 5 2 119 5 =1-2sin cos4 =cos[2 × (2 )] 2 2 119 5 2 =1-2 × ( ) = 119 5 2 =1-2 × (( )) = =1-2 × ( = 2) 13 169 119 13 =1-2 × ( ) = 2 =1-2 × = =1-2 × ( ) = 119 5 169 13 5 2 2 169 13 169 13 =1-2sin 2 169 13 =1-2 × ( ) = =1-2 × ( ) = 169 13 169 13 cos4 =cos[2 × (2 )] 169 13 sin 4 120 169 120 169 13 sin 4 120 169 120 sin 4 120 169 120 119 5 2 sin 4 120 169 120 2 . 169 tan4 =4 = × = sin 4 120 169 120 tan4 = = × = .. tan4 = = × = =1-2sin 2 sin 120 169 120 sin 4 120 120 =1-2 × ( ) = tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . sin 4 120 169 120 tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . 169 13 cos 4 169 119 119 tan4 = = 4119 = 119 . 119 4 cos 169 119 cos 169 119 5 ×
五、练习:
一个国家只有数学蓬勃的发展，才能 展现它国力的强大。数学的发展和至善和 国家繁荣昌盛密切相关。 ——拿破仑
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2
cos2 2 cos 1
2
cos2 1 2 sin 2 tan 注 tan 2 2 1 tan
sin 40 cos 40 cos80
1 sin 80 cos 80 2 1 sin160 4 1 sin 20 4
四、小结:
1、本节课重点讲述了二倍角公式的应用， 通过例 题的分析，对二倍角公式有了理深刻的理解；
2、从角特点看，可得到换元的数学思想，从解题过程 中我们又可以学到一种“配凑”的数学方法
注意： “倍”是描述两个数量之间关系的， 1 2 是 的二倍，4 是 2 的二倍， 2 1 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想。 4
二、 逆用
例2.求下列各式的值
(1) sin 15 cos15
2 tan 22.5 (2) 1 tan2 22.5
1 1 1 解： （1） sin 15 cos 15 = ×2 sin 15 cos 15 = sin 30 = ； 2 2 4
；
注：本题也蕴含了一种“配凑”的数学思想。
(2)
2 tan 22.5 tan 45 1 2 1 tan 22.5
三、活用
例3 化简
(1)
（2）
解： (1)
1 1 sin cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 2
解（2）：2sin 20 cos 20 cos 40 cos80
2
2
k
k Z 4
一、正用
公式应用
分析：已知条件给出了2α的正弦值， 由于4α是2α的二倍角，即4α=2*2α， 因此可以考虑用二倍角公式
解：由于 〈 〈 ，得 〈 2 〈 5 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 2 22 = 4 又 sin2 2 〈2 〈 〈 ，得 2 2 解：由于 〈 解：由于 〈 〈 ，得 2 13 5 5 4 2 2 5 5 5 4 又 sin2 = 〈 2 〈 又 sin2 = 又 sin2 又 sin2 又 sin2 = = 13 5 = 13 2 13= 13 又 sin2 〈2 〈 13 5 2 12 2 〈 2 〈 2 13 5 所以 cos 2 1 ( 5 ) 12 . 2 1 sin2 2 又 sin2 = 5 22 13 12 5 22 25 12 5 12 13 5 12 2 2 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 13 又 sin2 = 2 2 所以 cos 2 5 1 sin sin 2 1 1 ( () ) .12 所以 cos 2 1 2 1 ) . 所以 cos 2 1 sin 22 ( ) . 所以 cos 2 1 sin 1 ( . 5 13 2 13 13 13 13 又所以 sin2 =2 1 sin 2 2 13 13 13 cos 1 ( 13 ) . 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×(2 )] 13 1312 513 5 2 2 12 2 2 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 =sin[2 × (2 =2sin2 )] 于是sin4 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 13 5 13 12 13 13 于是=2sin2 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 =2sin2 cos2 2 2 =2sin2 cos2 =2sin2 cos2 2120 =2sin2 cos2 所以 cos 2 5 1 sin 1 ( ) . 