最大公因数(短除法)
最大公因数和最小公倍数短除法
最大公因数和最小公倍数短除法
最大公因数和最小公倍数是数学中的基本概念，它们可以帮助我们简化各种数学问题的求解。
在数学中，我们通常使用除法来求最大公因数和最小公倍数，这被称为“长除法”。
然而，这种方法在处理大数时会变得非常麻烦，因此，我们需要使用一种更高效的方法，称为“短除法”。
短除法的基本原理是，我们将两个数分解成质因数的乘积形式，然后将它们的公共质因数相乘，即可得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则是将两个数各自去除公共质因数后，再将剩余的部分相乘即可。
举个例子，假设我们要求出24和36的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们将这两个数分解成质因数的乘积形式，得到：
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
然后，我们找到它们的公共质因数，即2和3，将它们相乘得到最大公因数：
最大公因数= 2 × 2 × 3 = 12
接下来，我们将24和36各自去除公共质因数，得到：
24 = 2 × 2 × 3
36 = 2 × 3 × 3
然后，我们将剩余的部分相乘，即可得到最小公倍数：
最小公倍数= 2 × 2 × 3 × 3 = 36
通过短除法，我们可以快速而准确地计算出最大公因数和最小公倍数，这对于求解各种数学问题都是非常有用的。
用短除法求最大公因数和最小公倍数
求12和18的最大公因数。
12的因数
18的因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
12的因数
12 3 4 6 12
18的因数
12 3 6 6 9 18
是它们的最大公因数
求12和18的最大公因数。
你还会其他 方法吗？
我会用短除法求 最大公因数。
看看吧
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最大公因数是11。 可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最小公倍数是11×3×1=33。 可以表示为[33，11]=33。
用短除法求两个数的最大公因数或最小 公倍数，一般都用两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两个商只有公因 数1为止。
例题 相同点 不同点
求两个数的 最大公因数
求两个数的 最小公倍数
用短除的形式分解 质因数，直到两个 商是互质数为止．
同左
把所有的除数乘起来．
把所有的 除数和商 乘起来．
两个数的最大公因数可以用小括号（ ）表示。
如：12和18的最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公因数是6， 可以表示为（12，18）=6。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
把所有的除数连乘起来，就得到这两 个数的最大公因数。
把所有的除数和最后的两 个商连乘起来，就得到这 两个数的最小公倍数。
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数：
25和35
42和18
54和27
6、14和8
试一试： 你会用短除法求12、28、36的最大公因数 和最小公倍数吗？
人教五年级下最大公因数短除法
互
1、相邻的两个自然数（0除外）。
质 数
2、相邻的两个奇数。
的
3、两个不相同的质数。
几 种 特
4、小的数是质数，大的数不是它的 倍数的两个数。
殊
5、大的数是质数的两个数。
情 况
6、1和任何一个自然数（0除外）。
7、2和任何奇数。
（如图）有一块长方体木块，长7dm，宽 5dm，高4.5dm。如果把它锯成同样大小的小正 方体木块，最大可以锯成棱长是多少的小方块而 又不浪费木料？
质数：只有1和它本身两个因数的数
合数：除了1和它本身两个因数， 还有其它因数的数。
两个数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。
把一个合数分成几个质数的积， 叫分 解 质 因 数
分解质因数
2 18 39
18＝ 2 × 3 × 3
3
2 30 3 15 5
30＝ 2 × 3 × 5
公有的 独有的 质因数 质因数
用短除法求出33和11的最大公因数和
11 33 11 31
33和11的最大公因数是11。 可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出77和11的最大公因数和最小公倍数。
11 77 11 71
77和11的最小公倍数是11。 可以表示为（33，11）=33。
17和12的公因数和最大公因数各是多少？ 公因数和最大公因数都是1 公因数只有1的两个数叫做互质数
4和8的最大公因数：4 16和32的最大公因数：19的最大公因数：1 9和16的最大公因数：1
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
当你两从发这现个组了数题什中只么？有公因 数1时从，这它组题们中的最 大公你因又数发现也了是什1。
用短除法求最大公因数和最小公倍数
25和35
42和18
54和27
6、14和8
.
