高数教案_函数连续性8
函数的连续性课程设计
函数的连续性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数连续性的定义，掌握连续函数的基本性质；2. 学会判断简单函数在某一点的连续性，理解连续函数与单调函数、有界函数的关系；3. 掌握连续函数的运算规则，了解连续函数的图像特点。
技能目标：1. 能够运用连续性的定义分析具体函数的连续性，解决实际数学问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力；3. 学会通过数形结合的方法，分析函数的性质，提高数学素养。
情感态度价值观目标：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度；2. 培养学生严谨、求实的科学精神，养成独立思考和团队合作的好习惯；3. 通过对连续函数的学习，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
课程性质：本课程属于高中数学学科，是函数部分的重要内容，旨在让学生掌握连续函数的基本概念、性质和应用。
学生特点：高中生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对函数有一定的了解，但可能对连续性概念的理解不够深入。
教学要求：结合学生特点，注重概念讲解与实际应用相结合，引导学生通过实例分析、讨论交流等方式，深入理解连续函数的相关知识，提高数学素养。
在教学过程中，注重目标的分解与落实，确保学生能够达到预期的学习成果。
二、教学内容1. 函数连续性的定义及基本性质- 函数在某一点的连续性- 函数在区间上的连续性- 连续函数的基本性质2. 连续函数的判断与运算- 判断简单函数在某一点的连续性- 判断复合函数、反函数的连续性- 连续函数的运算规则3. 连续函数的图像特点与应用- 连续函数的图像特征- 连续函数与单调函数、有界函数的关系- 连续函数在实际问题中的应用4. 数形结合分析函数性质- 数形结合方法在分析连续函数中的应用- 利用图像判断函数的连续性- 利用连续性分析函数的极值问题教材章节：高中数学教材《函数》章节，具体包括连续函数的定义、性质、图像特点及运算等内容。
高等数学的教学课件1-8函数的连续性
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
定义: 如果 x0使 f (x0 ) 0, 则 x0称为函数 f (x)的零点.
定理 6(零值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
证 lim f ( x)存在，设为A。取 1， x 则存在一个X 0，使得当x X时， 有 f ( x) A 1.
故在( X ,)上，f ( x) A 1. f ( x)在( X ,)上有界。
又函数f ( x)在[a, X ]上连续, 函数f ( x)在[a, X ]上有界. 故f ( x)在[a,)上有界。
y f ( x1 ) f ( x0 )或 y f ( x0 x) f ( x0 )
2.连续的定义
最新高等数学1-8-函数的连续性教学讲义ppt课件
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三体三部曲书评
七（2）林泽凯
目录
一、作品简介 二、作者简介 三、精彩片段及赏析 四、读后感悟
一、作品简介
《三体》三部曲，又名“地球往事”三部曲，作者刘慈欣。该系列小说 由《三体》、《三体Ⅱ黑暗森林》、《三体Ⅲ死神永生》三部小说组成， 于2006年至2010年由《科幻世界》杂志连载，出版。
《三体》三部曲讲述了地球文明和三体文明在宇宙中的兴衰历程。作品 对人类历史、物理学、天文学、社会学及哲学等均有涉及，从科幻的角 度对人性进行了深入探讨，全书格局宏大，立意高远，被誉为迄今为止 中国当代最杰出的科幻小说，是中国科幻文学的里程碑之作，将中国科 幻推上了世界的高度。
2014年底小说第一部的英文版在美国上市，反响热烈，并于2015年获 得美国科幻奇幻协会“星云奖”等五个奖项提名。2015年8月23日， 《三体》获第73届世界科幻大会颁发的雨果奖最佳长篇小说奖，这是亚 洲科幻小说首次获得雨果奖。 10月，作者刘慈欣因该作获得全球华语 科幻文学最高成就奖。
n
n
当x0时, f(x)0;
当x0时, ex 1, lim enx lim(ex)n , f(x)x1.
n
n
综上得
x 1, x 0
f
(x)
0,
x 0,
x 1, x 0
注 当 |a|1时 ,lim an0; 当 |a|1时 ,lim an.
n
n
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例
5
讨论
f
(x)
y sin x x
如 果 补 充 定 义 ： 令 x=0 时 y=1
则 所 给 函 数 在 x=0 成 为 连 续
高等数学第八节函数的连续性
定理 3
x
y
1
1
O
x
y
1
1
O
例8
设函数 u = (x) 在点 x0 处连续, 且
u0 = (x0) ,
函数 y = f (u) 在 u0 处连续.
