贾志鹏线性筛积性函数

数值积分

Simpson积分公式的误差：
R[ f ] f [a, a h, b, x]( x a)( x h)( x b)dx
a
b
f [a, a h, b, x](t h)t (t h)dt
h
h
f [a, a h, b,(t h)](t 3 h2t )dt
例题
1 1 x dx 。解：由Newton Leibniz 公式得 2 1 I dx ln 2 0.69314718 1 x 1 1 1 由梯形公式 I （） 0.75; 2 2 1 1 1 1 1 由Sim pson 公式I ( 4 ) 0.6944; 3 2 6 1 2 1 1 1 1 由Newton公式I (1 3 3 ) 0.693 75 4 5 2 8 3 3 由Cotes公式得I 0.6931 75 计算I

b a i 0 i j
n
x xi 1 n n t i dx 0 j i hdt x j xi nh i 0
i j
n n 1 n 1 0 (t i )dt n i 0 j i i 0 i j i j
(1) n j n n 0 (t i)dt nj!(n j )! i 0
i j
当n 1时，仅有两个节点： C C
(1) 0 1 (1)10 1 (t 1) 2 0 (t 1)dt 1 2 1 0!(1 0)! 1 (1)11 1 t2 0 (t 0)dt 1 2 1 1!(1 1)! 1 0 1 0
1 2
(n) j
1 ba

b
a
1 l j ( x ) dx ba

线性筛,积性函数,狄利克雷卷积,常见积性函数的筛法

线性筛,积性函数,狄利克雷卷积,常见积性函数的筛法⼀些性质积性函数：对于函数\(f(n)\)，若满⾜对任意互质的数字\(a,b，a*b=n\)且\(f(n)=f(a)f(b)\)，那么称函数f为积性函数。

狄利克雷卷积：对于函数f,g,定义它们的卷积为\((f∗g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。

狄利克雷卷积满⾜很多性质：交换律：\(f∗g=g∗f\)结合律：\((f∗g)∗h=f∗(g∗h)\)两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数。

积性函数都可以⽤线性筛筛出来怎么筛？\(⼀般来讲，只要知道f(P^k)，P为质数，就可以知道怎么筛了\)\(简单来讲就是推⼀下\)\(通俗来讲就是⼿玩⼀下或者打表找规律\)如果你⼀眼就看出来了那就只能Orz了⼏道题⼀些常见积性函数的筛法莫⽐乌斯函数\(\mu(n)\)这个⽐较简单，\(\mu(1)=1\)，\(i\)为质数时\(\mu(i)=-1\)，最⼩质因⼦筛到它的时候正负号反过来，否则为\(0\)isprime[1] = 1; mu[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; mu[i] = -1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];else{ mu[i * prime[j]] = 0; break; }}}乘法逆元\(inv(i)\)求⼀个数在模p意义下的逆元设\(p=i*x+j\)，则\(i*x+j\equiv0(mod\ p)\)同时除以\(i*j，所以x*j^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)\)移项\(i^{-1}\equiv-x*j^{-1}(mod\ p)\)⽽\(x=p\ div\ i，j=p\ mod\ i\)所以\(inv(i)=-inv(p\%i)*(p/i)\)不⽤筛了，递推就可以了inv[1] = 1; for(int i = 2; i < p; ++i) inv[i] = -(p / i) * inv[p % i] % p + p) % p;补充阶乘逆元的递推，求出\(inv(n)\)，\(inv(i)=inv(i+1)*(i+1)\)倒着来就⾏了fac[0] = inv[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i] * i % p;inv[n] = Getinv(fac[n]); //Exgcd or Fermatfor(int i = 1; i < n; i++) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;欧拉函数\(\varphi(n)\)公式:\(n分解成若⼲质数p的乘积n=\Pi p_i^{a_i}\)\(\varphi(n)=n*\Pi(1-\frac{1}{p_i})\)那么\(\varphi(1)=1\)，\(n为质数时\varphi(n)=n-1\)，最⼩质因⼦筛到它时乘上质因⼦\(p-1\)，否则乘上这个质数isprime[1] = 1; phi[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; phi[i] = i - 1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);else{ phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; }}}约数个数\(d(n)\)公式：还是分解\(d(n)=\Pi(a_i + 1)\)我们记录下每个数最⼩质因⼦的指数记为\(pred\)就好了isprime[1] = 1; d[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; d[i] = 2; pred[i] = 1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]){d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];pred[i * prime[j]] = 1;}else{pred[i * prime[j]] = pred[i] + 1;d[i * prime[j]] = d[i] / (pred[i] + 1) * (pred[i] + 2);break;}}}约数的和\(\sigma(n)\)公式：⼜是分解\(\sigma(n)=\Pi(\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j)\)这个就很烦了。

