高中物理竞赛课件：微积分在物理上的应用
微积分基础初步及其在中学物理竞赛中的应用
A
A
几何公理：两点之间直线距离最短
∫B ds 的极小值为直线 AB . A
光在均匀介质中沿直线传播
ii. 用费马原理证明折射定律
证: 通过空间两点A、B可以作无数个
平面，其中必有一个平面垂直于两 种介质 n1和n2 之间的界面，OO’是 它们的交线。通过A点折射到B点的 入射线交界面于C点，求C点的位置。
M0
L
N
αϕ
o
AB x
tan α = lim tan ϕ = lim Δy = lim f ( x0 + x) − f ( x0 )
Δx→0
Δ x Δx → 0
Δx→0
x − x0
曲线 y = f (x)在点M0处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标
x的增量Δx之比，当Δx → 0时的极限即为曲线在M0点处
即： f ′′(x0 ) = [f ′(x)]′ x=x0
依次类推，可得三阶、四阶导数等.
导数的几何意义与物理意义
z导数的几何意义： 函数 y = f (x) 在点x0处的导数等于函数所
表示的曲线L在相应点（x0,y0)处的切线斜率.
y
y = f (x)
M T
M0
L
N
αϕ
o
AB x
z导数的物理意义： 变速直线运动的速率
(a) C点必在OO'上
如果有另一点C'位于线外，则对应于C’，必可在OO’线上找 到它的垂足C''
因为 AC' > AC' ' C' B > C'' B AC'+C' B > AC''+C'' B 而非极小值．
微积分在物理学上的应用
1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。
对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。
例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化、运动以及量的变化。
它的基本思想在物理学中具有广泛的应用，涵盖了从简单的运动到复杂的力学系统、热力学、电磁学甚至量子力学等多个领域。
本文将探讨微积分在物理学中的一些关键应用，阐明其理论基础和实际重要性。
一、微积分的基本概念在讨论微积分在物理学中的应用之前，有必要简要理解微积分的基本概念。
微积分主要由两部分组成：微分和积分。
微分主要用于研究函数在某一特定点的变化率，而积分则用于计算函数在一个区间内的累积量。
这两者通过微积分基本定理紧密相连，前者为后者提供了定义和理论基础。
二、运动学中的应用运动学是物理学的一个分支，专注于物体的运动描述。
在运动学中，微积分被用于处理位置、速度和加速度之间的关系。
位置与速度假设一个物体在直线上的位置可以用时间t的函数x(t)来表示。
通过对位置函数进行微分，可以得到物体的瞬时速度，即：反之，如果已知物体的速度v(t)，我们可以对其进行积分以求得位置x(t)：[ x(t) = v(t) dt ]加速度与速度类似地，加速度是速度随时间变化的速率。
其表达为：[ a(t) = ]同样，若已知加速度a(t)，则可以通过积分求得速度：[ v(t) = a(t) dt ]这些公式使得我们能够通过已知的条件推导出另一个量，极大地方便了运动分析。
三、力学中的应用力学是研究物质及其运动规律的一门科学，其中涉及到很多与微积分密切相关的概念。
牛顿第二定律牛顿第二定律指出，一个物体所受的总外力等于其质量与加速度的乘积。
数学表达为：[ F = m a ]考虑到加速度a可以表示为速度对时间的导数，我们有：因此，力F也可以被视为对动量p = mv（即质量与速度的乘积）时间变化率的描述：[ F = ]这表明，在系统分析中，通过微分我们能理解物体动量变化与受力之间深刻而又紧密的关系。
动能定理此外，微积分也被广泛应用于动能定理中。
动能是与物体运动状态相关的一种能量形式，其表达式为：[ KE = mv^2 ]当受力做功W时，系统的动能改变可以表示为：[ W = KE_f - KE_i = _{x_i}^{x_f} F dx ]此处，功W是通过移位过程中的力F与位移x之间关系而得出的，这展示了微积分在分析能量转化过程中的重要性。
(完整word版)微积分在物理竞赛中的应用
VdV (L1 L2 ) 2x g,
dx
L1 L2
V
VdV
x (L1 L2 ) 2x gdx
0
0 L1 L2
V
2g L1 L2
(L1 L2 )x x2 .
令 x L2 , 可以求得链条滑离钉子时的速度大小
V 2L1L2 g L1 L2
再由V dx , 得到 dt
dx dt
。
小球 A 相对地的加速度
aA
a
A
aB
，取如图二所示的坐标系，
则有
a Ax
aA
cos
aB
sin 2 2(1 sin 2 )
g,
a Ay
aA sin
2sin 2 (1 sin 2 )
g.
旋转液体的液面
以等角速度 ω 旋转的液体，液面的形状如何求得？ 解答：
假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在
y
m k
(V0
sin 0
mg k
)(1
kt
em
)
mg k
t.
