沪教版(上海)2019-2020学年度高中数学高三年级综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考
三角系列之
三角函数的值域与最值 ③
教学目标
掌握三角函数值域与最值的几种形式与求解方法；
【熟练掌握函数
sin y a x b =+；sin cos y a x b x =+；2sin sin y a x b x c =++；22sin sin cos cos y a x b x x c x =++ 等转化为sin()y A x ωϕ=+的方法，从而进一步研究他们的值域和最值等。
】
知识梳理
求三角函数最值与值域问题常见四种类型：
（1）sin ,y a x b x D =+∈.
利用三角函数有界性，确定sin x 的范围，再确定y 的最值或值域.
（2）sin cos ,a x b y x x D +=∈.
利用辅助角公式得()x y ϕ=
+（其中tan b a ϕ=），再求y 的最值或值域. （3）2sin sin ,.a x b x y c x D ++∈=
利用换元法设sin t x =，则2
,at c y bt ++=，转化为二次函数求最值或值域. （4）22sin sin cos cos ,.a x b x x c x x D y =++∈ 利用降次公式221cos 21cos 2sin ,cos ,22
x x x x -+==1sin cos sin 22x x x =转化为类型（2）. 典例精讲
例1. （★★★）求函数()tan cot 2sin 2,0,2f x x x a x x π⎛
⎫=++∈ ⎪⎝⎭
的最小值.
解：()sin cos 22sin 22sin 2cos sin sin 2x x f x a x a x x x x
=++=+， 令(]0,1t ∈则22,y at t
=+(]0,1t ∈， 0a ∴≤①时22y at t =
+在(]0,1上单调递减，min 22.y a =+ 0a >②时22y at t =+
在⎛ ⎝
上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 01a ∴<≤时22y at t
=+在(]0,1上单调递减min 22.y a =+ 1a >时22y at t =+
在⎛ ⎝
上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增，
min y =
min 22,1.1
a a y a +<⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩ 例2. （★★★★）求下列函数的值域：
（1）3cos 1sin 2x y x -=+； （2）sin cos 2sin cos 2,0,2y x x x x x π⎡⎤=+++∈⎢⎥⎣⎦
. 解：（1）sin 23cos 1y x y x +=-，即sin 3cos 12y x x y -=--
()12,x y ϕ-=--
(
)sin x ϕ-=因为()sin 1x ϕ-≤
1≤，即2
2129y y +≤+，
解得y ≤≤. 【若本题中分子中含有sin x ，分母中含有cos x ，也可以利用数形结合思想解决，方法详见巩固练习5。
】
（2）设sin cos t x x =+，则22sin cos 1x x t =-，因为0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
所以4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，这时21y t t =++
，求出3,3y ⎡∈+⎣. 例3. （★★★★）已知函数()22sin cos 2sin a x b x a f x x y ++==，其中,a b R ∈，且
,0,0,02.a b a b x π≠≠≠≤≤
（1）函数()y f x =的图像与x 轴有没有交点？若没有，说明理由；若有，指出交点个数，并说明理由；
（2）若当6x π
=时，()f x 有最大值7，求a 、b 的值.
解：（1）()()2sin 2sin f x a b x a x b =-⋅++，设sin x t =，因为02x π≤≤，所以[]1,1t ∈-，
所以()22y a b t at b =-++，对称轴a t b a
=
-，因为1t =时，3,y a = 1t =-时，y a =-， 从而()()11y y ⋅-=230a -<， 所以由图像特征得关于t 的方程()22y a b t at b =-++在[]1,1-上有唯一解，
从而关于sin x 的方程在[]0,2π上有两个不同的实根，所以()y f x =的图像与x 轴有两个交点.
（2）当6x π=时，[]1sin 1,12x =∈-.所以()012
112742
a b a a b a b a b ⎧⎪-<⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⋅+⋅+=⎪⎩， 解得,6a b ==.
课堂练习（★★★★）：
1. 不等式23sin 2sin 0x x a +->恒成立，则a 的取值范围为 . 解：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
2. 函数22cos sin 2y x x =+，x R ∈的最大值是 .
