勾股定理与几何最值问题

平面图形中的最值
活动一：
甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
平面图形中的最值
活动一：
甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
B ●
A ●
活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
平面中线段和的最值问题。
平面图形中的线段最值
问题. 如图，在河边有A、B两个村
庄，要在河边建立水泵站，为节约材 料，要使它到两个村庄的距离最短， 请你确定水泵站的位置？
● B 河边 A ●
平面图形中的最值
进一步思考（将军饮马）如图，在河 边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站， 为节约材料，要使它到两个村庄的距离最 短，请你确定水泵站的位置？
D
B ●
● ● B1 ● A ●
利用平移：将 折线和的最小 值，转化到一 条直线上，用 两点之间线段 最短求最小值
c
活动二
抽象成数学模型：
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使
AC+AB+BC（即⊿ABC的周长）的距离最短。
N C ● 公司 ●A
提示一：求三角形 周长的最小值可转 化为一条直线上
常用的化归方法有：立体问题转化为平面 问题；折线问题转化为直线问题；多元问题转 化为一元问题，高次问题转化为低次问题…
立体图形中的最短距离问题
立体图形中的最值
问题1
蚂蚁怎样走最近
立体图形中的最值
问题1
B
B
10
A
A
10
10
C
10
小结： 把正方体表面展开，就把立体图形中的问题 转化为平面问题解决。
A
D
F
B
E
C
(4)如图，如图正方形ABCD中，AB=8， ∠DAC的平分线交DC于点F ，若点M 、N 分别是AD和AF 上的动点，则NM+ND 的最 小值是 。
M
N F
A
A1 M P
O
N
B
B1
2、如图，等边三 角形ABC的边长为6， AD是BC边中线, M 是AD上一动点,E 是AC边上一点，若 AE=2，EM+CM最小 值是 。方法总结：求两条线段和最小时，做其中一个定点 关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，
我思考,我进步
没有思考，就没有进步
你对刚才动画是怎样 理解的？看了之后你想 到了什么？
小村民中
李艳玲
数学的灵魂是什么？ —— 数学思想
数学家的智慧： 有人提出了这样一个问题：“假设在你面前 有 煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开 水，应当怎样去做？”
数学家的智慧：
追问：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶 中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”
拓展1：正方体
长方体
把问题1中的正方体变为长方体， 长方体的长为4cm,宽为2cm，高为 1cm的长方体，蚂蚁从A到B沿着表 面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
提示：蚂蚁由A爬到B过程中最短的路径有 多少种？ B
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右侧面; (3)经过左侧面和上底面.
B
A
活动三 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点 C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。
提示一：AB为定值，
公路b
只需求折线AD、CD、 BC和的最小值。
C
公路a D●
●
＊B
＊A
我思考,我进步
变式思考
活跃思维
活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点 C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。
数学奇闻
聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自 己腰杆不硬，为了得到阳光的沐 浴，常常会选择高大的树木为依 托，缠绕其树干盘旋而上。如图 (1)所示。 葛藤又是一种聪明的植物， 它绕树干攀升的路线，总是沿着 最短路径——螺旋线前进的。若 将树干的侧面展开成一个平面， 如图（ 2 ），可清楚的看出葛藤 在这个平面上是沿直线上升的。
（1）
（2）
聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有 一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树 顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
C 20尺
A
3×7=21（尺）
B
生活中常会遇到最短距离问题，建设 中常常会遇到最佳位置的选择问题。
例如:
将军饮马（古代)问题， 抽水站的最佳位置， 建桥问题… 这些问题都可以化归为：
公路b B1 公路a D A1 ＊A C ＊B
利用对称：三 边和转化到一 条直线上，用 两点之间线段 最短求最小值
客观问题
抽象
找准目标模型
数学问题
数学化
数学模型
求 解 运 用 模 型
运用这个数学思想了吗？
归纳 总结 反思
本节课我们学会了什么，我们会在中 考中运用它吗？ 方法归纳：立体转化到平面；
线段的和差最值问题转化到一条直线上。
寄语：思想指导方法，方法解决问题； 学会思考，学会创造。
归纳 总结 反思
没有归纳，就不会提高 没有思考，就没有进步
问问我自己：本节课我收获了什么？
与你共勉：


聪明的人不在同一个地方跌倒两次， 更聪明的人不在别人跌倒的地方跌倒。
2 1
A
4
C
4
2
B
B 1 C
2
A
A 1
4
C
没有归纳总结,就没有提高
怎样才能在最短的时间内，找到 提示： ；比较 长方体表面上两点之间的最短路线？ a +（b+c） 、 b +（a+c） 、 c +（a+b）
2 2
2
2
2
2
的大小
即比较ab、bc、ac的大小。
问题拓展：
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，且a＞b＞c，则小蚂蚁从A爬到B 的最短路径是 a 2 (b c )2
物理学家的答案：“点燃 煤气，再把水壶放上去。” 数学家的答案：“只须把水壶中的水倒掉，问题就
转化为前面所说的问题了”。
这就是 匈牙利著名数学家罗莎· 彼 得在他的名著 《无穷的玩艺》中，通过一个生动有趣的笑话， 来说明数学家是如何用化归的思想方法解题的。
所谓化归思想，就是将一个较为复杂的问 题Ａ通过转化变形，使其归结为另一个较为简 单的问题Ｂ，从而使问题Ａ得到解决．
M
O
● B
我思考,我进步
变式思考
活跃思维
活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直 的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这 两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建 在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所 围成的四边形的周长最小？
公路b
公路a D●
C
●
＊B
＊A
我思考,我进步
变式思考
活跃思维
河流
C ●
公司 ●A
● B
公路
活动二
抽象成数学模型：
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使
AC+AB+BC（即⊿ABC的周长）的距离最短。
河流 ●A2
D
●
公司 ●A
利用对称：将 三角形三边和， 转化到一条直 线上，用两点 之间线段最短 求最小值
公路
●
c
●A1
例：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，点P是对角线BD上一动点， （1）则EP+PC的最小值为 。
与这条直线的交点即为所求做的动点，利用 轴对称的性质转化为把两条线段之和转化为一条线 段。
2、如图，在锐角 △ABC中，AB=4 2 ∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC于D， M、N分别是AD和上 的动点，则BM+MN的 最小值是 。
总结：求一条线段的最小值通常作垂线，利用垂线段最短。 在“练一练”第二题综合运用轴对称的性质和垂线段最短。
立体图形中的最值
拓展2 长方体
圆柱体
如图所示，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱， 在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面 上与A点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需 要爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)
B
A A
B
没有归纳总结,就没有提高
方法指导：
立体图形上两点间的最短 问题一般都是通过把立体图 形的表面展开成平面图形， 再利用“两点间距离最短” 的方法解决。
A
D
P
P
B E
C
例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，点P是对角线BD上一动点，F是CD上的点， （2）若CF=6，则EP+PF的最小值为 。
A P
D F
B
E
C
例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，，F是CD上的点， (3)则∆AFF的最小值为 。
A ● C A1 B ● 河边
利用对称：将 两条线段的和 转化到一条直 线上，运用两 点之间线段最 短求最小值
同侧两点向异侧转化
平面图形中的最值
活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公 司A在锐角内．现在要在河边建一个码头C，在公路边D修 建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货， 再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问 仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．