菲克定律
菲克定律
7.1 扩散定律(1)7.1.1 菲克第一定律（Fick’s First Law）扩散过程可以分类为稳态和非稳态。
在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度不随时间变化。
在非稳态扩散中，通量随时间而变化。
研究扩散时首先遇到的是扩散速率问题。
菲克(A. Fick)在1855年提出了菲克第一定律，将扩散通量和浓度梯度联系起来。
菲克第一定律指出，在稳态扩散（即）的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面处的浓度梯度成正比。
为简便起见，仅考虑单向扩散问题。
设扩散沿x轴方向进行（图7-1），菲克第一定律的表达式为（7-1）式中：J为扩散通量(atoms/(m2·s)或kg/(m2·s))；D为扩散系数(m2/s)；为浓度梯度(atoms/(m3·m)或kg/(m3·m)) （图7-2为浓度梯度示意图）；“-”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散由高浓度向低浓度区进行。
此方程又称为扩散第一方程。
当扩散在稳态条件下应用（7-1）式相当方便。
7.1.2 菲克第二定律(Fick’s Second Law)实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化，即dc/dx≠0。
为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在菲克第一定律的基础上推导出了菲克第二定律，用以分析非稳态扩散。
在一维情况下，菲克第二定律的表达式为（7-2）式中：为扩散物质的体积浓度（atoms/m3或kg/m3）；为扩散时间（s）；为扩散距离（m）。
（7-2）式给出c=f(t,x)函数关系。
式（7-2）又称为扩散第二方程。
由扩散过程的初始条件和边界条件可求出（7-2）式的通解。
利用通解可解决包括非稳态扩散的具体扩散问题。
7.1.3 扩散方程的求解1. 扩散第一方程扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。
菲克第一定律表达式
菲克第一定律表达式
菲克第一定律，也被称为牛顿第三定律，是物体质量、运动状态和受到的外力之间的基本定律，认为状态不变的物体在其外部没有外力作用时，其运动状态也将保持不变。
菲克的第一定律可用数学表达式来完整描述：质量为m的物体受到的外力F是等于它所受到的加速度a，即：F=ma。
菲克第一定律一经提出就得到了广泛的认可，它解释了物体受力与其运动质量之间的普遍联系，也正是建立了物理定律“力学”的基石，可谓实用价值巨大。
从日常生活中体会菲克第一定律，也许可以从运动本身入手。
例如，小孩子想要回到操场的沙堆上，只需要使用一定的能量（就是外力F），而它的运动结果（即其到达的加速度a）将取决于它的质量（即其自身的质量m）。
另外，从运动竞赛中也可以体会到菲克第一定律起作用的规律，比如赛跑运动中，不同参赛选手在发力时体现出来的外力F、受力时伴随出现的加速度a，以及作为物理大小的质量m等，都是计算最终比赛成绩的基础要素。
从物理学上讲，菲克第一定律是物理定律“力学”的基础，但若从日常生活娱乐的角度来看，它也蕴含着十分重要的价值。
它可以帮助人们更加准确的将少量的外力转变为足够的加速度，令人获得更好的运动效果，从而实现自身更快、更准确的强身健体，再加上善加利用，这一定律也可以发挥出更多的价值，令生活更加丰富多彩。
菲克定律
菲克定律菲克定律（Fick's Law）描述气体扩散现象的宏观规律，这是生理学家菲克（Fick）于1855年发现的。
菲克定律认为粒子流密度（即单位时间内在单位截面积上扩散的粒子数）Jn与粒子数密度梯度dn/dz成正比，即（1）其中比例系数D称为扩散系数，其单位为m·s。
式中负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。
菲克定律不仅适用于自扩散，也适用于互扩散，不过此时D表示某两种粒子之间的互扩散系数。
若在与扩散方向垂直的流体截面上的Jn处处相等，则在式（1）两边各乘以流体的截面积及扩散分子的质量，即可得到单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度dρ/dz之间的关系（2）菲克定律不仅在物理学中，而且在化学、生物学中都有重要应用。
菲克第一定律(Fick’s first law)早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(C oncentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下：(3.7-1)式中, D称为扩散系数(m/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m或k g/m)，为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。
扩散通量J的单位是kg / m·s。
扩散系数扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。
对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m/s数量级。
