多指标正交试验设计2
第三节_多因素正交实验设计
第三节_多因素正交实验设计第三节多因素正交实验设计引言, 多因素实验存在的矛盾1. 第一是全面实验的次数与实际可行的实验次数之间的矛盾;2. 第二是实际所做的少数实验与全面掌握内在规律的要求之间的矛盾。
, 正交实验设计, 正交实验设计，能帮助我们在实验前借助于事先已制好的正交表科学地设计实验方案，从而挑选出少量具有代表性的实验做，实验后经过简单的表格运算，分清各因素在实验中的主次作用并找出最好的运行方案，最终得到正确的分析结果。
一、正交实验设计的基本原理 (一)正交表1、定义:正交表，是依据数学原理，从大量的全面试验点中，为挑选少量具有代表性的试验点，所制成的排列整齐的规范化表格。
三因素二水平正交表2、正交表符号的含义7常用正交表 L(2) 84常用正交表 L(3) 93、正交表的特点1. 每一列中，不同数字(如:1或2)出现的次数相等;2. 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对(如:数对(1，1)、 (1，2) (2，1) 等)时，每种数对出现的次数相等(二)正交表的类型, 同水平正交表:即各因素水平数相等的表格; , 混合水平正交表:即各因素水平数不相等的表格。
41、同水平正交表L(3) 942、混合水平正交表L(4×2) 8 4混合水平正交表L(4×2) 8 (三)正交性原理, 正交性原理是设计正交表的科学依据，主要表现为均衡搭配性。
, 均衡搭配是指用正交表所安排的试验方案，能均衡的分散在水平搭配的各个组合方案中，因而其试验具有代表性。
回顾例题:, 为了提高某化工产品的转化率，试验者选择了3个有关的因素:反应温度A，反应时间B，用碱量C，并且选择如下的试验范围:A:80~90?;B:90~150min;C:5~7%。
要求确定最佳工艺条件(即转化率达到最高时的反应条件)。
1、分析条件2、实验安排抽象形式实验安排3、三因素二水平全面试验点分布直观图4、三因素二水平正交实验安排三因素二水平正交实验法实验点分布二、正交实验设计的基本方法例题:为了提高某化工产品的转化率，试验者选择了3个有关的因素:反应温度A，反应时间B，用碱量C，并且选择如下的试验范围:A:80~90?;B:90~150min;C:5~7%。
正交试验设计和分析
所以一般地，有 N dfi dfi j 1
i
i, j
如三原因四水平 43 旳正交试验至少应安排
34 1 1 10 次以上旳试验。
如三原因四水平 43 并涉及第一、二个原因旳交互 作用旳正交试验至少应安排旳试验次数为
34 1 4 14 1 1 19
又如安排 43 23 旳混合水平旳正交试验至少应安排
试验次数N旳拟定原则
N 由 dfT N 1 拟定。
其中： dfT dfi dfi j dfE ,
i
i, j
dfi dfi j 是可求出旳，而 dfE 是未知旳，
i
i, j
所以一般地，由 N dfi dfi j 1 拟定 N，
i
i, j
故 N 不是唯一旳。
当不考虑交互作用时：可取 N S q 1 1
所以要选择 LN 2S 型旳表，且不考虑交互作用时， S 4 ，而 L8 27 是满足条件旳最小旳正交表， 所以选用正交表 L8 27
若考虑A与B、A与C旳交互作用，则
S 6 ，L8 27 依然是满足条件旳最小旳正交表， 所以还可选用正交表 L8 27
注：也可由试验次数应满足旳条件来选择正交表。
正交表旳记号及含义
正交表是一种尤其旳表格，是正交设计旳基本工具。
我们只简介它旳记号、特点和使用措施。
记号及含义
L 正交表旳代号
S 正交表旳列数
（最多能安排旳原因个数，
涉及交互作用、误差等）
LN qS
q 各原因旳水平数
N 正交表旳行数
（各原因旳水平数相等）
（需要做旳试验次数）
如 L8 27 表达
7 2 2 1 1 2 2 1 275
8 2 2 1 2 1 1 2 375
多因素正交试验
在生产和科研中，为了研制新产品，改革生产工艺，寻找优良的生产条件，需要做许多多因素的试验。
在方差分析中对于一个或两个因素的试验，我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验，这叫做全面试验。
当因素较多时，虽然理论上仍可采用前面的方法进行全面试验后再做相应的方差分析，但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问题。
例如，生产化工产品，需要提高收率（产品的实际产量与理论上投入的最大产量之比），认为反应温度的高低、加碱量的多少、催化剂种类等多种因素，都是造成收率不稳的主要原因。
根据以往经验，选择温度的三个水平：800C、850C、900C；加碱量的三个水平：35、48、55（kg）；催化剂的三个水平：甲、乙、丙三种。
如果做全面试验，则需33=27次。
如果有3个因素，每个因素选取4个试验水平的问题，在每一种组合下只进行一次试验，所有不同水平的组合有43=64种，如果6个因素，5个试验水平，全面试验的次数是56=15，625次。
对于这样一些问题，设计全面的试验往往耗时、费力，往往很难做到。
因此，如何设计多因素试验方案，选择合理的试验设计方法，使之既能减少试验次数，又能收到较好的效果。
“正交试验法”就是研究与处理多因素试验的一种科学有效的方法。
正交试验法在西方发达国家已经得到广泛的应用，对促进经济的发展起到了很好的作用。
在我国，正交试验法的理论研究工作已有了很大的进展，在工农业生产中也正在被广泛推广和应用，使这种科学的方法能够为经济发展服务。
