高三数学Word版教案第78课时 函数的极限和连续性

高三数学Word版教案第课时函数的极限和连续性

课题：函数的极限和连续性

教学目标：了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质

（一）主要知识及主要方法：

函数极限的定义:

当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时，；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.

记作或者当当时，

如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时，.

常数函数: ()，有.

存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.

趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.

.

其中表示当从左侧趋近于时的左极限，

表示当从右侧趋近于时的右极限.

对于函数极限有如下的运算法则：

如果，,那么,

, .

当是常数，是正整数时:,

这些法则对于的情况仍然适用.

函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，

且，那么函数在点处连续.

函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.

函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.

最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.

最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.

最大值最小值定理

如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.

极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；

指数型(和型），通过变形使得各式有极限；

根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；

根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区

间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.

（二）典例分析：

问题1．求下列函数的极限：

；；；

；；();

（广东）（陕西）

问题2．若，求、的值.

设，若，求常数、的值.

（重庆）设正数满足，则

问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.

，点；，点；

试讨论函数，点

问题4．已知，在区间上连续，求

（届高三四川眉山市一诊）已知函数在上连续且单调递增，则实数

问题5．已知函数，当时，求的最大值和

最小值；解方程；求出该函数的值域.

问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.

（三）课后作业：

已知，求的值.

若（、为常数），则；

已知（），那么给一个定义，使在处

连续，则应是

（济南一模）设是一个一元三次函数且，，

则

设函数在处连续，且，则

（四）走向高考：

（江西）若，则

（湖北）若，则常数的值为

（天津）设，，，则

（四川）

（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确的是

若函数在处连续，则

函数的不连续点是和

若函数，满足，则

（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于

点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，

，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为

，…，，从而得到个直角三角形

．当时，这些三角形

的面积之和的极限为

（江西）已知函数在区间内连续，

且．求实数和的值；解不等式．

（广东）设函数，其中常数为整数.

当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.