用短除法求最大公因数
03用短除法求最大公因数和最小公倍数
谢 谢
11 33 11 3 1
33和11的最大公因数是11。
法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11
3 1
33和11的最小公倍数是11×3×1=33。
可以表示为[33，11]=33。
用短除法求两个数的最大公因数或最小 公倍数，一般都用两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两个商只有公因 数1为止。 把所有的除数连乘起来，就得到这两 个数的最大公因数。
先同时除以公因数2
2 12 18 3 6 9 2 3
再同时除以公因数3
除到两个商只有公 因数1为止.
把所有的除数连乘,得到12和18 的最大公因数是2×3 = 6。
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3 除到两个商只有公 因数1为止.
2 12 18 3 6 9 2 3
把所有的除数和最后的两个商连乘,
2 12 20 2 6 10 3 5 12和20的最大公因数是2×2=4。
可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10 3 5
12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
求12和18的最大公因数。
12的因数 1 2 3 4 6 12 18的因数 1 2 3 6 9 18
12的因数 1 2 3 4 6 12
18的因数 1 2 3 6 9 18
6
是12和18的最大公因数。
求12和18的最大公因数。
我会用短除法求最 大公因数。
你还会其 他方法吗？
13和15的最大公因数短除法
13和15的最大公因数短除法最大公因数，简称最大公约数（Greatest Common Divisor），是指两个或多个整数共有的最大因数。
求最大公约数的一种简单方法是使用短除法。
短除法是一种用于将一个数被另一个数除时的基本算法。
使用短除法可以快速地确定两个数的最大公约数。
首先，我们将要求的两个数，即13和15，写在竖式中间的两边。
在竖式的上方我们从左到右写上两个数的因数分解式，这是通过将两个数分解为它们的质因数相乘的形式得到的。
13的质因数分解式为：13 = 1 * 1315的质因数分解式为：15 = 3 * 5接下来，我们从质因数分解式中选取一个公共因子，将其写在竖式的左上方，并将选取的公共因子除以相应的数得到商。
这个商就是我们要计算的最大公约数。
在这种情况下，我们可以选择3作为公共因子。
将3除以13，我们得到商为0余3；将3除以15，我们得到商为5余0。
然后，我们用商代替原来的数，重复上述步骤，直到无法再选取公共因子为止。
如果遇到余数为零，那么除数就是最大公约数。
在这个例子中，我们可以继续选择3作为公共因子，将3除以3，得到商为1余0。
此时余数为零，所以3就是最大公约数。
总结一下，使用短除法求解13和15的最大公约数的过程如下：1.将13和15写在竖式中央的两边。
2.将13和15进行质因数分解，得到13 = 1 * 13和15 = 3 * 5。
3.从质因数分解式中选取一个公共因子，将其写在竖式的左上方，并将选取的公共因子除以相应的数得到商。
4.用商代替原来的数，重复上述步骤，直到无法再选取公共因子为止。
5.如果遇到余数为零，那么除数就是最大公约数。
使用短除法求解最大公约数的关键在于质因数分解。
如果我们已经知道了两个数的质因数分解式，那么就可以很容易地使用短除法求解它们的最大公约数。
因此，质因数分解是求解最大公约数的重要基础。
在上述例子中，我们对13和15进行了质因数分解，得到了它们的质因数分解式。
最大公因数和最小公倍数短除法
最大公因数和最小公倍数短除法
最大公因数和最小公倍数是数学中的基本概念，它们可以帮助我们简化各种数学问题的求解。
在数学中，我们通常使用除法来求最大公因数和最小公倍数，这被称为“长除法”。
然而，这种方法在处理大数时会变得非常麻烦，因此，我们需要使用一种更高效的方法，称为“短除法”。
短除法的基本原理是，我们将两个数分解成质因数的乘积形式，然后将它们的公共质因数相乘，即可得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则是将两个数各自去除公共质因数后，再将剩余的部分相乘即可。
举个例子，假设我们要求出24和36的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们将这两个数分解成质因数的乘积形式，得到：
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
然后，我们找到它们的公共质因数，即2和3，将它们相乘得到最大公因数：
最大公因数= 2 × 2 × 3 = 12
接下来，我们将24和36各自去除公共质因数，得到：
24 = 2 × 2 × 3
36 = 2 × 3 × 3
然后，我们将剩余的部分相乘，即可得到最小公倍数：
最小公倍数= 2 × 2 × 3 × 3 = 36
通过短除法，我们可以快速而准确地计算出最大公因数和最小公倍数，这对于求解各种数学问题都是非常有用的。
5.8用短除法求最大公因数
什么叫最大公因数.