1
3. 若2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求实数m 的取值范围.
解：()221sin 1sin sin 1m θθθ->--∴=时，m R ∈ sin 1θ<时，21sin 21sin m θθ
-->-， 令1sin t θ=-，(]0,2t ∈ 则(]222,0,2m t t t ⎛
⎫>-+
∈ ⎪⎝⎭.
221m m ∴>-∴>
4. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的值域.
解：令sin cos t x x =+，则2
12sin cos t x x =+，由此21sin cos 2t x x -=。
4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝
⎭，这时2211=(1)222t y t t =+++
，30,2y ⎡∈+⎢⎣. 5. 求函数x
x y cos 2sin 3--=的值域 解：函数视为点(2,3)到单位圆上任意一点形成的直线的斜率的集合， 令 1(2)3y k x =-+，
由圆心到直线的距离小于等于半径，得
1≤
解得，k ∈，从而，
y ∈ 【对形如sin cos a x y b x
-=-的函数，注意到其形如直线的斜率公式1212y y k x x -=-，故可利用数形结合法，视y 为点(,)b a 到单位圆上的点形成的直线的斜率的集合。
该方法仅适用于分子中含有sin x ，分母中含有cos x 的情况。
】
回顾总结
通过本节课的讲解，在知识梳理四种题型的基础上，你还可以提炼出哪几种题型和解题策略？。
上海市2019-2020学年高三二模汇编-三角比与三角函数
高三二模汇编——三角比与三角函数一、 填空题1（崇明区2018二模1）函数212sin (2)y x =-的最小正周期是 ． 【参考答案】2π2（奉贤区2018二模1）函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 2cos π的最小正周期是________． 【参考答案】2π3（虹口区2018二模7）在ABC ∆中，三边长分别为2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AB= ___________．【参考答案】764（黄浦区2018二模8）已知向量π(cos(), 1)3a α=+，(1,4)b =，如果a ∥b ，那么πcos(2)3α-的值为 ． 【参考答案】785（黄浦区2018二模10）若将函数()f x =π|sin()|(0)8x ωω->的图像向左平移π12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ． 【参考答案】326（嘉定区2018二模1）函数1)2(sin 22-=x y 的最小正周期是________________．【参考答案】2π 7（浦东新区2018二模8）函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．【参考答案】20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8（普陀区2018二模3）若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α.【参考答案】39（普陀区2018二模7）若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 【参考答案】21≤≤m10 （徐汇区2018二模7）若行列式124cossin 022sin cos822x x x x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．【参考答案】|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭11（杨浦区2018二模2）设实数0ω>, 若函数()cos()sin()f x x x ωω=+的最小正周期为π, 则ω=_________. 【参考答案】212（宝山长宁金山青浦2018二模3）函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是 ．【参考答案】π二、 选择题1（奉贤区2018二模16）如图，在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===．O 是ABC ∆的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ）A ．::a b cB ．111::a b cC ．s :s :s inA inB inCD ．cos :cos :cos A B C 【参考答案】D2（黄浦区2018二模13）下列函数中，周期为π，且在ππ[]42，上为减函数的是 （ ） A ．y = sin(2x +π)2B ．y = cos(2x +π)2C ．y = sin(x +π)2D ．y = cos(x +π)2【参考答案】A3（闵行区、松江区2018二模14）将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则 ( )A ．12t =，s 的最小值为6π B ．32t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为12π D ．32t =，s 的最小值为12π【参考答案】A4（浦东新区2018二模15）已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 【参考答案】C5（普陀区2018二模14） 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt a n t a n ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件sin 2y x =()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件【参考答案】D 5（普陀区2018二模16） 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数 【参考答案】C三、解答题1.（崇明区2018二模19）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ．（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒） （2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？D C【参考答案】（1）AEQ 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分由正弦定理，得：sin sin EQ AQQAE AEQ=∠∠所以3sin 4QAE ∠=............................................................................................4分 所以3arcsin25.74QAE ∠=≈︒所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 夹角为25.7︒的向量AQ 方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分 （2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系，设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分由题意，知2AQ EQ =，所以2222(9)2x y x y ++=+所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分2．