工科基础数学级数
工程数学—级数
收敛圆与收敛半径
幂级数
收敛收敛的三种情况：
图4.2.1
工程数学---------复变函数
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定义： 对于幂级数
定理2. 若
则其收敛半径为
的系数满足
工程数学---------复变函数
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例2. 求下列幂级数的收敛半径:
(1)
lim sn s( )
n
则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和, 写成
s
n 1
n
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1) 为发散.
工程数学---------复变函数
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例如, 级数 z :
n n 0
2)
a , b 至少一个发散
n n n 1 n 1
n 1
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n
发散
工程数学---------复变函数
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例1. 级数
n
n 1 n 1
1
2
(1
i n
) 是否收敛？ 1
解: 因为 an
n 1
n
2
收敛;
b
n 1
n
n 1
n
收敛, 则必有
于是存在
cn z
n 0
z z
n n 0
n
cn z
n 0
z z0
当 z z0 时,
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 z z0 时该幂级数发散 ,可以用反证法证明.
工科数学分析2课件-数项级数
工科数学分析(2)写在前➢停课不停学, 停课不停教;•虽没有传统课堂面对面的教与学•但有录课视频在网络平台随时学习➢祸兮福所倚, 福兮祸所伏;➢上课所需✓有网、PC或手机、下载app（学生）✓电子教材、课件、录课视频（老师）➢课程要求：时间、完整观看、完成作业、每周至少一次在线互动（检查+答疑）•存在问题：网络？观看成效？提交作业？1. 数项级数2. 函数列与函数项级数3. Fourier级数4. 多元函数的极限与连续目录5. 多元函数的微分学6. 多元函数的积分学➢数项级数研究内容:数项级数的敛散性判别法1112n++++12n a a a ++++221112n ++++无穷多个数相加有限个数相加第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用一、问题的提出引例1. 计算圆的面积AR正六边形的面积正十二边形的面积1a2 1a a+正形的面积n23⨯na a a +++ 21na a a A +++≈ 21即()12lim n n A a a a →∞=+++即任何有限项求和都达不到预期的值, 必须进行无穷项求和.12n a a a =++++割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失.引例2. 芝诺悖论——阿基里斯(Achilles)悖论内容:若乌龟在前, 则Achilles永远追不上乌龟！10 m1 m0.1m为什么v 2=10m/sv 1=1m/st 1=1st 2=0.1st 3=0.01s1. 路程上看：++++01.01.0110=10.11110 m1 m0.1m为什么v 2=10m/sv 1=1m/st 1=1st 2=0.1st 3=0.01s2. 时间上看：+++01.01.01=1.111引例3.)1664(年莱布尼茨.71513114π +−+−=,103103103103333.032 +++++=n ,23846 89793 26535 14159.3π =,1091051011041013π5432 ++++++=问题1：不加辨别地认定无穷多个数相加就是一个确定的数？+−+−=1111s (11)(11)000.s =−+−+=++=1(11)(11)100 1.s =−−−−−=−−−=s s −=−+−−=1)111(1 法一：法二：法三：.21=⇒s 问题2：有限个数相加的运算性质能简单地推广到无穷多个数的加法吗？(11)(11)0s =++−++=法四：错错错错1=definednn a ∞=∑12n a a a ++++结论：在没有给出无穷多个数相加的收敛性之前,不能随意结合(即加括号)、交换等.1nn kk s a ==∑研究问题的数学工具：数列极限理论()12lim n n a a a →∞=+++lim nn s →∞=第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用二、数项级数的概念1. 数项级数的定义或简称(无穷)级数一般项(或通项)级数的第n 个部分和121nn n aa a a ∞==++++∑121nn n kk s a a a a ==+++=∑级数的部分和数列{}n s2. 