最优控制教案2.2 泛函与变分的基本概念

2.2 泛函与变分的基本概念2.2.1 泛函函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。

x — 自变量。

函数是变量与变量之间的关系。

泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。

y — 宗量。

泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。

例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。

① 泛函宗量的增量泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=−，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。

② 泛函的连续性函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。

泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。

曲线y(x)与曲线 y 0(x)21222[()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε−≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε−≤≤≤−≤≤≤ 具有一阶相近度例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当③ 线性泛函2.2.2 泛函的变分函数微分 ←→ 泛函变分函数y =f (x)，增量表示为：()()()(,)y f x x f x yx x r x x Δ=+Δ−=Δ+Δ当0x Δ→时，第二项可以忽略。

第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作：()()dy yx dx f x dx ′==参照函数微分的定义，泛函变分定义如下：若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=−连续泛函[()]J y x 的增量可表示为[()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+−=+第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ=定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=∂=+∂1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续第一项为x Δ的线性函数第二项为x Δ的高阶无穷小第一项为y δ的线性泛函第二项为y δ的高阶无穷小例，120()J x t dt =∫求泛函的变分解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+−=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 102()()J x t x t dt δδ=∫例2.821[,(),()]x x J F x y x y x dx =∫ 求泛函的变分212100[][,,]()x x x x J J y y F x y y y y dx F F y y dx y y εεδεδεεδεδεδδ==∂=+∂∂=++∂∂∂=+∂∂∫∫2.2.3 泛函的极值如果泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)的邻域内，其增量00[()][()]0[()][()]0J J y x J y x J J y x J y x Δ=−≥Δ=−≤或则称泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)处有极小或极大值。

矩生成函数及其应用

E etXi
i
为了说明 MY 幂级数展开，我们先来考察 Y 的 1-3 阶矩。由 Xi 的独立性，有
= E [Y ] E= ∑ Xi ∑ E [ Xi ]= ，Var [Y ] V= ar ∑ Xi ∑Var [ Xi ]
令 Z=i X i − E [ Xi ] ，因 X1,, X p 彼此独立，所以 E Zi3 =E Xi − E ( Xi ) =E [ Xi ] − E [ Xi ] =0
2. 预备知识
( ) 定义 2.1 实随机变量 X 的矩生成函数定义为随机变量 etX 的期望，即 M X (t ) = E etX ，t 为实变量。
若 µk = E X k 为随机变量 X 的 k 阶矩(或记 k-矩)。则矩生成函数满足
∑ ( ) M X
t
=
∞
µk
k =0
tk k!
(2.1)
一个随机向量 X ∈ RP 的矩生成函数定义为
1
uik
X i1
X i2
X ik
k !
∞
P
∑ ∑ = 1+
ui1ui2 uik E X i1 X i2 X ik k !
=k 1= i1 ,i2 ,i3 ,,ik 1
我们由定理 3.2，不难证明定理 3.1。
定理 3.3 设 X1,, X p 为独立随机变量，Y = ∑ Xi ，则 Y 的矩生成函数是 Xi 的矩生成函数之积，即：
mi1i2ik = E xi1 xi2 xik ,
(
i1
,
i2
,
,
ik
)
∈
S
(
k
;
n
)
(3.1)
{ } ( ) 这里 S (k;n) ≡

《测试技术》贾平民课后习题答案--

解：（1）瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。

（2）准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散性。

（3）周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2t f 0π的有效值（均方根值）：2/1)4sin 41(21)4sin 41(21)4cos 1(212sin 1)(10000000000000202000=-=-=-===⎰⎰⎰T f f T T tf f T T dt t f T dt t f T dt t x T x T T T T rms ππππππ 解：周期三角波的时域数学描述如下：（1）傅里叶级数的三角函数展开：，式中由于x(t)是偶函数，t n 0sin ω是奇函数，则t n t x 0sin )(ω也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。

故=n b 0。

因此，其三角函数展开式如下：其频谱如下图所示：T 0/2-T 0/21x (t ) t. . . . . .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤-≤≤-+=)(202022)(00000nT t x T t t T AA t T t T A A t x 21)21(2)(12/0002/2/00000=-==⎰⎰-T T T dt t T T dt t x T a ⎰⎰-==-2/00002/2/00000cos )21(4cos )(2T T T n dt t n t T T dtt n t x T a ωω⎪⎩⎪⎨⎧==== ,6,4,20,5,3,142sin 422222n n n n n πππ⎰-=2/2/0000sin )(2T T n dtt n t x T b ω∑∞=+=1022cos 1421)(n t n nt x ωπ∑∞=++=1022)2sin(1421n t n nπωπ(n =1, 3, 5, …）（2）复指数展开式复指数与三角函数展开式之间的关系如下：故有)( 21=212121n 22000=-===+====nn n e n m n n n n n a barctg C R C I arctg a A b a C a A C φ 0ωA (ω)ω0 3ω0 5ω0 0ωω0 3ω0 5ω0 ϕ (ω)24π294π2254π21 2π C 0 =a 0C N =(a n -jb n )/2 C -N =(a n +jb n )/2 R e C N =a n /2 I m C N =-b n /2)(212122000n n n e n m n n n n n a barctg C R C I arctg A b a C a A C -===+===φ R e C N =a n /2⎪⎩⎪⎨⎧====,6,4,20,5,3,122sin 222222n n n n n πππI m C N =-b n /2 ＝0单边幅频谱单边相频谱0 ωn φω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ωω0 3ω0 22π 21292π2252π5ω0 -ω0 -3ω0 292π 2252π-5ω0 22πnC0 ωI m C nω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ωR e C nω03ω0 22π21 292π2252π5ω0 -ω0 -3ω0 292π 2252π-5ω0 22π虚频谱双边相频谱实频谱双边幅频谱解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：用傅里叶变换求频谱。

贾志鹏线性筛

��
令�� = ��，由于��是��最小的质因数，若��2 |��，则 ��|��，并且��也是��最小的质因数。这样在进行筛法的同时，记录每个合数最小质因数的次数，就能算出新筛去合数最小质因数的次数。
= ��，我们来对要求的
分析
�� =1 ��=1 gcd(��, ��) �� = �� =1 ��=1 ��|gcd(��,��) ��(��) �� = �� =1 ��=1 ��|�� and ��|�� (��)
再比如莫比乌斯函数��，只有当�� = 1时�� = −1，否则�� = 0，和欧拉函数一样根据��是否被��整除进行判断。
线性筛法求解积性函数（欧拉函数）
线性筛法求解积性函数（莫比乌斯函数）
log ��
个算法的时间复杂度为O(��)。
其实呢，这个问题没这么烦。。
设�� = �� + ��，则�� = �� 2 �� 2 mod �� ≡ −�� (mod ��) �� ≡ −1 (mod ��) ��2 �� 2 �� 2 ≡ 1 (mod ��) ��−1 ≡ �� 2 �� 2 (mod ��) 由于1 ≤ �� < ��，直接顺推求��函数

基于SVM的大样本集系统辨识与函数拟合仿真

收稿日期:2005-07-20 第23卷　第9期计　算　机　仿　真2006年9月文章编号:1006-9348(2006)09-0123-06基于S V M 的大样本集系统辨识与函数拟合仿真张智,朱齐丹,邢卓异(哈尔滨工程大学自动化学院,黑龙江哈尔滨150001)摘要:支持向量机是一种优秀的学习方法,也是具有很好泛化性能的回归方法。

但由于支持向量机算法实习复杂,效率低,严格限制了其应用,S M O 算法的提出大大提高了支持向量机的学习效率。

因此,借助S M O 算法,便可以实现大样本集的非线性系统辨识和函数拟合。

文中对回归问题的SMO 算法作了详细介绍,并对其进行改进。

然后研究了利用改进S M O 算法的非线性系统辨识方法,给出了非线性系统的辨识的仿真结果,和一维二维函数的拟合仿真。

并通过仿真,与原始算法进行了比较,显示了改进S M O 算法的快速性。

关键词:支持向量机;序列最小优化;改进学习算法;回归问题中图分类号:TP301.6 文献标识码:BThe Sm i ul ation of Large Scale R egression and Syste m IdentificationProble m s Based on Support V ectorM achi neZ HANG -Zhi ,ZHU Q i -dan ,X I N G Zhuo -yi(Co llege of A uto m a tion ,H arb i n Enginee ri ng U niversit y ,H arbin H eilong jiang 150001,China )ABSTRACT :Suppo rt V ector M ach i ne is an exce llen t learn i ng t echnique ,and it is a lso a c lass of reg ression m e t hod w ith a good gene ra liza tion ability .H owever ,because t he a l go rith m of SVM is comp l ex ,it hinders the applica tion o fSVM ,t he S M O algorit h m i mprove s the l ea ri ng ve l o city of SVM g rea tly .So ,usi ng S M O learn i ng m ethod ,w e can so l ve t he p rob le m s o f larg e scale sy ste m i dentificati on and reg ression .In t h is pape r ,the reg ression S VM a l go rith m is intro -duced ,and t he m e t hod is i m proved from many respects .The m ethod o f non linear syste m identifica tion is st ud i ed .The si m ulati on resu lts o f the i m proved S M O m e t hod and t he orig i n S MO m ethod show t he advantage s o f the i m p roved S M O m e t hod .KEY WO RDS :Suppo rt vector m ach i ne (S VM );S MO ;I mproved l ea rning a l go rith m ;Reg ression1　引言近年来成为研究热点的统计学习理论(S t a tistica l Learn -ing Theo ry )是一种专门的小样本情况下机器学习规律的理论,V apni k 提出一种基于统计学习和结构风险最小化原理的新型学习机-支持向量机(S VM )。

等参单元

等参变换
例二：考察实际单元为矩形单元(2a*2b)情形，定义如前（3.10）式中，（x0,y0)为局部坐标原点，由上式得（3.11）重新组合有（3.12）
等参变换
将式（3.12）与（3.6）对照，即有同理可得
这说明矩形单元只是四节点四边形单元的一个特例，通过这个特例可以加深对实际单元到基本单元变换的理解。
Ni , x E S D B Ni , x i i 2 1 1 1 Ni , y 2 Ni , y Ni , y 1 1 Ni , x 2
四节点四边形下等参元矩阵
下面求解单元刚矩[K] 目标：四节点四边形单元刚度矩阵[K] 问题：将[K]中的面积微元dxdy用dξ dη 进行代换
（3.29）其中[K]e可划分成四行四列的子矩阵
K
e
B D B tdxdy
T

K
e
k11 k 21 k31 k41
k12 k22 k32 k42
k13 k23 k33 k43
k14 k24 k34 k44
写成矩阵形式 Ni , x, Ni , x, 其中 x x x, x,
y, Ni , x N y, i, y
y y,
（3.15）
y y,
四节点四边形下等参元矩阵
（3.9）
等参变换
把以参数 ξ 代表的 x方程和 y方程消去 ξ ，则得 x , y 所组成的直线方程 y=kx+b 这表明ξ η 平面上的水平边界经过变换成为了xy平面上的斜边界，这也是双线性函数的特点体现,即所以母单元上的四个边都可以通过映射在x y坐标面上得出一个任意四边形。