能同时整除a和b中的最大一个数,这个数就 是a和b的最大公因数
找 最 大 公 因 数
一、列举法： 1.先找各个数的因数。 2.找出两个数公有的因数。 3.确定最大公因数。 二、用倍数关系找： 如果两个数是倍数关系时,较小数 是这两个数的最大公因数。
三、用互质数找： 两个不相等的质数,最大的公因数是1 。 四、用相邻两个自然数找： 相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1。
(3) 一个质数一个合数: ____ 13 和 ____ 8 。
求下面每组数的最大公因数。
45和75 36和90 48和72
12和8
18和24
20和25
44和66
39和65
28和36
1.找出9和15的所有因数及最大公因数，并与同伴 交流你是怎么找的。 9的因数有 1，3，9 ；
15的因数有 1，3，5，15 ；
36和60分解质因数 36 60 ……用公因数2除； 2 18 30 ……用公因数2除； 3 9 15 ……用公因数3除； 3 5 ……只有公因数1，不必再除。 把所有的除数连乘起来，得到36和60的最大公因 数是2×2×3=12。 36和60的最大公因数也可以这样表示： 2 （36，60）=2×2×3=12
5. 在相应的(
公因数。
)里写出相邻阶梯上两个数的最大
72 36 ( 36 ) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。
(1) 两个数都是质数: ____ 2 和 ____ 5 。
(2) 两个数都是合数: ____ 4 和 ____ 9 。
36 2 18 3 9 3
用短除法求最大公因数公开课获奖课件
26 3
6=2×3
用质数2清除 商是质数为止
2 28
2 14 7
商是合数还要继续除 商是质数为止
28=2×2×7
第6页
练一练 : 用短除法把36分解质因数.
2 36 2 18 39 3
36=2×2×3×3
第7页
9和12公因数有哪些？ 最大公因 数是几？
措施一：
列
9因数： 1、3.9。
举
12因数： 1、2、3、4、6.12。
质因数既是因数, 又是质数
第2页
学习目旳:
1、会用短除法分解质因数。 2.会短除法求最大公因数
第3页
用树杈法把6和28分解质因数
6 2 ×3 6 = 2×3
28 4 ×7 2 ×2 ×7 28 = 2×2×7
第4页
用短除法分解质因数
短除号
除数…… 2
6 ……被除数 3 ……商
第5页
用短除法把6和28分解质因数.
完毕数学书45第6题 再完毕数学书45第7题 独立思索并完毕第8题
第19页
第20页
男、女生分别排队去植树, 要使每 排人数相似, 每排最多有多少人? 这时 男、女生分别有几排?
男生有 24 人。
女生有 16 人。
第21页
4.小巧匠
要把它们截成同样长小棒, 不能有剩余, 每根小棒最长是 多少厘米?
2 16 44
12 cm 16 cm
2 8 22 4 11
44 cm
（16, 44）=2×2=4。
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
第22页
学校有一面长方形墙，长是16 分米，宽是12分米，用正方形瓷砖 恰好把墙铺满，瓷砖边长最大可以 是多少分米？
03用短除法求最大公因数和最小公倍数
12的因数
18的因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
12的因数
12 3 4 6 12
18的因数
12 3 6 6 9 18
是12和18的最大公因数。
求12和18的最大公因数。
你还会其 他方法吗？
我会用短除法求最 大公因数。
用这一种方法还能 求最小公倍数。
先同时除以公因数2
两个数的最大公因数可以用（ ）表示。
12和18的最大公因数是6，可 以表示为（12，18）=6。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
再同时除以公因数3
除到两个商只有公 因数1为止.
