第四章平面的投影

• 铅垂面的水平投影积聚为一条倾斜直线，其余两 铅垂面的水平投影积聚为一条倾斜直线， 投影具有类似性; 投影具有类似性 • 铅垂面的水平投影与它的水平迹线重合，水平迹 铅垂面的水平投影与它的水平迹线重合， 线具有积聚性； 线具有积聚性； •铅垂面的水平投影与 轴的夹角反映该平面对正 铅垂面的水平投影与OX轴的夹角反映该平面对正 铅垂面的水平投影与 面的夹角β， 面的夹角 ，与OY轴的夹角反映该平面与侧面的夹 轴的夹角反映该平面与侧面的夹 角γ 。 Z
B QV m' n'D
XH P
C
O
a PH
Q S d H bH
c H
m(n)
过铅垂线作平面
过一般位置直 线可分别作一个铅 过铅垂线可作一个正平面、 过铅垂线可作一个正平面、 一个侧平面和无穷多个铅 垂面、正垂面、 垂面、正垂面、侧 垂面。 垂面。 垂面。 垂面。
RH
三、属于平面的投影面平行线 属于一般位置平 面的投影面平行线方 向是一定的， 向是一定的，如：属 于平面S的水平线平行 于平面 的水平线平行 于水平迹线S 于水平迹线 H。 例：已知平面ABC， 已知平面 ， 试过A点作正平线 点作正平线， 试过 点作正平线，过 C点作水平线。 点作水平线。 点作水平线
铅垂面的迹线如图所示。 铅垂面的迹线如图所示。
PV 对于特殊位置的平面， 对于特殊位置的平面，常用具有 积聚性的迹线来表示， 积聚性的迹线来表示，为了确切 表达，也可画出另一条迹线。 表达，也可画出另一条迹线。 X PH PH Y 垂面的迹线表示法 O PW Y1
Z c' a' b' X a b c Y Y O a" b" Y1 X c" PV Z PW
§4-2 特殊位置的平面
一、投影面垂直面
Z
a' A b' B C c" b" b a PH c' a"
Z a' c' b' X β b a Y
PH
a" c" b" O γ c Y Y1
X
c
在水平面上的 投影有何特点？ 投影有何特点？
具有类似性 积聚为一条直线
铅垂面的投影直观图
铅垂面的投影图
铅垂面的投影性质： 铅垂面的投影性质：
B
a" (b")
侧 面 投 影 具 有 积 聚 性
c' b' b' a' a'' a b' X X X
Z Z Z c' c' O O O a" b" cb" " c" c" a" b" a " SV SV ZZ
Z SW Y Y1 1 Y
1
ab b a b c a cc Y Y Y
Y X OO Y1 1 X X Y1 SH SH YY
α γ
O
Y1
正垂面的投影
• 正垂面的正面投影积聚为一条倾斜直线，其余两投影具有类似 正垂面的正面投影积聚为一条倾斜直线， 性; • 正垂面的正面投影与它的正面迹线重合，正面迹线具有积聚性； 正垂面的正面投影与它的正面迹线重合，正面迹线具有积聚性； •正垂面的正面投影与 轴的夹角反映该平面对水平投影面的夹 正垂面的正面投影与OX轴的夹角反映该平面对水平投影面的夹 正垂面的正面投影与 轴的夹角反映该平面与侧立投影面的夹角γ 角α，与OZ轴的夹角反映该平面与侧立投影面的夹角 。 ， 轴的夹角反映该平面与侧立投影面的夹角
第四章 平面的投影
本章主要内容： 本章主要内容： 平面在投影图上的表示方法； 平面在投影图上的表示方法； 各种位置平面的投影特性； 各种位置平面的投影特性； 平面上求点、线的作图方法。 平面上求点、线的作图方法。
§4-1 平面的表示法
一、用几何元素表示平面
c' d' b' O c a b 几何元素表示的平面 d
二、投影面平行面
正面投影有何特点？ 正面投影反映实形 正面投影有何特点？ Z a' d' X D PH a (d) C b(c) 水平投影具有积聚性 正平面的投影 d" (c") Y b' c' A
正平面的投影性质： 正平面的投影性质： 1、水平投影和 、 侧面投影具有 积聚性， 积聚性，分别 平行于OX轴和 平行于 轴和 OZ轴，分别与 轴 它的水平迹线 和侧面迹线重 合。 2、正面投影 、 反映实形。 反映实形。
C点在平面上
c
d
有无其他方法？ 有无其他方法？
CD不在平面 不在平面ABC上。 不在平面 上 两两连成直线， 两两连成直线，看是否平行或相交