15
试一试： 你会用短除法求12、28、36的最大公因数 和最小公倍数吗？
.
16
例：求8和12和30的最小公倍数。
8=2×2×2 12=2×2 ×3
30=2
×3×5
8、12和30的最小公倍数，必须包含三个数
全部公有的质因数（1个2）和每两个数公有的质
因数（1个2和1个3），以及各自独有的质因数
求两个数的最小公倍数，只是用
两个
数的公因数去除，直到两个商是
互质数为止
求三个数的最小公倍数，
先用三个数的公
因数去除，再用其中
两个数的公因数去除
直到三个商中
每两个数都是互质数为止。
相同点：都要把所有的除数和商 相乘起来
.
20
一、根据下列各题的分解质因数，求出各题 的最小公倍数。
1、15=3×5，20=2×2×5， 30=2×3×5
33、22和121
.
22
（2和5）。2×2×3×2×5=120，
120
就是8、12和30的最小公倍数。
.
17
求三个数的最小公倍数，通常这样做：
2 8 12 30
用三个数公有的质因数2除
2
4 6 15
4和6还有公有的质因数2，再 用 2除这两个数，把15抄下来。
3 2 3 15 3和15还有公有的质因数3，再
3除这两个数，把15抄下来。
12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
可以表示为[12，20]=60。
.
11
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
用短除法求最小公倍数和最大公因数
最小公倍数和最大公因数
两个数的最大公因数可以用（ ）表示。 12和18的最大公因数是6，可 以表示为（12，18）=6。
两个数的最小公倍数可以用[
]表示。
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
求36和60的最大公因数和最小公倍数。
36 60 ……用公因数2除； 2 18 30 ……用公因数2除； 3 9 15 ……用公因数3除； 3 5 ……只有公因数1，不必再除。 把所有的除数连乘起来，得到36和60的最大公因 数是: （36，60）=2×2×3=12 2 把所有的除数和最后的商连乘起来，得到36和60 的最小公倍数是: [36，60]=2×2×3x3x5=180
算 一 算
用短除法求下列各组数的最小公倍数。
21和14 2和 8 60和42 10、15和20
12和8 7和 9 4 、 6和 8 12、4和5
用短除法求两个数的最大公因数或最小 公倍数，一般都用两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两个商只有公因 数1为止。 把所有的除数连乘起来，就得到这两 个数的最大公因数。
把所有的除数和最后的两 个商连乘起来，就得到这 两个数的最小公倍数。
判 一 判
1、两个数的最小公倍数一定比这两个数 都大。（ ） 2、两个数的积一定是这两个数的最小公 倍数。（ ） 3、两个数的最小公倍数一定大于这两个 数的最大公因数（ ）。
填 一 填
甲数= 2×5×3 乙数= 2×5×7 【甲数，乙数】= 2×5×3×7 = 210 。
最大公因数短除法
最大公因数短除法
最大公因数短除法是一种求解两个数的最大公因数的方法。
这种方法非常简单，只需要用较大的数除以较小的数，然后用余数再去除较小的数，直到余数为0为止。
最后被除数就是这两个数的最大公因数。
例如，求解36和24的最大公因数，可以按照以下步骤进行：
1. 用36除以24，得到余数12。
2. 用24除以12，得到余数0。
3. 因为余数为0，所以最大公因数为12。
这种方法的优点是简单易懂，不需要使用复杂的算法，适用于小数的求解。
但是，对于大数的求解，这种方法效率较低，需要进行多次短除运算，耗费时间较长。
除此之外，最大公因数短除法还有一些应用。
例如，在分数的约分中，可以使用最大公因数短除法来求解分子和分母的最大公因数，从而进行约分。
另外，在求解多项式的最大公因式时，也可以使用最大公因数短除法来进行计算。
最大公因数短除法是一种简单易懂的求解最大公因数的方法，适用于小数的求解和一些简单的应用场景。
但是，在求解大数或者复杂问题时，需要使用更加高效的算法来进行计算。
短除法的方法及过程最大公因数
短除法的方法及过程最大公因数嘿，咱今儿就来唠唠短除法！这短除法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开求解最大公因数的大门呢！你看哈，就拿两个数来说吧，比如说 12 和 18。
