用短除法求最大公因数和最小公倍数概要
短除法求最大公因数与最小公倍数
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：小五课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期课题分解质因数、最大公因数和最小公倍数授课时间：教学目标1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。
2、使学生掌握分解质因数的方法。
2．使学生理解和掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理，并会用短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。
重点、难点1、用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理。
考点及考试要求分解质因数，求最大公因数和最小公倍数教学内容知识点讲解：一、分解质因数1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？7, 9, 11, 122、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中,质数有: 2 、7、13、17合数有: 12、35 、4 、213、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?287×22×7×428 ＝ 2 X 2 X 760×23××660＝2X3X2X51025×每个合数都可以写成几个( )数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。
4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？5、什么是分解质因数呢?把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（1）用短除法把下面各数分解质因数.55 605551155 = 5×11260233015560=2×2×3×5（2）能用短除法把下面各数分解质因数.80 12 16 72练习：一、选一选。
(1)把10分解质因数是( )A.10=2×5B.10=1×2×5C.10=1×10(2)把27分解质因数是( )A.3×9=27B.3×3×3=27C.27=3×3×3 （2）看谁是小判官①把35分解质因数是 35=1×5×7（）②把49分解质因数是7×7=49 ( )③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )④51不能分解质因数. ( )二、用短除法找最大公因数1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。
短除法求最大公因数与最小公倍数
．把18和24分解质因数。如下：
2 1 8 2 2 4
3 9 2 1 2
3 2 6
3
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
⑴18有哪几个质因数？24呢？
⑵18和24相同的质因数有哪些？
⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起一个名字：公有的质因数
⑷18和24公有的质因数有哪几个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？
4、解决问题
（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？
（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
用短除法求最小公倍数
1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？
2 6 4
2 3
6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。
提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？
上面我们用了好几种方法求6和4的最小公倍数，你认哪种方法最简便？
①把35分解质因数是 35=1×5×7（ ）
②把49分解质因数是7×7=49 ( )
③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )
④51不能分解质因数. ( )
二、用短除法找最大公因数
1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。
2．用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有比它简便的方法求最大公约数呢？
用短除法求最小公倍数的方法步骤
用短除法求最小公倍数的方法步骤文/ 春秋书生教材介绍的是采用列举法和分解质因法求两个数的最小公倍数，这两种方法对于对较小数的求最小公倍数比较适用，但对较大的数来说，做起来就比较麻烦了，下面是我总结的用短除法求最小公倍数的方法步骤：第一步：找出两数的最小公因数，列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商；第二步：然后找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除这两个商，得到新一级的两个商；第三步：以此类推，直到这两个商为互质数（即两个商只有公因数1）为止；第四步：将所有的公因数及最后的两个商相乘，所得积就是我们要求的两个数的最小公倍数。
例：甲数=2X 3X 7X A,乙数=2X 5X 7X A,请问当A=（）时，甲乙两数的最大公因（约）数是42。
A.2B.3C.5D.7题：求96,30,132 的最小公倍数1．30=2X3X5 2. 96=2 5X5 3. 132=2 2X3X11所以【96,30,132 】=25X3X5X11=5280题：求【150,42 】因为（150,42 ）=21 所以【150,42 ] =150X 42-21=210题：把一长60 厘米、宽40 厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形,且无剩余,最少可以剪成多少块？解：(60,40 ) =20……这是小正方形的边长。
(60- 20)X( 40- 20) =6 (块)或用面积计算：(60X 40)-( 20X 20) =6 (块)题：用长5厘米、宽3厘米的长方形纸片摆成一个正方形(中间无空隙)，至少要用多少个长方形纸片？解：(5,3 ) =15 (厘米)……这是正方形的边长。
(15-5)X( 15-3)=15(个)长方形如果一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公因数是第二个数。
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
说出下列各组数的最小公倍数。
(口答)第一组：12和4(12) 6 和18 (18) 10 和70(70)倍数关系：最小公倍数是大数。
用短除法求最小公倍数的方法步骤
用短除法求最小公倍数的方法步骤文/春秋书生教材介绍的是采用列举法和分解质因法求两个数的最小公倍数，这两种方法对于对较小数的求最小公倍数比较适用，但对较大的数来说，做起来就比较麻烦了，下面是我总结的用短除法求最小公倍数的方法步骤：第一步：找出两数的最小公因数，列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商；第二步：然后找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除这两个商，得到新一级的两个商；第三步：以此类推，直到这两个商为互质数（即两个商只有公因数1）为止；第四步：将所有的公因数及最后的两个商相乘，所得积就是我们要求的两个数的最小公倍数。
