考研数学习题课--1 极限与连续总结
1.极限和连续
=2 3
一、极限
考点4、洛必达和等价无穷小求极限 （4）lim e-x - ex .
x®0 sin x
-e-x - ex
lim
= -2.
x®0 cos x
二、连续
1. 连续定义：左极限=右极限=函数值 (1) f(x)在点x0及其附近有定义； (2) f(x)在点x0的极限存在； (3) f(x)在点x0的极限值等于f(x)在点x0的函数值
高等数学
高等数学
（一）极限和连续
一、极限
1. 函数的左右极限：
函数某点极限存在的充要条件是
函数在该点的左右极限存在并且相等。
lim f x A lim f x B
xx0
xx0
2. 求极限方法 (1) 直接代入； (2) 等价无穷小； (3) 重要的极限 (4) 洛必达法则
一、极限
考点1、直接代入求极限 （1）
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
4cosx x≥0
ìx2 + 2a , x £ 0
设函数
f
(x) =
ï í sin
x
，在 x = 0 处连续，求常数 a 的值.
（3）
ïî 2x , x > 0
二、连续
考点5、连续与间断 （1）
1 （122. ）设函数 f(x)=
4
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
（等价无穷小的替换，必须是整个因式一起替换）
一、极限
常见的等价无穷小：
sin ~ ~ arcsin ~ tan ~ arctan ;
2 1 cos ~ ;
2 e 1 ~ ;
ln(1 ) ~ ;
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
第一章函数极限与连续总结
第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。
在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。
本文将对第一章的内容进行总结。
函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。
当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。
在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。
通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。
我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。
通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。
极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。
连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。
连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。
我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。
其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。
通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。
在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。
例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。
这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。
总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。
通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。
而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。
对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。
考研数学知识点总结
考研数学知识点总结一、高等数学1. 极限与连续极限：数列极限、函数极限、无穷极限、极限的性质和运算法则连续：函数连续性、连续函数的性质、间断点、闭区间连续性定理2. 导数与微分导数的概念：函数的导数、导数的性质微分：函数的微分、微分的性质、高阶微分3. 微分方程微分方程的解法：可分离变量、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程微分方程的应用：常微分方程的物理应用、生物应用、经济应用4. 重积分二重积分：累次积分、极坐标系下的二重积分三重积分：累次积分、柱坐标系、球坐标系下的三重积分5. 线性代数行列式与矩阵：行列式的性质、矩阵的性质和运算线性方程组：线性方程组的解法、线性方程组的应用特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量、对角化、相似矩阵二、离散数学1. 集合与命题逻辑集合：集合的基本概念、集合的运算、集合的应用命题逻辑：命题的联结词、等值命题、蕴含命题、充分必要条件2. 图论图的基本概念：图的定义、图的性质、图的应用连通性：连通图、强连通图、连通度、割点、桥图的着色问题：平面图的着色、四色定理3. 组合数学排列组合：排列、组合、二项式定理生成函数：普通生成函数、指数型生成函数容斥原理：二项式系数的应用、排列组合的应用4. 概率论随机事件与概率：随机试验、随机事件的概率、概率的性质随机变量与概率分布：随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量随机过程：马尔可夫链、泊松过程、布朗运动三、数学分析1. 泛函分析赋范空间：线性空间的内积、希尔伯特空间的定义线性算子：紧算子、自共轭算子巴拿赫空间：巴拿赫空间的性质和定理2. 复变函数复数和复变函数：复数的基本性质、复变函数的连续性和可导性积分定理：柯西积分定理、留数定理解析函数：正实部函数、调和函数、齐纯函数3. 实变函数度量空间：度量空间的性质、完备度量空间勒贝格积分：勒贝格积分的性质、勒贝格积分的应用广义积分：广义积分的收敛性、绝对收敛四、概率论与数理统计1. 随机变量随机变量的概念：离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数随机变量的数字特征：数学期望、方差、协方差2. 大数定律与中心极限定理大数定律：切比雪夫不等式、辛钦大数定律、伯努利大数定律中心极限定理：林德贝格-列维中心极限定理、中心极限定理的其他形式3. 参数估计与检验参数估计：点估计、区间估计假设检验：假设检验的基本思想、参数假设检验方差分析：单因素方差分析、双因素方差分析五、数理逻辑与模糊数学1. 数理逻辑命题逻辑：命题的联结词、等值命题、蕴含命题、充分必要条件谓词逻辑：一阶谓词逻辑、量词、谓词逻辑的推理规则2. 模糊数学模糊集合：模糊集合的基本概念、模糊集合的运算模糊关系：模糊关系的合成、模糊关系的反对称性模糊逻辑：模糊逻辑的蕴含、摩根定律、模糊逻辑的合取和析取以上是考研数学的知识点总结，希望对大家有所帮助。