稳态扩散和非稳态扩散菲克第一定律只适应于和J不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图3.7-1）。
对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化。
菲克扩散定律的热力学理论及其应用
菲克扩散定律的热力学理论及其应用1.菲克定律菲克定律是固体物理学中关于扩散宏观理论的基础，具体如下[1]：设扩散沿X方向进行，单位时间内通过垂直于X 方向的单位面积扩散的量决定于物质浓度n 的梯度，即式中，物质浓度n可以取为单位体积内的摩尔数，(J为相应的扩散通量)，(1)式及(2)式分别称为菲克第一定律和菲克第二定律，其中第一定律只适用于稳定扩散。
(1)式和(2)式很容易推广到三维形式。
菲克定律中的D叫扩散系数，并且D>0，它一般与物质的温度、浓度等因素有关。
由菲克定律可得下述结论；D>0，扩散沿着浓度减少的方向进行，扩散的结果将物质的浓度分布趋于均匀；稳定扩散时，J=0，表明均匀物质系统内浓度均匀分布时，没有净扩散流。
菲克定律可用来成功地解释常见的各种扩散现象，成为人们研究一般扩散现象的经典公式。
然而，自然界的扩散现象并不总是符合菲克定律。
在金属合金的沉淀中，存在着一种叫“亚稳分畴分解”(Spiondal decomposition)机制[2]，在这一沉淀机制里，合金组元的扩散由低浓度向高浓度方向进行，这种通过扩散不是消除浓度差异，而是增大浓度差异，使组元分化的扩散叫“逆扩散”。
U.Dehlinger 及R.Becker 首先描述了这一现象，关于“逆扩散”的例子还可见文献[2]。
“逆扩散”显然违背菲克定律，为了解释“逆扩散”，有必要寻求新的理论。
2.扩散的热力学理论据热力学理论，在定温、定压下，多元系各相达到平衡时，其中每一组在各相中的化学势都相等。
即对于第i组元来讲，其化学势μi均匀分布是其平衡的必要条件，而μi的梯度将导致相应的扩散通量J i。
现考虑定温、定压下多元素中i组元原子的扩散，1摩尔i组元原子在化学势μi的势场中所受的力应为(3)式所示，因受力原子的平均速率正比于F i[3]，即(4)式所示：比例系数B i表示单位力作用下i组元原子的平均速率，叫迁移率。
注意(4)式与牛顿第二定律不同，这是由于在原子尺寸范围内，运动着的原子由于和其他原子碰撞，运动方向不断改变的缘故。
fick定律
生时不同位置的浓度梯度也不一样，扩散物质的通量也不
一样。 在某一dt的时间段，扩散通量是位置和时间的函数J(x,t)。
单向扩散体的微元体模型 在扩散棒中取两个垂直于 X 轴、 相距为dx的平面1， 2，其面积 均为 A ，两平面之间夹着一个 微小的体积元A· dx。
扩散与材料生产和使用中的物理过程有密切关系，例如：凝固、偏
析、均匀化退火、冷变形后的回复和再结晶、固态相变、化学热处
理、烧结、氧化、蠕变等等。 扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的热运动而产生的 物质迁移现象称为扩散。扩散的宏观表现是物质的定向输送。
扩散的分类
（1）根据有无浓度变化
x xM
dC d x M C
C2
C1
xM dC 0
1 dxM C D(C ) C1 xM dC 2t dC C
C2
A1
A
C CM
C1
B
0M 0
xMLeabharlann 适用条件: 非稳态扩散: C/t≠0 或 J/x≠0
三、扩散方程的应用
1、稳态扩散
•一厚度为d的薄板的扩散
板内任一处的浓度??
•贮氢容器 氢在金属中扩散极快，当温度较高、压强较大 时，用金属容器储存H2极易渗漏。 (1)列出稳态下金属容器中的H2通过器壁扩散的 第一方程
(2)说明方程的含义
扩
概述
散
• §1 菲克定律及应用 • §2 扩散热力学理论
• §3 扩散原子理论
• §4 代位扩散（置换扩散） • §5 短路扩散 • §6 反应扩散 • §7 影响扩散系数的因素
菲克定律名词解释
菲克定律名词解释菲克定律，又叫费克定律。
菲克(Fritzfeick)于1947年提出的，为表述和处理问题而提出的一种逻辑思维方法。
指的是同样多的努力，在完成工作量一定的情况下，取得更大的成绩，也就是效率随着所花费的时间或工作量成正比关系。
以公式表示为：效率=工作时间/工作总量菲克定律包含了两个基本的规律：(一)要想取得好的成绩，必须提高工作效率; (二)高的工作效率来源于高度集中的注意力。
1、什么是菲克定律?2、菲克定律对人有何启发?3、对生活有何指导作用?4、你认为“在职者”与“赋闲者”谁更有利于效率的提高？5、请举例说明。
6、你从中悟到了什么道理？7、结合自身实际谈谈你对这一观点的体会。
8、怎样才能做到高效率地工作?根据以上分析可知，菲克定律不仅适用于学习，还适用于学习之外的许多领域，但无论什么领域都不是万能的，特别是经济领域，其作用更应该引起我们的重视。
具体内容如下：(1)要想取得好的成绩，必须提高工作效率;(2)高的工作效率来源于高度集中的注意力。
要做到这两点，首先要做到的是将注意力放在一件事情上面。
这样，才能达到“心无旁骛”的境界。
由此可见，一心一意地专注于某一项工作是提高效率的第一步，也是最重要的一步。
要集中注意力，就要摒弃杂念，排除外界的干扰。
因此，在平时的学习中，要静得下心来，坐得住，不要想其他的东西，保持一个清醒的头脑，能够让我们排除各种干扰，专注地做好一件事情。
