人教版八年级上册数学 分式解答题(培优篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20

天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2

3

，公司需付甲工厂加工费用为

每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．

【解析】

【分析】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．

（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．

【详解】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，

则：解得：x＝16

经检验，x＝16 是原分式方程的解

∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品

（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天

需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元

方案二：乙工厂单独完成此项任务，则

需要的时间为：960÷24＝40 天

需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元

方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则

16a+24a＝960

∴a＝24

∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元

综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．

【点睛】

本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方

案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．

2．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．

（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．

（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12

S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．

【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）方案二所用的时间少

【解析】

【分析】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；

（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x

=+， 解得：150x =，

检验，当150x =时，()300x x +≠，

∴原分式方程的解为：150x =，

30180x +=，

答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab

+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b

=+， ∴2

2()22()

a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，

∴()20a b ->，

∴

202a b S S ab a b

+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．

【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．

3．已知分式 A =2344(1)11

a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式；

（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；

（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．

【答案】（1）

22

a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】

【分析】

（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式2622

a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；

（3）由24122

a A a a +=

=+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11

a a a a a -++-÷-- =221311(2)

a a a a ---⨯-- =2

(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22

a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22

a A a +=

-， ∴62

a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+；