考研数学极限与连续的知识点
考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识，贯穿于整个数学分析的学习过程。
对于考生来说，深入理解和掌握这些知识点是取得好成绩的关键。
首先，我们来谈谈极限的概念。
极限可以说是数学分析的基石，它描述了函数在某个点或者无穷远处的趋近趋势。
比如说，当 x 趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 趋近于一个确定的值 L，我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。
极限的计算方法多种多样。
常见的有代入法，如果函数在该点连续，直接将该点代入函数即可。
但很多时候，这种方法行不通，就需要用到其他技巧。
比如化简法，通过约分、通分等手段将函数化简，然后再求极限。
还有等价无穷小替换，这是一个非常有用的方法，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x，tan x 等价于 x 等等。
但要注意，等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，在加减运算中使用可能会出错。
再来说说两个重要极限。
第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x ／ x) ＝ 1。
这个极限在很多求极限的题目中都会用到，通过变形和代换，可以解决不少难题。
第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 ＋ 1/x)＾x ＝ e。
这里的 e 是一个重要的常数，约等于271828。
接着是极限的性质。
极限具有唯一性，如果函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。
还有局部有界性，如果函数在某个点存在极限，那么在该点的某个邻域内函数是有界的。
此外，还有保号性，如果函数在某个点的极限大于 0（小于 0），那么在该点的某个邻域内函数的值大于 0（小于 0）。
说完极限，我们再来看看连续的概念。
函数在某点连续，意味着当自变量在该点的变化非常小时，函数值的变化也非常小。
简单来说，就是函数在该点没有“跳跃”或“间断”。
连续的定义可以从三个方面来理解：函数在该点有定义；函数在该点的极限存在；函数在该点的极限值等于函数值。
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。
下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。
一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。
例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。
这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。
二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。
4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。
5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。
三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。
例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。
2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。
例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。
无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。
四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。
2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结微积分是数学的一个重要分支，也是高等数学的基础内容之一。
作为考研数学的一部分，微积分的基础知识点在考试中占据了很大的比重。
为了帮助考生更好地复习微积分，下面将对上海市考研数学复习微积分的基础知识点进行总结。
一、极限与连续1. 极限的基本概念和性质- 数列的极限：数列的极限定义、极限定理、夹逼定理等- 函数的极限：函数极限的定义、性质、无穷大与无穷小等2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定方法二、导数与微分1. 导数的概念和求导法则- 导数的定义、求导法则、高阶导数等- 高阶导数的应用：泰勒展开式、极值与拐点判断等2. 微分的概念及其应用- 微分的定义、微分近似、微分中值定理等- 最值问题的应用：最大值、最小值的判定与求解等三、积分与定积分1. 不定积分与定积分的定义- 不定积分的定义、基本积分表、换元法等- 定积分的定义、性质、积分中值定理等2. 积分的应用- 曲线长度与曲线面积的计算- 牛顿-莱布尼兹公式的应用四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次与一阶线性微分方程- 变量可分离的 Bernoulli 微分方程2. 二阶线性微分方程- 齐次和非齐次线性微分方程- 常系数线性微分方程的求解方法五、多元函数微积分1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限定义、连续性判定等2. 偏导数及其应用- 偏导数的定义、求导法则、高阶偏导数等- 隐函数与参数方程的偏导数求导3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断与求解- 多元函数的条件极值的求解方法以上是上海市考研数学复习微积分基础知识点的总结。
希望考生们能够认真复习，掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题中。
祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。
考研数学2知识点总结
考研数学2知识点总结一、极限与连续1. 极限的定义在数学中，极限是指当一个变量趋于零或者无穷大时，另一个变量的取值趋于某个值。
极限是对函数在某一点附近的行为进行描述的概念。
在实际的数学应用中，极限是一种重要的概念，它对函数的性质和行为有着重要的影响。
