高等数学第三章 单调性及其判定
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高等数学自考3.3函数的单调性与极值
上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法全文
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
函数单调性判断或证明方法
函数单调性判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的取值呈现递增或递减的趋势。
判断函数的单调性有两种常用的方法：1.利用导函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上导函数f'(x)始终大于等于零（或小于等于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的导函数f'(x)；b.列出f'(x)=0的根，即f'(x)的驻点；c.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(f(x),f'(x))的表格；d.根据(f(x),f'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
2.利用原函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上f'(x)始终大于零（或小于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的原函数F(x)，即有F'(x)=f(x)；b.对F(x)进行求导得到F'(x)，即二阶导函数，然后化简；c.列出F'(x)=0的根，即F'(x)的驻点；d.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(F(x),F'(x))的表格；e.根据(F(x),F'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
下面以具体的例子来说明如何利用这两种方法判断函数的单调性。
例1：对函数f(x)=x^3进行单调性判断。
a.利用导函数进行判断：f'(x)=3x^2，该函数导数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,f'(x))(-∞,+∞)b.利用原函数进行判断：F(x)=1/4*x^4是f(x)=x^3的一个原函数。
对F(x)进行求导得到F'(x)=x^3，该函数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,F'(x))(-∞,+∞)可以看出，无论是利用导函数还是原函数进行判断，都得到了相同的结论：函数f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
④定号，判断 的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
同济大学《高等数学》(第四版)3-4节 函数单调性的判定法
(2 在[a, b] 上单调增加； ) 如果在 ( a, b)内 f ′( x) < 0，
那末函数 y = f ( x) 在 [a, b] 上单调减少.
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证
∀ x1 , x2 ∈ ( a , b ), 且 x1 < x2 , 应用拉氏定理 得 应用拉氏定理,得 ( x1 < ξ < x2 )
∴ f ( x2 ) < f ( x1 .
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例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 ∵ y′ = e x − 1. 又 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
在( −∞ ,0)内, y′ < 0,
上单调增加； 当0 < x < +∞ 时， f ′( x ) > 0, ∴ 在[0,+∞ )上单调增加；
−∞ 单调区间为 (−∞ ,0]， [0,+∞ ).
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注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
y = x 3 , y′ x = 0 = 0, 但在( −∞ ,+∞ )上单调增加. 例如, 例如
例4 当x > 0时, 试证x > ln(1 + x )成立.
x . 证 设f ( x ) = x − ln(1 + x ), 则 f ′( x ) = 1+ x
∵ f ( x )在[0,+∞ )上连续 , 且(0,+∞ )可导， f ′( x ) > 0, 可导，
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思考题
若 f ′( 0) > 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？ 充分小的邻域内单调递增？
高等数学-3_4单调性
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
高等数学课件3-4单调性的判别法
图像法：通过绘制函数的图 像来判断单调性
反证法：通过假设函数在某 区间内不单调，然后推导出
矛盾来证明函数的单调性
判定定理的局限性
判定定理不适 用于所有函数， 只适用于连续
函数。
对于不连续的 函数，判定定 理可能无法准 确判断单调性。
对于一些特殊 函数，如周期 函数或分段函 数，判定定理 的应用可能有
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单调性的定义
单调性是指函数在某点或某区间上的增减性 单调性分为单调递增和单调递减两种 单调递增是指函数在某点或某区间上的值随着自变量的增加而增加 单调递减是指函数在某点或某区间上的值随着自变量的增加而减少
添加标题
单调性的传递性是判断复合函数单调性的重要工具，可以帮助我们快速判断复合函数的单调性。
添加标题
单调性的传递性还可以推广到多元函数的情况，即如果函数f(x)在区间[a, b]上对每个自变量都 单调递增，且g(x)在区间[a, b]上也对每个自变量都单调递增，那么复合函数f(g(x))在区间[a, b]上也是单调递增的。
添加标题
定义：如果一个函数f(x)在定义域内对任意x1,x2满足x1<x2时，都有f(x1)<=f(x2)， 则称f(x)在定义域内单调递增。
添加标题
性质：单调递增的函数在定义域内没有最大值，只有最小值。
添加标题
例子：y=x^2, y=e^x, y=sinx, y=cosx等都是单调递增的函数。
添加标题
不等式证明是数 学中的一个重要 问题，通常需要 利用单调性来证 明
单调性可以用于 证明不等式，例 如利用函数的单 调性来证明不等 式成立
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f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
2 33 x
解 D : ( , ).
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
单调性及其判定
Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例5
证
证明 x 0时 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
注
①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x ) 0( f ( x ) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的。 定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 1 x 2 ) 1 x 2
例6 设 0 x
2
证明 x sin x
y
2
x y
f ( x ) , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的
例1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
1 x f ( x ) ln( x 1 x ) x 2 1 x 1 x2 ln( x 1 x 2 ) 1 0 f ( x ) 1 x2 x 0时 f ( x ) f ( x ) f (0) 0
2
x 0时 f ( x )