若复合函数
y = f ( (x))
在 U(x0) 内
则 y = f ( (x)) 在 x0 点处连续.
有定义,
这个条件有必要吗？
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
例7
解
O 1 1 x y
无穷型间断点
其它间断点
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
左右极限至少有一个为无穷
振荡型间断点
左右极限至少有一个振荡
回忆函数极限的四则运算
则
初等函数的连续性
1、连续函数的四则运算
设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 则 即
三、连续函数的四则运算
四、反函数的连续性
五、复合函数的连续性
六.初等函数的连续性
第八节 函数的连续性
一、连续函数的概念
二、 函数的间断点
一、连续函数的概念
极限形式
增量形式
1、连续性概念的增量形式
在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的
初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的
现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:
基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.
二、 函数的间断点
通常将函数的不连续点叫做 函数的间断点.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
高中数学教案——函数的连续性
课题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.教学过程：一、复习引入：1.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何：图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).图(2)，函数在x 0不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)，因为函数在x 0处没有定义.图(3)，函数在x 0不连续，在x 0处没有极限.图(4)，函数在x 0处不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)的值.函数在点x =x 0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x =x 0处要有极限，根据图(4)，函数在x =x 0处的极限要等于函数在x =x 0处的函数值即f (x 0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件..函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；(2)0lim x x →f (x )存在； (3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 由第三个条件，0lim x x →f (x )=f (x 0)就可以知道0lim x x →f (x )是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f (x )在点x 0处连续的定义.如果函数y =f (x )在点x =x 0处及其附近有定义，并且0lim x x →f (x )=f (x 0)，就说函数f (x )在点x 0处连续.那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b )内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f (x )在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).4.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.如果函数f (x )在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x 1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x 1处的值，用数学语言表示就是f (x 1)≥f (x )，x ∈［a ，b ］，同理，设x 2是最低点，f (x 2)≤f (x )，x ∈［a ，b ］.5.最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1).6.最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2).由图我们可以知道，函数f (x )在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b )内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的 三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.(1)f (x )=x1，点x =0. (2)g (x )=sin x ，点x =0. 分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x =0处函数连续的情况，函数f (x )=x 1在点x =0处不连续，因为函数f (x )=x1在点x =0处没有定义. 函数g (x )=sin x 在点x =0处连续，因为函数g (x )=sin x ，在x =0及附近都有定义，0lim →x sin x 存在且0lim →x sin x =0而sin0=0. 解：(1)∵函数f (x )=x1在点x =0处没有定义 ∴它在点x =0处不连续. 解：(2)∵0lim →n sin x =0=sin0，∴函数g (x )=sin x 在点x =0处是连续的. 点评：写g (x )=sin x 在点x =0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了． 例2 求f (x )=x x ∈［－1，1］的最大值和最小值．解：最大值 f (1)=1；最小值 f (－1)=－1．四、课堂练习：1．下面我们直接从图中，观察函数x =a 处是否连续，并说出理由.（1） （2） （3） （4）（1）连续.因为函数在点x =a 处有定义，极限存在，并且极限值等于在a 点的函数值.(如图(1))(2)不连续.