波动学基础
第5章波动学基础
量纲!
Y
T为绳索或弦线中张力;
为质量线密度
ul
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度
G * 各向同性均匀固体媒质横波波速 u t G为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
震中
26
*
5.3 平面波的动力学方程 p172—177(不要求)
质量为 m 的媒质其动能为：
2
x y A cos[ (t )] u x y A sin[ (t )] u
1 x y 1 2 2 2 Wk m VA sin [ (t )] 2 2 u t 以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
2 2 2x y A cos( t ) T 2
0
u
X
21
0 0.2m 0.4m
2 2x y A cos( t ) T 2
0.4 10 cos(100t 5x 2) (m)
2
因为：
y ( x, t ) x v y A sin[ (t ) ] t u 2
10
惠更斯原理 1. 惠更斯原理
• 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的 子波源 (点波源)。 • 在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是 实际的波在该时刻的波前 。 2. 应用 :
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
11
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
y x 1 y A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 2 2 x u u u t 2 2 动平 y 1 y 力面 2 学波 2 2 x u t 方动
第二章 波动力学基础
第二章波动力学基础§2.1波函数的统计解释按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。
怎么理解粒子性和波动性之NJ 的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。
能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。
因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。
这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。
如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果矛盾。
实际上，单个粒子也有波动性。
那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。
以自由粒子为例。
对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E 和动量P 均为常矢量。
按德布罗意关系(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相联系的波的频率。
，波矢k 均为常数及常矢量。
因此和自由粒子相联系的波是平面波。
即()()Et r p h i t r k i Ae Ae -∙-∙==ωϕ （2.1.1）其振幅A 与坐标无关。
因此它充满全空间。
若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。
而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k 的函数，按§1.4，必然存在色散。
如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。
这当然与实际情况不符。
在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。
即使到现代，也仍然有不同观点。
而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。
但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn)提出的统计解释。
他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。
大学物理练习册习题及答案6--波动学基础
⼤学物理练习册习题及答案6--波动学基础习题及参考答案第五章波动学基础参考答案思考题5-1把⼀根⼗分长的绳⼦拉成⽔平，⽤⼿握其⼀端，维持拉⼒恒定，使绳端在垂直于绳⼦的⽅向上作简谐振动，则（A ）振动频率越⾼，波长越长；（B ）振动频率越低，波长越长；（C ）振动频率越⾼，波速越⼤；（D ）振动频率越低，波速越⼤。
5-2在下⾯⼏种说法中，正确的说法是（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；（B ）波源振动的速度与波速相同；（C ）在波传播⽅向上的任⼆质点振动位相总是⽐波源的位相滞后；（D ）在波传播⽅向上的任⼀质点的振动位相总是⽐波源的位相超前 5-3⼀平⾯简谐波沿ox 正⽅向传播，波动⽅程为010cos 2242t x y ππ??=-+ ?. (SI)该波在t =0.5s 时刻的波形图是（）5-4图⽰为⼀沿x 轴正向传播的平⾯简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦函数表⽰，且此题各点振动初相取-π到π之间的值，则（）（A ）1点的初位相为φ1=0(m)(A )(m)(m)(B )(C )(D )思考题5-3图思考题5-4图（B ）0点的初位相为φ0=-π/2 （C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=05-5⼀平⾯简谐波沿x 轴负⽅向传播。
已知x=b 处质点的振动⽅程为[]0cos y A t ωφ=+，波速为u ，则振动⽅程为（）(A)()0cos y A t b x ωφ??=+++??(B)(){}0cos y A t b x ωφ??=-++??(C)(){}0cos y A t x b ωφ??=+-+?? (D)(){}0cos y A t b x u ωφ??=+-+?? 5-6⼀平⾯简谐波，波速u =5m?s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所⽰，则0x =处的振动⽅程为（）（A ）211210cos 22y t ππ-??=?- (SI) （B ）()2210cos y t ππ-=?+ (SI) （C ）211210cos 22y t ππ-??=?+ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-?=-(SI) 5-7⼀平⾯简谐波沿x 轴正⽅向传播，t =0的波形曲线如图所⽰，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转⽮量图是（）5-8当⼀平⾯简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论⼀哪个是正确的？（A ）媒质质元的振动动能增⼤时，其弹性势能减少，总机械能守恒；（B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任⼀时刻都相同，但两者的数值不相等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最⼤。