级数的收敛与发散若,lim s s n n =∞→ 则称级数1nn a ∞=∑收敛, 且收敛到和,s 记作 121n n n s a a a a ∞==++++=∑否则, 称级数1nn a∞=∑发散.1nn a∞=∑收敛(发散)⇔n n s ∞→lim 存在(不存在){}()n s ⇔数列收敛发散例1 讨论等比级数(几何级数)+++++=∑∞=nn naq aq aq a aq20)0(≠a的敛散性.解1,q ≠如果时211n n ns a aq aq aqa aq q−=++++−=−3. 典型例题1, q <当时0lim =∞→nn q qa s n n −=∴∞→1lim 1,q >当时∞=∞→nn q lim ∞=∴∞→n n s lim 级数收敛级数发散1,q =如果时1,,n q s na ==→∞当时1,q a a a a =−−+−+当时级数变为级数发散级数发散为什么？综上01,1,n n q aq q ∞=⎧<⎪⎨≥⎪⎩∑当时收敛当时发散..1)1(2q S q q S −=+++= 注1. 在引例2中,.1 21<=v v q 二者之比记为Achilles 追赶乌龟的过程中跑过的路程为快者必能追上慢者！注2. 应用实例: 分形几何中的Koch 雪花给定一个正三角形, 将每条边三等分, 然后以中间三分之一段为边向外作小正三角形, 在每条新得到的边上重复类似的操作．求Koch 雪花的周长与面积(设正三角形的边长为1)43,311==A P 面积周长初始状态第一次操作11212913,34A A A P P ⋅⋅+==第二次操作1223123)91(43,)34(A A A P P ⋅⋅⋅+==,2,1)34(11==−n P P n n 2111134()9n n n n A A A −−−⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1121211)91(43)91(43913A A A A n n −−⋅⋅++⋅⋅+⋅+=,3,2=n 周长为面积为22111414141()()()3393939n A −⎧⎫⎡⎤=+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭第次分叉：n于是雪花的面积有∞=∞→n n P lim 11132331(1).45519A A ⎛⎫ ⎪=+=+= ⎪ ⎪−⎝⎭结论：Koch 雪花的面积有限.22111414141()()()3393939n A −⎧⎫⎡⎤++++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭但周长无限.例2 判别无穷级数++⋅−++⋅+⋅)12()12(1531311n n 的收敛性. 解1111335(21)(21)n s n n =+++⋅⋅−⋅+)121121(21)5131(21)311(21+−−++−+−=n n ),1211(21+−=n )1211(21lim lim +−=∴∞→∞→n s n n n ,21=.21,和为级数收敛∴例3 判别无穷级数)11(ln 1n n +∑∞=的收敛性. 解341ln 2ln ln ln 23 ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)(ln(1)ln )n n s n n n +∴=++++=+−+−+++−ln(1)()n n =+→∞→∞.级数发散∴1ln ln(1)ln ,n n a n n n+==+−第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用证明1,lim 0.n n n n a a ∞→∞==∑若收敛则定理1(级数收敛的必要条件)011(1), sin .n n n n n ∞∞==−∑∑例如发散1lim , ,n n n n n s s a s s −→∞==−设存在lim 0.n n a s s →∞=−=故等价叙述为：1lim 0, .n n n n a a ∞→∞=≠∑若则发散三、数项级数的基本性质注(1) 提供了判别级数发散的一种方法(2) 定理的逆命题为真吗？+++++n131211例如调和级数lim 0,n n a →∞=即便有1.1n n ∞=∑但级数发散这是因为121111111111(1)()()(23456789101111 )()1621222m m m m s ++=++++++++++++++++++8项4项2项2项项m2,21加括号后的每项均大于121.2m m s ++>→∞定理2()111,,.n n n n n n n a b λa μb ∞∞∞===+∑∑∑设都收敛则也收敛()111.n n n n n n n λa μb λa μb ∞∞∞===+=+∑∑∑且证明11,{},{}n n n n n n a b s σ∞∞==∑∑设的部分和数列分别为()1{}n n n n n a b s λμλμσ∞=++∑则的部分和数列为lim()lim lim n n n nn n n s s λμσλμσ→∞→∞→∞∴+=+特别的 设级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑分别收敛于和s 与,σ则级数1()nn n ab ∞=±∑收敛,且和为 σ±s , 即111()n n nn n n n a b ab ∞∞∞===±=±∑∑∑逐项相加（相减）性1212()()n n a a a b b b ++++±++++1122()()()n n a b a b a b =±+±++±+两个级数都收敛的条件下！