（奉贤区2018二模19）如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=⋅AB AC ，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．【参考答案】（1）①方法一：以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，()2,0A ()cos ,sin C θθ，()cos2,sin 2B θθ， 2分 ()θθsin ,2cos -=AC ， ()θθ2sin ,22cos -=AB 2分AC ()()cos 2cos 22sin sin 2AB θθθθ⋅=--+uu u r uu u rcos cos22cos22cos sin sin 24θθθθθθ=--++22cos 2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 2分 24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） （不舍扣1分） 3分②方法二：设AOC θ∠=，OC AO AC +=，OB AO AB += 2分()()OB OC AO OC OB AO AO OB AO OC AO AB AC ⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅∴22分 ()()412cos 212cos cos 42cos 2cos πθπθθθθ=+⨯⨯-+⨯⨯-+=-- 2分OCB AMN24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） 3 分（2）,,A B C 三点共线，所以cos 22sin 2cos 2sin θθθθ-=- 2分 3cos 4θ∴=1分 214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯=2AC ∴= 2分3．（虹口区2018二模18）已知定义在(,)22ππ-上的函数()f x 是奇函数，且当(0,)2x π∈时，tan ()tan 1xf x x =+．（1）求()f x 在区间(,)22ππ-上的解析式；（2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在(,)22ππ-有解．【参考答案】（1）设02x π-<<，则02x π<-<，()f x 是奇函数，则有tan()tan ()()tan()11tan x xf x f x x x-=--=-=-+-…………4分∴t a n0t a n 12()00t a n 01t a n2x x x f x x x x x ππ⎧<<⎪+⎪==⎨⎪⎪-<<-⎩ ………………7分 （2）设02x π<<，令tan t x =，则0t >，而tan 1()1tan 111x t y f x x t t====-+++. 11t +>，得1011t <<+，从而10111t <-<+，∴()y f x =在02x π<<的取值范围是01y <<.…………………………11分又设02x π-<<，则02x π<-<，由此函数是奇函数得()()f x f x =--，0()1f x <-<，从而1()0f x -<<.………………13分综上所述，()y f x =的值域为(1,1)-，所以m 的取值范围是(1,1)-.…………14分4.（黄浦区2018二模18）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列． （1）求角A 的大小；（2）若32a =，6b c +=，求AB AC +的值． 【参考答案】（1）由cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列，可得cos cos 2cos b C c B a A =+， …………………2分 故sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A =+，所以sin()2sin cos B C A A =+， ………4分 又A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，故sin 2sin cos A A A =， 又由(0,π)A ∈，可知sin 0A ≠，故1cos 2A =，所以π3A =． …………………6分 （另法：利用cos cos b C cB a =+求解） （2）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos(32)3b c bc π+-=， …………………8分即2218b c bc +-=，故2()318b c bc +-=，又6b c +=，故6bc =，………………10分 所以2222()2AB AC AB AC AB AC AB AC ==++⋅++22||||2||||cos AB AC AB AC A =++⋅ …………………12分 22c b bc =++2()30b c bc =+-=，故30AB AC =+． …………………14分5.（嘉定区2018二模17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =． （1）求△ABC 的面积S ； （2）求)2sin(B A -的值．【参考答案】（1）因为B A sin 2sin =，所以由正弦定理得b a 2=， ……………………（1分） 又2=-b a ，故4=a ，2=b ， ……………………………………………（3分）所以412cos 222=-+=bc a c b A ，因为),0(π∈A ，所以415sin =A ．………（5分）所以154154221sin 21=⋅⋅⋅==A bc S ．………………………………（6分） （2）因为415sin =A ，41cos =A ， 所以815cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 22-=-=A A A ，……………（4分） 815sin 21sin ==A B ，因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由c a =得到A B 2-=π，872cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分） 所以，32157sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分）6.（静安区2018二模17）设函数x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π． （1）求函数)(x f y =的最大值和最小正周期；（2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ，413-=⎪⎭⎫⎝⎛C f ，求A sin ．【参考答案】（1）因为x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π 22cos 13sin2sin 3cos2cos xx x -+-=ππ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 x 2sin 2321-=， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，函数)(x f y =的最大值为231+，最小正周期π． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 （2）由4132sin 23213-=-=⎪⎭⎫⎝⎛C C f ，得2332sin =C ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 解得，2π=C 或π=C （舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分因此，31cos sin ==B A ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分7. （闵行区、松江区2018二模19）A B CPQD旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【参考答案】（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x =28125032m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=22750150027501500cos120=+-⨯⨯7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222 775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ， 所以()250,2503D …………10分 所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分8. （浦东新区2018二模18）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.【参考答案】（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分 则121133sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 312S =（平方千米）即选取33OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分 方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分231930.1448π216π2=+⋅⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分9. （普陀区2018二模18）（本题满分14分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由. 【参考答案】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中ab arctan =ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a 即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分 所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分 故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ 所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分 对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分10. （徐汇区2018二模19）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）【参考答案】(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB AB ABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BC CBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分解得x =400400191919=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x =12001927519≈米. ----14分R Q PCBA11. （杨浦区2018二模19）如图所示: 扇形ABC 是一块半径为2千米, 圆心角为60︒的风景区, P 点在弧BC 上, 现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道PQ 与AB 垂直, 街道PR 与AC 垂直,线段RQ 表示第三条街道.(1) 如果P 位于弧BC 的中点,求三条街道的总长度;(2) 由于环境的原因, 三条街道PQ , PR , QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元, 200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元).【参考答案】（1）由题意, 30PAQ ︒∠=, 因此2sin301PQ ︒==, 同理1PR = （2分） 36029060120QPR ︒︒︒︒∠=-⨯-=, 故33QR PQ =⨯= （4分）因此三条步道的总长度为23+千米 （6分）(1) 设0,3PAQ πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭. 则2sin PQ θ=, 2sin 3PR πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（8分） ,,,A Q P R 均在以AP 为直径的圆上由正弦定理2sin QR AP RAQ ==∠ 得 3QR = （10分） 效益3002sin 2002sin 40033T πθθ⎛⎫=⨯+⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()2003sin 3cos sin 4003θθθ=+-+ 32007sin arctan 40032θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（12分）当arctan 530,23ππθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭时 T 的最大值为200740031222=+≈万元 （14分）12. （长宁金山青浦区2018二模18）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示已知已有两面墙的夹角为3π（即=3ACB π∠），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=（1）若=4πθ，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积。
沪教版(上海)高中数学高一下册6.1三角函数复习课件
D.4，π3
12345
解析 答案
5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin
x＋a，若1≤f(x)≤
17 4
对一切x∈R恒成立，
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思 想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由 单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利 用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质， 又能熟练运用数形结合的思想方法。
(k∈Z)时，ymin＝－1
在开区间(kπ
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) 上是 增加的；在[2kπ，π＋2kπ]
－π2
，kπ＋
π 2
)
(k∈Z)上是
(k∈Z)上是减少的
增加的
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝ －1
无最值
3.反三角函数
反余弦、反正切函数同理，性质如下：
解 因为 x∈－π2，－1π2，所以 2x＋π6∈－56π，0，
于是，当 2x＋π6＝0，即 x＝－1π2时，f(x)取得最大值 0；
当 2x＋π6＝－π2，即 x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.