12 于是 sin4 =sin[2 × (2 =2sin2 cos2 )] 13 12 120 5 12 120 5 于是 sin4 =2 =sin[2 × (2 )] 13 12 120 5 12 120 5 12 120 5 × × = ; 12 120 5 =2 × × = ; =2 × × = ; =2 × ×（ ） = ; ; ; 120 cos2 == =2 ×× × = ; =2 × =2sin2 =2 × × 12 5 169 13 13 169 13 13 169 13 13 13 169 13 =2sin2 cos2 13 169 13 169 13 12 ; 120 =2 × × = 169 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×13 (2 )] 5 13 13 cos4 =cos[2 × (2 )] =2 × × 169= ; =cos[2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] 12 120 5 cos4 × (2 cos4 =cos[2 × (2 )] cos4=2 =cos[2 × (2 )]13 × = 169 13 =2sin2 × ; 2 cos2 22 2 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 ×(2169 )] (2 )] × =1-2sin 2 2 =1-2sin 2 13 13 =1-2sin 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 =1-2sin 2 5 2 12 2 120 119 5 =1-2sin 2 ; =2 × × =2 119 5 2 119 5 =1-2sin cos4 =cos[2 × (2 )] 2 2 119 5 2 =1-2 × ( ) = 119 5 2 =1-2 × (( )) = =1-2 × ( = 2) 13 169 119 13 =1-2 × ( ) = 2 =1-2 × = =1-2 × ( ) = 119 5 169 13 5 2 2 169 13 169 13 =1-2sin 2 169 13 =1-2 × ( ) = =1-2 × ( ) = 169 13 169 13 cos4 =cos[2 × (2 )] 169 13 sin 4 120 169 120 169 13 sin 4 120 169 120 sin 4 120 169 120 119 5 2 sin 4 120 169 120 2 . 169 tan4 =4 = × = sin 4 120 169 120 tan4 = = × = .. tan4 = = × = =1-2sin 2 sin 120 169 120 sin 4 120 120 =1-2 × ( ) = tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . sin 4 120 169 120 tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . 169 13 cos 4 169 119 119 tan4 = = 4119 = 119 . 119 4 cos 169 119 cos 169 119 5 ×
五、练习:
一个国家只有数学蓬勃的发展，才能 展现它国力的强大。数学的发展和至善和 国家繁荣昌盛密切相关。 ——拿破仑
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2
cos2 2 cos 1
2
cos2 1 2 sin 2 tan 注 tan 2 2 1 tan
合集下载
二倍角公式课件
2
π π 2 (2) sin cos 8 8 π π 解题点拨：对比公式 2 2 (cos sin ) 8 8 π 2 2 cos cos2α cos α sin α 4 2 2
四、例题教学(公式变形用)
1 tan22.5 2 2 1 tan 22.5 2
1、两角和、差角的余弦公式
复 习 旧 知
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan22.5 (3). 1 tan 2 22.5
利用公式
2tanα tan2α 1 tan 2 α
1 tan 2 22.5 2 1 tan 45 2 1 2
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
π π 2 (2) sin cos 8 8
3、两角和、差的正切公式 tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
一、研究两角和的三角公式
cos cos cos sin sin
; 3 2 1 3 (3)原式 tan 30° ; 2 6 (2)原式 cos
2 4 原式=cos45° . 2
五、练习深化
3 1 、 已知sin( - ) , 求 cos 2的值 5
1 2、 已知tan2 , 求 tan 的值。 3 3 、 已知函数f ( x) (cos x sin x)(cos x sin x) 求函数f ( x)的最小正周期。
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学课件
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋c2os 2α；
③1－cos
2α＝2sin2α；④sin2α＝1－c2os
2α .
1．下列说法错误的是( ) A．6α是3α的倍角，3α是32α的倍角 B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角 C．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立 D．对任意角α，总有tan 2α＝1－2tatnanα2α
π π 2π ③原式＝2sin5cos5πcos 5
2sin5 2π 2π 4π ＝sin25sicno5πs 5 ＝s4isnin5π5 π ＝ sin5π＝14. 4sin5
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
核心素养
1.能推导并记住二倍角的正弦、
余弦和正切公式．(重点)
1.借助二倍角公式的推导，培养
2.能利用二倍角的正弦、余弦和 学生的数学建模和逻辑推理素养.