二、属于特殊位置平面的点和直线 特殊位置平面至少有一个投影具有积聚性。因此， 特殊位置平面至少有一个投影具有积聚性。因此， 属于特殊位置平面的点和直线， 属于特殊位置平面的点和直线，至少有一个投影必重合 于平面具有积聚性的迹线。 于平面具有积聚性的迹线。 例、直线AB属于 直线 属于 平面P， 平面P，求作正 面投影。 面投影。 例、在平面PV上 在平面 任意取点A。 任意取点 。 XX
正面迹 线
空间平 面
侧面迹 Z 线
pv
P PH Z PW O PH Y 迹线表示平面
Y1
O
pw
水平迹 线
Y
PV X
用几何图形表示的平面，也可以转换为迹线表示的形式。 用几何图形表示的平面，也可以转换为迹线表示的形式。
e' a' E A B F D PH f PV G C e b' PV c' g'
12 10
b' b' k'
D
A E 1' C
a' 1' a' 10 X X aa 1
a' X B
2' m' c' c' O cc
b' d' k
O 12
e 1 2' m bb c' O
b M即为所求 即为所求 d a e c
例、判断直线CD是否属于平 判断直线 是否属于平 面ABC。 。
点在平面上 直线在平面 上的条件 的条件
——投影面平 投影面平
Z Z b' B a' X c' A a
不反映实形 是否反映实 形呢？ 形呢？
b' a' b" X a" b c Y a Y c' O
b" a" c" Y1
b
C
c
三角形
c"
一般位置平面直观图 一般位置平面直观图
一般位置平面投影图
一般位置平面的三个投影具有类似性 类似性。 一般位置平面的三个投影具有类似性。
SW O
Y
图4-11 正平面的投影 图4-12 水平面的投影 侧平面的投影
投影面平行面的投影性质
1、在与之平行的投影面上，投影反映 、在与之平行的投影面上， 实形； 实形； 2、其余两个投影分别积聚为一直线， 、其余两个投影分别积聚为一直线， 具有积聚性， 具有积聚性，分别平行于相应的投影 轴，且与平面在这两个投影面上的迹 线重合。 线重合。
20a' d' c' b c 1 a de f c
例：试完成平行 20，长 水平线， 水平线，距H面 ， 面 四边形ABCD的 四边形 的 15。 。 X 投影。 投影。20 15
X
a
O O
EF即为所求 即为所求
b
定理： 定理：若点在属于平面的 直线上， 直线上，则点必在该平面 上。
或者， 或者，取属于平面的 点，要取自属于该平面的 已知直线。 已知直线。 例1：求属于平面 ：求属于平面ABC的点 的点 K的水平投影。 的水平投影。 的水平投影 例2：求属于平面 ：求属于平面ABC的 的 面为12， 面为10 距V面为 ，距H面为 面为 面为 的点M的投影 的投影。 的点 的投影。
a' a' a1 aa 2 a3 a4
PV PV b' OO b
过一般位置直线作投影面垂直面 平面垂直于平面的条件是： 平面垂直于平面的条件是： 属于平面的一条直线垂直 于另一平面，则两平面垂直。 于另一平面，则两平面垂直。 过直线AB上任意一点， 过直线 上任意一点， 上任意一点 作投影面H的垂线 的垂线， 作投影面 的垂线，则相交 两直线所确定的平面垂直于 投影面H。 投影面 。 该平面的水平迹线与直线的 投影重合。 投影重合。 PH是否唯一？ 是否唯一？ A
迹线是属于平面 的直线， 的直线，两条迹线 间不平行就相交， 间不平行就相交， 都可以用来表示平 面。
PW X PH O X
PW O
PH 迹线表示的平面
X
d'
g a b d PH c
f'
O
求平面的迹线
三、平面对投影面的相对位置
对三 平 面 ——投影面 投影面 平 投影面 面 投影面 面 投影面 —— 位置平面 面 面 面 平面 平面 平面 特 殊 位 置 平 面
§4-3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 定理： 若直线通过属于平面的两个点，则直线必在该平面上； 定理：1 若直线通过属于平面的两个点，则直线必在该平面上； 2 若直线通过平面的一个点，且平行于平面的一条已知 若直线通过平面的一个点， 直线，则直线必在该平面上。 直线，则直线必在该平面上。 b' b' ' c 例：在已知平面上作一 e' f' a' 1'
b' e' X X e a a' d' S