旅行商问题_TSP_算法的比较

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求旅行商(TSP)问题的几种改进遗传算法的比较分析

摘要：随着现代科技的发展，待研究问题的规模与难度越来越大，单一的算法已经不能很好地解决问题
本文在阐读了走量关于混合遗传算法论文的基础上．总结了三种能够比较有效地求解旅行商（Ｓ）问的改进ＴＰ题型遗传算法，并阐述了它们的基本思想以及搡作步骤最后指出了它们的忧缺点和今后抽研究方向。关键词：改进遗传算法：模拟退火算法：知识崖：贪婪算法
ａａｎａｇｅａｄｉｄｖｔｅｓｄｖｔｓｎｄｓａａｎａｇｏｆｈｅａｎｔｈＦｅａｈｔｍｄｅｓｅｒｃｗａｙｏｔｆｕｒａｒｐｏｉｔｅｏｕｆｒｈｅｕｔｅＧｎｔｃｌｏｉｈ；ＳｍｌｔｄＡｎａｎｌｏｉｈ；ＣｅＢｓ；ＧｅｄｌｏｔｒｓＩｐｏｅｅｅｉＡｇｒｔｍｉｕａｅｎｅｌｇＡｇｒｔｍａｓａｅｒｅｙＡｇ－ｉ
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一
然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法．由美国霍兰（．ｏｌｎ）教授提出．其主要特点是群体搜ＪＨ１ａｄ索策略和群体中个体之间的信息交换，搜索不依赖于梯度信息。它的基本运算步骤是： ①选择初始种。群；②计算适应度值；０交叉；④变异：④用新的种群替代初始种群，直到出现满意解。可以说，遗传算法具有很强的解决问题的能力，并且适应性也非常广泛，但是随着问题规模和复杂度的不断提升，单一的算’ 在其收敛性和求解速度等方面已经表现砝出局限性。因此，多种算法相结合使用的混合优化策略已经逐渐成为新的研究热点ａ本文综述了三种针对ＴＰ问题的改进遗传算法的主要思想，并对它Ｓ

邮递员问题最短路径的解法

邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。

它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。

由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。

然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。

这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。

2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。

3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。

2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。

该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。

4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。

通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。

遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。

上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。

对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。

对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。

此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

TSP问题的几种解法对比

城市旅行问题之路程短摘要城市旅行问题即旅行商(TSP)问题，要从图G的所有周游路线中求取最小成本的周游路线，而从初始点出发的周游路线一共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的n-1个结点的排列数，因此旅行商问题是一个排列问题。

排列问题比子集合的选择问题通常要难于求解得多，这是因为n个物体有n!种排列，只有子集合(n!>O( n2))。

通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出一条具有最小成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。

这种枚举法运算量相当庞大，随着城市数量呈指数增长。

为此，我们对比应用随机探索的模拟退火算法，线性规划和蚁群算法三种方法：模拟退火算法，利用物理退火达到平衡态时的统计思想，建立数学模型，编写该算法的MATLAB程序，进行求解，得出最短旅行的最短距离为422.13；对TSP的约束条件和目标函数编写LINGO程序，经过多次迭代，得出最短旅行的最短距离也为422.13；蚁群算法：基于自然界蚂蚁觅食的最短路径原理，建立模型，通过MATLAB程序，得出最短旅行距离为427.8971。

关键词模拟退火算法线性规划蚁群算法一．问题重述一个人要到30个不同的城市游玩，每两个城市i和j之间的距离为d ij，如何选择一条路径使得此人走遍所有城市后又回到起点，要求所走路径最短。

二.符号说明三．问题分析与处理便于我们说明和解决问题，先将题中给出的城市编号：表一30座城市的坐标3.1模拟退火方法这是一个典型的TSP组合优化问题[1]，并且是一个N-P难问题。

传统的解决此类问题的方法包括：分枝定界法、线性规划法和动态规划法等等。

随着人工智能的发展，一些智能优化的算法逐渐产生，这其中模拟退火算法因具有高效、稳定、通用、灵活的优点备受专家和学者的青睐。

将模拟退火算法引入STP问题求解，可以有效的避免在求解过程中陷入局部最优。

下面就是我们用模拟退火算法具体解决这个问题。

算法设计步骤：（1）问题的解空间和初始值城市旅行问题的解空间S 是遍访36个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。

