§2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
§2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
例2-2-2 机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧
第 6 页
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f ，外加牵引力为 FS (t ) ，其外加牵引力FS (t ) 与 刚体运动速度 v (t ) 间的关系可以推导出为
d FS (t ) d v (t ) d v (t ) m +f + kv (t ) 2 dt dt dt
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若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
X
d n r (t ) d n -1 r ( t ) d r (t ) C0 + C1 + + C n -1 + C n r (t ) n n -1 dt dt dt d m e( t ) d m -1 e ( t ) d e( t ) E0 + E1 + + E m -1 + E m e( t ) m m -1 dt dt dt
X
例2-2-1求并联电路的端电压v (t )与激励i (t ) 间的关系。 s
1 电阻 iR (t ) v (t ) R 1 t 电感 i L (t ) - v ( )d L d v (t ) 电容 iC (t ) C dt
iR i s (t ) R L iL C ic +
§2.2 系统数学模型 (微分方程)的建立
第
主要内容
复习系统微分方程的描述 物理系统的模型
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微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
X
第
一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
拉普拉斯变换 例题解析
2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解传递函数的表示
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入 信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：
G(s)
Y (s) F (s)
mS
2
1 fS
k
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第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 关于传递函数的几点说明 （1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于 线性定常系统。 （2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号 的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。 （3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系 统响应的基本特点和动态本质。 （4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系 统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传 递函数表示。
；弹簧力与物体的位移成正比
10
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量 并整理得：
M d 2 y f dy Ky F
dt 2
dt
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第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出
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第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数
即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为：
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
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第2章
第2章 控制系统的数学模型
4. 闭环系统的误差传递函数 （1）输入信号作用下的误差传递函数
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
微分方程的建立与求解
微分方程的建立与求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将探讨微分方程的建立与求解方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的概念与分类微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
它通常包含未知函数、自变量和它们的导数。
根据方程中含有的未知函数的最高阶导数的次数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是未知函数的导数只涉及一个自变量的微分方程，通常用于描述物理、生物等自然界现象。
偏微分方程是未知函数的导数涉及两个或两个以上自变量的微分方程，常用于描述流体力学、电磁场等现象。
二、微分方程的建立过程微分方程的建立是通过观察实际问题、分析其特点和规律，将问题转化为数学方程。
建立微分方程的过程通常涉及以下几个步骤：1. 确定未知函数：根据问题的背景和目标，确定需要求解的未知函数。
例如，根据物体的速度变化情况，可以确定未知函数为物体的位移函数。
2. 建立变量关系：分析问题中涉及到的各个变量之间的关系，建立它们之间的数学模型。
例如，根据牛顿第二定律和速度与加速度的关系，可以建立运动物体的微分方程。
3. 确定边界条件：根据问题的具体条件，确定微分方程的边界条件，以求解特定的解。
边界条件通常包括初始条件和边界值条件。
4. 化简方程：根据问题的特点和求解的需要，对微分方程进行适当的化简和变形，以便更好地求解。
三、微分方程的求解方法微分方程的求解是通过找到满足方程的函数，从而得到该方程的解。
常用的求解方法有：1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，得到两个只包含一个变量的方程，然后分别对两个方程进行积分，最后得到方程的解。
2. 变量代换法：通过适当的变量代换，将原微分方程转化为已知的、易于求解的微分方程。
3. 积分因子法：通过求解积分因子，将原微分方程化简为恰当微分方程，从而求解得到方程的解。
4. 拉普拉斯变换法：将微分方程通过拉普拉斯变换转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，最后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解。
微分方程的建立步骤
微分方程的建立步骤
嘿，朋友们！今天咱来聊聊微分方程的建立步骤，这可有意思啦！
你想想啊，微分方程就像是一个神秘的密码锁，咱得一步步找到正
确的解法才能打开它。
首先呢，得明确问题。
就好比你要去一个地方，得先知道目的地在
哪儿呀！咱得搞清楚到底要研究啥现象，要解决啥难题。
这一步可不
能马虎，得瞪大眼睛瞧仔细咯！
然后呢，找出关键因素。
这就像是在一堆乱七八糟的东西里找出宝
贝一样。
把那些和问题紧密相关的因素给拎出来，可别把无关紧要的
也掺和进来。
接下来，建立数学模型。
嘿，这就有点像搭积木啦！把那些关键因
素用数学的语言、符号给组合起来，搭建成一个漂亮的模型。
这可得
有点想象力和创造力哦！
再然后，确定变量和未知函数。
这就像是给每个角色起个名字一样，让它们在这个数学的舞台上各就各位。
之后呢，根据物理规律或者已知条件列出方程。
这就好比给这些角
色设定好他们的行动规则，让一切都有章可循。
在这个过程中，可别掉以轻心啊！就像走钢丝一样，得小心翼翼的。
建立好微分方程后，咱还得检查检查，看看有没有漏洞，有没有不合理的地方。
这就跟检查作业似的，可不能马马虎虎交差了事。
你说这建立微分方程的过程像不像一场刺激的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜！咱得用心去感受，去探索，才能找到那把解开神秘密码的钥匙。
总之啊，微分方程的建立步骤可不能小瞧，得认真对待，才能在数学的海洋里畅游无阻呀！大家加油哦！。
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例2-2-2 机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧
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牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f ，外加牵引力为 FS (t ) ，其外加牵引力FS (t ) 与 刚体运动速度 v (t ) 间的关系可以推导出为
d FS (t ) d v (t ) d v (t ) m +f + kv (t ) 2 dt dt dt
2
k
m
f
Fs
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方的描述
一个线性系统，其激励信号e(t ) 与响应信号r (t ) 之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
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若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
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例2-2-1求并联电路的端电压v (t )与激励i (t ) 间的关系。 s
1 电阻 iR (t ) v (t ) R 1 t 电感 i L (t ) - v ( )d L d v (t ) 电容 iC (t ) C dt
iR i s (t ) R L iL C ic +
§2.2 系统数学模型 (微分方程)的建立
第
主要内容
复习系统微分方程的描述 物理系统的模型
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微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
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一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
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第
二．微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
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•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.
d n r (t ) d n -1 r ( t ) d r (t ) C0 + C1 + + C n -1 + C n r (t ) n n -1 dt dt dt d m e( t ) d m -1 e ( t ) d e( t ) E0 + E1 + + E m -1 + E m e( t ) m m -1 dt dt dt
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a
v (t )
-
b
根据KCL
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) iS (t )
代入上面元件伏安关系，并化简有 d i S (t ) d 2 v (t ) 1 d v (t ) 1 C + + v (t ) 2 dt R dt L dt 这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。