函数的连续性 教案示例
高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本
高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本一、引言在高中数学教学中，函数的极限与连续性是非常重要的内容。
函数的极限是许多数学概念的基础，而函数的连续性则是应用数学的基石。
本教案将重点介绍高二数学中的函数的极限与连续性，并提供一个优秀教案的范本，以供教师参考。
二、教学目标1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握计算函数的极限的基本方法；3. 掌握函数的连续性的概念及其判定方法；4. 能够应用极限与连续性的概念解决实际问题。
三、教学过程1. 知识讲解函数的极限是指自变量无限接近某一数值时，函数的取值趋近于某一数值。
通过用数列逼近的方法，可以得到函数的极限的定义及性质。
函数的连续性是指函数在某一区间内没有突变或间断点，即函数的图像是一条连续的曲线。
可以通过幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质判定函数的连续性。
2. 例题演示通过一些典型的例题，让学生掌握函数极限的计算方法和函数连续性的判定方法。
3. 练习与讨论给学生一些练习题，让他们在课堂上独立思考并与同学讨论解题思路。
同时，教师可以在课堂上进行正确性的讲解和解答学生的疑问。
4. 拓展应用提供一些拓展的应用题，让学生将所学的函数的极限与连续性的知识应用到实际问题中。
例如，通过分析一个物体的运动过程，计算出某一瞬间的速度极限，以及在某一时间段内速度的连续性。
5. 归纳总结对于函数的极限与连续性的知识进行归纳总结，并引导学生总结出函数极限计算和函数连续性判定的一般性方法和规律。
6. 课后作业布置一些课后作业，让学生巩固所学的内容并提高解题能力。
四、教学评价与反思通过课堂讲解、例题演示、学生讨论和课堂练习的方式，教师能够及时发现学生对于函数的极限与连续性的理解程度和掌握情况。
教师可以根据学生的表现评价他们的学习效果，进而调整教学方法和策略。
五、教学拓展教师可以引导学生进一步探究函数的极限与连续性的深层次问题，如函数的间断点、函数的一致连续性等。
同时，可以引导学生应用函数的极限与连续性的知识解决更复杂的实际问题。
《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计
《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计第一章：函数的连续性1.1 连续性的概念引导学生理解连续性的直观含义通过具体例子讲解连续性的定义引导学生理解连续性与连续函数的关系1.2 连续函数的性质引导学生了解连续函数的基本性质通过例子讲解连续函数的单调性、周期性等性质引导学生理解连续函数的性质对于解决实际问题的意义第二章：导数的定义与性质2.1 导数的定义引导学生理解导数的定义通过具体例子讲解导数的计算方法引导学生理解导数与函数的连续性的关系2.2 导数的性质引导学生了解导数的基本性质通过例子讲解导数的单调性、周期性等性质引导学生理解导数的性质对于解决实际问题的意义第三章：导数的应用3.1 函数的单调性引导学生理解函数的单调性通过例子讲解如何利用导数判断函数的单调性引导学生理解函数的单调性对于解决实际问题的意义3.2 函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点的概念通过例子讲解如何利用导数求函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点对于解决实际问题的意义第四章：导数在实际问题中的应用4.1 优化问题引导学生理解优化问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决优化问题引导学生理解优化问题在实际中的应用4.2 经济问题引导学生理解经济问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决经济问题引导学生理解经济问题在实际中的应用第五章：实验与探究5.1 连续性与导数的实验引导学生进行实验，观察连续函数的性质通过实验引导学生理解连续性与导数的关系5.2 导数应用的实验引导学生进行实验，观察函数的单调性、极值等性质通过实验引导学生理解导数在实际问题中的应用第六章：高阶导数与微分中值定理6.1 高阶导数的定义与计算引导学生理解高阶导数的概念通过具体例子讲解高阶导数的计算方法引导学生理解高阶导数在研究函数性质中的应用6.2 微分中值定理引导学生理解微分中值定理的概念通过例子讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用引导学生理解微分中值定理在实际问题中的应用第七章：泰勒公式与导数的逼近7.1 泰勒公式的定义与计算引导学生理解泰勒公式的概念通过具体例子讲解泰勒公式的计算方法引导学生理解泰勒公式在逼近函数值中的应用7.2 导数的逼近方法引导学生了解导数逼近的概念通过例子讲解导数逼近的方法和应用引导学生理解导数逼近在实际问题中的应用第八章：函数的极限与连续性8.1 极限的概念与计算引导学生理解极限的概念通过具体例子讲解极限的计算方法引导学生理解极限在研究函数连续性中的应用8.2 函数的连续性与极限的关系引导学生了解函数连续性与极限的关系通过例子讲解函数连续性与极限的联系和区别引导学生理解函数连续性与极限在实际问题中的应用第九章：函数的导数与微分学的基本定理9.1 函数的导数与微分学的基本定理引导学生理解函数的导数与微分学的基本定理通过具体例子讲解微分学的基本定理的应用引导学生理解微分学的基本定理在实际问题中的应用9.2 微分学的应用引导学生了解微分学的应用通过例子讲解微分学在实际问题中的应用引导学生理解微分学在实际问题中的应用第十章：实验与探究10.1 导数与微分学的实验引导学生进行实验，观察导数与微分学的基本定理的性质通过实验引导学生理解导数与微分学的关系10.2 微分学应用的实验引导学生进行实验，观察微分学在实际问题中的应用通过实验引导学生理解微分学在实际问题中的应用重点和难点解析一、连续性的概念：理解连续性的定义和连续函数的关系是学习后续内容的基础。
函数的连续性优质课教案
课 题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课 课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义. 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0lim x x →f(x)存在；(3)0lim x x →f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0lim x x →f(x)存在，且0lim x x →f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.由第三个条件，0lim x x →f(x)=f(x0)就可以知道0lim x x →f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0lim x x →f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续. 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b)内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f(x)在(a ，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a ，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a ，b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等于f(a)，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a ，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在b 点处左极限存在等于f(b).4.函数f(x)在［a ，b ］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x=a 处有+→a x lim f(x)=f(a)，在右端点x=b 处有-→b x lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续,或f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数.如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x ∈［a ，b ］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x ∈［a ，b ］.5.最大值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).6.