正交试验法就是利用排列整齐的表-正交表来对试验进行整体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的试验次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果。
正交表能够在因素变化范围内均衡抽样，使每次试验都具有较强的代表性，由于正交表具备均衡分散的特点，保证了全面试验的某些要求，这些试验往往能够较好或更好的达到试验的目的。
正交试验设计包括两部分内容：第一，是怎样安排试验；第二，是怎样分析试验结果。
正交试验设计
4
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表5-1
5
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注：任意两列旳交互作用列为另外两 列
附：正交表L9(34)
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1ห้องสมุดไป่ตู้
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
6
3
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1.2 正交设计旳基本特点
❖ 用部分试验来替代全方面试验，经过对部分 试验成果旳分析，了解全方面试验旳情况。
❖ 当交互作用存在时，有可能出现交互作用旳 混杂。即忽视了部分交互作用来降低试验次 数。
如对于上述3原因3水平试验，若不考虑交
互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方
代表正交表；
❖ L右下角旳数字“8”表达有8行，用这张正交 表安排试验包括8个处理(水平组合)；
❖ 括号内旳底数“2” 表达原因旳水平数，括 号内2旳指数“7”表达有7列，
❖ 用这张正交表最多能够安排7个2水平原因。 8
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表5-2
9
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L8(27)二列间交互作用列表
第五章 正交试验设计
测试用例设计方法--正交试验法详解
测试用例设计方法--正交试验法详解正交试验法介绍正交试验法是研究多因素、多水平的一种试验法，它是利用正交表来对试验进行设计，通过少数的试验替代全面试验，根据正交表的正交性从全面试验中挑选适量的、有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，整齐可比”的特点。
正交表是一种特制的表格，一般用L n (m k)表示，L 代表是正交表，n 代表试验次数或正交表的行数，k 代表最多可安排影响指标因素的个数或正交表的列数，m 表示每个因素水平数，且有n=k*(m-1)+1。
正交表的特点正交表具有以下两个特点。
正交表必须满足这两个特点，有一条不满足，就不是正交表。
每列中不同数字出现的次数相等。
这一特点表明每个因素的每个水平与其它因素的每个水平参与试验的几率是完全相同的，从而保证了在各个水平中最大限度地排除了其它因素水平的干扰，能有效地比较试验结果并找出最优的试验条件。
在任意2列其横向组成的数字对中，每种数字对出现的次数相等。
这个特点保证了试验点均匀地分散在因素与水平的完全组合之中，因此具有很强的代表性。
使用正交试验法的原因对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。
但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，试验的规模很大，由于时间和成本的限制我们不可能进行全面试验，但是具体挑其中的哪些测试用例进行测试我们心里拿不准，总担心不做不挑选的那些测试用例会遗漏一些严重缺陷。
为了有效的、合理地减少测试的工时与费用，我们利用正交试验法来设计测试用例。
正交试验法就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率的试验设计方法。
我们用测试实例来进行说明使用正交试验法设计测试用例的好处。
测试需求：某所大学通信系共2个班级，刚考完某一门课程，想通过“性别”、“班级”和“成绩”这三个查询条件对通信系这门课程的成绩分布，男女比例或班级比例进行人员查询： 根据“性别”=“男，女”进行查询 根据“班级”=“1班，2班”查询 根据“成绩”=“及格，不及格”查询按照传统设计——全部测试分析上述测试需求，有3个被测元素，被测元素我们称为因素，每个因素有两个取值，我们称之为水平值，所以全部测试用例个数是2*2*2=8，参见下表利用正交表设计测试用例，我们得到的测试用例个数是n=3*(2-1)+1=4，对于三因素两水平的刚好有L4(23)的正交表可以套用，于是用正交表试验法得出4个测试用例如下：根据实际需要可以在用正交试验法设计用例的基础上补充一些测试用例。
正交试验设计及其结果的直观分析(单指标 双指标)
综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到 每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知 识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出 较优方案。
