等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

知识点4、等差数列的前n 项和:

⑤2

)(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

知识点5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或b a A +=2

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a

⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*2n n ∈N ，则

()21n n n S n a a +=+，且

S S nd -=偶奇，1

n

n S a S a +=奇偶．②若项数为()

*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，

1

S n

S n =

-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A ．92

B ．47

C ．46

D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )

( )

A 15

B 30

C 31

D 64

5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

（ ）

＞38 ＜3 C. 38≤d ＜3 D.3

8＜d ≤3 6、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.

7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．

8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）

（A ）12

（B ）10 （C ）8

（D ）6

9、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a Λ______. 10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________

11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .

12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .

题型二、等差数列性质

1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）

(A)4

(B)5

(C)6

(D)7

2、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

3、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =

4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2

5、等差数列{}n a 中，已知3

1

a 1=

，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

6.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S

a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．

2

1 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A ．α1＋α101＞0

B ．α2＋α100＜0

C ．α3＋α99＝0

D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ ）

（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项

题型三、等差数列前n 项和

1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和

n S = ．

2、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）

A. ()4321-n n

B. ()7321-n n

C. ()4321+n n

D. ()732

1

+n n

3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）

A. 0991>+a a

B. 0991<+a a

C. 0991=+a a

D. 5050=a 4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，

则=n 。

5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42

6、若等差数列共有12+n 项()*N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

7、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 8、 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n S n T n =+，则55

a b 等于（ ） Ａ．7

Ｂ．

23

Ｃ．

27

8

Ｄ．

214

题型四、等差数列综合题精选

1、等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a

（Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.

2、已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

3、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，

7515=S ，n T 为数列?

??

??

?n S n 的前n 项和，求n T 。

4、已知{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列，4a 22=-b ，

3214321a a a b b b b ++=+++。

（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；

（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项 若有，在100以内有几个相同项若没有，请说明理由。

5、设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；

(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式.

6、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，

点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设1n n n a a 3b +=

,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m T <对所有n N *

∈都成立的最小正整数m ；

五、等差数列习题精选

1、等差数列}{n a 的前三项依次为x ，12+x ，24+x ，则它的第5项为（ ）

A 、55+x

B 、12+x

C 、5

D 、4 2、设等差数列}{n a 中，17,594==a a ,则14a 的值等于（ ）

A 、11

B 、22

C 、29

D 、12

3、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，

则111213a a a ++=( )

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75 4、若等差数列}{n a 的公差0≠d ，则 （ ）

（A ） 5362a a a a > （B ） 5362a a a a <

（C ） 5362a a a a = （D ） 62a a 与53a a 的大小不确定

5、 已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） Ａ．0λ>

Ｂ．0λ<

Ｃ．0λ=

Ｄ．3λ>-

6、等差数列{}

d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ） (A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-

7、在等差数列{}n a 中，)(,q p p a q a q p ≠==，则=+q p a

A 、q p +

B 、)(q p +-

C 、0

D 、pq

8、设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、8 9、已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3

10、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝

A.－2

B.－

12 C.1

2

11、在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ）

A ．18

B 27

C 36

D 9

12、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27

13、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，

则=n 。

14、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ） A. C Bn An S n ++=2 B. Bn An S n +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a 小结

1、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，

3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

3、当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

4、当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

5、若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；

等差数列参考答案

题型一：计算求值

题型二、等差数列的性质

1、C

2、D

3、12（a 3+a 7-a 10+a 11-a 4=8+4=a 7=12）

4、C

5、C

6、B

7、A

8、C

9、B 10、A

题型三、等差数列前n 项和

1、5n(p+q)

2、B

3、C

4、n=10

5、24

6、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=4

7、45

8、D （a 5/b 5=S 9/T 9） 题型四：等差数列综合题精选

1、解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组

???=+=+.5019,

3091

1d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n

（Ⅱ）由242,2

)

1(1=-+

=n n S d n n na S 得方程 .24222

)

1(12=?-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n

2、解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，得111

45

a d a d +=??+=-?，

解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．

（Ⅱ）21(1)

42

n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--．

所以2n =时，n S 取到最大值4．

3、解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ()d n n na S n 12

1

1-+

= ∵ 77=S ，7515=S ， ∴ ??

?=+=+, 7510515, 721711d a d a 即 ???=+=+, 57,

131

1d a d a

解得 21-=a ，1=d 。 ∴

()()12

1

21211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵ 21

11=-++n S n S n n ，∴ 数列?

?????n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为21，

∴ n n T n 4

941

2-=。

4、解：（1）设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2 由a 3=a 1+2d 1得 82

a d 1

31=-=

a 所以68n )1n (82a n -=-+=，所以a 2=10, a 1+a 2+a 3=30

依题意，得??

?

??=?+=+30d 23

44b 6

d b 2121解得???==3d 3b 21，所以b n =3+3(n-1)=3n .2

3232)(21n n b b n S n

n +=+=

（2）设a n =b m ,则8n-6=3m, 既8

)

2m (3n +=①，要是①式对非零自然数m 、n 成立，只需

m+2=8k,+∈N k ,所以m=8k-2 ，+∈N k ②

②代入①得，n=3k, +∈N k ,所以a 3k =b 8k-2=24k-6,对一切+∈N k 都成立。

所以，数列{}n a 与{}n b 有无数个相同的项。 令24k-6<100,得,12

53

k <

又+∈N k ，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

5、解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0，故解得d =－2,a 1=20.

因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n ,n =1,2,3…

（Ⅱ）由?????≥?≤6,0,7711114a a S 得?????≥?+≤+6,010,11132111a d a d a 即??

?

??-≤-?--≤+12

2,0202,11132111a d a d a

由①+②得－7d ＜11。即d ＞－711。由①+③得13d ≤－1 即d ≤－13

1

于是－711＜d ≤－13

1，又d ∈Z , 故d =－1，将④代入①②得10＜a 1≤12.

又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12.

所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,…

6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2

+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2

－2n ）－[

]

)1(2)132

---n n （

＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *

∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1

61

561(

21+--n n ， 故T n ＝

∑=n

i i b 1

＝

2

1??????+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－1

61+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m

，即m ≥10，

所以满足要求的最小正整数m为10题型五、精选练习