绝对值专题 讲义
《绝对值》考点专题讲解(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑聚焦《绝对值》【图解考点】【技法透析】1．绝对值的基本性质在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a、b为有理数，则：(1)非负性：①a≥0；②若a＋b＝0，则a＝b＝0；(2)若a＝b，则a＝±b；222==a a a(3)ab a b =•；a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+．特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0．2．去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：(1)由已知条件去绝对值．(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值．(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可．3．绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ，②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0，③当a<0时，方程无解．(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点．②根据未知数的取值范围分类讨论．③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程．特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法．4．绝对值的几何意义在生活中的应用在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-L ，则：(1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值；(2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤12n a +时取最小值． 【名题精讲】赛点1 绝对值的化简例 1 1111111111201720162016201520152014322-+-+-++-+-L ＝_______．【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a ＝－a ．【规范解答】 原式=1111111-----12017201620162015201520142----L （）（）（）（）=12016-+120172017= 【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断．去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a 1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的．【同类拓展】1．有理数a ，b 的大小关系如图，则1212a b a b a b a b -++-+-++的值是( D )。
专题：人教版七年级上册 绝对值的几何意义综合题型讲解和练习
绝对值的几何意义综合题型讲解与练习知识背景绝对值的定义（几何定义）：数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作a 图形解释：0a -表示数轴上数a 到数字0的距离；例子：3a -表示数轴上数a 到数字3的距离；2a +=(2)a --表示数轴上数a 到数字2-的距离；类型一：绝对值方程1.先阅读下列小明和小红的解题过程，再解答问题：解方程：32x +=．小明：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得 5.x =-所以原方程的解是1x =-或5x =-． 小红：32x +=可以理解为数轴上数x 到数字3-的距离为2，在数轴上可以找到，距3-的距离是2的数字有-5和-1，则1x =-或5x =-(1) 解方程：150x --=；（用小明的方法）(2) 解方程：4160x --=；（用小红的方法）针对练习1．已知30x -=，那么x = ．2．关于x 的方程136++-=x x 的解是 ．3．若26x -=-，则x = ．4．定义运算a b ab a =-★，如131312=⨯-=★．若2a =，且4a b =★，则b 的值为 ．5．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为 ．类型二：绝对值最值问题模型：求x a b ++的最小值，当0x a +=时，式子有最小值b求x a b -++的最大值，当0x a +=时，式子有最大值b1. 当x = 时；12x +有最小值，最小值为 ；2. 当x = 时；47x ++有最小值，最小值为 ；3. 当x = 时；374x -+有最小值，最小值为 ；4. 当x = 时；12x -+有最大值，最大值为 ；5. 当x = 时；47x -++有最大值，最大值为 ；6. 当x = 时；374x --+有最大值，最大值为 ；7．若a 表示一个有理数，则式子51a --有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时，a = ．类型三：绝对值非负性1．已知()2120a b -++=，则()2018a b ＋的值为 ．2．若2m -和()22n +互为相反数，则2m n -的值为 ．3．若|1||2|0a ab -+-=，则111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)a b a b a b +++++++++= ．4．若a ，b 为实数，且()222|16|04a b b -+-=+，求3a b -的值 ． 5．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为类型四：绝对值几何意义的应用1．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；（3）若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++= ；（4）求32x x -++的最小值。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件； 当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|， 当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立． 所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ， 当a <－3时，－a －3>－a ，无解； 当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1， 故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围． 解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )， 需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4， 解得a ＝112或a ＝－52(舍去)， 根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二 利用绝对值不等式的性质求最值 例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)． 