12短除法求最大公因数 (3)
用短除法求最大公因数和最小公倍数课件
用短除法求最大公因数和最小公倍数课件最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常用的概念。
我们可以使用短除法来求解它们。
首先，让我们来解释一下什么是最大公因数。
最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的因数。
我们可以通过短除法来找到最大公因数。
以两个整数a和b为例，我们首先将a除以b，并取得余数r。
然后，将b除以r，并再次取得余数r1。
我们重复这个过程，直到余数为0为止。
此时，最大公因数就是最后一次计算的非零余数。
例如，假设我们要求解整数36和48的最大公因数。
我们首先将36除以48，得到余数12。
然后，将48除以12，得到余数0。
因此，36和48的最大公因数是12。
接下来，让我们来解释一下什么是最小公倍数。
最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。
我们可以通过短除法来找到最小公倍数。
以两个整数a和b为例，我们首先求解它们的最大公因数GCD。
然后，将a乘以b，再除以最大公因数GCD，即可得到最小公倍数LCM。
例如，假设我们要求解整数36和48的最小公倍数。
首先，我们计算它们的最大公因数，发现它们的最大公因数是12。
然后，我们将36乘以48，得到1728，再除以12，得到144。
因此，36和48的最小公倍数是144。
总结起来，最大公因数是两个或多个整数共有的最大因数，可以通过短除法找到；最小公倍数是两个或多个整数的公有倍数中最小的一个，可以通过将两个整数乘积除以最大公因数来求解。
《最大公因数》 讲义
《最大公因数》讲义一、什么是最大公因数在数学的世界里，最大公因数就像是两个或多个数字之间的一个特殊“纽带”。
当我们谈到最大公因数时，它指的是能够同时整除一组数的最大整数。
比如说，对于数字 12 和 18，它们的因数分别有：12 的因数是 1、2、3、4、6、12；18 的因数是 1、2、3、6、9、18。
可以看到，它们共有的因数是1、2、3、6，其中最大的那个就是6，所以 12 和 18 的最大公因数就是 6。
为了更清晰地理解这个概念，我们可以想象有一堆相同大小的积木要分别放进几个盒子里，而最大公因数就是能够整除这几个盒子里积木数量的最大数。
二、如何找最大公因数（一）列举法这是最直接也是最基础的方法。
就像前面提到的 12 和 18，我们分别把它们的因数一一列举出来，然后找出共同的因数，再从中确定最大的那个。
这种方法对于较小的数字比较好用，但当数字较大时，列举因数就会变得繁琐且容易出错。
（二）分解质因数法我们把一个数分解成几个质数相乘的形式，比如 12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。
然后找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘，得到的积就是最大公因数。
对于 12 和 18，公有的质因数是 2 和 3，所以最大公因数就是 2×3 ＝ 6。
（三）短除法短除法是一种比较高效的方法。
我们用这组数除以它们的一个公因数，然后将除数和商继续除以公因数，直到所得的商互质为止。
最后把所有的除数相乘，得到的就是最大公因数。
例如，求 24 和 36 的最大公因数，先用 24 和 36 同时除以 2，得到12 和 18；再除以 2，得到 6 和 9；接着除以 3，得到 2 和 3，此时 2 和3 互质。
所以 24 和 36 的最大公因数就是 2×2×3 ＝ 12。
三、最大公因数的性质（一）两个数的最大公因数是它们公因数的倍数比如 12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，而最大公因数 6 恰好是这些公因数的倍数。
短除法求最大公因数与最小公倍数
短除法求最大公因数与最小公倍数
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号：年级：小五课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
课题
分解质因数、最大公因数和最小公倍数
⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？
⑾从这里可以看出：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么？
18和24的最大公约数是：2×3＝6。
3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公约数。
4．每道题都这样写麻烦吗？能不能简化一下呢？怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成一个除法算式呢？
（11）五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？
（12）小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？
（13）有36块糖，分给小朋友，2块2块的分能正好分完吗？3块3块的分呢？5块5块的分呢?