因为函数在x =a 处的极限值不等于在x =a 处的函数值.(如图(2))(3)连续.因为函数在点x =a 处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))(4)不连续.因为函数在x =a 处没有极限.(如图(4))(5)不连续.因为函数在x =a 处没有定义.(如图(5))2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.(1)f (x )=21x，点x =0 解：∵f (x )在x =0处没有定义. ∴f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )=|x |.点x =0解：∵0lim →x f (x )=0=f (0),∴f (x )在x =0处连续. 3.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<--≤≤--=5.32 6421 ||14 )5(31)(2x x x x x x x x f(1)求f (x )的定义域；(2)作出f (x )的图形；(3)判断f (x )是否处处连续.解：(1)f (x )的定义域是［－4，3.5］.(2)f (x )的图象如图所示.(3)由f (x )的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f (x )在点x =－1处不连续，因为f (x )在x =－1处没有极限.点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.4.利用函数的连续性求下列极限.(1)10lim →x (lg 2x +3lg x +4)；(2)x xx e e +-→11lim 0，(3)11lim 31--→x x x 初等函数(比如x α;α常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x =1处不连续，所以不能直接用0lim x x →f (x )=f (x 0)来求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求极限.解：(1)由于lg 2x +3lg x +4在x =10处连续.因此10lim →x (1g 2x +3lg x +4)=lg 210+3lg10+4=8. (2)由于x x e e +-11在x =0处连续，因此011111111lim 000=+-=+-=+-→e e e e x x x ． (3)由于113--x x 在x =1处不连续. 因此1lim →x 11lim )1)(1()1)(1(lim 116626166266613+++=++-+-=--→→x x x x x x x x x x x x (x =1点为此函数的连续点)3211111666=+++= 五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f (x )在点x =x 0处有定义.②0lim x x →f (x )存在.③0lim x x →f (x )=f (x 0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业： 1.七、板书设计（略） 八、课后记：。
函数连续性的教学过程设计
函数连续性的教学过程设计【摘要】本文主要围绕函数连续性展开教学过程设计。
在首先介绍了函数连续性的重要性。
接着在通过导入函数连续性的概念、探讨其必要性、介绍定义、讨论分类和分析应用等多个方面深入探讨。
在结论中，总结了教学过程设计的重点，展望学生对函数连续性的理解提升，并鼓励他们在实践中应用所学知识。
通过本文的阐述，不仅可以帮助学生全面理解函数连续性的概念和应用，也能够引导他们提升思维能力和解决实际问题的能力。
教师可以根据本文提供的教学过程设计方案，有针对性地引导学生学习，促进他们对函数连续性的深入理解和运用。
【关键词】函数连续性、教学过程设计、导入概念、必要性、定义、分类、应用、总结、理解提升、实践应用、学生、教学、函数1. 引言1.1 引言在数学教学中，函数连续性是一个重要的概念，也是学生在高中阶段需要掌握的基本知识之一。
理解函数连续性不仅有助于学生更好地理解函数的性质，还能为他们在解决实际问题时提供有力的数学工具。
本篇文章将围绕函数连续性展开，介绍其概念、必要性、定义、分类以及应用。
通过深入探讨函数连续性的相关内容，帮助学生建立起对这一概念的深刻理解，并将其运用到实际问题的解决中。
在教学过程中，我们将引导学生从简单到复杂地探讨函数连续性的定义和特性，通过一系列实例和练习帮助他们巩固所学内容。
我们还将强调函数连续性在数学建模、物理问题求解等领域的重要性，激发学生对数学的兴趣和学习热情。
通过本次教学，我们希望学生能够对函数连续性有更深入的理解，能够在实际问题中灵活运用所学知识，提高数学解决问题的能力和方法。
我们也期待学生能够不断探索、实践，将函数连续性相关知识运用到更广泛的领域中，为未来的学习和发展打下坚实的数学基础。
2. 正文2.1 导入函数连续性的概念导入函数连续性的概念是教学过程设计中非常重要的一环。
在学习函数连续性之前，首先需要引导学生了解函数的基本概念和性质。
函数是一个数学映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的连续性教案
函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。
2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。
3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。
二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。
函数连续性的性质及其应用。
2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。
运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。
今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。
2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。
用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。
左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。
函数连续性教学设计
函数连续性教学设计教学设计主题：函数连续性教学目标：1.了解函数连续性的概念及其性质；2.掌握函数连续性的判定方法；3.能够应用函数连续性的性质解决实际问题。