综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值． 解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9， 即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ， 则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立， 即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2， 又k ≥2，∴k ＝2.思维升华 求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值． 跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围． 解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|， 所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2， 故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立， 设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围． 解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2； 当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3， 因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立， 而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139， 即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号， 因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72， 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。
初一数学绝对值综合专题讲义
绝对值综合专题讲义之蔡仲巾千创作绝对值的界说：绝对值的性质：（1）绝对值的非负性, 可以用下式暗示（2）|a|=（3）若|a|=a, 则；若|a|=-a, 则；任何一个数的绝对值都不小于这个数, 也不小于这个数的相反数,（4）若|a|=|b|, 则（5）|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|||a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b|【例1】（1）绝对值年夜于2.1而小于4.2的整数有几多个？（2）若ab<|ab|, 则下列结论正确的是（）A.a＜0, b＜0B.a＞0, b＜0C.a＜0, b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中, 正确的是（）A．若|a|=b, 则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b, 则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b, 则一定有a2=(-b)2（4） 设a, b 是有理数, 则|a+b|+9有最小值还是最年夜值？其值是几多？（5） 若3|x-2|+|y+3|=0, 则x y 的值是几多？（6） 若|x+3|+(y-1)2=0, 求n x y )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为几多？2、有理数a 与b 满足|a|>|b|, 则下面哪个谜底正确（ ）3、若|x-3|=3-x, 则x 的取值范围是____________4、若a ＞b, 且|a|<|b|, 则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数, 则||8b a ---是有最年夜值还是最小值？其值是几多？小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则；若|x-a|+|x-b|=0, 则；（1）已知x 是有理数, 且|x|=|-4|, 那么x=＿＿＿＿ （2）已知x 是有理数, 且-|x|=-|2|, 那么x=＿＿＿＿ （3）已知x 是有理数, 且-|-x|=-|2|, 那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x, y 暗示有理数, 且x, y 满足条件|x|=5,|y|=2, |x-y|=y-x, 那么x+y 的值是几多？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7）若已知a 与b互为相反数, 且|a-b|=4, 求12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】1、巩固|x|=4, |y|=6, 求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2, |y|=3, 且x 与y互为相反数, 求y xy x 4312--的值（1） 已知a=-21, b=-31, 求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2）若|a|=b, 求|a+b|的值 （3）化简：|a-b| （4） 轴上对应点如图所示, 化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、π| （2）|8-x|（x ≥8）C B 0 A2、已知a, b, c 在数轴上的位置如图所示, 化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|3、数a, b 在数轴上对应的点如图所示, 是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0>b a , 化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0, 化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0, 试化简||3|||3|2a a a a --（7）若abc ≠0, 则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10而且m ≤x ≤10, 化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a, b, c, d, 满足1||-=abcd abcd , 求d d c c b b a a ||||||||+++的值 3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图, 在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼, 现在设立一个邮筒, 为使五栋楼的居 民到邮筒的就努力之和最短, 邮局应立于何处？