2 12 18 36 9
23
把所有的除数连乘,得到12和18 的最大公因数是2×3 = 6。
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
除到两个商只有公 因数1为止.
2 12 18
36 9 23
把所有的除数和最后的两个商连乘,
得到12和18的最小公倍数是 2×3×2×3 = 36.
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最大公因数是11。 可以表示为（33，11）=11。
用短除法求最大公因数和最小公倍数
25和35
42和18
54和27
6、14和8
.
15
试一试： 你会用短除法求12、28、36的最大公因数 和最小公倍数吗？
.
16
例：求8和12和30的最小公倍数。
8=2×2×2 12=2×2 ×3
30=2
×3×5
8、12和30的最小公倍数，必须包含三个数
全部公有的质因数（1个2）和每两个数公有的质
因数（1个2和1个3），以及各自独有的质因数
求两个数的最小公倍数，只是用
两个
数的公因数去除，直到两个商是
互质数为止
求三个数的最小公倍数，
先用三个数的公
因数去除，再用其中
两个数的公因数去除
直到三个商中
每两个数都是互质数为止。
相同点：都要把所有的除数和商 相乘起来
.
20
一、根据下列各题的分解质因数，求出各题 的最小公倍数。
1、15=3×5，20=2×2×5， 30=2×3×5
33、22和121
.
22
（2和5）。2×2×3×2×5=120，
120
就是8、12和30的最小公倍数。
.
17
求三个数的最小公倍数，通常这样做：
2 8 12 30
用三个数公有的质因数2除
2
4 6 15
4和6还有公有的质因数2，再 用 2除这两个数，把15抄下来。
3 2 3 15 3和15还有公有的质因数3，再
3除这两个数，把15抄下来。
12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
可以表示为[12，20]=60。
.
11
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
短除法的方法及过程最大公因数
短除法的方法及过程最大公因数嘿，咱今儿就来唠唠短除法！这短除法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开求解最大公因数的大门呢！你看哈，就拿两个数来说吧，比如说 12 和 18。
咱把它们并排放在一起，就像两个好朋友肩并肩。
然后呢，咱就开始找能同时整除它们的数。
就好比找它们共同的好朋友一样。
咱先试试 2 吧，12 除以 2 等于 6，18 除以 2 等于 9。
嘿，一下子就把它们变小了一些，是不是挺有意思？这就像给它们俩减减肥似的。
接着咱再看，能不能继续找到共同的除数呢。
哟，还能再除以 3 呢，6 除以 3 等于 2，9 除以 3 等于 3。
这时候你发现没，不能再继续除下去啦。
那之前用过的那些除数 2和 3 可就重要啦，它们相乘，2×3 等于 6，这个 6 就是 12 和 18 的最大公因数呀！你说这短除法妙不妙？就这么一步步地，像走楼梯一样，一层一层地就把最大公因数给找出来啦。
咱再换两个数试试，比如 24 和 36。
还是同样的方法呀，先找个能整除它们的，嘿，2 可以吧，24 除以 2 等于 12，36 除以 2 等于 18。
然后再找找，3 也可以吧，12 除以 3 等于 4，18 除以 3 等于 6。
哎呀呀，还能再除以 2 呢，4 除以 2 等于 2，6 除以 2 等于 3。
这下好啦，用过的除数 2、3、2 乘起来，2×3×2 等于 12，这就是 24 和 36 的最大公因数咯！你想想，要是让你直接去看两个数，一下子找出它们的最大公因数，那得多难呀！可这短除法就不一样啦，它给咱指了条明路，让咱能顺顺利利地找到答案。
而且啊，这短除法可不只是能求两个数的最大公因数呢，三个数、四个数都没问题呀！就像你有一群小伙伴，你也能找出他们之间的共同特点一样。
怎么样，短除法是不是挺神奇的？学会了它，以后再遇到求最大公因数的问题，就不用发愁啦！你还等什么，赶紧去试试吧！。
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用短除法求18和30的最大公因数。
2 18 30
3 9 15
3
5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 2×3＝6
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数
（18，30）=2×3=6
练习
用短除法求出12和20的最大公因数
2 12 20 2 6 10
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。例如， 5 和 7 是互质数，7 和 9 也是互质数。
想一想：互质的两个数必须都是质数吗? 请你 举出两个合数互质的例子来。
4 和 9，8 和 15。
互
1、相邻的两个自然数（0除外）。
质 数
2、相邻的两个奇数。
的
3、两个不相同的质数。
几 种 特
4、小的数是质数，大的数不是它的 倍数的两个数。
殊
5、大的数是质数的两个数。
情 况
6、1和任何一个自然数（0除外）。
7、2和任何奇数。
6=2×3
用质数2去除 商是质数为止
2 28
2 14 7
商是合数还要继续除 商是质数为止
28=2×2×7
练一练 ：用短除法把36分解质因数.