11(1)1[],.23nn n n ∞+=−+∑判断的敛散性若收敛则求其和例4解111(1)11[()]222nnn n n ∞∞+==−=⋅−∑∑,收敛.311收敛同理∑∞=n n 11111111134[()],,11226321()123nnn n ∞∞==−⋅−==−==−−−∑∑又.312161]312)1([11=+−=+−∑∞=+n n n n 故1“.,”,n n a ∞=∑加括号后组成的新级数也收 敛且若收敛和不变则定理3(收敛级数有结合律)设原来级数的部分和数列记为证明设加括号的新级数为11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++{}n s11,n s σ=lim lim lim ,.k k n n k k n s s s σ→∞→∞→∞===收敛22,n s σ=,,,k k n s σ=11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++{},k σ其部分和数列记为满足{}{},k n s σ故是的一个子列从而由子列极限一致性知+−+−)11()11(例如+−+−1111收敛,发散.扩展2如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散.扩展1反之呢?不一定!(定理3的逆否命题)定理4如果括号中各项符号相同, 且加括号后收敛,则原级数必收敛, 且和不变.证明新级数的部分和数列：原级数的部分和数列：11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++12,,,,,k σσσ12,,,,,n s s s lim ,k k σσ→∞=1σ↓112121,,,,,,,,n n n s s s s s +1,k n k s σσ−≤≤或者1k n k s σσ−≤≤11,k k n n n −+≤<要么此时成立利用夹逼性可知, n s 收敛.,{}{},k k n k n s s σσ=且从而是的一个子列111,,,,,,,k k k n n n n s s s s −−+2σ↓1k σ−↓kσ↓,,k k n n k n n s s σ===故要么从而1.n pkk n a ε+=+<∑恒有证明{}1lim n nnn n a s s ∞→∞=⇔⇔∑收敛存在是基本列**0,,,,N N n N p N ε⇔∀>∃∈>∈当时对一切.n p n s s ε+−<1nn a ∞=∑收敛**0,,,,N N n N p Nε⇔∀>∃∈>∀∈使时1.n p k k n a ε+=+<∑即定理5 (柯西收敛准则)定理6 添加、去掉、改变级数的有限项, 不改变级数的收敛性..112收敛性级数利用柯西审敛原理证明∑∞=n n例5211111(1)n pn pn pk k n k n k n a k k k +++=+=+=+=<−∑∑∑证1210,[]10,,0,||.n n n p N n N p a a a εεε+++∴∀>∃=+>>∀>+++<使得当时都有成立111111,1n pk n k k n n p n +=+⎛⎫=−=−< ⎪−+⎝⎭∑证111122n n n =+++++,212=>n n .级数发散∴.131211发散证明调和级数 +++++n例622111n nk k n k n a k=+=+=∑∑定理7证明都有对一切时当,*,,*,0N p N n N N ∈>∈∃>∀ε 若1n n a ∞=∑收敛, 则1n n a ∞=∑收敛. 设1nn a∞=∑收敛, 则由柯西收敛定理可知1.n pk k n a ε+=+<∑11.n pn pkk k n k n aa ε++=+=+∴≤<∑∑再由柯西收敛定理可知1nn a∞=∑收敛.绝对值的三角不等式四、小结1.由定义,若s s n →,则级数收敛;2.按基本性质.数项级数的基本概念基本判别法,,0,.n n a →∞→例如当则级数发散思考题.lim ,ln 131211存在证明设n n n x n nx ∞→−++++= 收敛存在的充要条件是提示：∑∞=−∞→−11)(lim n n n n n x x x教程上作业:习题9.1.1 1(1, 3), 2习题9.1.2 1(2), 2(2), 4, 6, 8(1, 3)黄本上作业:习题11.1 1(偶数), 2 (偶数), 4, 5第3节一般项级数的收敛性一、绝对收敛与条件收敛二、交错级数及其审敛法三、Dirichlet和Abel判别法重点：非正项级数的判敛法难点：条件收敛第3节一般项级数的收敛性一、绝对收敛与条件收敛二、交错级数及其审敛法三、Dirichlet和Abel判别法1. 柯西收敛准则一、绝对收敛与条件收敛定义1正项和负项任意出现的级数称为一般项级数.1.n pkk n a ε+=+<∑恒有1nn a ∞=∑收敛**0,,,,N N n N p Nε⇔∀>∃∈>∀∈使时例1{},0,n n a a >设数列单调递减且证明120,0,,.2n n N n N a a εε+∀>∃>>++<当时有2120, 22().n n n n a na a a ε+>∴≤++<2lim 20.n n na →∞∴=21220(21)20, ()n n n n a na a n +≤+≤+→→∞lim 0.n n na →∞∴=1,lim 0.n n n n a na ∞→∞==∑证明：若级数收敛则。