2、设a1、a2、a3、a4、a 5为五个有理数, 满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值, 并求出此时x 的取值题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：【例1】 若|a|=1, |b|=2, |c|=3, 且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0, 那么ab=＿＿＿＿＿＿ 【例3】 对|m-1|, 下列结论正确的是（ ）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1【例4】 设a, b, c 为实数, 且|a|+a=0, |ab|=ab, |c|-c=0, 化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|A B C D E【例6】 已知有理数a, b, c 满足1||||||=++c c b b a a , 求abc abc ||的值【例7】 若a, b, c, d 为互不相等的有理数, 且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1, 求|a-d|1、当b 为何值时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是几多？ 2、已知a 是最小的正整数, b 、c 是有理数, 而且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a cab 的值.3、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 4、若a, b, c 为整数, 且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1, 试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值5、（1）已知|x|=2, |y|=3且x-y>0, 则x+y 的值为几多？（2）解方程：|4x-5|=86、（1）有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示, 化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b, 求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0, 化简|a-|-a||7、已知a 是非零有理数, 求||||||3322a a a a a a ++的值 8、化简|x-1|-|x-3|9、6、设a＜b＜c, 求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若3+-yx与1999-+yx互为相反数, 求yxyx-+2的值11、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数, 求x该满足的条件及此常数的值.12、不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C, 如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜, 那么B点应为( )．(1)在A, C点的右边；(2)在A, C点的左边；(3)在A, C点之间；(4)以上三种情况都有可能13、设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜, 其中0＜p＜15, 对满足p≤x≤15的x来说, T的最小值是几多？。
(完整版)七年级上专题讲座有理数及其运算绝对值篇
第二讲 有理数及其运算②——再探绝对值绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。
它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。
一 知识点精讲1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。
2、去绝对值符号的法则。
0000a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭- 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。
4、技能构建。
（1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图a －b<0，b －a>0，a ＋b<0（2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。
如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b（3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。
（4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b（5）|ab|＝|a|·|b|a ab b=（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2（6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。
它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。
二 典型例题讲解及思维拓展：例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。
例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。
例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a||例4：已知，x<y<0，设M=|x|，N=|y|，p= ，则M 、N 、p 的大小关系是___________。
例5：（湖北省选拔赛题）若|a|=5，|b|=3，且|a－b|=b －a ，那么|a+b|=___。
七年级绝对值专题讲义
绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。
第1讲绝对值有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
绝对值专题讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
【暑期衔接】专题05《绝对值》知识讲练(精编讲义)-2022年暑假小升初数学衔接(人教版)(解析版)
2022年人教版暑假小升初数学衔接知识讲练精编讲义专题05《绝对值》教学目标1.理解绝对值的概念及性质.（难点、重点）2.会求一个有理数的绝对值.新课导入课堂引入新课讲授知识点01：绝对值的意义及求法甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作+10 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 -10 km.以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 例：知识点02：绝对值的性质及应用观察与思考|5|=5 |-10|=10|3.5|= 3.5 |100|=100|-3|=3 |50|=50|-4.5|=4.5 |-5000|=5000|0|=0 …..思考：一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？结论1：一个正数的绝对值是正数.一个负数的绝对值是正数.0的绝对值是0.|a|≥0.任何一个有理数的绝对值都是非结论2：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.思考:若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?