提问：6和4的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？
【最小公倍数＝全部公有的质因数的积×各自独有的质因数】
练习。
填空。
（1）已知A＝2×5×5，B＝2×5×7。A和B全部公有的质因数有（），各自独有的质因数有（），A和B的最小公倍数是（）。
（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
五、（共5分）24、20和36的最小公倍数是它们最大公因数的多少倍？
短除法求最大公因数
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是___C___。
A. 1
B. 甲数
C. 乙数
D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9
(
1
)
8( 36
4
)
18 72
(
18
)
9( 15
3
)
3月26日课堂作业： 1、用短除法求每组数的最大公因数 （1）60和45 （2）56和70 （3）13和65 （4）51和17 （5）80和48
用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止18和30的最大公因数是把所有的除数连乘起来就得到这两个数的最大公因数1830公因数只有1的两个数叫做互质数
复习
什么数叫质数？什么数叫合数？
一个数，只有1和它本身两个因数，这样 的数叫做质数。（也叫做素数）
一个数，除了1和它本身，还有别的因 数，这样的数叫做合数
2、有两根圆木，一根长12米，另一根长9米。 要把它们截成同样长的小段，而且没有剩余， 每一根圆木最长是多少米？
27
3月27日课堂作业： 1、用短除法求每组数的最大公因数 （1）12和42 （2）26和39 （3）57和19 （4）77和11 （5）63和84
2、学校开展朗读比赛，男生有60人，女生有 45人要将他们分别分成若干组，如果每组人数 相等，每组最多是几人？共可以分成几组？
1
什么是分解质因数？
把一个合数用几个质数相乘的形式表 示出来叫做分解质因数。
28=2×2×7
什么是质因数？
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数叫做这个合数的质因数。
求最大公因数的9种方法
求最大公因数的9种方法观察法运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．例如，求225和105的最大公因数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公因数是152查找因数法先分别找出每个数的所有因数，再从两个数的因数中找出公有的因数，其中最大的一个就是最大公因数．例如，求12和30的最大公因数．12的因数有：1、2、3、4、6、12；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．12和30的公因数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数．3分解因式法先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公因数．例如：求125和300的最大公因数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因数是5×5＝25．4关系判断法当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公因数．例如，两个数互质时，它们的最大公因数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数．5短除法为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公因数就是所有除数的乘积．例如：求180和324的最大公因数．因为：5和9互质，所以180和324的最大公因数是4×9＝36．6除法法当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公因数．例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因数是13．7缩倍法如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的因数为止，这时的商就是两个数的最大公因数．例如：求30和24的最大公因数．24÷4＝6，6是30的因数，所以30和24的最大公因数是6．8求差判定法如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公因数就是原来两个数的最大公因数．例如：求78和60的最大公因数．78－60＝18，18和60的最大公因数是6，所以78和60的最大公因数是6．如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公因数就是原来两数的最大公因数．例如：求92和16的最大公因数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公因数是4，所以92和16的最大公因数就是4．9辗转相除法我们在求两个数的最大公约数时，通常的方法是短除，或者分别对两个数分解质因数，但是如果遇到两个比较麻烦的较大的数，比如：9193和3567，我们怎么办呢？我们的祖先很久之前就帮我们搞定了，那个时候信息不畅，东西方人都各自用了几乎相同的方法，分别记载于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题yⅠ和Ⅱ）和《九章算术》“更相减损术”中。
公因数短除法
公因数短除法公因数短除法是一种求解最大公因数的算法，它是基于欧几里得算法的改进版。
欧几里得算法是通过递归地将较大的数除以余数，直到余数为0，得到最大公因数。
而公因数短除法则是在每一次求余的过程中，将余数除以最大公因数，以减小数值，从而提高算法的效率。
公因数短除法的原理和步骤：1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。
2. 如果余数为0，则较小的数就是最大公因数。
3. 如果余数不为0，则将较小的数除以余数，得到商和新的余数。
4. 如果新的余数为0，则余数为最大公因数。
5. 如果新的余数不为0，则继续用余数除以商，得到新的商和余数，重复步骤4和5，直到余数为0。
例如，求解最大公因数gcd(60,24)：60 ÷ 24 = 2 余 1224 ÷ 12 = 2 余 0因此，gcd(60,24) = 12。
可以看出，公因数短除法比欧几里得算法更快，因为在每一次求余的过程中，它都将余数除以最大公因数，从而使数值减小，达到了快速收敛的效果。
而欧几里得算法则是直接递归地将较大的数除以余数，虽然也能得到最大公因数，但是在处理大数时，效率较低。
公因数短除法的应用：公因数短除法广泛应用于数论、代数、几何等领域。
它可以用于求解最大公因数、最小公倍数、约分、化简分式等问题。
例如，可以用公因数短除法求解以下问题：1. 求解最小公倍数lcm(24,60)：lcm(24,60) = 24 × 60 ÷ gcd(24,60) = 720 ÷ 12 = 60 因此，lcm(24,60) = 60。
2. 化简分式9x^2y^3/27xy^2：9x^2y^3/27xy^2 = (9/27) × (x^2/x) × (y^3/y^2) = 1/3 ×x × y = xy/3因此，9x^2y^3/27xy^2 = xy/3。
公因数短除法的优点：1. 算法简单易懂，容易掌握。
短除法求最大公因数与最小公倍数
⑺如果在２×3的后面再乘以一个质因数３,还是公约数吗？是最大公约数吗？多乘几个质因数呢？
⑻如果在2×３的后面少乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大的公约数吗?