旅行商问题_TSP_算法的比较

技术０与市场８１
２００７／２
综述
生更适应环境的新一代“ 染色体”群。这样，一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“ 染色体”上，它就是问题的最优解。下列是实现遗传算法解决ＴＳＰ问题的步骤：
１）产生一群染色体（不同的游历路径）后计算评估每个染色体的健壮度（总路径长度）。
遗传算法简称ＧＡ（ＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ），在本质上是一种不依
径长度，找出Ａ到Ｂ是最短的路径（５公里），然后我们从Ａ到Ｂ，然后赖具体问题的直接搜索方法。遗传算法ＧＡ把问题的解表示成
设定Ａ和Ｂ之间的距离无限大。然后在Ｂ，我们找出Ｂ到Ｃ（３公里） “ 染色体”，在算法中也即是以二进制编码的串。并且，在执行遗
今可以解决ＴＳＰ问题的算法有很多，如：模拟退火算法，蚁群算而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最
法，遗传算法，克隆算法等等。本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ准则，粒子
决ＴＳＰ问题的算法（贪心算法，模拟退火算法和遗传算法），并在温度Ｔ时趋于平衡的概率为ｅｘｐ（－Ｅ／（ｋＴ）），其中Ｅ为温度Ｔ时的
化问题中又有着广泛的应用，故长期以来一直吸引着国内外许
２）对ｋ＝１至ｋ＝Ｌ做第（３）至第６步；
多研究人员进行研究，他们尝试着用各种算法来求解ＴＳＰ问题，
３）产生新解ｓ′（一般利用２－ｏｐｔ算法来产生新的路径）；

旅行商问题_TSP_算法比较_戴三

蚁群算法（ＡＣＡ，ａｎｔｃｏｌｏｎｙａｌｇｏｒｉｔｈｍ）是由意大利学者ＭａｒｃｏＤｏｒｉｇｏ等人于２０世纪９０年代初期通过模拟自然界中蚂蚁集体寻径的行为而提出的一种仿生寻优算法。参加寻径的蚂蚁通过留在链路上的信息素交互来选择新的路由从而达到寻优的目的。其基本特征是：本身是一个增强型学习系统，具有分布式的计算特性，具有很强的顽健性［３］。
溯法等。除此之外的算法大多为近似算法。近似算法求得
的解不一定是问题的最优解，但一般可求得问题的次优解
或近似解，近似算法也称优化算法。大体上可以将求解ＴＳＰ问题的优化算法分为两种类型［２］：与问题本身特征相
关的局部启发式搜索算法和独立于问题的经典优化算法。
３仿生算法 — 以蚁群算法为例
仿生算法是一类模拟自然生物进化或者群体社会行为的随机搜索方法的统称。自从２０世纪７０年代产生第一个仿生算法—遗传算法诞生以来，越来越多的研究者投身其中，先后提出了蚁群算法、微粒群算法、捕食搜索算法、人工鱼群算法、混合蛙跳算法等一系列仿生算法。根据笔者查阅的文献，很多仿生算法（如遗传算法、蚁群算法、神经网络算法、蛙跳算法、微粒群算法等等）在ＴＳＰ问题中都有应用，而且均获得了良好的效果。由于蚁群算法相对比较成熟，是仿生算法的典型代表，因此笔者以蚁群算法为例，说明仿生算法在ＴＳＰ问题中的应用。

求解TSP问题的几种算法比较

求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。

物流算法

3、“一笔画”问题（Drawing by one line）
还有一个用图论语言的描述方式：平面上有n个点，用最短的线将全部的点连起来。称为“一笔画”问题。
4、配送路线问题（Route of Distribution）
TSP问题在物流中的描述是对应一个物 Nhomakorabea配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。如何确定最短路线。
10、扫描算法（Sweep Algorithm）
它也是求解车辆数目不限制的VRP问题的启发式算法。求解过程同样是4步：以起始点为原点建立极坐标系，然后从最小角度的两个客户开始建立一个组，按逆时针方向将客户逐个加入到组中，直到客户的需求总量超出了车辆的载重定额。然后建立一个新的组，继续该过程，直到将全部客户都加入到组中。
9、节约里程法（Saving Algorithm）
节约算法是用来解决运输车辆数目不确定的VRP问题的最有名的启发式算法。它的核心思想是依次将运输问题中的两个回路合并为一个回路，每次使合并后的总运输距离减小得幅度最大，直到达到一辆车的装载限制时，再进行下一辆车的优化。优化过程分为并行方式和串行方式两种。
VRP问题和TSP问题的区别在于：客户群体的数量大，只有一辆车或一条路径满足不了客户的需求，必须是多辆交通工具以及运输工具的行车顺序两个问题的求解。相对于TSP问题，VRP问题更复杂，求解更困难，但也更接近实际情况。
6、多个旅行商问题（Multiple TSP）
由于限制条件的增加，TSP问题可以衍生出多个旅行商问题（MTSP），就是一个出发点，m个旅行商的TSP，即所访问的客户没有需求，车辆没有装载的限制，优化目标就是要遍历所有的客户，达到总里程最短。
TSP问题最简单的求解方法是枚举法。它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）！。可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。

