菲克定律

（1

菲克第一定律 扩散流密度与扩散组元浓度梯度间关系

称为菲克第一定律。扩散流密度与在扩散介质中的浓度梯度成正比, 比例常数称为扩散系数。

菲克第二定律 稳态扩散特征是0

dc

dt =。在物质的浓度随时间变化的体系中，即0

dc

dt

≠，体系中发生的是非稳态扩散。在一维体系中，单位体积单位时间浓度随的变化等于在该方向

上通量，这既是菲克第二定律，其数学表达式为,A A x c t J x

∂∂∂∂=

)A A A

( x c D t c x

∂∂∂∂∂∂=

若D A 为常数, 即可以忽略D A 随浓度及距离的变化,

在x-y-z 三维空间中, 则菲克第二定律的表示式为

（2）掌握 D 为常数时费克第二定律的几个特解

扩散偶问题

如图4-1-2

初始条件 ｔ=0，x >0，c =0 ; 边界条件 t >0, x =0, c =

c 02

; x =∞, c = 0

解方程∂∂∂∂c t D c

x =2

2

，得 )

d π2

1(2202

0ξξ⎰--=Dt x

e

c c

不同扩散时间后,扩散偶中扩散组元的浓度分布

ξ

ξd π

2202

⎰-Dt x

e

为积分函数 。 (式中Dt

x 2=

ξ)称为误差函数, 记作Dt

x 2erf

。

于是 )2e r f

1(2

),(0Dt

x c t x c -=

注：误差函数有如下主要性质 erf(x )=

λλ

d π

22

-⎰e

x

erf(-x )= - erf(x )

erf(0)=0, erf(∝) =1 1-erf(x )= erfc(x )

erfc(∝)=0, erfc(0)=1

式中 erfc(x )称为余误差函数。

若初始条件变为t =0, x ＞0，c =c 1则解为 )2erf 1(2),(101Dt

x

c c c t x c --+= 几何面源问题

数学模型1

初始条件： t =0, x =0, c =c 0；x ≠0, c =0 Vc 0 =Q

式中V − 极薄扩散源的体积; Q − x =0处扩散组元的总量。如图4-1-2所示。 边界条件：t >0, x →∞, c =0; x →-∞, c =

几何面源、全无限长一 维扩散 (a) 边界条件; (b) 浓度分布曲线（扩散时间 t =1,

14

,

164

, 横坐标距离x 为任意长度位置）

由初始及边界条件得到的菲克第二定律的解为 Dt

x e

Dt

Q c 42

2-

=π

数学模型2

初始条件： t = 0，x = 0，c =c 0，Ｑ=Vc 0; x >0，c = 0 边界条件： t > 0，x =∞，c = 0 所得的菲克第二定律的解为 c Q

D t

e

x

D t

=

-π2

4

数学模型3

t = 0，x ≥0，c = c b

0 < t ≤ t e ，x =0，c =c s ; x =∞，c =c b 菲克第二定律的解为

c c c c x

D t

--=-b s b

er f 12(

) 或