解答
类型三 三角函数的最值和值域 命题角度1 可化为y＝Asinωx＋φ＋k型 例3 求函数y＝－2sin(x＋π6 )＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值。
第6章 三角函数 复习课件
知识网络
三 角 函三角函数的图象与性质性图质象正 图周 奇 单 最弦 象期 偶 调 大曲 特性 性 性 、线 征最、小余值弦曲线、正切曲线
数
A、ω、φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象图象画法五 变点 换法 法
2019年上海高考数学第一轮复习 第22讲 解三角形
第22讲 解斜三角形[基础篇]一、正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 二、余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 三、面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .四、三角形模型：1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况。
如已知a ，b ，A ，则2、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3、实际问题中的常用角:(1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．[技能篇]例题1 在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A s i n ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是 （ ）① a ：b ：4=c ：5：6 ② a ：b ：2=c ：5③ cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④ A ：B ：C = 4：5：6A 、0B 、1C 、2D 、3例题2 ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A =60 6 ,a ==，那么满足条件的ABC∆ （ ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定例题3 已知))((a c b c b a -+++＝3bc ，则∠A ＝_________例题4 在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=_______例题5 在△ABC 中，三边长为,,a b c 且成等差数列，求b 边长所对的角B 的取值范围例题6 在△ABC 中，30a =，105ABC S ∆=，外接圆的半径17R =，求△ABC 的周长例题7 在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边．如果()()22sin ab A B +⋅-=()()22sin ,a b A B -⋅+且A B ≠.求证：ABC △为直角三角形。
上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：三角函数
上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练三角函数一、选择、填空题1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）函数x x y 2s in 2cos 22-=的最小正周期是__________________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）函数22()4cos sin f x x x =-的最小正周期为3、（七宝中学2019届高三上学期期中）在△中，角、、所对的边分别为a 、、c ，若3a =，c ＝2，，则△的面积为________4、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）在中，角所对的边分别是，且，则tan tan AB的值为__________． 5、（2019届崇明区高三二模）函数sin cos y x x =的最小正周期T =6、（2019届黄浦区高三二模）设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ= 7、（2019届闵行松江区高三二模）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =8、（2019届浦东新区高三二模）已知函数()sin 2()f x x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值 是 9、（2019届青浦区高三二模）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为 10、（2019届杨浦区高三二模）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 11、（2019届宝山区高三二模）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆的面积大于38时，POQ ∠的大小范围为_________12、（2019届嘉定长宁区高三二模）对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”。
沪教版(上海)高三数学复习之三角函数
2020届高三二轮复习之三角函数一、化异名为同名即为化简，把一个复杂的式子化成一般形式f （x ）=Asin ()φω+x （以最常考的正弦函数为例），再来研究函数的图像与性质。
化简技巧1：函数有asin 2x-b 或者mcos 2x+n （也就是含二次式）可以往cos2x 方向化简。
（复杂点的可以用提公因式，拼凑等方法）例题1.已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 解：（1） 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2cos cos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x =，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =- 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.化简技巧2：往特殊三角比的值方向化，如sinx+cosx 可以化为2sin （x+4π）； sin2x+3cos2x 可以化为2sin （2x+3π）例题2. 设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （1）求函数y f (x )= 的值域（2）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值. 解：（1）()14cos sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数， 故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 二、根据图像求函数解析式1. 先看峰值，判断的振幅A 数值，符号根据图像的走势而定2. 看相邻的特殊点之间的距离来判断周期T ，a.相邻两个与x 轴交点的距离为2Tb.相邻两个点，一个是与x 轴交点，另一个是峰值点对应的x 值，之间的距离为4T 3.相邻两对称轴的距离为2T 4.基于以上，代入图像上某个点的坐标可求φ例题3. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A. 22 B. 3 C. 6 D. 0答案：C习题巩固一、选择题1．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=2. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为（ ）A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. {}22,ππ- 3．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最小值－21，则该函数解析式为（ ） A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x y C )63sin(21π-=x y D ．)63sin(21π-=x y 4．