高数教案_函数连续性8
课 题: 函数连续性 目的要求：
掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点：
掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点：
掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2
教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性
从图上可看出, ?(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ?(x )在x 0的极限不存在, 而
00lim ()().x x f x f x →=
定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且0
0lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点.
因为：0
0lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续
连续的δ-ε 语言描述：若对?ε >0, ?δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f
(x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续.
注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)"
证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00
lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0
lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续
定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x -
)内有定义, 若0
0lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若0
0lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续? f (x )在x 0左连续且右连续.
上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00
lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续
注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是
否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。
()f x 在区间内连续：
如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的，就称()f x 在区间(,)a b 内连续，记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续，在x a =处右连续，在x b =处左连续，
则称()f x 在[,]a b 上连续，记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．
f (x )在x 0处连续的增量描述：
函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到0x x
+?时，函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +?，函数相应的增量为00()()y f x x f x ?=+?-.
其几何意义如右图所示．
定义1 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域内有定义，如果自变量的增量0x x x ?=-趋于
零时，对应的函数增量也趋于零，即 ：[]0000
lim lim ()()0x x y f x x f x ?→?→?=+?-= 则称函数()f x 在点0x 是连续的．
定义 (间断点的分类) 设 0x 为()f x 的一个间断点，如果当0x x →时， ()f x 的左、右
极限都存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点；否则，称 0x 为()f x 的第二类间断点． 对
第一类间断点还有
(1)当0lim ()x x f x -→与0
lim ()x x f x +→均存在，但不相等时，称 0x 为()f x 的跳跃间断点； (2)当0
lim ()x x f x →存在，但不等于()f x 在 0x 处的函数值时，称0x 为()f x 的可去间断点． 若0
lim ()x x f x →=∞，则称 0x 为()f x 的无穷间断点，无穷间断点属第二类间断点． 例 设()21,1,1x x f x x x ≤?=?+>?
，，讨论()f x 在1x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类。 解 因为 2
11lim ()lim 1x x f x x --→→== , 11lim ()lim(1)2x x f x x ++→→=+=, 即1
lim ()x f x →不存在．所以1x =是第一类间断点，且为跳跃间断点．（如下左图）
.
练习 设()4
,01,0x x f x x x ?≠?=??=?
，， 讨论()f x 在0x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类 解：因为4
00lim ()lim 0x x x f x x →→==；(0)1f =即0
lim ()(0)x f x f →≠． 所以0x =是()f x 的第一类间断点，且为可去间断点．（如上右图）.
例 3 21()(1)f x x =
-在1x =处没有定义，且211lim (1)
x x →=∞-，则称1x =为()f x 的无穷间断点． 连续函数的基本性质：
定理. 若f (x ), g (x )在点 x 0处连续, 则：(1) af (x )+bg (x )在x 0处连续, 其中a , b 为常数. (2) f
(x ) ·g (x )在x 0连续 (3) 当 g (x 0)≠0时,0()()
f x x
g x 在 连续 定理 设若y =f [?(x )]由 y =f (u ), u =?(x )复合而成. 若u =?(x )在x 0连续, u 0=?(x 0), 而y =f (u )在
u 0连续, 则复合函数y =f [?(x )]在x 0连续.
推论. 若lim[?(x )] =A . 且 y =f (u )在 u =A 连续, 则： lim f [?(x )] = f [lim ?(x )] 练习：1limsin 1x x x →∞??+ ???求
解： 1limsin 1x x x →∞??+ ???1sin lim 1x x x →∞????=+ ? ? ?????
sin .e = 练习： 求极限0ln(1)lim x x x
→+． 解 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x
→→+=+10ln[lim(1)]ln e 1x x x →=+==． 练习（难）
：求lim )x x →+∞
arccos[lim )]x x →+∞=
arccos lim x ?
?= ?
1πarccos lim arccos 23x ?????===???
定理 若y =f (x )在区间I 上严格单调增加(减少)且连续, 则其反函数x =f
–1(y )在相应区间上严格单调增加(减少) 且连续。
初等函数及幂指函数的连续性
定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑
每一段函数的连续性外 ，还必须讨论分界点处的连续性．
补充：称形如y =[f (x )]g(x )的函数为幂指函数, 其中f (x )>0.