工科类本科数学基础课程要求
工科类本科数学基础课程要求
工科类本科数学基础课程一般包括以下内容：
1. 高等数学：包括极限与连续、导数与微分、积分与积分应用、无穷级数等内容，主要用于建立数学分析的基础知识。
2. 线性代数：包括向量空间、线性方程组、矩阵及其运算、特征值与特征向量等内容，主要用于解决多维空间中的线性问题。
3. 概率论与数理统计：包括概率空间与事件、随机变量与分布、随机过程与统计推断等内容，主要用于分析随机事件和统计数据。
4. 微分方程：包括常微分方程、偏微分方程及其解法、边值问题等内容，主要用于描述和解决物理、工程和科学领域中的变化和发展问题。
5. 数值计算方法：包括数值逼近、数值积分、数值代数、常微分方程数值解等内容，主要用于利用计算机进行数值计算和模拟。
此外，还可能包括离散数学、复变函数、随机过程、优化理论等相关课程，具体要求可能因学校和专业而有所差异。
工科类大一高数知识点
工科类大一高数知识点数学在工科类专业中占有重要的地位，大一的高等数学是为后续学习打下坚实基础的关键。
本文将介绍一些大一高数的重要知识点，帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、导数与微分1. 定义：导数代表函数在某一点处的变化率，表示为f'(x)或dy/dx，在解析几何中代表着函数曲线在该点处的切线斜率。
2. 基本求导法则：常数函数求导为0，幂函数求导使用幂函数求导法则，指数函数求导使用指数函数求导法则，对数函数求导使用对数函数求导法则，三角函数求导使用三角函数求导法则等。
3. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数表示导数的导数，隐函数求导是指对含有多个变量的方程进行求导。
二、微分方程1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程，解微分方程的过程就是求得满足方程条件的函数。
2. 常微分方程：常微分方程是指只包含一元函数及其导数的微分方程，分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
3. 一阶常微分方程的求解方法：可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
4. 高阶常微分方程的求解方法：齐次线性微分方程法、非齐次线性微分方程法、特征方程法等。
三、级数1. 定义：级数是由一列数相加得到的结果，常用于无穷项相加的情况。
2. 收敛与发散：收敛是指级数的和存在和有限，发散是指级数的和不存在或为无穷大。
3. 收敛级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
4. 常见级数：几何级数、调和级数、幂级数等。
四、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念：多元函数是指含有多个变量的函数。
2. 偏导数：多元函数的偏导数表示函数在某个变量上的变化率，其他变量视为常数。
3. 偏导数的求法：对于一元函数，偏导数等于导数；对于二元及以上的函数，可以按照每个变量分别求导，其他变量视为常数。
4. 高阶偏导数与混合偏导数：高阶偏导数表示偏导数的偏导数，混合偏导数表示多个变量的偏导数在不同顺序下求得的结果。
五、定积分与不定积分1. 定积分的概念：定积分表示曲线与x轴之间的面积或体积。
工科基础数学第六章级数
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11
第5,6课时：
6.3 幂 级 数
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12
教学目的：掌握幂级数的概念及收敛半
径和收敛区间的求法，了解幂级数的性质 ，会求简单幂级数的和函数。
教学重点：幂级数的概念及收敛半径
和收敛区间的求法。
敛的必要条件。
教学难点：数项级数的性质。
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3
教学过程：
1.本章概况介绍，讲本节内容前先复
习数列的概念，等差和等比数列的
求和公式 。
（7）
2. 给出数项级数的定义，说明通项、
部分和等概念。
（8）
3. 对 定 义 2 的 说 明 ， 强 调 “ 和 ” 与
“无穷项累加”的区别，讲清收敛与
3. 如何把函数f（x）直接展开成x的幂 11.06.2019级数，举例。记住常用的展开式。（20）19
4．举例用间接法将函数展开成泰勒级 数，提醒不要忘写收敛域。适当补充例 题，与习题中累似的题如：展开为
（x—1）的幂级数 ：
5.