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 5.函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、解答题1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求 ()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数()tan(2),4f x x =+π（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小3、已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=. （1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间.4、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.5、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值.参考答案一、1-5 DDBAA二、1.（1）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（2）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1. 2、（1）由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （2）由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα 22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即 3、解（1）：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈ (sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x x f x x x x x -==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=-- 得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==； （2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈ 4、2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-， （1）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+= 得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.5、（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+. （2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=， ∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.。
沪教版(上海)2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之正弦函数和余弦函数的图像与性质-1
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之正余弦函数的图像与性质 ①教学目标1. 形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义；2. 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质.【重点掌握两函数sin ,cos y x y x ==的四大性质（奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值），特别是正弦函数和余弦函数的周期性与单位圆的对应.对对称中心和对称轴的讲解视学生情况自定.】 知识梳理 1． 正弦函数的图像与性质正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z ππππ-++∈，递减区间是3(2,2),22k k k Z ππππ++∈2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z πππ-+∈，递减区间是(2,2),k k k Z πππ+∈典例精讲例1. （★）求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21=（2）x y cos 2-= 分析：(1)∵sin y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-；∴1sin 22y x =的定义域应是2x R ∈，即x R ∈，值域是11[,]22-； (2)虽然cos y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-.但本题中2cos x -作为二次根式的被开方数，所以2cos 0x -≥，即cos 0x ≤.根据余弦比的符号可求得x 求值范围，并由02cos 2x ≤-≤，可得函数值域.解：(1)定义域为R ，值域是11[,]22-； (2)定义域为322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，值域为[0y ∈. 例2. （★）求下列函数的周期（1）cos(2)y x =-； （2）sin()26x y π=+ 【分析：2||T πω=.】 解：（1）2|2|T ππ==-； （2）2412T ππ==例3. （★★）设R x t x ∈-=,3sin ，求t 的取值范围.解：1sin 1,x x R -≤≤∈,则131t -≤-≤，解得24t ≤≤.【本题实际是正弦函数的值域问题.学生程度尚可的话可以选用变式练习为例题进行讲解.】 变式练习：（★★★）已知α是第四象限角,且23sin 4m mα-=-，求实数m 的取值范围. 解：α是第四象限角，故0sin 1α≤≤从而有23014m m -≤≤-， 解得 3723m ≤≤.【本题的难点：解分式不等式.必要的话学科教师可以进行分解，即适当讲解分式不等式的解法.】例4. （★★）函数sin y a b α=+的值域为[4,2]-,求,a b 的值.解：当0a >时 2341a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=-⎩⎩. 当0a <时 2341a b a a b b -+==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩（矛盾舍去）. 变式训练：（★★）设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ）A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 解：D例5. （★★）判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.解：sin()cos 2y x x π=-=-，为偶函数，单调递增区间为(2,2),k k k Z πππ+∈，单调递减区间为(2,2),k k k Z πππ-+∈.课堂练习 1. （★）函数cos3y x =，x R ∈的最小正周期是 .解：23π 2. （★★）函数x x x f 22sin cos )(-=是 （ ）A ．最小正周期为2π的奇函数．B ．最小正周期为2π的偶函数．C ．最小正周期为π的奇函数．D ．最小正周期为π的偶函数．解：D3. （★★）若将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a (0)a >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为（ ） A ．6π B ．3πC ．32π D ．65π解：D4. （★★）函数)cos(sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．解：3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈。
【备战2019】(上海版)高考数学分项汇编 专题04 三角函数与三角形(含解析)理