典例分析【典例分析01】（2022•南充）下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5| 【思路引导】根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项．【完整解答】解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．【典例分析02】（2020秋•相城区校级月考）已知|x|＝6，|y|＝2．①若x，y异号，直接写出x与y的差为±8 ；②若x＜y，直接写出x与y的和为﹣8或﹣4 ．【思路引导】（1）根据绝对值的定义解决此题．（2）根据绝对值的定义解决此题．【完整解答】解：（1）∵|x|＝6，|y|＝2，∴x＝±6，y＝±2．∵x，y异号，∴当x＝6时，则y＝﹣2，此时x﹣y＝8；当x＝﹣6时，则y＝2，此时x+y＝﹣8．综上：x﹣y＝±8．故答案为：±8．（2）由（1）知：x＝±6，y＝±2．∵x＜y，﹣6＜﹣2＜2＜6，∴x＝﹣6，则y＝﹣2或2．∴x+y＝﹣8或﹣4．故答案为：﹣8或﹣4．【考察注意点】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义以及分类讨论的思想方法是解决本题的关键．【变式训练01】（2021秋•鲤城区校级期末）若|m﹣1|＝1﹣m，则m一定（）A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1【思路引导】根据绝对值的性质即可求出答案．【完整解答】解：由题意可知：1﹣m≥0，∴m≤1，故选：D．【考察注意点】本题考查绝对值，解题的关键是正确运用绝对值的性质，本题属于基础题型．【变式训练02】（2021秋•龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝﹣1或5 ．【思路引导】根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．【完整解答】解：∵|a|＝2，∴a＝±2，当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，即b＝1或b＝7，当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，故答案为：﹣1或5．【考察注意点】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．【变式训练03】（2021秋•封丘县期末）若a＝|﹣2|，|b+1|＝3，则a+5b的值为﹣18或12 ．【思路引导】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【完整解答】解：∵a＝|﹣2|，|b+1|＝3，∴a＝2，b+1＝±3，解得：b＝﹣4或2，当a＝2，b＝2时，则a+5b＝2+5×2＝12；当a＝2，b＝﹣4时，则a+5b＝2+5×（﹣4）＝﹣18，综上所述：a+5b的值为：﹣18或12．故答案为：﹣18或12．【考察注意点】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．课堂巩固基础达标一．选择题1．（2022•红河州二模）已知|a|＝1，b是的相反数，则a+b的值为（）A．或B．C．D．或【完整解答】解：∵|a|＝1，∴a＝±1，∵b是的相反数，∴b＝，∴当a＝1，b＝时，a+b＝1+＝，当a＝﹣1，b＝时，a+b＝﹣1+＝﹣，综上所述：a+b＝或﹣．故选：A．2．（2021秋•包头期末）如果|a+1|＝0，那么a2022的值是（）A．﹣2022 B．2022 C．﹣1 D．1 【完整解答】解：∵|a+1|＝0，∴a＝﹣1，∴a2022＝（﹣1）2022＝1．故选：D．3．（2021秋•武侯区期末）﹣6的绝对值是（）A．B．C．D．【完整解答】解：负数的绝对值等于其相反数，故|﹣6|＝6．故选：B．4．（2022•娄底模拟）2021的绝对值是（）A．2021 B．﹣2021 C．D．﹣【完整解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．故选：A．5．（2022•陵城区模拟）下列四个数中，最小的是（）A．﹣2 B．|﹣4| C．﹣（﹣1）D．0【完整解答】解：|﹣4|＝4，﹣（﹣1）＝1，∵﹣2＜0＜1＜4，∴﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜|﹣4|，∴四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．二．填空题6．（2021秋•义乌市期末）若|m|＝2022，则m＝±2022 ．【完整解答】解：|m|的几何意义表示数轴上到原点距离为2022的点，这样的点在正半轴与负半轴各有一个，表示的数分别为2022与﹣2022．所以m＝±2022．故答案为：±2022．7．（2021秋•平罗县期末）若|﹣x|＝7，则x＝±7 ．【完整解答】解：∵|±7|＝7，∴﹣x＝±7，∴x＝±7，故答案为：±7．8．（2021秋•博白县期末）|﹣|＝．【完整解答】解：因为|﹣|＝，故答案为：．9．（2021秋•越城区期末）2的相反数是﹣2 ，﹣3的绝对值是 3 ．【完整解答】解：2的相反数是﹣2；﹣3的绝对值是3．故答案为：﹣2；3．10．（2021秋•阳新县期末）已知a与﹣1互为相反数，则式子|﹣（a﹣2）|＝ 1 ．【完整解答】解：∵a与﹣1互为相反数，∴a＝1，∴|﹣（a﹣2）|＝|﹣（1﹣2）|＝1，故答案为：1．11．（2021秋•沙坪坝区校级期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝﹣3b﹣3c．【完整解答】解：根据数轴可知，a＜b＜0＜c，且b+c＞0，故a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，|a+b|＝﹣a﹣b，|a﹣c|＝c﹣a，|b+c|＝b+c，∴原式＝﹣（a+b）﹣（c﹣a）﹣2（b+c）＝﹣a﹣b﹣c+a﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．故答案为：﹣3b﹣3c．三．解答题12．（2021秋•富县期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．【完整解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2，∵|y﹣1|＝5，∴y＝﹣4或6，∵x＞y，∴y＝﹣4，当x＝2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×6＝12，当x＝﹣2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×2＝4．13．（2019秋•惠安县期末）已知a是2的相反数，计算|a﹣2|的值．【完整解答】解：∵a是2的相反数，∴a＝﹣2，∴|a﹣2|＝4．14．（2019秋•解放区校级月考）已知|a|＝3，|b|＝，且a＜0＜b，试求a，b的值．【完整解答】解：∵|a|＝3，|b|＝，∴a＝±3，b＝±，∵a＜0＜b，∴a＝﹣3，b＝．15．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1 ；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝1或7 ．【完整解答】解：（1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，可得：|x﹣4|＝3，解得：x＝1或7；故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或716．（2020秋•兴化市月考）列式计算：的相反数比的绝对值大多少？【完整解答】解：∵的相反数为：2，的绝对值为：，∴的相反数比的绝对值大：2﹣＝．17．（2019秋•袁州区校级月考）列式并计算：求﹣0.8的绝对值的相反数与的相反数的差．