⑼从这里可以看出：两个数的最大公因数是什么质因数的乘积？
板书:所有的公有质因数的乘积=最大公约数
分解质因数,求最大公因数和最小公倍数
教学内容
知识点讲解:
一、分解质因数
1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？ﻭ ７, 9， １1， 12
2、在2、 7、 12、35、 4 、２1、 13、 17这些数中,
质数有: 2 、７、１3、17
合数有：12、３5 、4 、2１
3、 2８和6０可以写成哪几个质数相乘的形式?
⑽“所有的公有质因数”是什么意思?你是怎么理解的？
⑾从这里可以看出:用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么?
18和２4的最大公约数是：２×3=6。
3.先把3６和54分解质因数,再求出它们的最大公约数。
4．每道题都这样写麻烦吗?能不能简化一下呢?怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成一个除法算式呢？
每个合数都可以写成几个( ）数相乘的形式,其中每个质数都是
这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。
４、13X4＝52，１3和４都是52的因数吗?13和4都是５2的质因数吗?
5、什么是分解质因数呢？
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（１）用短除法把下面各数分解质因数.ﻭ55６0
(2）能用短除法把下面各数分解质因数.ﻭ8012167２
提问: 6和４的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的?
最大公因数短除法
最大公因数短除法
最大公因数短除法是一种求解两个数的最大公因数的方法。
这种方法非常简单，只需要用较大的数除以较小的数，然后用余数再去除较小的数，直到余数为0为止。
最后被除数就是这两个数的最大公因数。
例如，求解36和24的最大公因数，可以按照以下步骤进行：
1. 用36除以24，得到余数12。
2. 用24除以12，得到余数0。
3. 因为余数为0，所以最大公因数为12。
这种方法的优点是简单易懂，不需要使用复杂的算法，适用于小数的求解。
但是，对于大数的求解，这种方法效率较低，需要进行多次短除运算，耗费时间较长。
除此之外，最大公因数短除法还有一些应用。
例如，在分数的约分中，可以使用最大公因数短除法来求解分子和分母的最大公因数，从而进行约分。
另外，在求解多项式的最大公因式时，也可以使用最大公因数短除法来进行计算。
最大公因数短除法是一种简单易懂的求解最大公因数的方法，适用于小数的求解和一些简单的应用场景。
但是，在求解大数或者复杂问题时，需要使用更加高效的算法来进行计算。
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1
2
3
4
9
6
12
你知道吗？ 利用分解质因数的方法，可以比较简 便地求出两个数的最大公因数。
例如:求24和36的最大公因数？
24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3
24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲 和乙的最大公因数是（ ）．
2、甲数＝２×３×５，乙数＝７×１ １×１３，甲数和乙数的最大公因数 是（ ）。
88和11
(倍数关系）
(一般关系） (互质关系）
42和28
(一般关系）
5和9
13和91
14和21
9和16
(互质关系） (一般关系）
88和121
(一般关系）
(倍数关系） (互质关系）
求下列各组数的最大公因数。
13和39
42和34
15和16
4. 选出正确答案的编号填在横线上。 A. 1 A. 4 B. 3 B. 6 C. 4 C. 8
书第64页9题
A (1) 9 和 16 的最大公因数是______ 。
D. 9 D. 16
D (2) 16 和 48 的最大公因数是______ 。
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大
C 公因 数是______ 。
A. 1
B. 甲数
பைடு நூலகம்C. 乙数
D. 甲、乙两数的积
(1) 自然数a除以b商是15，那么a和b的最 b 。 大公因数______ (2)m和n是相邻的两个不为零的自然数，
书第61页做一做2
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
我该站哪儿呢?