专题04 三角函数与三角形一．基础题组1. 【2018 上海，理1】 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2π【考点】三角函数的周期.2. 【2018上海,理4】已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)． 【答案】π－arccos133. 【2018上海,理11】若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝______. 【答案】234. 【2018上海,理16】在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C5. 【2018上海,理6】在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A 、C 两点之间的距离为______千米．6. 【2018上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．7. 【2018上海,理18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能[答]（）（A）不能作出这样的三角形. （B）作出一个锐角三角形.（C）作出一个直角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.【答案】D【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.8. (2009上海,理6)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是____________.【答案】21-9. 【2008上海,理6】函数f(x)＝3sin x +sin(π2+x)的最大值是 .10. 【2008上海,理10】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .11. 【2007上海,理6】函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是_____T =12. 【2007上海,理11】已知圆的方程()2211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）.直线OP 的倾斜角为θ弧度，OP d =，则()d fθ=的图象大致为_____13. 【2007上海,理17】在三角形ABC 中，2,,cos42B a C π===，求三角形ABC 的面积S 。
2019年上海高考·高三数学 第一轮复习
高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。
从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。
从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。
2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等； 和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角； 给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。
2024年高一数学真题分类汇编(沪教版2020必修第二册,上海专用)三角(解析版)
专题01三角的顶点为坐标原点，始边与，则tansin2所以此时B 有两解.故答案为:2.35．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）题正确的序号是．①．若2a b c +>，则π3C <②．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形③．若2cos 22A b c c+=，则ABC 是直角三角形④．若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形⑤．若锐角ABC 中，则sin sin A +【答案】①③【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．经测量知(1)霍尔顿发现无论BD 多长，(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出【答案】(1)证明见解析，(2)3132【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；（2）利用三角形面积公式，结合三角函数恒等式，可得答案【解析】（1）在ABD △中，在BCD △中，2BD CD =4cos 32cos A C ∴-=，则2cos （2）2221214S S AB AD +=⋅(2211sin cos 1A C =+-=一、填空题cos【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题二、单选题7．（2023上·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）设集合2π4πsin sin sin 20232023A x x ⎧==++⎨⎩|A ．1011B ．1012【答案】B的取值会随着三、解答题ABC方案一：在墙壁OB 上取两点P 、Q ，用长度为20m 的移动围挡围成一个以（只有MP ，MQ 两边为移动围挡）；方案二：在墙壁OA 、OB 上分别取点E 、F 用长度为20m 别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？【答案】MPQ 的面积的最大值为250m ，EOF 的面积的最大值为【分析】设m,m MP x MQ y ==，表示出MPQ 的面积，利用基本不等式可求出其最大值，设从而可求出，比较可知存在。
高三一轮复习《三角》
第四部分：三角函数、恒等变换、正余弦定理公式和使用三角函数这部分是高中公式最多的，就考察的难度来说，一般只考简单题和中等题。
一方面要熟记所有公式，包括一些公式变形的形式，然后合理使用公式解题；另一方面要注意使用公式时过程的完整性。
就三角的公式来说，包括：诱导公式，同角三角函数公式，和、差、倍公式（降次升角公式），合一公式（辅助角公式），正余弦定理，面积公式，最好么记得原始公式和解题时喜欢考察到的形式。
还有一个重要的内容就是三角函数图像，尤其在解答题考察较多的()B x A y ++=ϕωsin 的图像与性质。
在公式的积累达到要求时，还要积累一些题型的解题方法，比如：“给值求值的常规思路”“求单调区间需要注意的地方”“如何合理选择正余弦定理解题”等等。
在日常考试中，一般也不会考难的解答题，高考解答题一定会考三角，不过只会出现在前两题中。
一、就公式来说，需要牢记以下内容： 1、三角函数定义高中对于三角函数的定义是：设角α终边上一点P 的坐标是()y x ,，设22||y x OP r +==，则ry=αsin xy rx ==ααtan cos 。
在实际的考察中一般要掌握角和角终边上点坐标之间的相互转化就可以了，始终抓住“角的象限”就是“终边上点所在的象限”。
另外就是三角函数在各个象限的符号，这个可以根据定义去记忆。
典型例题：例、已知角α的终边上一点的坐标为22(sin ,cos )33ππ()π2,0∈α，求α。
例、如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标。
2、诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，有的也说“横变纵不变，符号看象限”。
主要用于求解三角函数值，sin(2)_____,cos(2)_____,tan(2)_____k k k παπαπα+=+=+= sin()_____α-=，cos()_____α-=，tan ()α-=_____sin()_____,cos()_____,tan()_____παπαπα-=-=-=sin()_____,cos()_____,tan()_____222πππααα-=-=-=sin()_____,cos()_____,tan()_____222πππααα+=+=+=333sin _____,cos _____,tan _____222πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 333sin _____,cos _____,tan _____222πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭用诱导公式求(或化简、比较)数值角的三角函数值的大小时，口诀是“负化正，大化小，化到锐角就行了” 3、同角三角函数公式公式普通作用：已知角的一个三角函数值，求角的其他三角函数值，弦切之前的转化。