根据对数恒等式 y =e ln y , y >0, 有[f (x )]gx = e g (x ) ·ln f (x ),
因此, 当f (x ), g (x )均连续时, [f
(x )]g (x )也连续.
0000lim ()(), lim ()()x x x x f x f x g x g x →→==若，则：00
()()0lim[()][()]g x g x x x f x f x →= 幂指函数的三种特例：“ 1∞ ”（lim f (x )=1, lim g (x )= ∞）, “00 ”（lim f (x )=0, lim g (x )= 0）和“∞0 ”
（lim f (x )= ∞, lim g (x )= 0）型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1.这三
种问题，要转化别的形式再看能不能求解，学完导数以后，会介绍新的方法判断求解。 例：210lim(cos
).x
x x →求 注： “1∞ ”型,
解： 21cos 1cos 10lim(1(cos 1))x x x x x -?-→+-2cos 1
1
cos 10lim (1(cos 1))x x x x x --→??=+-????1
2
e -= 闭区间上连续函数的性质:
定理（最大最小值定理） 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．
设 f (x )在区间I 上有定义. 若?x 0∈I, 使?x ∈I. 有 f (x ) ≤ f (x 0) (或 f (x ) ≥ f (x 0)), 则称f (x 0)为
f (x )在I 上的最大(或最小)值. 记作00()max (), (()min ())x I
x I f x f x f x f x ∈∈==或 定理（根的存在定理） 若函数()f x 在闭区间 [,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则则
至少存在一点x 0∈(a , b ), 使得 f (x 0) = 0 。 如下图左
根的存在定理．从几何上看，连续曲线()y f x =与 x 轴至少相交于一点．这表明该方程在
开区间(,)a b 内至少存在一个根．
定理（介值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于介于f (a )
和 f (b )之间的任意一值c , 至少存在点x 0∈(a , b ), 使得 f (x 0) = c . 如上图右
介值定理． 从几何上看，如右上图所示，闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =的图象至少
要与直线y=c 相交一次．
例 证明方程sin 10x x -+=在 0与 π之间有实根．
证 设()sin 1f x x x =-+，因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以，()f x 在[0,π]上也连
续，而(0)10,(π)π10f f =>=-+<,
所以，据定理 (根的存在定理)知，至少有一个(0,π)ξ∈，使得()0f ξ=，即方程
sin 10x x -+=在 0与 π之间至少有一个实根．
思考题
1.如果()f x 在0x 处连续，问()f x 在 0x 处是否连续？
2.区间](
,a b 上的连续函数一定存在着最大值与最小值吗？
作 业：
教学总结：
函数的可导性与连续性的关系教案(供参考)
函数的可导性与连续性的关系教案 教学目的 1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点 掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问 1．导数的定义是什么？ 2．函数在点x0处连续的定义是什么？ 在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以
∴f(x)在点x0处连续． 综合(1)(2)原命题得证． 在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课 1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．
∴f(x)在点x0处连续． 提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明． 如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导． 例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0)处没有切线． 证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|， ∴函数y=|x|在点x0处是连续的．
2．左导数与右导数的概念． (2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)． (3)函数在一个闭区间上可导的定义． 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结 1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
函数的连续性 教案示例
函数的连续性·教案示例 目的要求 了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值． 内容分析 1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念 时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0 在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的． 2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善． 3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思： (1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义； (2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0 00→→存在；＝ 可结合图形说明，只要缺其中的任意一个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解． 4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连 续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、 →→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x a x b +- 层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维． 5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的． 6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质． 7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f(x 0)．也可用“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy
高等数学第一章函数极限与连续教案
教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性
数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b )
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
函数连续性教学设计
函数的连续性教学设计 ———凌亚丽内容分析： 函数的连续性是在学生学习了函数概念、函数极限的概念以及极限计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要。 学情分析： 《高等数学》是我院所有专业学生必学的一门公共基础课，也是学生学习专业知识的基础，是学生专升本必学必考的一门课程。但据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言学习更为困难。之所以更难，有两个主要原因。其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。其二，高职学生的知识基础差，学习兴趣低．教学中发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这块，问题更是很多：无趣，无用，无耐等．教学目标: 1. 理解函数连续的概念，会利用定义判断函数在某一点的连续性; 2. 了解闭区间上连续函数的性质； 3．培养学生利用函数连续与间断的思想思考、分析、判断工程问题中变量变化规律的能力。 能力训练: 任务一会讨论函数在某一点的连续性; 任务二会用初等函数的连续性求极限。 教学重点:函数连续的概念，初等函数的连续性。 教学难点:函数连续的定义。
教学过程设计：
教学反思： 通过多用日常生活、经济问题、工程问题的例子，引起学生的学习兴趣，提高学生的学习动力，最后再用所学的数学知识解决实际问题，体现数学的实用性。
教学过程中，也采用的图象的形式，给予了学生直观的感觉，有利于学生理解概念，消化知识。 当然，还有不足，还需不断学习，不断提高自己。
高等数学课件：函数的连续性
高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性 教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量 yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数 lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00
x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点
数列的极限、函数的极限与连续性教案
看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3 →∞??+-+===??-??所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +， 当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且 {}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2) f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
