用短除法求最大公因数和最小公倍数
第四讲最大公因数和最小公倍数(一)解答【五竞】
第八讲最大公因数和最小公倍数(一) 知识导航互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
求几个数的最大公因数和最小公倍数，通常用短除法和分解质因数的方法。
即先分解质因数，然后将其公有的质因数相乘，则为它们的最大公因数；将公有的质因数和各自独有的质因数连乘，其积为最小公倍数。
精典例题例1：用短除法计算：（1）(54,90),[54,90] (2)(45,75,90)【分析】求最大公因数可用列举法，分解质因数法，小数缩倍法，大减小法，短除法。
求最小公倍数可用列举法，分解质因数法，大数扩倍法，短除法。
(54,90)=2×3×3=18,[54,90]= 2×3×3×3×5=270(45,75,90)= 3×5=15例2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数。
(1)144和250 （2）240、80和96【分析】分解质因数法，最大公因数=公有质因数乘积，最小公倍数=公有质因数×独有质因数。
（1）144=2×2×2×2×3×3250=2×5×5×5（144，250）=2 【144，250】=2×2×2×2×3×3×5×5×5=18000（2）240=2×2×2×2×3×580=2×2×2×2×596=2×2×2×2×2×3（240，80，96）=2×2×2×2=16【240，80，96】=2×2×2×2×3×5×2=480.例3:利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。
最大公因数 最小公倍数 通分 约分
找最大公因数1、几个数相同的因数叫作这个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。
2、列举法求两个数的公因数和最大公因数的方法：先分别找出两个数各自所有的因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。
3、短除法求两个数的最大公因数：如用短除法求18和27的最大公因数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是18和27的最大公因数。
18和27的最大公因数是3×3=9。
一、约分1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。
2、分子、分母只含有公因数1的分数，叫作最简分数。
3、约分的方法：（1）逐次约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数；（2）一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
二、最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。
2、求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法：先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数；（2）试除法：先写出两个数中较大数的倍数，再用这些数按从小到大的顺序依次除以较小数，第一个能被较小数整除的数就是它们的最小公倍数。
短除法求最小公倍数：如用短除法求18和27的最小公倍数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数和商相乘，所得的积就是18和27的最小公倍数。
18和27的最小公倍数是3×3×2×3=54。
三、分数的大小1、比较分数大小的方法：画图比较法，通分比较法。
2、通分的含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫做通分。
3、通分的方法：用原来几个分数分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。
用短除法求最大公因数和最小公倍数课件
用短除法求最大公因数和最小公倍数课件最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常用的概念。
我们可以使用短除法来求解它们。
首先，让我们来解释一下什么是最大公因数。
最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的因数。
我们可以通过短除法来找到最大公因数。
以两个整数a和b为例，我们首先将a除以b，并取得余数r。
然后，将b除以r，并再次取得余数r1。
我们重复这个过程，直到余数为0为止。
此时，最大公因数就是最后一次计算的非零余数。
例如，假设我们要求解整数36和48的最大公因数。
我们首先将36除以48，得到余数12。
然后，将48除以12，得到余数0。
因此，36和48的最大公因数是12。
接下来，让我们来解释一下什么是最小公倍数。
最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。
我们可以通过短除法来找到最小公倍数。
以两个整数a和b为例，我们首先求解它们的最大公因数GCD。
然后，将a乘以b，再除以最大公因数GCD，即可得到最小公倍数LCM。
例如，假设我们要求解整数36和48的最小公倍数。
首先，我们计算它们的最大公因数，发现它们的最大公因数是12。
然后，我们将36乘以48，得到1728，再除以12，得到144。
因此，36和48的最小公倍数是144。
总结起来，最大公因数是两个或多个整数共有的最大因数，可以通过短除法找到；最小公倍数是两个或多个整数的公有倍数中最小的一个，可以通过将两个整数乘积除以最大公因数来求解。
短除法求最大公因数与最小公倍数
．把18和24分解质因数。如下：
2 1 8 2 2 4
3 9 2 1 2
3 2 6
3
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
⑴18有哪几个质因数？24呢？
⑵18和24相同的质因数有哪些？
⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起一个名字：公有的质因数
⑷18和24公有的质因数有哪几个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？
4、解决问题
（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？
（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
用短除法求最小公倍数
1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？
2 6 4
2 3
6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。
提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？
上面我们用了好几种方法求6和4的最小公倍数，你认哪种方法最简便？
①把35分解质因数是 35=1×5×7（ ）
②把49分解质因数是7×7=49 ( )
③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )
④51不能分解质因数. ( )
二、用短除法找最大公因数
1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。
2．用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有比它简便的方法求最大公约数呢？
2.3 短除法、最大公因数和最小公倍数的求法
2.3 短除法、最大公因数和最小公倍数的求法（小考复习精编专项练习）六年级数学小升初复习系列：第二章数和数的运算（含知识点与答案）【知识要点】一、短除法把一个合数分解成质因数，通常采用短除法。
那什么是短除法呢？先用能整除这个合数的质数去除它，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式，这种方法就是短除法。