【完整解答】解：﹣|﹣0.8|﹣（﹣）＝﹣0.8+6＝﹣＝提优巩固一．选择题1．（2021秋•济南期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与B．﹣（﹣2）与﹣2 C．|﹣3|与3 D．﹣|﹣3|与﹣3 【完整解答】解：A、这两个数互为倒数，故此选项不符合题意；B、﹣（﹣2）＝2，﹣2 只有符号不同的数互为相反数，故此选项符合题意；C、这两个数的结果是同一个数3，故此选项不符合题意；D、这两个数的结果是同一个数﹣3，故此选项不符合题意；故选：B．2．（2021秋•安阳县月考）若|a|＞﹣a，则a的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【完整解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4，﹣a＝4，有|a|＝﹣a，因此选项A不符合题意；当a＝﹣2时，|a|＝2，﹣a＝2，有|a|＝﹣a，因此选项B不符合题意；当a＝0时，|a|＝0，﹣a＝0，有|a|＝﹣a，因此选项C不符合题意；当a＝4时，|a|＝4，﹣a＝﹣4，有|a|＞﹣a，因此选项D符合题意；故选：D．3．（2021秋•嘉祥县期中）已知|﹣3|＝|﹣a|，则a﹣4＝（）A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．﹣7或﹣1【完整解答】解：∵|﹣3|＝|﹣a|，∴|﹣a|＝3．∴a＝±3．∴a﹣4＝﹣1或﹣7．故选：D．4．（2021秋•高州市月考）下列各对数中，互为相反数的是（）A．﹣|﹣7|和+（﹣7）B．+（﹣7）和﹣（+7）C．﹣（﹣7）和﹣（+7）D．+（﹣7）和﹣7【完整解答】解：A、﹣|﹣7|＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意；B、+（﹣7）＝﹣7，﹣（+7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意；C、﹣（﹣7）＝7，﹣（+7）＝﹣7，两数互为相反数，故此选项符合题意；D、+（﹣7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意，故选：C．5．（2020秋•城厢区期末）若|a|＝|b|，则a，b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣bC．a＝0且b＝0 D．a+b＝0或a﹣b＝0【完整解答】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或相反，即a+b＝0或a﹣b＝0．故选：D．二．填空题6．（2020秋•赤峰期末）已知|a|＝3，则a的值是±3．．【完整解答】解：∵|a|＝3表示：在数轴上，一个数a表示的点到原点的距离是3，∴这个数a＝±3，故答案为：±3．7．（2021秋•平谷区校级期中）计算：|﹣23|＝23 ；﹣（﹣3）＝ 3 ；﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4 ；+（﹣5）＝﹣5 ．【完整解答】解：|﹣23|＝23，﹣（﹣3）＝3；﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4；+（﹣5）＝﹣5．故答案为：23，3，﹣4，﹣5．8．（2021秋•天门期中）当x＝﹣8 时，代数式|x+8|+|﹣7|取最小值，最小值等于7 ．【完整解答】解：∵|x+8|≥0，|﹣7|＝7，∴|x+8|+|﹣7|≥7．∴当|x+8|＝0，即x＝﹣8时，代数式|x+8|+|﹣7|取最小值7．故答案为：﹣8，7．9．（2021秋•蒙阴县期中）如果|m|＝|﹣6|，那么m＝±6 ．【完整解答】解：∵|m|＝|﹣6|＝6，|6|＝|﹣6|＝6，∴m＝±6．故答案为：±6．10．（2021秋•庐江县期末）﹣的绝对值是．【完整解答】解：﹣的绝对值是．故答案为：．11．（2021秋•庄浪县期中）若|a+3|＝5，则a＝2或﹣8 ．【完整解答】解：∵|a+3|＝5，∴a+3＝±5，∴a＝2或﹣8，故答案为2或﹣812．（2021•商河县校级模拟）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝0 ．【完整解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b＝0，∴|a﹣c|﹣|b+c|＝c﹣a﹣c﹣b＝﹣（a+b）＝0．三．解答题13．（2018秋•将乐县期中）用文字表述（不含字母）：“当a＜0时，|a|＝﹣a”的含义：负数的绝对值等于它的相反数．【完整解答】解：根据绝对值的定义，“当a＜0时，|a|＝﹣a”的含义是负数的绝对值等于它的相反数．故答案为：负数的绝对值等于它的相反数．14．（2018秋•南木林县校级期中）a＝﹣5，b＝3，求|a|﹣|b|的值．【完整解答】解：∵a＝﹣5，b＝3，∴|a|＝|﹣5|＝5，|b|＝|3|＝3，∴|a|﹣|b|＝5﹣3＝2，即|a|﹣|b|的值是2．15．（2018秋•江城区期中）已知|x|＝2，求x与﹣3的和．【完整解答】解：∵|x|＝2，∴x＝2或x＝﹣2，∴x+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1或x+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5．16．（2018秋•大连期中）将下列各数填在相应的集合里．﹣，9，0，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣62正有理数集合：{…}；正分数集合：{…}；负整数集合：{…}；自然数集合：{…}．【完整解答】解：正有理数集合：{9，+4.3，|﹣0.5|，18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}正分数集合：{+4.3，|﹣0.5|，18%…}负整数集合：{﹣（+7），﹣62…}自然数集合：{9，0，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}故答案为：{9，+4.3，|﹣0.5|，18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}；{+4.3，|﹣0.5|，18%…}；{﹣（+7），﹣62…}；{9，0，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}．17．（2017秋•宜宾县校级月考）如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．【完整解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，c＜0，故原式＝a﹣（﹣b）﹣（﹣c）＝a+b+c．18．（2017秋•利辛县月考）（1）写出绝对值不大于4的所有整数；（2）求满足（1）中条件的所有整数的和．【完整解答】解：（1）绝对值不大于4的所有整数有0，±1，±2，±3，±4；（2）（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4＝0。
第1讲-绝对值、有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
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模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离就是2的点表示的数就是( )
A.±2B.2C.-2D.4
【例2】下列说法正确的有()
①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.