第1章 函数、极限与连续 函数的连续性与间断点 【教学目的】： 1. 理解函数在一点连续的概念； 2. 会求简单函数的间断点； 【教学重点】： 1. 函数连续、间断的概念； 2. 函数在一点处连续的判定方法； 3. 函数间断点的分类； 【教学难点】： 1. 函数在一点处连续的判定方法； 2. 分段函数分段点处的连续性判断； 3. 函数间断点的分类。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 1.4.1函数的连续性的概念 1、函数的增量 2、函数的连续性 定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0 =?→?y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点． 连续的另一等价定义是： 定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00 lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续. 注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件 (1) 函数)(x f 在0x 处有定义； (2) 极限)(lim 0 x f x x →存在； (3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00 x f x f x x =→． 定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0 x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00 x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ? )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．
高中数学教案——函数的连续性
课题：2.5函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，
最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课： 1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况. 分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何： 图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).
高数教案_函数连续性8
课 题: 函数连续性 目的要求： 掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点： 掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点： 掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2 教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性 从图上可看出, ?(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ?(x )在x 0的极限不存在, 而 00lim ()().x x f x f x →= 定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且0 0lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点. 因为：0 0lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续
连续的δ-ε 语言描述：若对?ε >0, ?δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f (x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续. 注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)" 证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00 lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0 lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续 定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x - )内有定义, 若0 0lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若0 0lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续? f (x )在x 0左连续且右连续. 上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00 lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续 注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是 否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。 ()f x 在区间内连续： 如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的，就称()f x 在区间(,)a b 内连续，记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续，在x a =处右连续，在x b =处左连续， 则称()f x 在[,]a b 上连续，记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线． f (x )在x 0处连续的增量描述： 函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到0x x +?时，函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +?，函数相应的增量为00()()y f x x f x ?=+?-. 其几何意义如右图所示．
关于高等数学函数的极限与连续习题及答案
关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x
函数的连续性优质课教案
函数的连续性优质课教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 课 题：2.5函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中 0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课：
1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况 . 分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0). 图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义. 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限. 图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值. 函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0 lim x x→f(x)存在； (3)0 lim x x→f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值. 3
高等数学考研大总结之三函数的连续性
第三章 函数的连续性 一，函数连续性的定义（极限定义） 1 第一定义：设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果极限() a x x f →lim 存在并且 () a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。 解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义) 2 第二定义： 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=?，()()a f x a f y -?+=?.则有a x x →?lim =0时, a x y →?lim =0。 解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x 的改变量(?x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。 ⑵ 由于?x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。 ⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。 ⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →) (lim ㈡根据自变量的初值a 和终 值x a ?+求出函数的增量()()a f x a f y -?+=?③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →) (lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →??x y 是否为0。 3 单侧连续（左（右）连续）：设()x f 在某个[)δ+a a ,（或(]a a ,δ-）上有定义，如果() +→a x x f lim =()a f （或()-→a x x f lim =()a f ）则称()x f 在点x =a 右（左）连续。 左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。 解析:类比于单侧极限。 4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上
高中数学“函数的连续性”教案
课 题：函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是
高三数学教案：第四节函数的连续性及极限的
第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在 点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有 - →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上 的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 ●点击双基 1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分