函数的连续性在高等代数中的应用

函数的连续性在高等代数中的应用

摘要：数学分析和高等代数是大学数学专业非常重要的基础课程，这两门课程的一些问题如果只是从学科内部出发很难解决，而运用另一门学科的知识解决，问题就变得简单易行.

关键词:连续函数；行列式；矩阵；二次型

Applications of Continuity of Function in Advanced

Algebra

Zhou Yuxia

(College of Mathematics and the Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730000)

Abstract: The mathematical analysis and advanced algebra are very important foundation courses of university mathematics special ?eld,some of the problems of both courses within the discipline, if only from the start are dif-?cult to resolve but used of the knowledge of other disciplines to solve, the problem becomes very easy.

Key words: continuous function; matrix; determinant; quadratic form

本文记号说明：const: 常数；A T : 矩阵A的转置；A*:矩阵A的伴随矩阵；

f(x) C（a,b）:f(x)在（a,b）上连续.

一引言

数学分析和高等代数都是高等教育中非常重要数学基础课，无论是数学专业的学生还是其他理工科专业的学生，都要学好这两门基础课. 稍微有点区别就是非数学专业开设的是等数学或者微积分和线性代数，但这只是课程名称的变化，具体学习内容都是一样的. 因此，学好这两门课程是学好大学数学课程的关键. 学生应该掌握数学分析和高等代数之间深刻的联系，以便更容易了解、学习、掌握这两门基础课，为以后更深入的学习深造打好扎实基础.本文只探究数学分析在高等代数中的应用，包括利用数学分析中的函数连续性解决某些行列式、矩阵、二次型问题.至于高等代数在数学分析中的应用本文暂不探究.

二函数连续性的应用

函数的连续性不仅在数学分析学科内部有很重要的地位，在跨学科比如高等代数中也有很重要的作用. 以下简要说明一下数学分析中函数连续性在高等代数中多个方面的应用.

1 函数连续性在解决行列式问题中的应用

行列式是学生刚接触到大学数学课程后，在高等代数方面遇到的第一个新概念，运用已有知识学习新概念，能使学生更容易理解和掌握. 以下说明函数的连续性在解决行列式问题中的部分应用.

例1 设A, B, C, D 都是n 阶矩阵, AC = CA . 若|A|≠ 0, 则

A B

A D C

B

C

D =-

这个命题是 [8]的P203的补充题6，该命题是正确的[2,5,6,7]， 但

A ≠这个条件是可以去掉的，此时结论依然成立. 现证明

如下： 当|A| = 0时，?δ = const > 0，对?ε ∈ (0, δ)，矩 阵A ε

=

A + εE 可逆，即

A ε≠.

A ε C = AC + ε C = CA + ε C = CA ε.

从而

A B

A D CB

CD

εε=-

显而上式等号两端都是关于ε之连续函数，故可在两端同时令ε → 0+ ，即得

到

A B

A D C

B

C

D =- 故结论成立.

命 题 (1)F ε?

∈,其中F 是一个数域，对任何方阵A ε=A + εE ，除有限个 值外均为非奇异矩阵.

(2)?δ = const > 0，对?ε ∈ (0, δ)，A ε=A + εE 均为可逆矩阵.

证 (1)A ε 奇异? |A ε

| = |A + εE| = |ε E ? (?A )| =0ε为?A 的特征根. 而矩阵?A 最多有n 个不同的特征根，可见除了有限个ε为

?A 的特征根外，A ε为非奇异阵.

(2)因为?A 其至多有有限个特征根，记其为λ 1 , λ 2 , · · · , λn ， 不妨 设λ 1 = 0，今设δ 是?A 的非0特征根的绝对值(或模)之 最 小值，则对?ε ∈ (0, δ)，A ε = A + εE 为非奇异阵.

例2 证 明 ：(A * ) * = |A|n-2 A ， 其 中A 是n × n 矩 阵(n > 2) .

证 当A 为非奇异矩阵时，由A * = |A|A -1 知

(A *) * = |A * |(A * )-1

= ||A|A 1- |(|A|A )1-

()11

11n

A A

A A

-

--=

1

1n

A A A

-=

2

n A

A

-=

当A 为 奇异 矩 阵时 ， 对一 切 充分 小 的ε > 0， 矩 阵A ε =

A + εE 为非奇异矩阵，由上述已证结论有，

()()*

2

*n A A A εε

ε

-=.