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综述
旅行商问题（ＴＳＰ）算法的比较
苗卉
杨韬
澳大利亚昆士兰大学信息技术与电气工程学院西南交通大学电气工程学院成都６１００３１
摘要：旅行商问题是一种典型的求解多局部最优的最优化问题：有ｎ个城市，一个旅行者从其中的一个城市出发，经过所有的城市一次并返回出发的城市，求最短的路线。本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解决ＴＳＰ问题的算法（贪心算法，模拟退火算法和遗传算法），并在ＴＳＰ测试文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而比较和归纳每个算法的优缺点。
在ＴＳＰ测试文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而内能，Ｅ为其改变量，ｋ为Ｂｏｌｔｚｍａｎ常数。
比较和归纳每个算法的优缺点。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能Ｅ模拟为目标函数
１．旅行商问题简介
值ｆ，温度Ｔ演化成控制参数ｔ，即得到解组合优化问题的模拟退
化问题中又有着广泛的应用，故长期以来一直吸引着国内外许
２）对ｋ＝１至ｋ＝Ｌ做第（３）至第６步；
多研究人员进行研究，他们尝试着用各种算法来求解ＴＳＰ问题，
３）产生新解ｓ′（一般利用２－ｏｐｔ算法来产生新的路径）；
归纳起来有：近似解法、局部搜索法、神经网络、遗传算法、克隆
平均路径长度为７９１７．９，与最优值的平均差：３７５．９，与最优解的平均方差：４７５．６。在遗传序列算法中，平均路径长度为８５１５．６，与最优值的平均差：９７３．６，与最优解的平均方差：１０４３．０。从以上数据可以看出，模拟退火算法的效率最高，在有限的迭带次数下求得的结果离最优解最近（与最优解的平均方差为４７５．６）。
技术０与市场８１
２００７／２
综述
生更适应环境的新一代“ 染色体”群。这样，一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“ 染色体”上，它就是问题的最优解。下列是实现遗传算法解决ＴＳＰ问题的步骤：
１）产生一群染色体（不同的游历路径）然后计算评估每个染色体的健壮度（总路径长度）。
５．总结本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解决ＴＳＰ问题的算法（贪心算法，模拟退火算法和遗传算法），并在ＴＳＰ测试文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而比较和归纳每个算法的优缺点。实验结果表明，每个算法都有各自的优缺点。另外，在模拟退火算法和遗传序列算法中，初始温度、衰减因子和马尔可夫链长度等参数的控制，还需要做进一步研究。今后应在更先进的硬件平台的基础上尝试较大的ＴＳＰ地图（上千城市规模的地图）来进一步测试算法的性能。解决ＴＳＰ问题的算法在对钻孔路线方案、连锁店的货物配送、网络布线，铁路网优化等问题中有着广泛的应用，所以改进和研究解决ＴＳＰ问题算法对实际的工业生产是有重要意义的。参考文献：［１］王忠业，房丽娜．基于遗传算法的项目投资决策分析［Ｊ］．科技进步与对策，２００６，（５）：１１０－１１１．［２］魏延，谢开贵．模拟退火算法［Ｊ］．蒙自师范高等专科学校学报，１９９９，（８）：７－１１．［３］芦金婵，王伟东．模拟退火算法的改进［Ｊ］．淮北煤师院学报，２００３，（１２）：１６－１９．［４］万军洲．基于模拟退火技术的旅行商问题求解算法［Ｊ］．软件导刊，２００６，（８）：８８－８９．［５］ＳｃｏｔｔＭ．ＴｈｅｄｅＡｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍｓＯｃｔｏｂｅｒ２００４ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓｉｎＣｏｌｌｅｇｅｓ，Ｖｏｌｕｍｅ２０Ｉｓｓｕｅ１．
是最短的路径。如此然后去Ｃ，再到Ｄ。所以，此算法则总是选择传算法之前，给出一群“ 染色体”，也即是假设解。然后，把这些
最短的路径。
假设解置于问题的“ 环境 ”中，并按适者生存的原则，从中选择
２．２模拟退火算法
出较适应环境的“ 染色体 ”进行复制，再通过交叉，变异过程产
的路径。城市越多，可能的路径也越多。而且路径的增加速度非体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温（即退火），
常快且是非线形的。当ｎ很大时，去尝试每一种可能的路径是不使之达到能量最低点。反之，如果急速降温（即淬火）则不能达到