（25）
1
f[x]x251x6
练习：
1）将f（x）= x x 展开成x—3的幂级数；
展开成傅里叶级数。
教学难点：2π为周期的函数
展开成傅里叶级数。
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22
教学过程：
1．内容筒单介绍，学习要求；复习积
分有关公式，再推证三角函数系的正交
性。
（115 0）
6. 说明如何用逐项求导或逐项积分的
方法求幂级数的和函数，举例。使学
生明白通过逐项求导或积分将级数转
工科高等数学 教材
工科高等数学教材一、引言工科高等数学是大学工科专业中一门重要的基础课程，它为学生提供了理论和方法论的基础，为他们日后的学习和工作打下坚实的数学基础。
本教材旨在系统而全面地介绍工科高等数学的核心内容和解题方法，以帮助学生掌握数学思维和计算技巧，提高他们的数学能力。
二、基本概念1. 数列与级数数列是按照一定规律排列的数的序列，级数是数列的和。
教材将详细介绍数列的表示方法、数列的收敛性、级数的性质等内容，并通过具体的例题进行演示。
2. 极限与连续极限是数学分析中最核心的概念之一，它描述了函数在某个点上的性质。
教材将引导学生理解极限的定义、性质和运算规则，并讲解连续函数的概念和特性。
3. 导数与微分导数是研究函数变化率的重要工具，微分则是导数的几何解释。
教材将介绍导数的计算方法、导数的基本性质以及微分的概念和运算法则，并通过实际问题展示导数在工程中的应用。
4. 不定积分与定积分不定积分是求解导数反问题的方法，定积分则是计算曲线下的面积或者物理量的方法。
教材将详细介绍不定积分的计算规则、定积分的定义和性质，并通过实例演示积分的应用。
5. 常微分方程常微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型，也是工科应用中常见的数学工具。
教材将引导学生理解常微分方程的基本概念和解法，并通过经典的实际问题引导学生掌握常微分方程建模和求解的方法。
三、教材特色1. 理论与实践相结合教材在讲解数学理论的同时，注重与实际问题的联系，通过实例和案例分析，让学生更好地理解理论知识的应用。
2. 简明易懂的讲解教材采用简明易懂的语言和逻辑结构，避免冗长的推导和抽象的概念，使学生更容易掌握和理解数学的基本原理。
3. 多样化的练习题教材提供了大量的练习题，涵盖不同难度和类型，旨在帮助学生巩固所学知识，培养解决实际问题的能力。
四、教学建议1. 定期复习工科高等数学的知识点相对较多，学生应当定期进行复习，巩固基础知识，并及时解决遇到的问题。
2. 善于归纳总结学生应该善于总结归纳，抓住重点，形成属于自己的学习方法和解题策略。
工科数分(2)期中复习提纲
工科数学分析（2）期中复习提纲第九章 数项级数：数项级数的收敛性一、知识结构收敛原理判别法判别法判别法）交错级数（条件收敛性绝对收敛性一般项级数’比较判别法基本原理正项级数数项级数CauchyAbel Drichlet Leibniz Cauchy Alembert D Cauchy ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧（一） 级数收敛的概念① 若级数∑∞=1n na 之部分和数列{}n s 收敛，则称级数∑∞=1n na 收敛，并称s s n n =∞→lim 为级数∑∞=1n n a 的和，记作：s a n n =∑∞=1。
② 若级数∑∞=1n n a 的部分和数列发散，则称级数∑∞=1n n a 发散。
③ 若∑∞=1n n a 收敛，则称∑∞=1n n a 绝对收敛；若∑∞=1n n a 发散，但∑∞=1n n a 收敛，则称∑∞=1n n a 条件收敛。