A.负数B.负数或零C.零D.正数
3.如果|x-1|=1-x,那么()
A.x＜1B.x＞1C.x≤1D.x≥1
4.若|a-3|=2,则a+3的值为()
A.5 B.8 C.5或1 D.8或4
5.若x＜2,则|x-2|+|2+x|=_______________
6.绝对值小于6的所有整数的与与积分别就是__________
A.7或-7 B.7或3 C.3或-3 D.-7或-3
【例7】若 ,则x就是()
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
【例8】已知:a＞0,b＜0,|a|＜|b|＜1,那么以下判断正确的就是()
A.1-b＞-b＞1+a＞a
B.1+a＞a＞1-b＞-b
C.1+a＞1-b＞a＞-b
D.1-b＞1+a＞-b＞a
⑴当 时,原式
⑵当 时,原式
⑶当 时,原式
综上讨论,原式
通过阅读上面的文字,请您解决下列的问题:
(1)别求出 与 的零点值
(2)化简代数式
【巩固】化简
【巩固】化简 的值
【巩固】(1)化简 .
【课堂训练1】
1.若a的绝对值就是 ,则a的值就是()
A.2 B.-2 C. D.
2.若|x|=-x,则x一定就是()
C.y＜0,x＜0D.x=0,y≥0或y=0,x≤0
【例12】已知:x＜0＜z,xy＞0,且|y|＞|z|＞|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值()
A.就是正数B.就是负数C.就是零D.不能确定符号
【例13】给出下面说法:
(1)互为相反数的两数的绝对值相等;
(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不就是负数;
① ;② ;③ ;④ ;
⑤ .其中正确的有.(请填写番号)
【巩固】已知:abc≠0,且M= ,当a,b,c取不同值时,M有____种不同可能.
当a、b、c都就是正数时,M= ______;
当a、b、c中有一个负数时,则M= ________;
当a、b、c中有2个负数时,则M= ________;
当a、b、c都就是负数时,M=__________ .
【例15】若x＜-2,则|1-|1+x||=______
若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|= ________
【例16】计算 =.
【例17】若|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简:|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________
【例18】已知数 的大小关系如图所示,则下列各式:
7.如图所示,a.b就是有理数,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________
8.已知|x|=2,|y|=3,且xy＜0,则x+y的值为_________
1.零点分段法的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号.
【例1】阅读下列材料并解决相关问题:
我们知道 ,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式 时,可令 与 ,分别求得 (称 分别为 与 的零点值),在有理数范围内,零点值 与 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 中情况:
A.②④⑤⑥B.③⑤C.③④⑤D.③⑤⑥
【例3】如果a的绝对值就是2,那么a就是()
A.2B.-2C.±2D.
【例4】若a＜0,则4a+7|a|等于()
A.11aB.-11aC.-3aD.3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数就是()
A.1,0 B.正数C.非正数D.非负数
【例6】已知|x|=5,|y|=2,且xy＞0,则x-y的值等于()
绝对值非负性:必为0、
例如:若 ,则 , ,
绝对值的其它重要性质:
(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即 ,且 ;
(2)若 ,则 或 ;
(3) ; ;
(4) ;
的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.
的几何意义:在数轴上,表示数 . 对应数轴上两点间的距离.
【知识点整理】
绝对值的几何意义:一个数 的绝对值就就是数轴上表示数 的点与原点的距离、数 的绝对值记作 、
绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0、
注意:①取绝对值也就是一种运算,运算符号就是“ ”,求一个数的绝对值,就就是根据性质去掉绝对值符号、
【例9】已知a.b互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为()
A.2 B.2或3 C.4 D.2或4
【例10】a＜0,ab＜0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为()
A.6B.-4C.-2a+2b+6D.2a-2b-6
【例11】若|x+y|=y-x,则有()
A.y＞0,x＜0B.y＜0,x＞0
②绝对值的性质:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数; 的绝对值就是 、
③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总就是正数或0、
④任何一个有理数都就是由两部分组成:符号与它的绝对值,如: 符号就是负号,绝对值就是 、
求字母 的绝对值:
① ② ③
利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小、
(3)若|m|＞m,则m＜0;
(4)若|a|＞|b|,则a＞b,其中正确的有()
A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)
C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)
【例14】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
【巩固】 则 。
【巩固】已知 就是非零整数,且 ,求 的值
【例19】 的最小值就是_______
模块二绝对值的非负性
1.非负性:若有几个非负数的与为 ,那么这几个非负数均为
2.绝对值的非负性;若 ,则必有 , ,
【例1】若 ,则
【巩固】若 ,则
【例2】 ,分别求 的值
【巩固】先化简,再求值: .
其中 、 满足 、
模块三零点分段法