(3)我们的工作是紧张的、单调的、枯燥的，而且没有人知道什么时候会被打断，为了避免分心，我们必须培养自己强烈的责任感，使自己全身心地投入到当前的工作中去，并尽量避免做出一些影响我们注意力的事情。
(4)在日常的生活中，我们往往会受到许多外界的干扰，如电话铃声、门铃声等等。
这些干扰既消耗精力，也使我们不能全神贯注地去做事情，为了提高我们的注意力，我们必须设法减少这些干扰，培养自己排除干扰的能力。
菲克定律告诉我们，要想有好的工作效率，就要专注于某一项工作，要排除各种干扰，培养自己排除干扰的能力。
菲克定律应用
1 扩散动力学方程——菲克定律1.1 菲克第一定律 1.1.1宏观表达式1858年，菲克（Fick ）参照了傅里叶（Fourier ）于1822年建立的导热方程，建立定量公式。
在t ∆时间内，沿x 方向通过x 处截面所迁移的物质的量m ∆与x 处的浓度梯度成正比：t A xCm ∆∆∆∝∆ 即 )(xCD Adt dm ∂∂-=根据上式引入扩散通量概念，则有：xCDJ ∂∂-=（7-1）图7-1 扩散过程中溶质原子的分布式（7-1）即菲克第一定律。
式中J 称为扩散通量，常用单位是mol /（)2s cm ⋅；xC∂∂浓度梯度； D 扩散系数，它表示单位浓度梯度下的通量，单位为2cm /s 或s m /2； 负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反见图7-2。
1.1.2微观表达式微观模型：设任选的参考平面1、平面2上扩散原子面密度分别为n 1和n 2，若n 1＝n 2，则无净扩散流。
假定原子在平衡位置的振动周期为τ，则一个原子单位时间内离开相对平衡位置跃迁次数的平均值，即跃迁频率Γ为τ1=Γ (7-2)由于每个坐标轴有正、负两个方向，所以向给定坐标轴正向跃迁的几率是Γ61。
设由平面l 向平面2的跳动原子通量为J 12，由平面2向平面1的跳动原图7-2 溶质原子流动的方向与浓度降低的方向相一致图7-3 一维扩散的微观模型子通量为J 21Γ=11261n J (7-3)Γ=22161n J (7-4) 注意到正、反两个方向，则通过平面1沿x 方向的扩散通量为 ()212112161n n J J J -Γ=-= (7-5) 而浓度可表示为 δδnn C =⋅⋅=11 (7-6) 式(7-6)中的1表示取代单位面积计算，δ表示沿扩散方向的跳动距离（见图7-3），则由式(7-5)、式(7-6)得 ()dxdCDdx dC C C C C J -=Γ-=-Γ-=-Γ=21221161)(6161δδδ (7-7) 式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式，其中261δΓ=D (7-8) 式（7-8）反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系，是扩散系数的微观表达式。
菲克定律
包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积律是在第一定律的基础上推导出来的。
菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值,费克第一定律早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： (1)式（1）中, D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，dC/dx 为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。
扩散通量J的单位是kg / m^2·s。
在三维情况下，有如下形式公式：其中，J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。
扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。
对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe 中的扩散系数D仅为10m^2/s数量级。
费克定律里的稳态扩散和非稳态扩散费克第一定律只适应于J和C不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见下图）。
对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。
实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。
非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，J随时间和距离变化。
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7.1 扩散定律(1)
7.1.1 菲克第一定律（Fick’s First Law）
扩散过程可以分类为稳态和非稳态。
在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面
积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度
不随时间变化。
在非稳态扩散中，通量随时间而变化。
研究
扩散时首先遇到的是扩
散速率问题。
菲克(A. Fick)在1855
年提出了菲克第一定律，
将扩散通量和浓度梯度
联系起来。
菲克第一定律
指出，在稳态扩散（即）