（二） 级数的基本性质① 若∑∞=1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a （级数收敛的必要条件）② 若∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=±1)(n n n b a ，∑∞=∙1n n a c （c 为常数）也收敛，并且∑∞=±1)(n n n b a =∑∞=1n n a +∑∞=1n n b∑∞=∙1n n a c =∑∞=1n n a c③ 在∑∞=1n n a 中任意改变，增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性。
④ 设∑∞=1n n a 收敛，则任意加括号后所得的级数仍然收敛，并且和不变。
⑤ 如果任意加括号后所得新级数收敛，并且同一括号内各项同号，则原级数收敛，并且两个级数的和相同。
⑥ 收敛原理Cauchy∑∞=1n n a 收敛的充分必要条件是：对0>∀ε，*N N ∈∃，当N n >时，对*N p ∈∀均有ε<=-∑++=+pk n k k n p n a s s 1（三） 常用级数① 几何级数（等比级数）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=∑∞=-11111q q q aaq n n 发散，， ② p 级数∑∞=⎩⎨⎧≤>1111n p p p n 发散，收敛，注：1=p 时，∑∞=11n n 即为调和级数。
工科数学分析课件-第9章 数项级数
n0
级数
n0
1 n
,当
1时收敛,
1时发散.
级数收敛的必要条件
（3）级数收敛的必要条件：
定理1.1 若n1 an收敛，则lnim an 0（. 反之不对）
证明：
设
lim
n
S
n
S存在,
an
Sn
Sn1 ,
故 lim n
an
S
S
0.
等价叙述为：
若
lim
n
an
0,则
n1
an发散.
例：
(1)n ,
逆否： 加括号后发散,则原级数发散. 实质：
加法结合律的推广——收敛级数有结合律. 反之不真：
“加括号后收敛,
原级数不一定收敛”
(1)n1
n1
收敛级数的性质
定理1.4 如果括号中各项符号相同,且加括号 后收敛,则原级数必收敛.且和不变.
证明： (a1 a2 ... ak1 ) (ak11 ... ak2 ) ... (akn11... akn ) ...
,
该级数发散.
法二： an
1 n2
n２＝
１ ２
1 n
,
该级数发散.
(2)
sin
1 n
~
1 n
,
该级数发散.
(3)
ln(1
1 n2
)
~
1 n2
,
该级数收敛.
例2
(4)
(
n1
n1
n) p ln n 1 , n1
an 0
( n 1 n)p (
1
)p ~ ( 1 )p.
n1 n
n
工程数学—级数2
24
例 4 把函数
1 z − b 表成形如
cn (z − a)n ∑
n=0
∞
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数.
[解] 把函数
写成如下形式: 1 1 −1 1 = = ⋅ z−b ( z − a ) − (b − a ) b − a 1 − z b
1 z−b
a a
−1 (z − a) ( z − a )2 ( z − a)n = − − −L − −L 2 3 n b − a (b − a ) (b − a ) (b − a )
时 ， ，级数为
(−1) n ∑ n 它是交错级数，根 它是交错级数， n =1
∞
据莱布尼兹判别法知级数收敛； 据莱布尼兹判别法知级数收敛；当 z = 2
1 时，级数为 ∑ ，它是调和级数，故发散. 它是调和级数，故发散. n =1 n
∞
22
定理 4.3.3
（1） ）
∞
幂级数的性质： 幂级数的性质
+∞
1
λ
时,∑ cn z 收敛.
n n =0
+∞
知级数∑ cn z 在圆 z = 内收敛
n n=0
1
λ
再证当 z >
1
λ
时, 级数∑ cn z 发散.