最小值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x)在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b)内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性. (1)f(x)=x 1，点x=0. (2)g(x)=sinx ，点x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，函数f(x)=x 1在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义.函数g(x)=sinx 在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx ，在x=0及附近都有定义，0lim →x sinx 存在且0lim→x sinx=0而sin0=0.解：(1)∵函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义 ∴它在点x=0处不连续.解：(2)∵0lim →n sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx 在点x=0处是连续的.点评：写g(x)=sinx 在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．四、课堂练习：2,1104P五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0处有定义.②0lim x x →f(x)存在.③0lim x x →f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业：4,3,2105P。
函数的连续性课程设计
函数的连续性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数连续性的定义，掌握连续函数的基本性质；2. 学会判断简单函数在某一点的连续性，理解连续函数与单调函数、有界函数的关系；3. 掌握连续函数的运算规则，了解连续函数的图像特点。
技能目标：1. 能够运用连续性的定义分析具体函数的连续性，解决实际数学问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力；3. 学会通过数形结合的方法，分析函数的性质，提高数学素养。
情感态度价值观目标：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度；2. 培养学生严谨、求实的科学精神，养成独立思考和团队合作的好习惯；3. 通过对连续函数的学习，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
课程性质：本课程属于高中数学学科，是函数部分的重要内容，旨在让学生掌握连续函数的基本概念、性质和应用。
学生特点：高中生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对函数有一定的了解，但可能对连续性概念的理解不够深入。
教学要求：结合学生特点，注重概念讲解与实际应用相结合，引导学生通过实例分析、讨论交流等方式，深入理解连续函数的相关知识，提高数学素养。
在教学过程中，注重目标的分解与落实，确保学生能够达到预期的学习成果。
二、教学内容1. 函数连续性的定义及基本性质- 函数在某一点的连续性- 函数在区间上的连续性- 连续函数的基本性质2. 连续函数的判断与运算- 判断简单函数在某一点的连续性- 判断复合函数、反函数的连续性- 连续函数的运算规则3. 连续函数的图像特点与应用- 连续函数的图像特征- 连续函数与单调函数、有界函数的关系- 连续函数在实际问题中的应用4. 数形结合分析函数性质- 数形结合方法在分析连续函数中的应用- 利用图像判断函数的连续性- 利用连续性分析函数的极值问题教材章节：高中数学教材《函数》章节，具体包括连续函数的定义、性质、图像特点及运算等内容。
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖简介本文档是一份关于函数的连续性学案的优质课竞赛一等奖作品，旨在帮助学生深入理解函数的连续性概念及其应用。
通过本课案，学生将能够掌握函数连续性的基本概念、判断函数连续性的方法以及应用连续性进行问题解决的能力。
课程目标本次学案的主要目标如下：- 理解函数连续性的定义及其在数学中的重要性；- 学会判断函数连续性的方法，包括使用函数极限、间断点的判定以及函数图像的观察等；- 掌握应用函数连续性进行问题解决的技巧，例如利用连续性求解方程、优化问题等；- 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
教学内容1. 函数连续性的定义与性质- 函数在某点连续的定义- 连续函数的性质及例子- 常见间断点的分类与例子2. 判断函数连续性的方法- 函数极限的使用- 间断点的判定方法- 函数图像的观察与分析3. 应用函数连续性进行问题解决- 利用连续性求解方程- 优化问题的连续性解法- 实际问题的函数连续性分析与解决方案教学方法本学案采用以下教学方法：- 探究式研究：通过引导学生提出问题、观察现象以及实际问题分析等，培养学生的主动研究能力和问题解决能力；- 合作研究：通过小组合作讨论、分享思路和解决方案，培养学生的合作精神和交流能力；- 实践操作：通过实例演练和问题求解的实践操作，巩固学生对函数连续性的理解和应用能力。
教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引发学生对连续性的思考，鼓励学生提出问题和观察现象。
2. 理论讲解：介绍函数连续性的定义和性质，通过示意图和具体例子加深学生的理解。
3. 小组活动：将学生分组进行小组讨论，探究函数连续性的判定方法和应用技巧，并在小组中解决一些例题。
4. 整合总结：学生进行汇报和分享，老师进行总结和概括，强调函数连续性的实际应用和意义。
5. 练与拓展：提供一些练题供学生巩固和拓展知识，同时鼓励学生进行更深入的思考和探索。
教学评估本学案采用以下方式进行教学评估：- 小组活动中的表现与合作能力评估；- 课堂练和作业的完成情况评估；- 学生提出问题和解决实际问题的能力评估；- 学生对函数连续性概念的理解程度的评估。
(完整word)函数的连续性 教案示例
函数的连续性·教案示例目的要求了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数,而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x ）在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的．2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思:(1）f （x ）在点x ＝x 0处及其附近有定义;(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明,只要缺其中的任意一个条件，就说f(x ）在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象,故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x ）在开区间（a,b ）内每一点都连续,就说函数f （x ）在开区间(a,b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的．6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知,所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续,意思是说,当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f （x 0）．也可用“增量”（改变量）来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f （x ＋x 0)－f （x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续,就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识． 教学过程1．实例引入概念，图形直观说明（1）水银柱高度随温度的改变而连续变化；（2)邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加．函数值是否会因为自变量的细小变化而“大起大落"，这就是要研究的问题．引出课题： 函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答:图(1）满足3条；图（2)不满足(1)；图（3）不满足条件(2)；图(4)不满足条件（3)． 由此概括出函数在一点处连续的定义．2．