第十二章 波动学基础
形式的形变叫切应变。
S
切应力(tangenntial stress)： F
切应变： Δd
S
D
在弹性限度内，切变的应力和应变成正
F
Δd
F
比。
F G Δd SD
S
D
G 称作切变模量。由材料的性质决定。
F
2021/9/26
3. 体应变
一块物质周围受到的压强改变时，
其体积也会发生改变，称体应变。
p
V
体应变： ΔV V
x
Sdx Sdx v
x
t
Y 2y 2y
x 2
t 2
d
2y 1 2y
x2 Y t 2
2 y 1 2 y
x2 Y t 2
y A cos[ ( t x ) ]
u
表示棒中各点振动的位移满足的 微分方程， 称为细棒中平面波 的波动方程(wave equation)。 是动力学方程。
在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，由于外力 施加的方式不同，形变可以有以下几种基本方式：线应变、 切应变和体应变。
2021/9/26
1. 线应变(strain)
F
l
l
S
F
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向加以方向相反大小 相等的外力时，其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方 向而定。这种形式的形变叫线应变。
二、波函数的物理意义
表示x0处质元的振动表达式。
平面简谐波的波函数
y(x,t)
A
c o s
t
x u
+、 －分别表示波沿负、 正方向传播。
(2) 当 t = t 0 (常数) 时，
y(x)
A
chapter3波动学基础 (2)
光纤传输系统 EDFA
孤子源
调制
探测
隔离器 脉冲源 EDFA EDFA EDFA
光孤子通信系统构成方框图
光孤子源产生一系列脉冲宽度很窄的光脉冲，即光孤子流，
作为信息的载体进入光调制器，使信息对光孤子流进行调制。 被调制的光孤子流经掺铒光纤放大器和光隔离器后，进入光 纤进行传输。 为克服光纤损耗引起的光孤子减弱，在光纤线路上周期地插
光孤子的形成
在讨论光纤传输理论时，假设了光纤折射率n 和入射光强(光功率)无关，始终保持不变。 这种假设在低功率条件下是正确的，获得了 与实验良好一致的结果。 然而，在高功率条件下，折射率n随光强而变 化，这种特性称为非线性效应。
在强光作用下，光纤折射率n可以表示为 2 n n0 |E| n2
环光纤间接实验系统 (参看图7.37(b))，传输速率为2.4Gb/s，传
输距离达12000km；改进实验系统，传输速率为 10Gb/s，传输 距离达106km。
事实上，对于单信道光纤通信系统来说，光孤子通信系统的
性能并不比在零色散波长工作的常规(非光孤子)系统更好。 然而，零色散波长系统只能实现单信道传输，而光孤子系统 则可用于 WDM 系统，使传输速率大幅度增加，因而具有广 阔的应用前景。
包层包层输入光谱光强光发射输出光脉冲光强光输出光接收1213141516pskmnm30201010203011材料色散自由空间波长色度色散波导色散4210051005所有光源都是在一定波长范围内发射的非单色光当各种波长的光进入纤芯后由于波长与折射率有关所以在光纤波导中的光以不同的群速度在纤芯内传输波长短的波速度慢波长长的波速度快所以它们到达光纤末端的时间也不同导致输出脉冲展宽
波动学基础练习及答案
（C）周期为 1 秒； （D）波沿 x 正方向传播。 3
（C ）
根据公式ω =6 π ，T = 2π / ω =1/3 秒。其它均不正确， λ = 100 / 3, u = 100 （忽略单位），传
播方向为-x。
3．下列叙述中不正确的是
（A）在波的传播方向上，相位差为 2π 的两个质元间的距离称波长；
t (s)
-A
d
O
Px
计算题 1 图
5
解：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
（2）
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π] ；（3）
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π t) 4
+
π] =
A cos( 1 2
πt
+
（D ） 由传播方向可知，时间项为正的 x/u；
设表达式为 y = A cos[ω(t + x / u) + φ] ，依图可知，x=0 处在 t=T/4 时相位为 − π ，代入后相 2
位公式得： φ =- π ，等价于 π 。
5．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 I 2 = 4 ，则两列波的振幅之比是
2
2
O
（C） π 与 − π ； （D） − π 与 π 。
22
22
u
第7章 波动学基础
（痛阈）
强到失去听 觉只有痛觉
听觉 强度范围甚宽，实用上需要以更方便的单位来表示。
声强级
人对声强的主观感觉即响度,用声强级数表示。 单位:分贝 (dB)
贝(B)
10
分贝(dB)
常用分贝(dB)为单位 1贝(B) =10分贝(dB), 好比 1米(m) =10分米(dm) 。
闻阈 正常呼吸 悄悄话 室内正常谈话 大声喊叫 重型卡车 电动切草机 摇滚乐 痛阈 伤害人体
平面波（波面为平面的波）
波线（波射线） 球面波（波面为球面的波）
波的传播方向。在各向同性媒质中， 波线恒与波面垂直。
正向波 反向波
正向波 反向波
若给定某点 P 的
，波函数变为 P 点处质点的
P点的
距原点为
处质点振动的初相
若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质 点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的
观察者测得的频率
观察者每秒接收到的整波数，即观察者测得的频率为
观察者测得的频率是波源的振动频率的
如果波源静止观察者背离波源运动，观察者测得的频率为
倍。
3. 观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动。
先看一个普通现象
一列等间距的小石子，等时先后落入水中，
（点击鼠标） 它们所激起的水波的 波阵面分布是一系列偏心圆。
来自同一波源的入射波传播到带有小孔的屏时，通过小孔时，在 小孔的另一侧都产生以小孔作为点波源的前进波，可将其抽象为从 小孔处发出的一种次波或子波，其频率与入射波频率相同,在叠加区 域有相同的振动方向,且相位差恒定,它们是相干波.可以产生干涉.