n n =0
16
+∞
假设在圆 z =
1
λ
n 外有一点z0 , 使级数∑ cn z0 收敛. n =0
+∞
在圆外再取一点z1 , 使 z1 < z0 ,那么根据阿贝尔定理,
(1)对所有的正实数都是收敛的. 这时， (1)对所有的正实数都是收敛的. 这时， 对所有的正实数都是收敛的 根据阿贝尔定理可知级数在复平面 内处处绝对收敛； 内处处绝对收敛； (2) 对所有的正实数除z = 0 外都是发散的. 这时， 外都是发散的. 这时，级数在复平面内 除原点外处处发散； 除原点外处处发散；
高等数学(2017高教五版)课件正项级数(工科类)
*推论2
比式判别法和根式判别 法
*例8 研究级数
1 b bc b 2c b 2c 2 b nc n1 b nc n (8)
则级数 un 发散.
比式判别法和根式判别 法
当 0 l 1 时收敛， 故由比较原则, 这时级数 un
也收敛, 对于情形(ii), 由(10)式可得
n l 证 由(9)式有 un l , 而l 1, 因为等比级数
n
un 1n 1.
显然当 n 时, un 不可能以零为极限, 因而由级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
un lim l , n v n
(i) 当 0 l 时, 级数 un , vn同敛散;
(3)
证 (i) 由(3) 对任给正数 l , 存在某正数N, 当 n > N 时,恒有
un l vn
或
( l )vn un ( l )vn .
比式判别法和根式判别 法
定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）
设 un 为正项级数, 且存在某正数 N 0 及常数 l ,
(i) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un l 1,
(9)
则级数 un 收敛;
(ii) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un 1,
(10)
收敛的必要条件可知, 级数 un 是发散的.
比式判别法和根式判别 法
设 un 为正项级数, 且
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分有关公式，再推证三角函数系的正交
性。
（20）
2．用逐项积分及三角函数系的正交性
教学重点：级数收敛发散的定义，级数收
敛的必要条件。
教学难点：数项级数的性质。
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3
教学过程：
1.本章概况介绍，讲本节内容前先复
习数列的概念，等差和等比数列的
求和公式 。
（7）
2. 给出数项级数的定义，说明通项、
部分和等概念。
（8）
3. 对定义2的说明，强调“和”与“无
穷项累加”的区别，讲清收敛与发散
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16
第7,8课时： 6.4 函数展开成幂级数
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17
教学目的：了解泰勒级数的有关概念，
熟悉几个初等函数的幂级数展开式，会用 间接法求较简单函数的泰勒级数。
教学重点：用间接法将函数展开为幂
级数。
教学难点：将函数展开为幂级数。
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18
教学过程：
1．表叙泰勒公式和马克劳林公式，举
4/11/2020
（ 10 ）
14
4. 先举例1,说明求收敛域的方法，可补 充简单的例题巩固〔专升本考试范围〕。 其它例题求收敛区间为主，当幂级数缺 奇（偶）次项可用取绝对值，由比值审 敛法求出其收敛区间，除例3外还可补充 缺偶次项的例题。举例4后让学生记住：
对 x x0的幂级数是如何求收敛区间的。
的概念
。
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4
4. 通过对例1的讲解，要求学生掌握等 比级数的审敛法；例2,3都是拆项化简的 方法，类似题还可举1，2个，或让学生练 习。
（18）
5. 给出并配以简例说明数项级数的三个
性质。
Hale Waihona Puke （10）6. 叙述并推出级数收敛的必要条件。
（10）
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5
7. 举例4,5，例5的结论说明通项趋于零不 是级数收敛的充分条件，要学生记住调和级 数是发散的。再适当补充举例1，2。（15）
例2—5，要求学生掌握P-级数的审敛法。可
补充2个例题，先让学生思考，再与学生一
起
分
析
解
答
。
（25） 4/11/2020
9
3．给出比值审敛法，复习一下两个重
要极限公式，罗必塔法则，再举例7—9
（ρ的三种不同情况），可补充1,2个例
题，或让学生练习。
（25）
4．举例说明什么是交错级数，说明莱 布尼兹审敛法。举例10，指出条件（2） 是收敛的必要条件，但条件（ 1 ）不满