函数在一点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，而且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0），就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点?3．举例应用例 讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x（2)g （x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因而它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习:教科书第97页练习第1、2题（不连续的指出不满足定义中的哪一条），第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间里连续（1）在开区间连续:如果函数在某一开区间(a,b ）内每一点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续,或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间（a ，b)内连续,在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间［a ，b ］上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质（最大值最小值定理):如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数,那么f(x)在闭区间［a ，b]上有最大值和最小值．6．归纳小结(1)函数在一点处连续的定义．（2）判定函数在一点处是否连续:方法1：由定义说明，方法2：由图象直观说明．（3）闭区间上连续函数的性质．想一想：函数在某一点的极限与连续有何关系？布置作业 教科书第98页习题2．6第1、3题。
高等数学教案5函数的连续性
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
第1章 函数、极限与连续函数的连续性与间断点【教学目的】：1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会求简单函数的间断点；【教学重点】：1. 函数连续、间断的概念；2. 函数在一点处连续的判定方法；3. 函数间断点的分类；【教学难点】：1. 函数在一点处连续的判定方法；2. 分段函数分段点处的连续性判断；3. 函数间断点的分类。
【教学时数】：2学时【教学过程】：1.4.1函数的连续性的概念1、函数的增量2、函数的连续性定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．连续的另一等价定义是：定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；(2) 极限)(lim 0x f x x →存在；(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→．定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.解 函数定义域为),(+∞-∞，)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．3、函数的间断点如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。
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函数的连续性·教案示例
目的要求
了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值．
内容分析
1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念
时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0
在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的．
2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善．
3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：
(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；
(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0
00→→存在；＝
可结合图形说明，只要缺其中的任意一个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．
4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连
续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、
→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x a
x b +-
层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维．
5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的．
6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．
7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f(x 0)．也可用“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy
也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0
认识． 教学过程
1．实例引入概念，图形直观说明
(1)水银柱高度随温度的改变而连续变化；
(2)邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加．
函数值是否会因为自变量的细小变化而“大起大落”，这就是要研究的问题．引出课题： 函数的连续性
从下列图形中分析：
问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？
(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0
00→→是否存在？是否与相等？
答：图(1)满足3条；图(2)不满足(1)；图(3)不满足条件(2)；图(4)不满足条件(3)． 由此概括出函数在一点处连续的定义．
2．函数在一点处连续的定义：
如果函数＝在点＝处及其附近有定义，而且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0
f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．
指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 0
00
提问：连续函数在图形上有何特点？
3．举例应用
例 讨论下列函数在给定点处的连续性：
(1)f(x)x 0＝，点＝；1x
(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．
解：画图．
(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因而它在点＝处不连续．1x
(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0
课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满足定义中的哪一条)，第98页习题2．6第2、4题．
4．函数在区间里连续
(1)在开区间连续：如果函数在某一开区间(a ，b)内每一点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．
(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x
＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b
+- 区间[a ，b]上连续．
5．闭区间上连续函数的性质
性质(最大值最小值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最大值和最小值．
6．归纳小结
(1)函数在一点处连续的定义．
(2)判定函数在一点处是否连续：
方法1：由定义说明，方法2：由图象直观说明．
(3)闭区间上连续函数的性质．
想一想：函数在某一点的极限与连续有何关系？
布置作业 教科书第98页习题2．6第1、3题。