可能的，所以需要设计一个有效的算法去寻找最短的路径。现最低点。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，
今可以解决ＴＳＰ问题的算法有很多，如：模拟退火算法，蚁群算而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最
法，遗传算法，克隆算法等等。本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ准则，粒子
决ＴＳＰ问题的算法（贪心算法，模拟退火算法和遗传算法），并在温度Ｔ时趋于平衡的概率为ｅｘｐ（－Ｅ／（ｋＴ）），其中Ｅ为温度Ｔ时的
２）选留健壮度较好的染色体（总路径较短的路径），剩下的作为父染色体；
３）父染色体交换，倒转或移位产生下一代染色体（其中有５％的染色体变异的概率）；
４）在下一代染色体的基础上回到第１步骤；５）循环整个程序多次，记录下每代的最好的染色体；６）选择其中最优秀的染色体作为最优解。３．ＴＳＰ算法的比较３．１实验器材与数据用来测试算法性能的ＴＳＰ文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ是两张具有５２个城市和１００个城市的ＴＳＰ地图，它们可以从ＴＳＰ问题的数据库中下载得到。下载ＴＳＰ测试文件的地址为：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｉｗｒ．ｕｎｉ－ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ．ｄｅ／ｇｒｏｕｐｓ／ｃｏｍｏｐｔ／ｓｏｆｔｗａｒｅ／ＴＳＰＬＩＢ９５／ｔｓｐ／测试的硬件平台主要配置为ＰｅｎｔｉｕｍＭ１．６Ｇｈｚ处理器，３３３ＭｈｚＤＤＲ２５６Ｍ内存，测试算法的软件选用Ｍａｔｌａｂ７．０。３．２实验结果贪心算法：运行贪心算法计算ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ各１０次，记录路径总长度和程序运行时间，在贪心算法中：Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ：平均路径长度为９１９７．４；程序平均执行时间：０．０３２秒；与最优值的平均差：１６５５．４；与最优解的平均方差：１７８５．７。Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ：平均路径长度为２８３０３；程序平均执行时间：０．０３８秒；与最优值的平均差：６１６２；与最优解的平均方差：６４３５．４。模拟退火算法：Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ：平均路径长度为７９１７．９；程序平均执行时间：９．３秒；与最优值的平均差：３７５．９；与最优解的平均方差：４７５．６。Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ：平均路径长度为２３４５４；程序平均执行时间：１５６．８秒；与最优值的平均差：１３１３；与最优解的平均方差：１４１３．５。遗传序列算法：运行遗传序列算法计算ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ各１０次，记录路径总长度和程序运行时间，在遗传序列算法中：Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ：平均路径长度为８５１５．６；程序平均执行时间：２９．６秒；与最优值的平均差：９７３．６；与最优解的平均方差：１０４３．０。Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ：平均路径长度为２７１８４；程序平均执行时间：１４８．１秒；与最优值的平均差：５０４３；与最优解的平均方差：５２８３。４．算法的结果分析首先我们比较三个算法的运行时间，拿Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ为例：在贪心算法中，程序平均执行时间：０．０３２秒；在模拟退火算法中，程序平均执行时间：９．３秒；在遗传序列算法中，程序平均执行时间：２９．６秒。由上数据看出，由于贪心算法不需要迭代，所以运行速度最快，而遗传序列算法是计算最慢的算法。然后我们比较三个算法的准确度，还是以Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ为例：在贪心算法中，平均路径长度为９１９７．４，与最优值的平均差：１６５５．４，与最优解的平均方差：１７８５．７。在模拟退火算法中，
４）计算增量Ｃｏｓｔ＝Ｃｏｓｔ（ｓ′）－Ｃｏｓｔ（ｓ），其中Ｃｏｓｔ（ｓ）为评价函数；
算法、模拟退火算法、混合遗传算法等。
５）若ｔ′＜０则接受ｓ′ 作为新的当前解，否则以概率ｅｘｐ