第六章 级数
高等数学
安徽电气工程学院
4/11/2020
1
本章安排10课时，每节2学时， 习题课2学时。具体如下：
第1,2课时：
6.1 常数项级数的概念 与性质
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2
教学目的：理解级数的定义，掌握级数
收敛、发散的概念及其性质，熟悉几何级 数、调和级数的敛散性，会用级数收敛的 必要条件判断某些级数的发散。
教学难点：求幂级数的和函数。
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13
教学过程：
1.先说明什么是幂级数及其一般形式， 讲清收敛（发散）点、域的概念；再讲 和函数的概念，用常见的等比级数举例。
（ 15 ）
2. 给出并说明阿贝尔定理，讲叙幂级
数收敛性的三种情形，指出收敛区间和
收敛域的区别。
（15）
3. 求收敛半径的方法，定理2及证明。
例
（15）
2．说明什么是泰勒级数和马克劳林级 数，f（x）在点x处的泰勒级数与在点x 处的泰勒展开式有什么不同。（本书提 法与其它教材有异，参见同济等教材） （10）
3. 如何把函数f（x）直接展开成x的幂 级数，举例。记住常用的展开式。（20）
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19
4．举例用间接法将函数展开成泰勒级 数，提醒不要忘写收敛域。适当补充例 题，与习题中累似的题如：展开为
教学重点：正项级数的比较审敛法和
比值审敛法。
教学难点：正项级数的比较审敛法。
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8
教学过程：
1．叙述正项级数定义，分析引出定理1，
举例1说明。
（10）
2. 给出并说明比较审敛法，注意用一般项
作比较，强调“小于收敛则收敛，大于发散
则发散” 〔学生往往用错），指出比较对
象：几何级数，调和级数，P-级数等等；举
（20）
5. 讲解幂级数的性质。
（10）
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15
6. 说明如何用逐项求导或逐项积分的
方法求幂级数的和函数，举例。使学
生明白通过逐项求导或积分将级数转
化为可求和的几何级数，再用逆运算
求出和函数。习题中有二次逐项积分
的情形说明一下。
（15）
7 ．补充例题或练习。
（10）
8．本课小结，布置作业。 （5）
8.课堂练习：判别级数的敛散性：
1 1）3
1 6
1 9
1 2）2
1 1 1 2 32 42
（15）
9. 小结，布置作业。
（10）
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6
第3,4课时：
6.2 常数项级数的审敛 法
4/11/2020
7
教学目的：掌握正项级数的比较和比值
判别法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法， 会判别绝对收敛和条件收敛。
21
教学目的：掌握傅里叶系数及
傅里叶级数公式和收敛定理，会 将2π为周期的函数展开成傅里叶 级数。
教 学 重 点 ： 2π 为 周 期 的 函 数
展开成傅里叶级数。
教 学 难 点 ： 2π 为 周 期 的 函 数
展开成傅里叶级数。
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教学过程：
1．内容筒单介绍，学习要求；复习积
（x—1）的幂级数 ： 5. 练习：
f
[x]
x2
1 5x
6
（25）
1）将f（x）= 1 展开成x—3的幂级数；
x
2）将f（x）= x 展开成x的幂级数。
x3
（15）
6．本次课小结。布置作业。 （10）
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20
第9,10课时：
6.5 周 期 为 2π 的 函 数展开成傅里叶级数
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6．小结：判别级数敛散性有哪些方法，一 般使用的先后次序。布置作业。 （10）
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11
第5,6课时：
6.3 幂 级 数
4/11/2020
12
教学目的：掌握幂级数的概念及收敛半
径和收敛区间的求法，了解幂级数的性质， 会求简单幂级数的和函数。
教学重点：幂级数的概念及收敛半径
和收敛区间的求法。
足，不能讲该级数就一定发散。判别条 件（ 1 ）有三种方法：差与0比较、比 与1比较、一般项对n的导数与0比较。 可适当增加例题或让学生练习。（15）
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10
5．先举例说明定理5，再叙述绝对收敛和条 件收敛的定义，然后举相关例题。可补充交 错级数是绝对收敛的例题，也为判别某些收 敛的交错级数多了一个思路。 （15）