A
当
A1
2
A2
2
2 A1 A2 cos (j20 当
波动学基础
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9. 1机械波的产生和传播
波动的传播既然与介质的弹性有密切的关系，因而波速必然与介 质的弹性模量有关。另外，波速也应该与介质的密度有关，因为密度 是描述介质惯性的物理量，它反映介质中任一部分在力的作用下，运 动改变的难易程度。理论证明横波和纵波在固态介质中的波速u可分 别用下列两式计算
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9. 1机械波的产生和传播
9.1.2横波与纵波
波在传播时，质元的振动方向和波的传播方向不一定相同。如 果质元的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波，如绳 中传播的波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。如果质元 的振动方向和波的传播方向一致，这种波称为纵波，如空气中传播的 声波。纵波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的区域。横波和纵 波是自然界中存在着的两种最简单的波，其他如水面波、地震波等， 情况就比较复杂。 如图9一1所示，绳的一端固定，另一端握在手中并不停地上下 抖动，使手拉的一端作垂直于绳索的振动，我们可以看到一个接一个 的波形沿着绳索向固定端传播形成绳索上的横波。
第9章波动学基础
9. 1机械波的产生和传播 9. 2平面简谐波 9. 3波的能量 9. 4波的干涉
9. 1机械波的产生和传播
9.1.1机械波的形成
机械振动系统(如音叉)在介质中振动时可以影响周围的介质，使 它们也陆续地发生振动。这就是说，机械振动系统能够把振动向周围 介质传播出去，形成机械波。 机械波的产生，首先，要有作机械振动的物体，它称为机械波 的波源;其次，要有能够传播这种机械振动的介质。例如，音叉在振 动时，音叉就是波源，而空气就是传播声波的介质。 应当注意，波所传播的只是振动状态，而介质中的各质元仅在 它们各自的平衡位置附近振动，并没有随波前进。例如，在漂浮着树 叶的静水里，当投入石子而引起水波时，树叶只在原位置附近上下振 动，并不移动到别处去。振动状态的传播速度称为波速。它与质元的 振动速度是不同的，不要把两者混淆起来。
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这些波行进的最前方的点组成的曲面
惠更斯原理的应用
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面 t+t 时刻波面
t + t
波传播方向
·
ut
平面波
球面波
二 波的干涉
1、波的叠加原理
在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波 单独传播时在该处引起振动合成。
任意位置的 振动方程
2 y Acos(t 0 x1)
一横波，其波动方程为
y 0.2cos[ (200t 5x) / 2] (SI制)
•求振幅、波长、频率、周期、波速； •分别画出t=0, t=0.0025s, t=0.005s时刻的波形
解：(1)比较法
y
Acos(t 0
2
x)
上式与标准形式的波函数相比
横波—振动方向与传播方向垂直
横波和纵波 纵波：振动方向与传播方向相同
任一波,例如，水波、地表波，都能分解为 横波与纵波来进行研究。
横波和纵波的不同点
不同点1，外形上 横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷
纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域
不同点2，传播媒质上 横波只能在固体中传播，纵波可以在固体， 液体，气体中传播。
X处的振动方程：
y
Acos(t 0
2
x)
小结
O点的振动方程：
y
u
y A cos(t 0 ) p
p
xo x
x
波动方程（任意X处的振动方程）：
y
Acos(t 0
2
x)
向X轴正方向传播为-，向X轴负方向传播为+
波动方程给出了两方面信息
y
Acos(t 0
2
x)
任意时刻的 波形图
2 y Acos(t1 0 x)
二 机械波的传播特点 总之,波动是振动状 态的传播，是能量的 传播，而不是质点的 传播。
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒质质元的 传播--波是振动状态的传播，是相位的传播
(2)沿波的传播方向,各质元的相位依次落后
(3) 某时刻某质元的振动状态将在“下游”某处的 质点上出现
三 横波和纵波
波前(或波阵面)—某时刻处在最前面的波面。
波线 波面
球面波
波面 平面波
波
线 在各向同性 均匀介质中 ，波线与波 阵面垂直
五 周期、波长、波速
周期T：媒质中各点完成一次全振动所需要的时间
波的频率 : 即单位时间内媒质中某点完成全
振动的次数.