由（3）（4）两式消去 t,得到有阻力时的轨道方程
（4）
y
(tg 0
mg kV0 cos0
)x
m2g k2
ln(1
mV0
k c os 0
)x
m2g k2
ln(1
k mV0 cos
x).
显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨
2g L1 L2
(L1 L2 )x x2
x
dx
t
0 （L1 L2）x x 2 0
积分，得到
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学。
物理学是研究物质和能量及其相互关系的科学，而微积分为物理学家提供了分析和解决复杂物理问题的有力工具。
本文将详细介绍微积分在物理学中的应用，分析其对物理学研究的重要性和价值。
1. 那些连续变化的物理量物理学中存在许多连续变化的物理量，如速度、加速度、力和位移等。
微积分通过引入导数和积分的概念，可以对这些连续变化的物理量进行研究和分析。
例如，物体在某一时刻的速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过微积分，可以求解出物体的速度、加速度和位移的具体函数表达式，从而更好地理解和描述物理现象。
2. 曲线下的面积在物理学中，我们经常需要计算曲线下的面积，例如计算物体的质量、能量等。
微积分中的积分概念提供了一种有效的方法来求解这些面积。
通过对曲线进行积分处理，可以求得曲线下的面积。
例如，在力的曲线图中，曲线下的面积可以表示物体所做的功，从而得到能量的大小。
微积分的积分概念为物理学家提供了一种精确计算曲线下面积的方法。
3. 物理规律的微分方程描述微积分中的微分方程给予了物理学家一种描述动态过程的数学工具。
物理学中许多规律和现象的变化可以由微分方程来描述。
例如，牛顿第二定律（F=ma）可以通过对该方程进行微分得到物体的运动状态。
微积分提供了一种相对简便的方法，让我们能够更好地理解和分析物理学中的各种现象和规律。
4. 基本微积分定理和积分应用微积分中的基本定理为物理学提供了一种求解积分的方法。
基本定理表明，对于连续函数的不定积分，可以通过求导得到原函数表达式。
这一定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在动力学中，基本定理可以用于求解速度和位移之间的关系。
在热力学中，基本定理可以用于求解温度和热量之间的关系。
总之，微积分在物理学中有着广泛的应用。
它为物理学家提供了一种强大的工具，使他们能够更好地理解和解决物理学中的各种问题。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上的应用1 引言微积分就是数学的一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学包括导数的运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍的。
对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小,足以使用简单,可研究的方法来解决,再把这些局部问题的结果整合起来啊,就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去,局部问题无限的小下去的方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中的结果进行求与的方法,即就是积分。
这种解决物理问题的思想与方法即就是微积分的思想与方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限的基础上,其主要探讨的就就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出的结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体的结果累积起来进行求与。
例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt,而这一时间内的位移为dt,在每一段时间内速度的变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内的运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内的位移相加,无限求与,就可以得出总的位移。
在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律的数学表示,因此,我们在使用这些公式时,面对物理量与公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体的物理量与角度去判断她的正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中的感应电动势大小。
解:设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中,微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有,但她们的物理含义却就是不一样的,前者的表示微元面dS上的磁通量,就是一个微小量,而后者的表示的就是微笑时间内的磁通量变化量,就是一个微小变化量。
宝典微积分在物理比赛中的应用
宝典微积分在物理比赛中的应用求解在立体斜面上滑动的物体的速度,,tg,一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数,恰好满足，为斜面的倾角。
,今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，V0求:物体在轨道上任意一点的速度V与的关,系，设为速度与水平线的夹角。
,,G解:物体在某一位置所受的力有:重力，,,,N弹力以及摩擦力。
摩擦力总是与运动速度V的方向相反，其数值ff f,,N,,mgcos,,tg,mgcos,,mgsin,,,重力在斜面上的分力为，如图二，将GG11,,,分解为两个分力:是沿轨迹切线方向的分GG11,,,力，,;,是沿G,Gsin,,mgsin,sin,G111轨迹法向的分力，,，如图三。
G,Gcos,,mgsin,cos,11根据牛顿运动定律，得运动方程为,,,,,,(1)G,f,ma1,,,,,,,,,,(2)G,ma1n由(1)，1a,(mgsin,sin,,mgsin,),gsin,(sin,,1) ,m而dVa,,得到 ,dt,,,,,,,,,,(3) dV,gsin,(sin,,1)dt,式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在,,与t中消去一个变量，才能积分，注意到dS1ds,,,,,,,,,,,,,,(4) dt,,d,VVd,ds,而表示曲线在该点的曲率半径，根据(2)式， d,2V,,mgsincos,m,,,,(5) ,由式(3)(4)(5)，可得到 dV,(tg,,sec,)d,, VV,dV， ,(tg,,sec,)d,,,0V0V积分，得到V， ln,,lncos,,ln(sec,，tg,),,ln(1，sin,)V0V0 V,.，,1sin运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长度为而且，如LL,0,L,L2211图一。
试求:链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。