高一数学函数零点的求解
高中数学解决零点问题教案
高中数学解决零点问题教案
一、教学目标
1. 理解零点的概念，掌握零点问题的解决方法。
2. 学会利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题。
3. 培养学生的数学思维和问题解决能力。
二、教学内容
1. 零点的概念及意义。
2. 零点问题的解决方法。
3. 利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题。
三、教学过程
1. 引入：通过一个简单的例子引入零点概念，让学生了解什么是零点。
2. 授课：介绍零点问题的解决方法，包括利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题的基本步骤。
3. 案例分析：给学生若干个实际问题，并引导他们分析问题，利用所学知识解决问题。
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容。
5. 总结：总结本节课所学内容，并强调方法的运用和注意事项。
四、教学要点
1. 熟练掌握零点的概念及其解决方法。
2. 学会运用函数图象、方程、不等式等方法解决零点问题。
3. 注意理解问题的意义，加强实际问题的练习。
五、教学辅助
1. 教材课件
2. 案例练习册
六、教学效果评估
1. 课堂提问：通过提问学生并解答问题来评估学生的理解程度。
2. 练习成绩：通过练习册的成绩来评估学生的掌握程度。
3. 课堂表现：通过观察学生的课堂表现来评估学习态度和参与度。
七、教学反馈
1. 及时对学生的练习册进行批改和评价。
2. 分析学生在学习中的问题和不足，及时进行指导和辅导。
函数的零点与方程的解+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
. . .
8
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6
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4
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2
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. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法
高中数学 第8章 函数应用 8.1.1 函数的零点教学案(含解析)高一第一册数学教学案
8.1 二分法与求方程近似解8.1.1 函数的零点一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．( )[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x )＝x 2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x )在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(一题两空)函数y ＝x 2＋3x ＋2的零点是________，其图象与x 轴的交点为________． －1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x 2＋3x ＋2＝0，则(x ＋2)(x ＋1)＝0，∴x ＝－1或x ＝－2．]3．若函数f (x )在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．1 [由f (x )在区间[2,5]上是减函数，可得f (x )至多有一个零点．又因为f (x )是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x )在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x )恰有一个零点．]求函数的零点(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝2x－8；(3)f (x )＝1－log 4 x ；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1．(2)令f (x )＝2x－8＝0，∴x ＝3， 故f (x )的零点为x ＝3．(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4． 故f (x )的零点为x ＝4．(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2． ∴f (x )的零点为2．当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2． ∴f (x )有零点2．当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2．∴f (x )的零点为1a，2．综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2．函数的零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1，x >12x －1－1，x ≤1；(2)f (x )＝(2x－3)ln(x －2)；(3)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]．[解] (1)当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1．所以函数的零点是1和2．(2)因为函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4， 由(2x－3)ln(x －2)＝0，得x －2＝1，所以x ＝3， 即函数f (x )＝(2x－3)ln(x －2)的零点是3． (3)因为x ∈[0，π]，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝0或2x －π3＝π，解得x ＝π6或x ＝2π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的零点是π6和2π3．零点存在性定理及其应用x序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34． [思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．③ [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．] 1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．[跟进训练]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x ＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－1 0 1 2 3e x0．37 1 2．72 7．40 20．12 x ＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③ [设f (x )＝e x－(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0．37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2．72－4<0，f (2)＝7．40－5>0，f (3)＝20．12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x－(x ＋3)＝0的根在(1,2)内．]函数零点(方程不等实根)个数的判断1．如何去求一个方程的零点？[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ [提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x－3x ．图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．【例3】 (1)函数f (x )＝e x－3的零点个数为________． (2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数． [思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．(1)1 (2)2 [(1)令f (x )＝0，∴e x－3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2．] (3)[解] 法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a ． 令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a ．作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－254×－1＝134，画出如图所示的简图： 由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0．Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13．①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．(变条件)若把本例(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题． [解] 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134， f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3．故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示： 由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根；②当3＜a ＜134时，方程有两实数根；③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，则k 构成的集合为______________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，因为x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )A [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3．分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3．应选C ．]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：4 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．]4．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．。
函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册
对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
THANK YOU
汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册
高一数学函数的零点与二分法教案
一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。
三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数X 围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
高一数学零点问题解题技巧
高一数学零点问题解题技巧
1. 零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) f(b) < 0，则函数在区间(a,b)内至少存在一个零点。
2. 二分法：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则可以通过不断将区间[a,b]分成两半，并判断中间点的函数值是大于0还是小于0，来确定零点所在的子区间。
3. 函数零点与方程根的关系：如果函数y=f(x)在x=a处的值为0，即
f(a)=0，则x=a是方程f(x)=0的根。
反之，如果x=a是方程f(x)=0的根，则f(a)=0。
4. 零点存在定理的推论：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上函数值从正变负或从负变正，则函数在该区间内至少存在一个零点。
5. 零点定理的应用：在求解方程的根、判断函数的单调性、求函数的极值等方面都有应用。
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
4.5.1函数零点与方程的解课件高一数学
的图象与轴的公共点的横坐标.