波长 : 同一波线上 两相邻同相点间的距离
波速u : 单位时间波所传过的距离
波方程应为：y f (x,t)
波面
波
线
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处相位落后2 x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
•
0x
x
波长为
y
Acos(t 0
2
x)
如果是向x轴负向传播
y
u
x处相位超前2 x
p
p
xo x
x
O点的振动方程：
y A cos(t 0 )
0 ]
W
Wk
Wp
V2 A2
s in 2 [ (t
x) u
0 ]
任一质元总机械能随时间周期性的变化
0
V 2 A2
0
能量的输入过程 能量输出的过程
W
Wk
Wp
V2 A2
s in 2 [ (t
x u
)
0
]
能量密度：单位体积内的总机械能
即 w W V
W
Wk
Wp
V2 A2
s in 2 [ (t
x u
)
0
]
w
wk
wp
2 A2
s in 2 [ (t
x u
)
0
]
定义：平均能量密度（对时间平均)
w 1 T
T 0
A2
2
sin
2[
(t
x u
)
0
]dt
1 A2 2
2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内垂直通过某一截面的
能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
设波速为 u，在 t时间内通过垂
u
直于波速方向截面 S 的能量:
这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参 与叠加的事实称为波的叠加原理或波的独立传 播原理
第5章 波动学基础
振动在空间的传播过程叫做波动
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波
各种类型的波尽管有其特殊性，但在形式上 它们具有许多共同的特征和规律。都有类似的 波动方程
波动的基本概念 一 机械波的产生条件 产生条件: 波源 弹性 媒质
波源处质点的振动通过 弹性介质中的弹性力， 将振动传播开去，从而 形成机械波。
P u S w
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为 平均能流密度，通常称为能流密度
I P uw 1 A2 2u
S
2
w 1 A2 2
2
波的强度
I
1
A2 2u
2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
波的叠加 波的衍射及惠更斯原理
波的衍射现象
1，媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波 源。
可得： A 0.2m, 100Hz,u 40m.s1,
T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2cos[ (200t 5x) / 2] (SI制)
t1
0.0025s
T 4
，t
2
0.005s
T 2 t=0
Y(m)
u
t=0.0025s t=0.005s
0.2
横波和纵波的相同点
相同点：1在传播过程中，质点都在平衡位置 附近振动，质点本身不随波前进。
相同点：2在传播过程中，两者均可用相位 来描述其振动状态，所以振动的传播也可以 用相位的传播来说明。
四 波线、波面
波线：代表波的传播方向的直线称为波线
波面（或同相面） 某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。
S
W ut S w
ut
能流为： P W u S w
t
uS
2
A2
s
in
2[(t
x u
)
0
]
平均能流
p
uS2
A2
sin
2[(t
x u
)
0
]
p 1 T
T 0
usA2 2
s
in
2[
(t
x u
)
0
]dt
P uS w
平均能 流
w 1 A2 2
2
P u S w
1 uS 2 A2
2
能流密度
x(m)
-0.2
波的能量
y
A c os [ (t
x) u
0 ]
v
y t
A
s in[ (t
x) u
0 ]
质量为 m 的媒质其动能为（坐标为X处）：
Wk
1 2
m
y t
2
1 VA22
2
s in2 [(t
x) u
0 ]
略去推导过程
Wp
1 2
m
y t
2
1 2
VA2 2
s in 2 [ (t
x) u
uTΒιβλιοθήκη 波速uT 波速u又称相速度(相位传播速度)
同一性质的振动在某一媒质中传播，波速 只与媒质的性质有关，与振源无关
第二节 平面简谐波的波动方程
波的运动 学方程
下面要用数学表达式描述波线上每一质点在任一时刻的 相对平衡位置的位移，这样的函数 称为波的波动方程
相对于平衡位置的位移:y 波线上个质点的坐标:x