例：甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，请问当A=（）时，甲乙两数的最大公因（约）数是42。
A.2B.3C.5D.7题：求96,30,132的最小公倍数1．30=2×3×5 2. 96=25×5 3. 132=22×3×11所以【96,30,132】=25×3×5×11=5280题：求【150,42】因为（150,42）=21 所以【150,42】=150×42÷21=210题：把一张长60厘米、宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？解：（60,40）=20……这是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）题：用长5厘米、宽3厘米的长方形纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用多少个长方形纸片？解：（5,3）=15（厘米）……这是正方形的边长。
（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形如果一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公因数是第二个数。
短除法求最大公因数与最小公倍数
①1②小数③大数
2．1.5能()。
①整除3②被3整除③被3除尽
3．大于2的两个质数的乘积一定是()。
①质数②偶数③合数
4．任意两个自然数的积是()。
①质数②合数③质数或合数
5．甲数的质因数里有2个2，乙数的质因数里有3个2，它们的最大公因数里应该有()。
4、解决问题
（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？
（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
（8）李老师买了一箱矿泉水，4瓶4瓶数或5瓶5瓶数，都刚好数完。这箱矿泉水至少有几瓶？
（9）李老师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6月30日她们都去图书馆，7月份同时去图书馆的日子有哪几天？
（10）501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？
提问：6和4的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？
【最小公倍数＝全部公有的质因数的积×各自独有的质因数】
练习。
填空。
（1）已知A＝2×5×5，B＝2×5×7。A和B全部公有的质因数有（），各自独有的质因数有（），A和B的最小公倍数是（）。
（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
（11）五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？
（12）小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？
短除法求最大公因数与最小公倍数[详细讲解]
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讲义编号学员编号：年级：小五 课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期课 题分解质因数、最大公因数和最小公倍数 授课时间：教学目标 1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。
2、使学生掌握分解质因数的方法。
2．使学生理解和掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理，并会用短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。
重点、难点 1、 用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理。
考点及考试要求 分解质因数，求最大公因数和最小公倍数教学内容知识点讲解：一、 分解质因数1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？7, 9, 11, 122、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中,质数有: 2 、7、13、17合数有: 12、35 、4 、213、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?287×22×7×428 ＝ 2 X 2 X 760×23××6 60＝2X 3X 2X 51025×每个合数都可以写成几个()数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。
4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？5、什么是分解质因数呢?把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（1）用短除法把下面各数分解质因数.55605551155 = 5×11260233015560=2×2×3×5（2）能用短除法把下面各数分解质因数.80 121672练习：一、选一选。
(1)把10分解质因数是()A.10=2×5B.10=1×2×5C.10=1×10(2)把27分解质因数是()A.3×9=27B.3×3×3=27C.27=3×3×3（2）看谁是小判官①把35分解质因数是 35=1×5×7（）②把49分解质因数是7×7=49 ( )③把30分解质因数是30=2×3×5( )④51不能分解质因数. ( )二、用短除法找最大公因数1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。
短除法求最大公因数与最小公倍数
板书：所有的公有质因数的乘积＝最大公约数
⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？
⑾从这里可以看出：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么？
18和24的最大公约数是：2×3＝6。
3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公约数。
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讲义编号
学员编号：年 级：小五课时数：
学员： 辅导科目：数学学科教师：
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课 题
分解质因数、最大公因数和最小公倍数
授课时间：
教学目标
1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。
2、使学生掌握分解质因数的方法。
2．使学生理解和掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理，并会用短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。
重点、难点
1、用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理。
考点及考试要求
分解质因数，求最大公因数和最小公倍数
教学容
知识点讲解：
一、分解质因数
1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？
7, 9, 11, 12