例如：所以，36分解质因数是：36＝2×2×3×3二、求几个数的最大公因数求几个数的最大公因数的方法：先找出这几个数的公因数，然后用这些公因数逐个去除这几个数，一直除到各个数所得的商只有公因数1时停止；然后，把所有的除数连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如：求18和24的最大公因数所以，18和24的最大公因数是：2×3＝6三、求几个数的最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法：先用全部数的公因数去除这几个数；或者其中某几个数的公因数去除，一直除到各数互质为止；然后，把所有的除数和商连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求12、15和20的最小公倍数所以，12、15和20的最小公倍数是：2×2×3×5×1×1×1＝60四、互质关系的数公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。
成为互质关系的两个数，有下列几种情况：（1）1和任何自然数互质。
例如：1和9互质，最大公因数是1。
（2）相邻的两个自然数互质。
例如：4和5互质，最大公因数是1。
（3）不同的两个质数互质。
例如：3和11互质，最大公因数是1。
（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数也互质。
例如：9和13互质；27和7互质，最大公因数是1（5）两个合数的公因数只有1时，这两个合数也互质。
例如：12和25互质，最大公因数是1。
【优选练习】一、单选题1、下列各组数中，一定是互质数的是（）。
短除法求最小公倍数的道理
短除法求最小公倍数的道理
用短除法求最小公倍数时，与求最大公因数最大一点的不同，就是只要有两个数能被同一个数整除，就要继续除下去，直至商两两互质为止。
所有非零自然数的最小公因数是1，一个数倍数的个数无限，所以不存在最大公倍数。
因此我们经常遇见的是求大公因和小公倍。
求最大公因数和最小公倍数的方法有很多，最为常见和使用是短除法。
短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
使用分解质因数法来分别分解两个数的因数，再进行运算。
之后又演变为短除法。
短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。
两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中除0以外最轻的一个公倍数就叫作这几个整数的最轻公倍数。
整数a，b的最轻公倍数记作a，b同样的a，b，c的最轻公倍数记作a，b，c多个整数的最轻公倍数也存有同样的记号。
最大公因数和最小公倍数计算练习
最大公因数和最小公倍数计算练习最大公因数和最小公倍数练
一、使用短除法求出以下数的最大公因数：
12和30
24和36
39和78
72和84
42和105
36和48
二、使用短除法求出以下数的最小公倍数：
25和30
24和39
60和84
12和24
45和60
12和18
42和105
36和48
三、使用短除法求出以下数的最大公因数和最小公倍数：45和60
27和76
27和80
四、填空：
15和5的最大公因数是5，最小公倍数是15；
9和3的最大公因数是3，最小公倍数是9；
9和18的最大公因数是9，最小公倍数是18；
11和44的最大公因数是11，最小公倍数是44；
30和60的最大公因数是30，最小公倍数是60；
13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；
7和12的最大公因数是1，最小公倍数是84；
8和11的最大公因数是1，最小公倍数是88；
1和9的最大公因数是1，最小公倍数是9；
8和10的最大公因数是2，最小公倍数是40；
6和9的最大公因数是3，最小公倍数是18；
8和6的最大公因数是2，最小公倍数是24；
10和15的最大公因数是5，最小公倍数是30；
4和6的最大公因数是2，最小公倍数是12；
5和9的最大公因数是1，最小公倍数是45；
29和87的最大公因数是29，最小公倍数是87；
30和15的最大公因数是15，最小公倍数是30；13、26和52的最大公因数是13，最小公倍数是52；
2、3和7的最大公因数是1，最小公倍数是42；16、32和64的最大公因数是16，最小公倍数是64.。
五年级最大公因数和最小公倍数
五年级最大公因数和最小公倍数公因数问题1：用短除法求下列各组数的最大公因数。
①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。
两个数的最大公因数用（ ）表示。
1218269323①②34102217511713③④155053101224362612182369312（34、102）= 2×17＝34（15、50）= 5（15、24、36）= 2×2×3=123试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）①20和30②28和84③54和90④30、45和60问题2：求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？想：这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。
我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。
24601322123066261533325（24、60、132）= 2×2×3=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=22×3，得（2+1）×（1+1）=6，所以，24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。
解：11试一试：先用短除法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。
解：同时除以公因数2同时除以公因数2同时除以公因数3除到三个商只有公因数1为止（12、18）= 2×3＝6①16和24 ②28和70 ③150和180 ④60、75和150问题3：有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？想：把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。
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试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
把所有的除数连乘起来，就得到这两 个数的最大公因数。
把所有的除数和最后的两 个商连乘起来，就得到这 两个数的最小公倍数。
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数：
25和35
42和18
54和27
6、14和8
试一试： 你会用短除法求12、28、36的最大公因数 和最小公倍数吗？
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最大公因数是11。 可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最小公倍数是11×3×1=33。 可以表示为[33，11]=33。
用短除法求两个数的最大公因数或最小 公倍数，一般都用两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两个商只有公因 数1为止。
用短除法
求12和18的最大公因数。
12的因数
18的因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
12的因数
12 3 4 6 12
18的因数
12 3 6 6 9 18
是它们的最大公因数
Hale Waihona Puke 12和18的最大公因数。你还会其他 方法吗？
我会用短除法求 最大公因数。
看看吧
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
除到两个商只有 公因数1为止.
2 12 18 36 9
23
把所有的除数连乘,得到12和18 的最大公因数是2×3 = 6
还可求最小公倍数呢：
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
除到两个商只有 公因数1为止.
2 12 18
36 9 23
把所有的除数和最后的两个商连乘,
得到12和18的最小公倍数是 2×3×2×3 = 36.
例题 相同点 不同点
求两个数的 最大公因数
求两个数的 最小公倍数
用短除的形式分解 质因数，直到两个 商是互质数为止．
同左
把所有的除数乘起来．
把所有的 除数和商 乘起来．
两个数的最大公因数可以用小括号（ ）表示。
如：12和18的最大公因数是6， 可以表示为（12，18）=6。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。