上

式矩阵

中的每

个元素

均为ε之连

续函数，

所以令ε0+

→

得

()*

2

*n A A A

-=

例3 设

11

11

,

n

n nn

a a a a ?=

A jk 是 a jk 的 代数余子式 ，求证

1111,11

1

.

1

n n

jk j k j k n n n n n a a x A x y a a x y y ==?-∑

()()()()**

??? ? ?

??Ｔ

ｊｋ１ｎ１ｎｎｎ１１１ｎ１

ｎ１ｎｎｎ

１ｎ－１－１证 设Ａ＝ａ，Ｘ＝ｘ，，ｘ，Ｙ＝ｙ，，ｙ，

ａ ａ ｘ Ａ Ｘ

则 ＝．

ａ ａ ｘＹ １ｙ ｙ １

（１）当Ａ为非奇异矩阵时，Ａ Ｘ

Ａ Ｘ ＝

Ｙ １０ １－ＹＡＸ ＝Ａ１－ＹＡＸＡ ＝Ａ１－ＹＸＡ ＝Ａ－ＹＡＸ＝Ａ－

Ａ∑

ｎ

ｊｋｊｋ

ｊｋ＝１

ｘｙ．

ε

εεδεδε??∈∑ｎｊｋｊｋ

ｊｋ＝１

（２）当Ａ为奇异矩阵时，根据命题１知，＝ｃｏｎｓｔ＞０，使得对（０，），有Ａ＝Ａ＋Ｅ为非奇异矩阵，则Ａ　Ｘ ＝Ａ－Ａｘｙ，Ｙ　１故结论得证．

εε→∑＋

ｎｊｋｊｋ

ｊ，ｋ＝１

显而上式两端均为的连续函数，故可以在两端同时

令０，得

Ａ　Ｘ ＝Ａ－Ａｘｙ，Ｙ　１故结论得证．

≠

??

?

? ? ???

∑１１１２１ｎ２１２２　２ｎｎ１ｎ２ｎｎｊｊｊｋｋｊ例４　设实数域上的矩阵

ａ　ａ ａａ　ａ　ａ Ａ＝ ａ　ａ ａ　满足ａ＞ａ，

则ｄｅｔＡ＞０．

证 （1）先证detA ≠0.

121212=1

=(,,

,),(k=1,2,

,n)A ,,,,,

,,=0.