2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中,
质数有: 2 、7、13、17
（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
用短除法求最小公倍数
1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？
2 6 4
2 3
6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。
提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？
示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数
示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数一、课题基本资料学习范畴：数与代数学习重点：运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
学生不须认识其原理。
已有知识： 1.学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N5「公倍数和公因数」中，学会透过列举两个数的倍数，求该两个数的公倍数及最小公倍数；以及透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。
学生已认识最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。
2.另外，学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N2「除法（二）」中认识整除性，除数为2、5和10。
3.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.1中，认识4、6、8和9的整除性判别方法。
4.学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习3的整除性判别方法。
5.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.3中，认识正整数的质因数分解。
［备注：部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
］规划建议：教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点1.4「求最大公因数和最小公倍数」的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。
二、建议教学内容1.教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。
♦例1：运用列举法，求12和18的最大公因数。
首先由小至大，列举12和18的所有因数，并圈出12和18的所有公因数。
12的因数：○1○2○3 4 ○61218的因数：○1○2○3○69 18从圈出的公因数中，可见6是12和18的最大公因数。
♦例2：运用列举法，求12和18的最小公倍数。
首先由小至大，列举12和18的首几个倍数，并圈出12和18的公倍数。
12的倍数：12 24 ○3648 60 ○72……18的倍数：18 ○3654 ○72……从圈出的公倍数中，可见36是12和18的最小公倍数。
2.教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。
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例题 相同点 不同点
求两个数的 最大公因数
求两个数的 最小公倍数
用短除的形式分解 质因数，直到两个 商是互质数为止．
同左
把所有的除数乘起来．
把所有的 除数和商 乘起来．
两个数的最大公因数可以用小括号（ ）表示。
如：12和18的最大公因数是6， 可以表示为（12，18）=6。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
（3×22×55×7×5=1050 ）。
求出下面两组数的最小公倍数。
14、28和35
20、45和15
63、27和36
38、57和76
81、72和18
33、22和121
两个数的公因数去除
直到三个商中
每两个数都是互质数为止。
相同点：都要把所有的除数和商 相乘起来
一、根据下列各题的分解质因数，求出各题 的最小公倍数。
1、15=3×5，20=2×2×5，30=2×3×5 15、20、30的最小公倍数是
5 52×（23×3×2=60 ）。
2、A=2×3×5，B=2×3×7，C=3×5×5， A、B和C的最小公倍数是
求出下面两组数的最小公倍数。
6和9
6、9和12
小组讨论： 求两个数的最小公倍数与 求三个数的小公倍数有什么
不同点和相同点？
求两个数的最小公倍数与求三个数的 最小公倍数的区别：
求两个数的最小公倍数，只是用
两个
数的公因数去除，直到两个商是
互质数为止
求三个数的最小公倍数，
先用三个数的公
因数去除，再用其中
用短除法
求12和18的最大公因数。
12的因数
18的因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
12的因数
12 3 4 6 12
18的因数
12 3 6 6 9 18
是它们的最大公因数
求12和18的最大公因数。
你还会其他 方法吗？
我会用短除法求 最大公因数。
看看吧
先同时除以公因数2 再同时除以公因数3
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最大公因数是11。 可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出33和11的最大公因数和最小公倍数。
11 33 11 31
33和11的最小公倍数是11×3×1=33。 可以表示为[33，11]=33。
用短除法求两个数的最大公因数或最小 公倍数，一般都用两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两个商只有公因 数1为止。
8=2×2×2 12=2×2 ×3
30=2
×3×5
8、12和30的最小公倍数，必须包含三个数
全部公有的质因数（1个2）和每两个数公有的质
因数（1个2和1个3），以及各自独有的质因数
（2和5）。2×2×3×2×5=120，
120就
是8、12和30的最小公倍数。
求三个数的最小公倍数，通常这样做：
2 8 12 30
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
除到两个商只有 公因数1为止.
2 12 18 36 9
23
把所有的除数连乘,得到12和18 的最大公因数是2×3 = 6
还可因数3
除到两个商只有 公因数1为止.
2 12 18
36 9 23
把所有的除数和最后的两个商连乘,
得到12和18的最小公倍数是 2×3×2×3 = 36.
用三个数公有的质因数2除
2
4 6 15
4和6还有公有的质因数2，再 用 2除这两个数，把15抄下来。
3 2 3 15 3和15还有公有的质因数3，再
3除这两个数，把15抄下来。
2 1 5 2、1和5，每两个数都是互质数，
除到这里为止。
8、12、30的最大公因数怎么求？
8、12、30的最大公因数是2，只要算到第一步 就行了。
把所有的除数连乘起来，就得到这两 个数的最大公因数。
把所有的除数和最后的两 个商连乘起来，就得到这 两个数的最小公倍数。
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数：
25和35
42和18
54和27
6、14和8
试一试： 你会用短除法求12、28、36的最大公因数 和最小公倍数吗？
例：求8和12和30的最小公倍数。