正切公式化简、求值和证明．(重 2.通过利用二倍角公式进行化
＝－cosπ4＋α， ∴原式可化为1－2cos2α＋π4 ＝－cosα＋π4， 解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12. ∵α∈－π2，π2，
∴α＋π4∈－π4，34π， 故α＋π4＝0或α＋π4＝23π， 即α＝－π4或α＝51π2.
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
(5)降幂扩角变换： cos2α＝12(1＋cos 2α)； sin2α＝12(1－cos 2α)； sin αcos α＝12sin 2α. 2．解决给值求值问题的一般思路：一是先化简(变形)三 角式，再代入求值；二是由已知变形，获得所求解的式子．其
关键是找出条件和结论两者之间的关系．
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
1．二倍角公式给出了倍角 2α 与单角 α 之间的关
系．对于“二倍角”应该有广义的理解，不仅限于 2α 是 α 的二倍形式，其他如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角， 2α＋π2是 α＋π4的二倍角．
80°＝4. 80°
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
返回导航
谢谢观看！
)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
课件10：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝____2_s_i_n_α_c_o_s__α___
C2α
cos 2α＝____c_o_s_2α__－__si_n_2_α__
T2α
tan 2α＝___1_－2_t_atna_n_α2α___
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
1.求下列各式的值：
(1))1－2tatnan125105°0°；
(3)sin110°－cos 310°；
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
ππ
π
2sin 解：(1)原式＝
12cos 2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°
80°
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°
＝2sin88s0in°·2c0o°s 80°＝s8isnin12600°°＝18.
类型2 利用二倍角公式解决求值问题
例 2 (1)已知 sin α＝3cos α，那么 tan 2α 的值为( )
A．2
B．－2
C．34
D．－34
(2)已知 sin6π＋α＝13，则 cos23π－2α的值等于(
(3)解：①因为 α 是第三象限角，cos α＝－34，
所以 sin α＝－ 1－cos2 α＝－ 47，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×－
47×－34＝3
8
7 .
②因为 β∈π2，π，sin β＝23，
最新二倍角公式及其变形公式教学讲义ppt课件
2tan α 1－tan2
α＝tan
2α.
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
1.(1)计算：cos 101°－＋cos3s8i0n°10°＝________. (2)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
1 解：(1)原式＝22cos
10°＋
3 2 sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，
sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，
24°cos 24°cos 16cos 6°
48°＝2sin164c8o°cso6s°48°
＝1s6inco9s66°°＝16cocos s66°°＝116.
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
给值求值 (1)已知 α∈π2，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝__________， cos 2α＝__________，tan 2α＝__________. (2)已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且 α∈π2，π，求 tan 4α 的值．
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
3.1－tatnan1251°5°＝________．
解析：原式＝12×1－2tatann1251°5°＝12tan 30°＝ 63.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边 等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左 右边 边＝1；(3)分析 法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公 式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明 典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝
数学人教A版必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲授
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
(2)证明 :
1+sin2 -cos2
1+sin2 +cos2
=tan θ.
1+cos (2 +30°)
(1)解 原式=
二倍关系.
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
π
π
2x＝cos2－2x＝cos24－x
＝2cos
②cos
π
π
2x＝sin2－2x＝sin24－x
π
π
＝2sin4－xcos4－x.
π
π
(1)视察式子两端的结构情势，一般是从复杂到简单，如果两端都比较
复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先视察，找出角、函数名称、式子结构等方面
的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”
等原则，设法消除差异，到达证明的目的.
跟踪训练
3
1.下列各式中，值为 2 的是
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲授
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
(2)证明 :
1+sin2 -cos2
1+sin2 +cos2
=tan θ.
1+cos (2 +30°)
(1)解 原式=
二倍关系.
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
π
π
2x＝cos2－2x＝cos24－x
＝2cos
②cos
π
π
2x＝sin2－2x＝sin24－x
π
π
＝2sin4－xcos4－x.
π
π
(1)视察式子两端的结构情势，一般是从复杂到简单，如果两端都比较
复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先视察，找出角、函数名称、式子结构等方面
的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”
等原则，设法消除差异，到达证明的目的.
跟踪训练
3
1.下列各式中，值为 2 的是
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .