Chapter07.1-3函数可积性(习题课)
可积的充分且必要条件精品PPT课件
i [ xi1 , xi ], i 1, 2,
,n
i1
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的一个上界.
0, 由于 Mi sup f ( x) x [ xi1, xi ] , 因此
i [ xi1, xi ], 使
于是
f
(i )
Mi
ba
.
n
i 1
f (i )xi
n
(Mi
i 1
b
a
)xi
n i 1
M i xi
||T || 0
因此, 0 , 0 , 当 || T || 时, 就有 S(T ) s(T ) .
(充分性) 若 T , 使 S(T ) s(T ) , 则
0 S s S(T ) s(T ) . 由 的任意性, 必有 S s. 依据可积的第一充要条
件, 证得 f ( x) 可积.
积.
证 0, 0, 因 f 在 [a,b] 上连续,从而一致连 续, 故 0 , x, x[a,b], | x x | 时, 必有
| f ( x) f ( x) | .
又因 在 [ , ] 上可积,故对上述 , , 存在 [ , ]
上的分割
T
,
使
k
的所有小区间
Δ
k
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二、可积的充要条件
定理9.15 ( 可积的第一充要条件 ) f 在 [a, b] 上可积的充要条件是: f 在 [a, b] 上的上
积分与下积分相等, 即 S s.
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积, 0 , 0 ,
当 || T || 时, 有
n
f (i ) xi J ,
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n
i 1
讲函数可积条件
第23讲 可积条件及可积函数类讲授内容一、可积的必要条件定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．证：用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记().iki ix f G ∆=∑≠ξ现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得().kk x GM f ∆+>ξ 于是有()()()i ki i k k i ni i x f x f x f ∆-∆≥∆∑∑≠=ξξξ1M G x x GM k k=-∆⋅∆+φ由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾．例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数()⎩⎨⎧=x x x D ,0,1为无理数为有理数，在[]10，上有界但不可积． 证：显然()[].1,0,1∈≤x x D ，对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，()111=∆=∆∑∑==ni i i n i i x x D ξ；当取i ξ全为无理数时，()01=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即()x D 在[]10，上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．二、可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设{}n i T i ,,2,1Λ=∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M iix i x i Λ===∆∈∆∈作和()(),,11i n i ni i i i x m T s x M T S ∆=∆=∑∑==分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,n i i i Λ=∆∈ξ，显然有()()().1∑=≤∆≤ni i i T S x f T s ξ 与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．通过讨论上和与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得()()ε<-T s T S设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为fi ω。
苏教版高中数学必修一学同步导学第课函数的简单性质习题课
第18课 函数的简单性质·习题课【新知导读】1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．y =B ．y x =-C ．3y x =D ．21y x =+2．已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ）。
A ．增函数B ．减函数C ．先递增后递减D ．先递减后递增3．函数1y x=的单调递减区间是 ____ . 【范例点睛】例1 已知函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，且2)1(=f ，25)2(=f 求（1）函数)(x f 的表达式 （2）当x >0时，讨论函数)(x f 的单调性，并证明。
思路点拨 要求函数)(x f 的表达式，就是要求a,b,c 的值，应建立与之对应的方程。
函数的单调性的确定可以通过定义解决。
，例2 已知奇函数)(x f y =在定义域（-2,2）上单调递减，求满足)23()1(x f x f -≤-的x 的集合.思路点拨 根据条件寻求关于x 的不等式(组)是解题的关键.【随堂演练】1．函数2612y x x =++在区间（－５，５）上是（ ）Ａ．递减函数 Ｂ．递增函数Ｃ．先递增后递减 Ｄ．先递减后递增2．设偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，对于任意的120,0x x <>有12||||x x <，则有（ ）A ．12()()f x f x ->-B ．12()()f x f x -<-C ．12()()f x f x -->-D ．12()()f x f x --<-3．若奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为5, 那么()f x 在区间[-7, -3]上是( )A ．增函数且最小值为-5B ．增函数且最大值为-5C ．减函数且最小值为-5D ．减函数且最大值为-54．函数()||4f x x x x =+是（ ）A ．偶函数且在()2,2-上递增B ．奇函数且在()2,2-上递减C ．偶函数且在()2,2-上递减D ．奇函数且在()2,2-上递增5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，则(1)f = 。
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
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4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
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一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
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【精品】第7章定积分习题课
第七章定积分习题课一、主要内容1、可积性的判断重点掌握：1个定义、三个充要条件一个定义指的是定积分的定义，要深刻理解定积分的定义，掌握定义的灵活应用，掌握利用定义证明简单函数的可积性，掌握定义中的两个任意性（分割和点的选取）的应用，即在已知函数可积的条件下，可在定义中取特殊的分割和特殊的分点，从而求解一个和式的极限得到定积分。
三个充要条件指的是判断函数可积的三个充分必要条件，第一充要条件通常用来处理简单的特殊的具体函数的可积性，因为只有这样的函数才容易计算其上下和；常用的是第二充要条件：将可积性的证明转化为分割关系和振幅关系的讨论；当讨论的函数涉及到连续点的结构或不连续点的分布时，用第二个充要条件。
定义和三个条件都是函数可积的充分必要条件，但是，这4个条件使用的对象不同，定义给出的条件既是定性的又是定量的，更侧重于定量方面，通常涉及到定积分量的方面时，要首先考虑用定义处理；第一充分必要条件既是定性条件，又是定量条件，但是，它大多用于简单特殊的具体函数的不可积性的论证；第二充要条件是定性条件，只能用于判断函数的可积性，且侧重于研究好函数的可积性，但对相应的定积分值没有任何信息；第三充分必要条件也是定性的，它侧重于研究较差的函数的可积性，特别涉及到连续点的结构时，通常用第三充分必要条件。
2、不可积的判断常用的方法有：定义法――通过选取不同的特殊分割和分点，使得对应的和式极限或不存在或不相同；Darboux和法――利用Darboux上下和极限的不同得到不可积性。
3、定积分的性质要掌握利用定积分的性质研究各种定积分问题。
4、变限积分函数的性质变限积分函数给出了一类新的函数形式，引入了一类新函数，要求掌握这类函数的运算和性质。
5、定积分的计算掌握定积分计算的各种方法和技巧，包括：基本公式――转化为不定积分的计算，因而，可使用不定积分计算的相应技巧和方法；特殊结构的特殊处理方法。
如被积函数为奇偶函数或具有周期性质时。
人教版必修一：函数性质的综合习题课教师版
人教版必修一：函数性质的综合习题课教师版讲义编号_所以221212k k b b ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩或即()212()212f x x f x x =+-=-++或者函数()f x 定义域为(1,)+∞，且1()2()1f x f x x=-，求()f x 的表达式； 【解析】由得1()2()111()2()1f x f x x f f x xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得21(),(1,)33f x x x =+∈+∞ 【变式训练2】函数()f x 满足()2()3,f x f x x -+=+求()f x 的表达式；【变式训练2解析】由得()2()3()2()3f x f x x f x f x x -+=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()1f x x =+ 分段函数效果1、函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩假定((0))4f f a =，那么实数a =【解析】此题考察分段函数求函数值效果，(0)2((0))(2)4242f f f f a a a =∴==+=⇒=变式练习1、设函数2,0,()()4,0.x x f x f a x x -≤⎧==⎨>⎩若,那么实数a =〔 〕A 、-4或-2B 、-4或2C 、-2或4D 、-2或22、【解析】：此题考察分段函数的概念，考察函数的函数值求对应自变量的值，此题要分类讨论，即当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，应选B2、函数=221,1,,1,x x x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，假定=4a ，那么实数a 等于 〔 〕 A 、 B 、 C 、 2 D 、 9 【解析】此题考察分段函数和复合函数的了解和运用。
(0)2,((0))4242f f f a a a =∴=+=⇒=，应选C函数的定义域效果1、求函数的定义域 0(1)()x f x x x +=-()f x ((0))f f 1245【命题意图】此题考察详细函数的定义域效果，考察一元二次不等式解法D.【命题意图】此题考察详细函数的定义域效果，考察一元二次不等式和一元一次不等式的解法【解析】由C2[,3]1,1] 21t-，函数取最小值为A、1B、2C、3D、4【解析】此题考察函数奇偶性的运用，此题可以应用奇偶性定义求解，也可以应用二次函数是偶函数的条件：m=2几种等价关系：1. 假设函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是时断时续的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.1、求以下函数的零点：〔1〕2()32f x x x =-+ 〔2〕32()32f x x x x =-+解：〔1〕令()0f x =，………………………………………………………………………………令()0f x =得2320x x -+=，从而有 1,2x x ==.…………………………………………解方程()0f x =所以，函数的零点是1或2.……………………………………………………………………写出零点 〔2〕函数的零点是0，1或2.小结：求零点的步骤：(1)令()0f x =； (2)解方程()0f x =； (3)写出零点.2、判别以下四个图像中满足零点存在定理的哪些？解: (1)(2)是满足的；（1） 不满足，由于函数的图像不延续；〔4〕也不满足，在端点上的函数值符号不相反.3、定义在 R 上的奇函数()f x ，事先01x <≤，1()2,x f x -= 且事先1x >，有()(1)f x f x =-，求函数1()2y f x x =-〔0x >〕的零点个数. 解: 由()(1)f x f x =-得，事先1x >，函数()f x 具有周期性，且周期为1.由题意，作图如下：由图得，函数1()2y f x x =-共有3个零点. 【对复杂的函数，可以经过解方程直接算出；对普通的函数，可以经过零点定理〔留意关键字：至少存在一个〕判别零点的存在性；对复杂的函数或函数详细的零点个数的判别，常用数形结合的方法，便捷高效。
人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第3章 习题课一 函数的单调性与最大(小)值的简单应用
由①②可知,0<a<,
即所求 a 的取值范围是(0,).
规律总结
利用函数单调性解不等式的依据
(1)若y=f(x)在给定区间上单调递增,则当f(x1)<f(x2)时,x1<x2;当
f(x1)>f(x2)时,x1>x2.
(2)若y=f(x)在给定区间上单调递减,则当f(x1)<f(x2)时,x1>x2;当
内均单调递增.
上述方法叫做分离常数法.
+
【典型例题 3】函数 f(x)=
调递减区间是
的单调递增区间是
,单
.
答案:(-∞,-1],[1,+∞) [-1,(0,1]
解析:因为
+
f(x)= =x+,
所以 f(x)的定义域为{x|x≠0}.
当 x>0 时,设
0<x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2+ -x1-
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
(2)利用单调性比较函数值的大小,务必将自变量x的值转化到
同一单调区间上才能进行比较,最后写结果时再还原回去.
【跟踪训练4】若函数f(x)的定义域为R,且在区间(0,+∞)内单
调递减,则下列不等式成立的是(
Chapter07.4-6定积分(习题课)
例6 设f C(2)[0, 1], 且f (0) = f (1) = 0, 又f (x) 不恒为0. 证明:
1 1 max f ( x) f ( x)dx x[0,1] 4 0
2011级期末试题
Ex.3 设f C(2)[2, 4], 且 f (3) = 0. 证明: [2, 4]使
1 x 3
六. 积分中值问题 常用方法：分部积分、变限积分、Darboux定理、
Taylor公式、常数K值法等等!
例5 设f C(2)[a, b], 证明: [a, b]使得
b a
f (a) f (b) (b a)3 f ( x)dx (b a) f ( ) 2 12
1 x
1
n
n2 n n2
1 dx 2e x
1
n
n2 n n
方法二: 利用积分第二中值定理
n2 n n2
1 1 n n2 n 1 1 1 1 x e x dx 2 e x dx e dx 2 n n x n n n
三. 按定义论证极限
1 0
R( x)dx 0,
但R(x)在[0, 1]上不存在原函数.