T k k k nk n n

n k k k l l l l αααααααα∑设为矩阵的列

向量组，假设线性相关，则存在一组不全为零的

数使

{}ααααα≠≠≠≠≠≤

≤≠∈∑∑∑

∑１２ｎｊｊｋ

ｋｋｊｊｊｋｋｊ

ｋｊｊｊ

ｋ

ｊｊｊｋｊｋｋｊ

ｋｊ

ｊ１２ｎ１１１２　证（１）先证ｄｅｔＡ０．

　令ｌ＝ｍａｘｌ，ｌ，，

ｌ＞０，不妨设ｌ＝ｌ，则＝ｌｌ（－

），特别地对于第ｊ个分量有ａ＝（－）ａ，ｌｌｌ故ａ－

ａａ，与假设矛盾，假设不成ｌ立，即，，，线性无关，故ｄｅｔＡ０． （２）下证ｄｅｔＡ＞０． 设ｔ［０，１］，令

ａ　ａｔ Ｗ（ｔ）＝

≠≠?∈≥

?∈≠?∈∑∑∏１ｎ１２２２２ｎｎ１ｎ２ｎｎ

ｊｊｊｋｊｋ

ｋｊ

ｋｊ

ｎ

ｊｊｊ＝１０　ａｔ

ａｔ　ａ ａｔ ａｔ　ａｔ ａｔ［０，１］，Ｗ（ｔ）都有ａ＞ａａ

ｔ，由（１）得

到ｔ［０，１］，Ｗ（ｔ）０．

由行列式定义可知，Ｗ（ｔ）是［０，１］上的多项式函数，故Ｗ（ｔ）在［０，１］上连续，且Ｗ（０）＝ａ＞０．

假设Ｗ（１）＝ｄｅｔＡ＜０，则由闭区间上连续函数的性质，ｔ（００，１）ｓ．ｔ．Ｗ（ｔ）＝０，矛盾，故假设不成立，

即ｄｅｔＡ＞０．

2 函数连续性在解决普通矩阵问题中的应用

对于某些纯矩阵问题，用代数方法解决很复杂，但利用数学分析中连续

函数的思想和方法，则显得容易许多. B

*

A 例5 *. 若A 与

B 为同阶矩阵,

A *为A 的伴随矩阵，则(A

B )

[2,5]

*

=

证

当A 与B 均为非奇异阵时，则结论显然成立 .以下

证明当至少有一个为奇异阵时，上述结论依然成立.

由 命 题 1 可 知 ，? δ = const > 0, ? ε ∈ (0,δ), A ε=A+ε E,B ε = B +ε E 为非奇异矩阵，故由上述结论可知

A ?

B B A

=

由上述等式两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时

令ε→0 ，即得到

(AB)* = B *A *.

故命题得证.

3 函数连续性在解决特征多项式问题中的应用

函数的连续性在求解矩阵的特征多项式的过程中也有简化计算过程等的长处.

例6 若A, B均为同阶方阵，则AB 与B A特征多项式相同.

证当A为非奇异矩阵时，AB～ BA，故其特征多项式相同[2,5,8] .

当A为奇异阵时，根据命题 1 知?δ = const > 0, s.t.?ε∈(0, δ)，矩阵Aε = A + ε E 为非奇异阵，从而由上述结论可知

|λE ? AεB| = |λE ? B Aε|.

由于上式等号两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时

令ε→0 ，即得到 |λE ? AB| = |λE ? B A| 故命题得证.

n?m

本例结果实际上还可以推广到“若A, B 分别是n×m和m×n矩阵，λ 0，则|λEn? AB| = λ|λEm? BA|[2,5,8] ”.此处暂不探究.

4 函数连续型在解决二次型问题中的应用

二次型的判定和计算是大学期间数学学习的重点和难点，很多的问题光

用代数方法解决是很难解决的，但反过来用数学分析的知识和观点解决之，能

使学生更容易理解和掌握.

1111111

0-7.(x ,,x )=

-.

n n

n n n nn

x x x a a f x a a 例是一个二次型

10(),=(x ,,x ),f(X)=

.T T

jk n n n X A a X XA

?=-证：设则

11(1)0(X)=()*T T T A X A X A X A X X A X

XA

--==-当为非奇异矩阵时，由

f

*

(2)A 1=>,.t.(0,),A 0(X)=,

T T A E X X A X XA εεε

δεδε??∈=+=-当为奇异矩阵时，根据命题可知，const 0s 有为非奇异矩阵，根据上述结论，得到

f

+*0(X)=X .

T f A X εε→而上式等号两端均为之连续函数，故可以在上式两端同时

令，则得到

故命题得证.

例8 若A 为m 阶半正定矩阵，则A 的伴随矩阵A *也半正定.

1*1**0+0=,.,()=x n T A A E A A A A A A f A X

εεεεεεεεεεε--?∈∞=+

>?∈?证：由于为半正定矩阵，故（，），A 均为正定矩阵，从而，为正定矩阵，故也为正定矩阵x 令

+

*0

[0,+),(0,+),f()>0.(0)=lim ()0,x 0,x 0,A .

T f f A x εεεε→∈∞?∈∞≥?≠≥则且由连续函数的保

号性定理可知f 即有即半正定

三结束语

由以上讨论可知高等代数与数学分析虽然是数学的不同分支，但是二者之间在解决问题上往往相互渗透，彼此相通.用数学分析的思想方法解决某些高等代数问题，解决得非常巧妙简洁明了.高等代数的思想方法在用于解决数学分析问题的时候，同样能得到类似的效果，此处不再一一叙述. 故在学习过程中把握好高等代数与数学分析之间的联系，留心不同分支之间的交融性，有助于培养融合知识的能力，进而达到培养学生创新思维能力的效果.

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