所以方程() = 0有实数解
⇔函数 = ()有零点
⇔函数 = ()的图象与轴有公共点
2.函数零点存在定理：如果函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续
由零点存在定理可知： f x 分别在区间 2,3 ， 3, 4 ， 4,5 内有零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
课本P155 习题4.5
3
f
(
x
)
x
2 x 1 ，求证：方程 f ( x) x 在 (1, 2) 内至少有两个实数解.
3.已知函数
函数 y f ( x) 在哪几个区间内一定有零点？为什么？
x
1
2
3
4
y
136.136
15.552
-3.92
10.88
5
6
-52.488 -232.064
【详解】由对应值表可得： f 2 f 3 0 ， f 3 f 4 0 ， f 4 f 5 0
函数 图像在[, ]单调
则()在(, )上存在唯一零点
课堂例题
例1 求方程 + 2 − 6 = 0的实数解的个数.
(法一)解：设函数
…
() = + 2 − 6，
1
2
利用计算工具，列出函
3
数 = () 的对应值表， 4
并画出图象.
5
-1.3069
6
7.7918
不断的曲线，且有()() < 0，那么，函数 = ()在区间(, )内至
高一数学必修1第二章方程的根与函数零点
(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.7．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．8．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数9.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.例1如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110 B.3，43，110，35C.43，3，35，110 D.43，3，110，35解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0， f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0， ∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点． 跟踪演练2 函数f (x )＝e x ＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点． 1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)答案 D解析因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案(－∞，1)解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是()x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 由上表可知f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴f (x )在区间(1,2)上存在零点． 4．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． 5．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点． 由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，。
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高中数学函数零点问题的求解
函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。
总结如下：
一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例1、函数x
x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数x
x x f 2)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）
（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()(<b f a f ，但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。
仅当函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：
例3.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=
02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 2
2=的解，但这个方程不是 熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构 造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得
出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。
如：
例4.函数1096)(23-+-=x x x x f 零点的个数为
分析：Θ1096)(23-+-=x x x x f ，∴)3)(1(39123)(2/--=+-=x x x x x f 令0)(=x f ,得3,121==x x 列出x,y /,y 的对应值表如下：
作出函数1096)(23-+-=x x x x f 的草图可知，函数)(x f 的图
象与X 轴仅有一个交点，则)(x f 仅有一个零点。
注意：本类型题的特点是找出函数)(x f 的图象与X 轴交点，y x
实质上仍是求函数)(x f y =与函数0=y 交点的情况。
若把0=y
换成a y =，相当在原题中引入参数a ，得出一般情况下的解法，如：
例5、（例4变式题）试讨论函数a x x x x f --+-=1096)(23(R a ∈)零点的个数。
分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:
然后再结合函数)(x f 的图象与X 轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X 轴交点情况，得出如下结论：
当010>--=a y 极小值即10-<a 时有一个交点；当010=--=a y 极小值即10-=a 时有两个交点；当010<--=a y 极小值且06>--=a y 极大值即610-<<-a 时有三个交点；当06=--=a y 极大值即6-=a 时有两个交点；当06<--=a y 极大值即6->a 时有一个交点.
方法2：通过构造函数1096)(23-+-=x x x x f 与a x g =)(转化求解，利用例4的方法可得到函数)(x f y =
可得出结论：当)10,(--∞∈a 仅有一个零点；
当10-=a 有二个零点；当)6,10(--∈a 有三个零点；
当6-=a 时有二个零点；当),6(+∞-∈a 仅有一个零点。
例6、已知5>a ，函数1)(23+-=ax x x f 在区间（0，3）内零点的个数为 。
分析：本题利用导数法可得出)(x f y =在区间（0，3）上是单调递减函数，且01)0(>=f ,)5(0928)3(><-=a a f ，由函数的图象可知仅有一个零点。
三．求函数的具体零点或求方程的根。
对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。
如：
例7、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1-=x 综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。