2 36 2 18 39 3
36=2×2×3×3
9和12的公因数有哪些？最大公因数是几？
方法一： 先找9的因数， 有1、3、9。 再找12的因数，有1、2、3、4、6、12。
先把下面两个数分解质因数，再求出它们的最大公因数． 30＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 5 ） 42＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 7 ） 30和42的最大公因数是 2×3 ＝ 6
A＝2×2 B＝2×2×3 A和B的最大公因数是 2×2＝4
练习
1、已知 A＝2×3×5 B＝3×5×7 A和B和最大公因数是（15 ）
D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9
(
1
)
8( 36
4
)
18 72
(
18
)
9( 15
3
)
5. 在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大
公因数。 72
36 ( 36) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。 (1) 两个数都是质数: __2__ 和 __5__。 (2) 两个数都是合数: __4__ 和 __9__。 (3) 一个质数一个合数: __1_3_ 和 __8__。
质因数既是因数，又是质数
学习目标：
1、会用短除法分解质因数。 2、会短除法求最大公因数
用树杈法把6和28分解质因数
6 2 ×3 6 = 2×3
28 4 ×7 2 ×2 ×7 28 = 2×2×7
用短除法分解质因数
短除号
除数…… 2
6 ……被除数 3 ……商
用短除法把6和28分解质因数.
26 3
3. 选出正确答案的编号填在横线上。
(1) 9 和 16 的最大公因数是___A___。
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
(2) 16 和 48 的最大公因数是__D____。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是___C___。
A. 1
B. 甲数
C. 乙数
35
（12，20）=2×2=4。
练习
用短除法求出12和16的最大公因数。
2 12 16 26 8
34
（12，20）=2×2=4。
2. 找出下面每组数的最大公因数。
6和9 3
15 和 12 3
42 和 54 6
30 和 45 15
5和9 1
34 和 17 17
16 和 48 16
15 和 16 1
方法二： 8的因数有：1、2、4、8。 其中1、2、4也是12的因数， 所以8和12的公因数有1、2、4，最大公因数是4。
用分解质因数方法求18和30最大公因数
2 18 39 3
18＝ 2 × 3 × 3 30＝ 2 × 3 × 5
2 30 3 15 5
公有的 质因数
18和30的最大公因数是：2×3=6 （18，30）=2×3=6
复习
什么数叫质数？什么数叫合数？
一个数，只有1和它本身两个因数，这样 的数叫做质数。（也叫做素数）
一个数，除了1和它本身，还有别的因 数，这样的数叫做合数
什么是分解质因数？
把一个合数用几个质数相乘的形式表 示出来叫做分解质因数。
28=2×2×7
什么是质因数？
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数叫做这个合数的质因数。
列 举
所以9和12的公因数有1、3，最大公因数是3。 法
方法二：
先找9的因数，有1、3、9。 再从1、3、9中看哪一个是12的因数，
筛
发现1、3也是12的因数
选
所以9和12的公因数有1、3，最大公因数是3。
法
8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？
方法一： 8的因数有：1、2、4、8。 12的因数有：1、2、3、4、6、12。 所以8和12的公因数有1、2、4，最大公因数是4。