的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积
的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面处的浓度梯度
成正比。
为简便起见，仅考虑单向扩散问题。
设扩散沿x
轴方向进行（图7-1），菲克第一定律的表达式为
（7-1）
式中：J为扩散通量(atoms/(m2·s)或kg/(m2·s))；D为扩散
系数(m2/s)；为浓度梯度(atoms/(m3·m)或kg/(m3·m)) （图7-2为浓度梯度示意图）；“-”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散由高浓度向低浓度区进行。
此方程又称为扩散第一方程。
当扩散在稳态条件下应用（7-1）式相当方便。
7.1.2 菲克第二定律(Fick’s Second Law)
实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化，即dc/dx≠0。
为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在菲克第一定律的基础上推导出了菲克第二定律，用以分析非稳态扩散。
在一维情况下，菲克第二定律的表达式为
（7-2）
式中：为扩散物质的体积浓度（atoms/m3或kg/m3）；为扩散时间（s）；为扩散距离（m）。
（7-2）式给出c=f(t,x)函数关系。
式（7-2）又称为扩散第二方程。
由扩散过程的初始条件和边界条件可求出（7-2）式的通解。
利用通解可解决包括非稳态扩散的具体扩散问题。
7.1.3 扩散方程的求解
1. 扩散第一方程
扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。
下面用氧通过金属薄壁的扩散过程来说明扩散第一方程的解法。
如图7-3所示，一个内外
径分别为r1和r2的球罐中
储存有高压氧气，罐内气压
为p1，罐外大气中氧分压
为p2。
由于氧气泄漏非常
缓慢，所以假设p1不随时
间变化，达到稳态后，氧气
将以一恒定速率泄漏。
由菲
克第一定律，氧气在球罐壁内的扩散通量为
则，通过整个球罐壁单位时间泄漏的氧气量为
（7-3）
对上式积分，有
（7-4）
其中，c1和c2分别为氧分子在球罐内、外壁的溶解度。
根据Sievert定律，双原子分子气体在固体中的溶解度通常与压力的平方根成正比，即c=Kp1/2因此，单位时间内氧气泄漏量为
（7-5）
2. 扩散第二方程
1）高斯解
把总量为M的扩散元素沉淀成非常薄的薄层，夹在两个“无限”厚的相同试样之间进行扩散。
这里的无限厚是指试样的厚度或长度远大于点阵扩散长度时的情况。
这时近似取沉淀层的厚度为零，则方程（7-2）的初始条件和边界条件分别为
t=0，x=0 C=∞
x≠0 C=0
t≥0 x=±∞ C=0
满足方程（7-2）及上述条件的解为
（7-6）
此解称为高斯函数解，其曲线如图7-4所示。
若沉淀物是置于试样表面的薄层，即扩散只向x>0扩散，则方程的解应为
（7-7）
利用此解可以通过示踪原子法测定固体材料中扩散系数，以及解决半导体掺杂过程中的扩散问题。
7.1 扩散定律(3)
2）误差函数解
在t时间内，试样表面扩散组元i的浓度C s被维持为常数，试样中i组元的原始浓度为C0，试样的厚度认为是“无限”厚，则此问题称为半无限长物体的扩散问题。
此时，方程（7-2）的初始条件和边界条件应为
t=0，x>0 C= C0
t≥0? x=0 C=C s
x=∞ C=C0
满足方程（7-2）及上述条件的解为
（7-8）
上式称为误差函数解，其曲线如图7-5所示。
式中
为高斯误差函数：
（7-9）
与给定β值相对应的误差函数值可由表7-1查得。
7.1.4扩散的驱动力及上坡扩散
菲克定律指出扩散总是向浓度低的方向进行的。
但事实上很多情况，扩散是由低浓度处向高浓度处进行的，如固溶体中某些偏聚或调幅分解，这种扩散被称为“上坡扩散”。
上坡扩散说明从本质上来说浓度梯度并非扩散的驱动力，热力学研究表明扩散的驱动力是化学位梯度。
??? 由热力学可知，系统中的任何过程都是沿着自由能G降低的方向进行的。
平衡条件是系统中各处的化学势相等，即化学位梯度为0。
扩散过程也不例外。
设n i为组元I 的原子
数，则化学位就是I的自由能。
原子受到的驱动力可由化学位对距离的求导得出
（7-10）
式中：“-”号表示驱动力与化学位下降的方向一致，也就是扩散总是向化学位减少的方向进行的。
一般情况下的扩散如渗碳、扩散退火等与的方向一致，所以扩散表现为向浓度降低
的方向进行。
固溶体中的溶质原子的偏聚、调幅分解等与方向相反，所以扩散表现为浓度高的方向进行（上坡扩散）。
引起上坡扩散的还可能有下面一些情况：
a) 弹性应力作用下的扩散
金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。
大直径的原子跑向点阵的伸长部分，小直径的原子跑向点阵受压缩的部分，造成固溶体中的溶质原子的不均匀。
b) 晶界的内吸附
一般情况晶界能量比晶粒内部高。
如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会扩散而富集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内的高。
c) 电场作用下的扩散
很大的电场也促使晶体中的原子按一定方向扩散。