1
2
3
4
9
6
12
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1.用列举法、筛选法、集合法
都可以求出两个数的（ 公因数 ） 和（ 最大公因数 ）。
2.用短除法可以求出两个数的 （
最大公因数
）。
3.用短除法求最大公因数时： （1）用（公有的质因数 ）去除；
（2）除到商的公因数只有（ 1 ） 为止，也就是（ 互质 ）为止；
3.最后把所得的（ 除数）相乘， 积就是最大公因数。
它们的最大公因数是______ 。 1
1 （3）所有非零的自然数的公因数是______ 。
（4）所有偶数（0除外）的最大公因数是 2 1 ______ ，所有奇数的最大公因数是______ 。
书第64页8题
5. 按要求写出两个数，使它们的最大公 因数是 1。 (1) 两个数都是质数: ____ 2 和 ____ 5 。
26和65
8和32 2和19
（一般关系） （倍数关系）
13和15
（互质关系）
作业：先判断关系，再找最大公因数。
36和48 60和45 5和 9 18和72 7和19 34和17 16和48 21和14 13和78 17和23 15和16 88和121
1.（ 公因数只有1 ）的两个数，叫 做互质数．
2.两个数为互质数，这两个数的最 大公因数是（ 1 ）．
1.判断是否为互质数。 18和19 √ 6和9 × 3和11 √ 2和43 √ 6和23 √ 1和17 √ 8和15 √ 36和20 × 9和21 × 14和5 √ 121和88 × 14和21 ×
判断下面每组数是什么关系
24和36
23和17
72 36 ( 36 ) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
书第63页7题
5. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。 7 ( 1 ) 9
21 (7 ) 49
8 ( 4 ) 36
11 11 ) ( 66
18 ( 18 ) 72
9 ( 3 ) 15
书第61页做一做1
(2) 两个数都是合数: ____ 4 和 ____ 9 。
(3) 一个质数一个合数: ____ 8 。 13 和 ____
3 和 ____ (4) 两个数都是奇数: ____ 7 。
(5) 两个数中一个奇数一个偶数:
____ 15 和 ____ 16 。
书第64页7题
6. 在相应的(
公因数。
)里写出相邻阶梯上两个数的最大
4 12 25
两数是(倍数 ） 关系时，它们 的最大公因数 较小数 ） 是（
倍数关系很好办，最大公因找小数
2. 先判断下面每组数是什么关系，再找出最大公因数。
6和5 7和9 5和9
(互质关系） (互质关系）
1 和 54
(互质关系）
6和5的最大公因数：1 7和9的最大公因数： 5和9的最大公因数：
1和54的最大公因数：
4.互质两数的公因数只有
（1 ），最大公因数是（1
）。
例1：求下列每组数的最大公因数。 最大公 因数 新的发现
5和6 4和9 1和10
1 1 1
当两数（ 互质 ） 关系 时，它 们的最大公因 数就是( 1 ) 。
互质关系很简单，最大公因就找1
例1：求下列每组数的最大公因数。 最大公 因数 4和32 8和16 25和50 新的发现
1
1 1
15 和 45 (倍数关系）
15和45的最大公因数：15 91和7的最大公因数：7
(互质关系）
91 和 7 (倍数关系）
16 和 48 (倍数关系）2 和 15 (互质关系）
16和48的最大公因数：16
2和15的最大公因数：
1
例2：求最大公因数。
24和36
66和121
一般关系用短除，最大公因乘半边。
找最大公因数的
一.看，先判断关系 二.找，
互质关系很简单，最大公因就找1
倍数关系很好办，最大公因找小数
一般关系用短除，最大公因乘半边。
练习： 先判断关系，再找最大公因数。
24和36
3和7
78和13
34和17
13和91
15和12
5.3
最大公因数（2） 书63页第2题后4列
二
1.自然数a是自然数b的5倍（ab 都不为0），则a和b的最大公因 数是(b )。
2.两个连续自然数的和是15，这 两个自然数的最大公因数是 (1 )。
3.自然数a除自然数b，商是15，
那么a和b的最大公因数是(a
)。
4.a和b的最大公因数是1，积是 21，a＞b，则a=（7或21 ），b=
（3或1 ）。
找出每组数的最大公因数。
（1）42和54 99和36
（2）9和18 （ 3 ） 8和 9 13和39