二. 积分中值定理
例4 (习题7.3/7(4), 7.6/1(2)) 利用积分中值定理, 证明
lim
n n2 n n2
1 1 e x dx 1. x
方法一: 利用积分第一中值定理
n2 n n2
1 e dx e x
x
4 2
f ( x)dx
1 f ( ) 3
提示: 将 F ( x) f (t )dt 在x = 3点Taylor展开. 3
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提示: 证明在区间[xk1, xk]上, 振幅满足
k ( f ) 2k (| f |).
考察 f ' 在区间[xk1, xk]上变号、不变号两种情形, 变号时利用导函数的介值性.
三. 函数可积性的证明
例3 若函数 f 在[a, b]上定义, 且对x [a, b]有
b 2 b
提示: 将左边两积分变形, 再用Cauchy不等式
b a b a
f ( x)cos xdx f ( x)sin xdx
b a b a
f ( x) f ( x) cos xdx. f ( x) f ( x) sin xdx.
五. Cauchy-Schwarz不等式
Ex. 设 f
xn lim dx 0. n 0 1 x
1
五. Cauchy-Schwarz不等式
例5 (习题7.3(5)) 设非负函数 f R[a, b]. 证明
b a
f ( x) cos xdx
2
b a
f ( x)sin xdx
2
b a
f ( x)dx .
2
C(1)[a,
b], 且 f (a) = f (b) = 0,
b a
f 2 ( x)dx 1
证明: (1) 对任意的 0,
g ( x) f ( x) xf ( x)
在[a, b]上不恒为零. (2)
1 2 2 a [ f ( x)] dx a x f ( x)dx 4 .
(4) 若 f 和g均不可积, 则f ◦g也必不可积(假定可复合). 提示: 考察 f (x) = g(x)且均为Dirichlet函数.
二. 复合函数的可积性
(5) 若 f C[a, b], g R[a, b], 则f ◦g R[a, b]. 提示: 利用f 的一致连续性, g的可积性
Chap 7
函数可积性—习题课
一. 可积函数与有原函数的函数 例1 [习题7.2(4)/7.2(6)]判断下列命题的真伪(正确的
给出证明, 错误的举出反例说明)
(1) 若 f 在[a, b]上可积, 则 f 在[a, b]上必存在原函数.
提示:考察 f (x) = sgn x, x[1,1]
(2) 若 f 在[a, b]上存在原函数, 则 f 在[a, b]上必可积.
1 2 x sin 2 , x 0, 在[1, 1]的导函数 提示: 考察 F ( x) x 0, x 0,
二. 复合函数的可积性
(3) 若 f 和g均可积, 则f ◦g也必可积(假定可以复合).
1, 0 x 1, g(x)为Riemann函数 提示: 考察 f ( x) x 0, 0,
( f
k 1 k
n
g )xk k ( f g )xk
k
k{1,2,, n}\
k ( f g )xk
其中 {k | k ( g ) } , 由f 的一致连续性找到.
三. 函数可积性的证明
例2 (习题7.2(4)) 若 f D[a, b].
lim sin n xdx 0.
n π 2 0
提示: 将积分区间分成两段考虑
π 2 0
sin n xdx
π 2 0
sin n xdx
π 2 π 2
sin n xdx
注: 此题直接用积分中值定理不易说清楚！ 也不宜把积分算出来(还未学积分法). Ex.(习题7.3(7)) 证明
lim f (t ) 0.
tx
证明 f R[a, b], 且 提示: 先证 f R[a, b].
b a
f ( x)dx 0.
由条件知 0, x 0使得 t U ( x, x ) 有
| f (t ) |
2
.
三. 函数可积性的证明 利用有限覆盖定理, 可找有限个邻域覆盖[a, b],
2
故在[a, b]上除有限点外都成立
| f (t ) |
.
由此再找[a, b]的分划, 在不包含这有限个点的
子区间上振幅不超过, 而包含这有限个点的子区 间长度和小于任意的.
最后, 按定义证明
b a
f ( x)dx 0.
四. 积分第一中值定理
例4 (习题7.3(7)) 利用积分第一中值定理, 证明