成才之路高一数学人教B必修课后强化作业：函数的零点

第二章 2.4 2.4.1

一、选择题

1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7

2

C ．－7

2

D ．－7

[答案] C

[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－7

2，

∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－7

2

.

2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

[答案] A

[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．

3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a

x ＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是

( )

A ．－1或1

B ．0或－1

C ．1或0

D ．2或1

[答案] C

[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a

x ＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b .

∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C.

4．(2014，湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1,3}

B ．{－3，－1,1,3}

C ．{2－7，1,3}

D ．{－2－7，1,3}

[答案] D

[解析] 令x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，

∴f (x )＝?????

x 2－3x (x ≥0)

－x 2

－3x (x <0).

∴g (x )＝?????

x 2－4x ＋3(x ≥0)

－x 2

－4x ＋3(x <0)

.

当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )

[答案] A

[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．

6．函数f (x )＝x －4

x 的零点有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

[答案] C

[解析] 令f (x )＝0，即x －4

x ＝0，∴x ＝±2.

故f (x )的零点有2个． 二、填空题

7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．

[答案] 1

2

[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝1

2

.

8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．

[答案] f (x )＝x 2－x －6

[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)

∴a ＝1，

∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题

9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.

[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0， 解得x ＝－1

7

或x ＝1.

∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－1

7，1.

(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－3

2

.

∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－3

2

.

一、选择题

1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )

A ．一个

B ．两个

C ．至少两个

D ．无法判断

[答案] B

[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，

∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，故选B.

2．(2013～2014学年度人大附中高一期末测试)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )

A ．1,2

B ．－1，－2

C ．1，1

2

D ．－1，－1

2

[答案] C

[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关

系．方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则???

1＋2＝－b

a

1×2＝c

a

，∴b a ＝－3，c

a

＝2，于是f (x )

＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c a x 2＋b a x ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1，1

2，

故选C.

3．(2013·重庆理)若a

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内

[答案] A

[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.

4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0] D ．[－1,0]

[答案] C

[解析] 当m ＝0时，x ＝－3

2<0成立，排除选项A ，B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x 2

－4x ＝0，

两根为x 1＝0，x 2＝－4

3，也符合题设．

二、填空题

5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.

[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

6．(2013～2014学年度辽宁鞍山一中高一期中测试)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为________．

[答案] 9 [解析]

f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋

a 2)2＋

b －a 24

， ∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a

2

)2.

又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a

2

＋6)2，

∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2)2＋12(m ＋a

2)＋36，

∴m ＋a

2

＝－3.

又∵c ＝f (m )＝(m ＋a

2)2，∴c ＝9.

三、解答题

7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．

[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．

②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，

∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝9

8

.

综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝9

8

}．

8．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．

[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b

a ，x 1x 2

＝c a

. ∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－b a

＝4.

∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2

＝(－b a )2－2c a ＝16－6

a ＝10，

∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.

9．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．

[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或

???

??

m ＋6≠0

Δ＝4(m －1)2

－4(m ＋6)(m ＋1)≥0

， 解得m ＝－6或m ≤－5

9且m ≠－6，

∴m 的取值范围为m ≤－5

9

.

(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2， 则1x 1＋1

x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2， ∴－2(m －1)m ＋6＝－4(m ＋1)m ＋6

，

解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．