教学重点：1.函数连续性的概念和性质；2.函数连续性的判定方法。
教学难点：1.函数连续性判定方法的应用；2.实际问题的应用。
教学准备：1.教材：高中数学教材；2.教辅资料：相关的教学视频、练习题和答案；3.教学媒体：电子白板、计算器、投影仪等。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入函数连续性的概念：什么是函数连续性？为什么重要？2.引导学生观察一个连续函数的图像，了解连续函数在图像上没有突变的特点。
二、知识讲解（15分钟）1.介绍函数连续性的定义和性质，并在电子白板上进行讲解和案例演示。
2.解释连续函数的性质：无间断、无间断点、无间断集、极限存在、极限值等。
三、判定方法（20分钟）1.介绍函数连续性的判定方法：a.函数在特定点处连续的条件；b.函数在区间上连续的条件；c.利用四则运算法则判定函数的连续性。
2.在电子白板上进行实例讲解和演示。
四、练习（15分钟）1.在教学辅助资料中选取相关的练习题，供学生进行练习。
2.学生独立完成练习，教师巡视和指导，及时纠正错误。
五、拓展应用（20分钟）1.引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用。
2.提供一些实际问题，并指导学生利用函数连续性的性质解决问题。
六、总结（10分钟）1.对本节课所学内容进行总结，并重点强调函数连续性的概念和判定方法。
2.梳理核心考点，指导学生进行重点复习。
七、课后作业（5分钟）1.布置相关的课后作业，巩固所学知识。
2.确认下节课的教学内容和要求。
教学反思：在教学设计中，我充分考虑了学生的学习兴趣和实际应用的需求。
通过引导学生观察连续函数的图像，可以让学生更好地理解连续性的概念。
在知识讲解和实例演示中，加入了多媒体教学的内容，使学生能够更直观地理解函数连续性的性质和判定方法。
在拓展应用环节，引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用，能够培养学生的应用问题解决能力。
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课 题: 函数连续性 目的要求：掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点：掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点：掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性从图上可看出, ϕ(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ϕ(x )在x 0的极限不存在, 而00lim ()().x x f x f x →=定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且00lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点.因为：00lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续连续的δ-ε 语言描述：若对∀ε >0, ∃δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f(x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续.注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)"证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x -)内有定义, 若00lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若00lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续⇔ f (x )在x 0左连续且右连续.上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。
()f x 在区间内连续：如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的，就称()f x 在区间(,)a b 内连续，记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续，在x a =处右连续，在x b =处左连续，则称()f x 在[,]a b 上连续，记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．f (x )在x 0处连续的增量描述：函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到0x x+∆时，函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +∆，函数相应的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-.其几何意义如右图所示．定义1 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域内有定义，如果自变量的增量0x x x ∆=-趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ：[]0000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-= 则称函数()f x 在点0x 是连续的．定义 (间断点的分类) 设 0x 为()f x 的一个间断点，如果当0x x →时， ()f x 的左、右极限都存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点；否则，称 0x 为()f x 的第二类间断点． 对第一类间断点还有(1)当0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→均存在，但不相等时，称 0x 为()f x 的跳跃间断点； (2)当0lim ()x x f x →存在，但不等于()f x 在 0x 处的函数值时，称0x 为()f x 的可去间断点． 若0lim ()x x f x →=∞，则称 0x 为()f x 的无穷间断点，无穷间断点属第二类间断点． 例 设()21,1,1x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，，讨论()f x 在1x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类。