例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根 中有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三向 指标：提取物得率（为提取物质量与葛根质量之比）、提取物中 葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好， 根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、 液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交 试验，它们各有3个水平，具体数据如表6-9所示，不考虑因素间 的交互作用，是进行分析，找出较好的提取工艺条件。
综合评分法
综合评分法是根据各个指标的重要程度，对得出的实验结果进行分 析，给每一个实验评出一个分数，作为这个实验的总指标，然后根 据这个总指标（分数），利用单指标试验结果的直观分析法作进一 步的分析，确定较好的实验方案，显然，这个方法的关键是如何评 分，下面介绍几种评分方法：
1.对每好实验结果的各个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号 试验结果的综合分数（依靠试验者或专家的理论知识和实践经验）
度
隶属度
1
1 1 1 1 2.96 65.70
1.00
1
1.00
2
1 2 2 2 2.18 40.36
0
0
0
3
1 3 3 3 2.45 54.31
0.35
0.55 0.47
4
2 1 2 3 2.70 41,09
0.67
0.03 0.29
5
2 2 3 1 2.49 56.29
正交试验设计(多指标)
综合平衡法
通过各因素对各指标影响的综合分析，得 出较好的试验方案是： B3 粒度 第3水平：8 C1 碱度 第1水平：1.1 A2 水份 第2水平：9
2) 综合评分法
综合评分法 综合评分法是：先按重要性程度不
同给各个指标赋以权数，再对各试验 计算加权指标，化为单一指标问题。
（1）综合平衡法
例 为了提高某产品质量，要对生产该 产品的原料进行配方试验。要检验3 项指标：抗压强度、落下强度和裂纹 度，前两个指标越大越好，第三个指 标越小越好。根据以往的经验，配方 中有3个重要因素：水份、粒度和碱 度。它们各有3个水平，具体数据如 表所示。试进行试验分析，找出最好 的配方方案。
因素 水平
1 2 3
A水份 % 8
9
7
B粒度 % 4
6
8
C碱度 1.1 1.3 1.5
返回
列号 1
试验号
A
2 3 抗压强度
BC
Kg/个
落下强度 0.5m/次
1
1
1
1
11.5
1.1
2
1
2
2
4.5
3.6
3
1
3
3
11.0
4.6
4
2
1
2
7.0
1.1
5
2
2
3
8.0
1.6
6
2
3
1
18.5
15.1
7
3
1
3
9.0
1.1
8
3
回收率 综合 评分
30.0 100.0 41.2 89.2 60.0 84.0 24.2 56.2 51.0 69.0 58.4 74.4 31.0 65.0 20.5 48.5 73.5 91.5
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
σ = ˆ
t 0 .975
132 / 4 = 5.74 ， 。 ( 4 ) = 2 . 7764
μ 3⋅2
的0.95的置信区间是：
68 ± 2.7764 × 5.74 / 1.8 = 68 ± 11.9 = (56.1,79.9)
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
… Continue
因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7
试验计划与试验结果
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因子 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64
第五章-正交实验设计
是均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验
点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强
的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
正交表，记号为L8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的数字
“8”表示有8行 ，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组 合) ；括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数
A因素是增稠剂用量：设A1、A2、A3 B因素是pH值： C因素为杀菌温度： 设B1、B2、B3 设C1、C2、C3 3个水平； 3个水平； 3个水平。
这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能
组合有33＝27种 。
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可选出 最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量 大 ，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则 可利用正交 表来设计安排试验。