咱把它们并排放在一起，就像两个好朋友肩并肩。
然后呢，咱就开始找能同时整除它们的数。
就好比找它们共同的好朋友一样。
咱先试试 2 吧，12 除以 2 等于 6，18 除以 2 等于 9。
嘿，一下子就把它们变小了一些，是不是挺有意思？这就像给它们俩减减肥似的。
接着咱再看，能不能继续找到共同的除数呢。
哟，还能再除以 3 呢，6 除以 3 等于 2，9 除以 3 等于 3。
这时候你发现没，不能再继续除下去啦。
那之前用过的那些除数 2和 3 可就重要啦，它们相乘，2×3 等于 6，这个 6 就是 12 和 18 的最大公因数呀！你说这短除法妙不妙？就这么一步步地，像走楼梯一样，一层一层地就把最大公因数给找出来啦。
咱再换两个数试试，比如 24 和 36。
还是同样的方法呀，先找个能整除它们的，嘿，2 可以吧，24 除以 2 等于 12，36 除以 2 等于 18。
然后再找找，3 也可以吧，12 除以 3 等于 4，18 除以 3 等于 6。
哎呀呀，还能再除以 2 呢，4 除以 2 等于 2，6 除以 2 等于 3。
这下好啦，用过的除数 2、3、2 乘起来，2×3×2 等于 12，这就是 24 和 36 的最大公因数咯！你想想，要是让你直接去看两个数，一下子找出它们的最大公因数，那得多难呀！可这短除法就不一样啦，它给咱指了条明路，让咱能顺顺利利地找到答案。
而且啊，这短除法可不只是能求两个数的最大公因数呢，三个数、四个数都没问题呀！就像你有一群小伙伴，你也能找出他们之间的共同特点一样。
怎么样，短除法是不是挺神奇的？学会了它，以后再遇到求最大公因数的问题，就不用发愁啦！你还等什么，赶紧去试试吧！。
用短除法求最大公因数和最小公倍数
试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
用短除法求最大公因数和最小公倍数
求12和18的最大公因数。
12的因数
18的因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
12的因数
12 3 4 6 12
18的因数
12 3 6 6 9 18
是它们的最大公因数
求12和18的最大公因数。
你还会其他 方法吗？
我会用短除法求 最大公因数。
看看吧
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
8=2×2×2 12=2×2 ×3
30=2
×3×5
8、12和30的最小公倍数，必须包含三个数
全部公有的质因数（1个2）和每两个数公有的质
因数（1个2和1个3），以及各自独有的质因数
（2和5）。2×2×3×2×5=120，
120就
是8、12和30的最小公倍数。
求三个数的最小公倍数，通常这样做：
2 8 12 30
求出下面两组数的最小公倍数。
6和9
6、9和12
小组讨论： 求两个数的最小公倍数与 求三个数的小公倍数有什么
不同点和相同点？
求两个数的最小公倍数与求三个数的 最小公倍数的区别：
求两个数的最小公倍数，只是用
两个
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
44 cm
能力提高
学校有一面长方形墙，长 是16分米，宽是12分米， 用正方形瓷砖正好把墙铺 满，瓷砖的边长最大是多 少分米？
有两根木料，一根长8米， 另一根长12米，现在要把它们 截成相等的小段，每根不许有 剩余，每小段最长是多少？一 共可以截成多少段？
用共有 最小的 质因数 去除这 两个数
2 3
18 9
24 12 4
除得的商分 别写在这两 个数的下边， 除到商是互 质数为止。
3
互质数
原则：最大公因数乘一边
18和24的最大公因数是2X3=6
求8、12和16的最大公因数（短除法）
用最小 的质因 数去除 这两个 数
2 2
8 4 2
12 16 6 3 8 4
求36和24的最大公因数 36和24的最大公因数是12 将36分解质因数 36＝2×2×3×3 将24分解质因数 24＝2×2×2×3
小组分析：你能从这两个数的质因数中找出这两 个数的最大公因数吗？你发现什么规律？
你还记得用短除法分解质因数吗？ 用短除法将36，24分解质因数 2 24 2 36 36与24的最大公因 数是12＝2×2×3 2 12 2 18 2 6 3 9 3 3 36＝ 2×2×3×3 24＝2×2 × 2 ×3 你想到了求最大公因数的另一种方法了吗？