解 因为 211lim ()lim 1x x f x x --→→== , 11lim ()lim(1)2x x f x x ++→→=+=, 即1lim ()x f x →不存在．所以1x =是第一类间断点，且为跳跃间断点．（如下左图）.练习 设()4,01,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，， 讨论()f x 在0x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类 解：因为400lim ()lim 0x x x f x x →→==；(0)1f =即0lim ()(0)x f x f →≠． 所以0x =是()f x 的第一类间断点，且为可去间断点．（如上右图）.例 3 21()(1)f x x =-在1x =处没有定义，且211lim (1)x x →=∞-，则称1x =为()f x 的无穷间断点． 连续函数的基本性质：定理. 若f (x ), g (x )在点 x 0处连续, 则：(1) af (x )+bg (x )在x 0处连续, 其中a , b 为常数. (2) f(x ) ·g (x )在x 0连续 (3) 当 g (x 0)≠0时,0()()f x xg x 在 连续 定理 设若y =f [ϕ(x )]由 y =f (u ), u =ϕ(x )复合而成. 若u =ϕ(x )在x 0连续, u 0=ϕ(x 0), 而y =f (u )在u 0连续, 则复合函数y =f [ϕ(x )]在x 0连续.推论. 若lim[ϕ(x )] =A . 且 y =f (u )在 u =A 连续, 则： lim f [ϕ(x )] = f [lim ϕ(x )] 练习：1limsin 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭求解： 1limsin 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin lim 1x x x →∞⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin .e = 练习： 求极限0ln(1)lim x x x→+． 解 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x→→+=+10ln[lim(1)]ln e 1x x x →=+==． 练习（难）：求lim )x x →+∞arccos[lim )]x x →+∞=arccos lim x ⎛⎫= ⎝1πarccos lim arccos 23x ⎡⎤⎢⎥⎢===⎢⎢⎣定理 若y =f (x )在区间I 上严格单调增加(减少)且连续, 则其反函数x =f–1(y )在相应区间上严格单调增加(减少) 且连续。
初等函数及幂指函数的连续性定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外 ，还必须讨论分界点处的连续性．补充：称形如y =[f (x )]g(x )的函数为幂指函数, 其中f (x )>0.根据对数恒等式 y =e ln y , y >0, 有[f (x )]gx = e g (x ) ·ln f (x ),因此, 当f (x ), g (x )均连续时, [f(x )]g (x )也连续.0000lim ()(), lim ()()x x x x f x f x g x g x →→==若，则：00()()0lim[()][()]g x g x x x f x f x →= 幂指函数的三种特例：“ 1∞ ”（lim f (x )=1, lim g (x )= ∞）, “00 ”（lim f (x )=0, lim g (x )= 0）和“∞0 ”（lim f (x )= ∞, lim g (x )= 0）型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1.这三种问题，要转化别的形式再看能不能求解，学完导数以后，会介绍新的方法判断求解。
例：210lim(cos).xx x →求 注： “1∞ ”型,解： 21cos 1cos 10lim(1(cos 1))x x x x x -⋅-→+-2cos 11cos 10lim (1(cos 1))x x x x x --→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦12e -= 闭区间上连续函数的性质:定理（最大最小值定理） 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．设 f (x )在区间I 上有定义. 若∃x 0∈I, 使∀x ∈I. 有 f (x ) ≤ f (x 0) (或 f (x ) ≥ f (x 0)), 则称f (x 0)为f (x )在I 上的最大(或最小)值. 记作00()max (), (()min ())x Ix I f x f x f x f x ∈∈==或 定理（根的存在定理） 若函数()f x 在闭区间 [,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则则至少存在一点x 0∈(a , b ), 使得 f (x 0) = 0 。
如下图左根的存在定理．从几何上看，连续曲线()y f x =与 x 轴至少相交于一点．这表明该方程在开区间(,)a b 内至少存在一个根．定理（介值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于介于f (a )和 f (b )之间的任意一值c , 至少存在点x 0∈(a , b ), 使得 f (x 0) = c . 如上图右介值定理． 从几何上看，如右上图所示，闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =的图象至少要与直线y=c 相交一次．例 证明方程sin 10x x -+=在 0与 π之间有实根．证 设()sin 1f x x x =-+，因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以，()f x 在[0,π]上也连续，而(0)10,(π)π10f f =>=-+<,所以，据定理 (根的存在定理)知，至少有一个(0,π)ξ∈，使得()0f ξ=，即方程sin 10x x -+=在 0与 π之间至少有一个实根．思考题1.如果()f x 在0x 处连续，问()f x 在 0x 处是否连续？2.区间](,a b 上的连续函数一定存在着最大值与最小值吗？作 业：教学总结：。