L8(4×24)表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。
5.2 正交试验设计基本程序
对于多因素试验，正交试验设计是简 单常用的交试验设计的基本程序 包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
试验方案设计
试验目的与要求
试验指标
选因素、定水平
因素、水平确定 选择合适正交表 表头设计 列试验方案 试验结果分析
（3） 独立性
任一列的各水平出现的次数相等；任两列间所有水平组合出 现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证 了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的 干扰。
5.1.3 正交表的优点 （1）节省资源
（2）方便快捷
（3）信息量大
5.1.4
第五章-2 正交实验
混合水平表：如： L18（21x 37 ）， L16（42x 29），；
正交表的选择： （1）首先根据水平数去选； （2）其次根据因素个数去选，一般因素的个数可以少于正 交表的列数，使用时多余的列划去； 注意：如果需要考虑交互作用，则一组交互作用当作一个单 独的因数，在选表时因素的个数应该包括交互作用的个数。 当影响因数中，部分因素对实验的结果影响特别大，或 者由于某种目的，必须考虑某些因子的效应，则可以增 加部分因子的水平数，此时可以考虑选用混合水平正交表；
30℃
50℃
对于上述情况，我们无法确定催化剂用4ml比2ml好，或是聚合 温度50℃比30℃好。由此可见，温度与催化剂用量如何搭配的 好是主要的，像这样一个因素水平的好坏与另一个因素水平的 选取有紧密的依赖关系，则称这两个因素具有交互作用；
有交互作用的正交实验
由于交互作用是由基本因素派生的，所以当因素间有 交互作用时，因素不能在正交表上任意安排，必须考 虑交互作用列，即把交互作用看成一个单独的因子在 正交表上占据一列。
研制铁红的实验条件 实验号 1 2 3 4 A（L/S） A1(10) A1(10) A1(10) A2(8) B(T/℃) B1(30) B2(60) B3(90) B1(30) C(t/min) C1(45) C2(30) C3(60) C2(30) 实验结果铁红含量Pb量（%） first 0.75 0.50 0.98 0.77 second 0.68 1.07 0.56 0.72 total 1.43 1.57 1.54 1.49
2 1 2 1
3 1 2 1
4
2
2
1
正是由于正交表具有上述的特点，才保证了用正 交表安排的实验方案中因数水平是均衡搭配的，数 据点的分布是均匀的。因此，分析数据时，就可以 把每个因素作用的大小分解出来，通过比较找出主 要影响因素和最优条件；
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因素水平表
因素 水平
1 2 3
水分 A 8 9 10
粒度 B 30 60 90
碱 度 膨润土
C
D
1.2
1.0
10
选择L9（34）来设计试验方案
试验方案及试验结果分析
因素 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
抗压强 落下强 裂 纹
ABCD
度
度
度
1 1 1 1 11.3 7 1.0 1 2 3
（3）根据因素及水平数，确定正交试验 表。
（4）根据试验表按排实验并做好实验 记录。
例： 对精矿粉进行造球配方试验，达到抗 压强度、落下强度和裂纹度3项指标要求。
试验目的是提高造球配方质量。 由实践经验知道，提高造球配方质 量有3个试验指标：抗压强度（越 大越好）、落下强度（越大越好）、 裂纹度（越小越好）。
（3）确定适宜的生产条件
选择的最佳试验条件经过工艺验证， 就可以转化为适宜的生产条件。
本例，橡胶的适宜配方可以初步确定 为A1B1C1D3，即促进剂用量应该取2.9， 氧化锌总量应该取1，促进剂E所占比例 应该取35%，促进剂F所占比例应该取 44.7%。
二、综合评分法
综合评分法，就是依据一定的评分标 准，得到各号试验的综合分数，以综合 指标作为单指标进行分析的方法。
3 3 2 1 13.2 8 20.0 9 0 8
（5）试验结果分析
次序评分法是要对每一个指标 进行排序，排序时可以从小到大， 也可以从大到小，但是要注意有些 指标是越大越好，有些是越小越好。
如果对于越大越好的指标按照 从小到大的顺序进行排序，则对于 越小越好的就必须采用从大到小进 行排序，反之亦然。
综合评分法的关键是评分，评分既要 反映各项指标的要求，还要反映出指标 的重要程度。
1、次序评分法
试验后按指标的重要程度排 队，根据相邻次序的重要程度 差异，按一定规则给各号试验 评分。评分可采用百分制、十 分制或五分制，也可以按排名 大小随机给分。
（1）明确目的、确定指标及其特性。
（2）确定影响指标的因素数量及水平数。
1 2 2 2 4.4 1 3.5 5 3 1
1 3 3 3 10.8 6 4.5 6 3 1
2 1 2 3 7.0 2 1.0 1 2 3
2 2 3 1 7.8 3 1.5 4 1 6
2 3 1 2 23.6 9 15.0 8 0 8
3 1 3 2 9.0 5 1.0 1 2 3
3 2 1 3 8.0 4 4.5 6 1 6