什么叫做质数？
质数是对一个数来说，互质数 是对两个数的关系来说的。
探讨学习
互质数的几种情况：
1、两个数一定互质。
3、一质一合可能互质。(除了倍数一定互质) 4、 5、 6、 7、
如： 7和8；13和14；29和30等。
如： 2和3；5和7；11和13等。 2、两个合数可能互质。 如： 8和9；15和16；20和21等。
看谁算得最快
求18、24、48的最大公因数
4. 找出下面各组数的最大公因数。
5和11 和8 9和6 8 和9 9 和3 8和10
5和8 4 28和7 20和25
求下列各组数的公因数和最大公因数 24、8 12、18 32 、24
24和8的公因数有：1、2、4、8 最大公因数是8
12和18的公因数有：1、2、3、6 最大公因数是6 32 和24的公因数有：1、2、4、8 最大公因数是8
原则：最大公因数乘一边
8、12和16的最大公因数是2X2=4
除得的 商分别 写在这 三个数 的下边， 三个数除了1 除到商 以外，没有 是互质 别的质因数 数为止。
1、把下列各数用“短除法”分解质因数 36 54
2、用短除法求36和54的最大公因数
试试看：用短除法求54、72的最大公因数
求32、48的最大公因数
1和任何自然数（≠0）一定互质。 相邻的两个自然数（≠0）一定互质。 2和任何一个奇数一定互质。 相邻的两个奇数一定互质。
探讨学习
互质数的几种情况：
1、两个质数一定互质。 2、两个合数可能互质。 3、一质一合可能互质。(除了倍数一定互质) 4、 1和任何自然数（≠0）一定互质。 5、 相邻的两个自然数（≠0）一定互质。 6、 2和任何一个奇数一定互质。 7、 相邻的两个奇数一定互质。
几个数公有的因数，叫 做这几个数的公因数；其 中最大的一个，叫做这几 个数的最大公因数。
即时练习： 1、12、3 4、2、6
12和15的 公因数
12的因数
15的因数
1、15 3、5
1、18、2 9、3、6
15和18的 公因数
18的因数
12和18的 公因数
1、3
1、2 3、6
1、3
通过以上练习，我们总结出了找两 个数的最大公因数的方法。 方法一 列举法:
1.先找各个数的因数。 2.找出两个数公有的因数。 3.确定最大公因数。
方法三：找关系
1、互质数：最大公因数是“1”。 2、倍数关系：小数是最大公因数。 3、一般关系：短除法。
思考练习
2和3的公因数和最大公因数各是几？5 和7呢？ 2 的因数有：1、2
3 的因数有： 1、3 2 和3的公因数只有：1
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如: 24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
12 6 2 36和24的最大公因数是 2×2×3 ＝ 12
2 36 2 18 3 9 3
24
求18和24的最大公因数（短除法）
5 的因数有： 1、5 7 的因数有： 1、7 5 和7的公因数有： 1
思考讨论：上面两组数的公因数有什么特点？
特点：两组数的公因数都只有 1 。
公因数只有 1 的两个数， 叫做——
例如：
2和3是互质数，5和7也是互质数。
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 1个数，如果只有 个数 1和它本身两个因数， 这样的数叫做质数。
你发现了什么特点吗？
几个数的最大公因数的因数的因数也是 这几个数的公因数
1、写出下列分数的分子和分母的最大公因数 15 8 7 9 18 15 16 72 36 9 2、若7x=y（x、y为非零自然数），那公y 是 x的（ ），那么 y与x的最大公因数是（ ）
3、男、女生分别排队去植树，要使每排的人数相 同，每排最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
男生有 24 人。
女生有 16 人。
24和 16 的最大公因数是 8。 24÷8 = 3(排)
16÷8= 2(排)
答: 每排最多有 8人，这时男生有 3 排,女 生有 2 排。
4、小巧匠
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小
棒最长是多少厘米? 12 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。