2. 极限的性质极限有一些重要的性质，例如极限的唯一性、极限的保号性、夹逼定理等。
3. 连续函数连续函数是指在整个定义域内都具有连续性的函数。
连续函数的性质包括介值定理、零点定理等。
4. 初等函数的极限初等函数包括常数函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在无穷大的极限值有着特殊的性质。
5. 极限的计算极限的计算涉及到一些经典的计算方法，例如洛必达法则、泰勒展开、换元法等。
6. 连续函数的应用连续函数在实际问题中有着重要的应用，例如利用介值定理解决方程、求解曲线的切线方程等。
二、微分学1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的瞬时变化速率。
导数的定义与极限的定义密切相关。
2. 导数的性质导数有一些重要的性质，例如导数存在的条件、导函数的性质、导数与连续性的关系等。
3. 高阶导数高阶导数是指对函数连续求导的过程，高阶导数有一些特殊的计算方法和性质。
4. 微分中值定理微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它描述了函数在一个区间内的平均变化速率与瞬时变化速率之间的关系。
5. 微分与导数的计算微分与导数的计算包括一阶导数的计算、高阶导数的计算、微分的计算等。
6. 微分学的应用微分学在实际问题中有着重要的应用，例如用导数研究函数的增减性、求解最值问题、求解曲线的渐近线等。
三、积分学1. 不定积分不定积分是指对函数进行积分运算而得到的一类函数。
不定积分有一些特殊的运算规则和性质。
2. 定积分定积分是指对函数在一个区间上进行积分运算而得到的一个数值。
定积分有一些特殊的计算方法和性质。
3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是积分学中的一个重要定理，它描述了定积分与不定积分之间的关系。
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考研数学习题课讲义第一讲 函数、极限与连续2016年大纲解读考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ll ll llxx→00ssll ss xx xx=11, ll ll ll nn→∞�11+11nn �nn =ll ll ll xx→∞�11+11xx �xx=ee .函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质.考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
6. 掌握极限的性质及四则运算法则。
7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
知识细节：1. 确定函数的几种方式:(1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数方程(4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xxaa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx )aa(6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xxff (xx ,tt )2. 几个关于函数的性质的结论(1) 设 f (x ) 在区间[−l , l ]上有定义, 则 f (x ) + f (−x )为偶函数, f (x ) − f (−x ) 为奇函数.(2) 设 f (x ) 为可导的偶函数(或奇函数), 则 f ′(x ) 为奇函数(或偶函数); 若 f (x ) 为可导的周期函数, 则 f ′(x ) 为同周期的周期函数.(3) 设 f (x ) 连续, FF (xx )=∫ff (tt )ddtt xx00+CC (C 为任意常数), 则 f (x ) 为奇函数 ⇔ F (x ) 为偶函数; 若 f (x ) 为偶函数, 则只有 ∫ff (tt )ddtt xx00 是奇函数.[说明: 周期函数的原函数不一定是周期函数, 如 f (x ) = cos x + 1 的周期为 2π, 但 F (x ) = sin x + x 不是周期函数.](4) 单调函数的导数和原函数不一定是单调函数. 3. 关于极限的运算法则的说明(1) 极限的四则运算法则的前提(和差积商可拆)是各部分的极限存在(处理的依然是类似于数的运算法则----有限可算, 拆开时部分式不能有∞, 分母不能出现0);(2) 凡是极限中出现有悖于数的运算法则的, 均要按极限的方式处理(未定式极限);(3) 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim[ f (x ) ± g (x )]一定不存在; 若 lim f (x ) 与 lim[ f (x ) ± g (x )] 都存在, 则 lim g (x )一定存在; 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim f (x )g (x ) 可能存在也可能不存在, 若存在时一般为0(有界量与无穷小的乘积还是无穷小)[两个都不存在时lim f (x )g (x )可能存在也可能不存在].(4) 幂指函数极限运算常用公式: ll ll ll ff (xx )gg (xx )=AA BB (ll ll ll ff (xx )=AA >00,ll ll ll gg (xx )=BB ); ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).(1∞)4. 几个常用结论(1)>∞<==++++++−−∞→mn m n m n b a bx a x b a x a x a m m m n n n x ,,0,lim 01010010100(2) 几个常见易出错的不存在极限: ;arctan lim ;lim x e x x x ∞→∞→xe x xx 1arctanlim ;lim 010→→及它们的变形 (3) 常用的数列极限: ll ll ll nn→∞√aa nn=11(aa >00),ll ll ll nn→∞√nn nn=11.(4) 无穷小的和差运算规则: 和差取大(低阶)常考题型及其解法与技巧题型一 求函数表达式注意: 在利用给定条件求复合函数的表达式时, 注意换元与迭代的思想.例1 设,1||,01||,1)(>≤=x x x f 则 f {f [ f (x )]}等于 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) ,1||,01||,1>≤x x (D) ,1||,11||,0>≤x x 例2 设 gg (xx )=�22−xx ,xx ≤00xx +22,xx >00,ff (xx )=�xx 22,xx <00−xx ,xx ≥00, 则g [f (x )] = _______.练习 设 ff (xx )=�xx , xx ≤00xx +xx 22,xx >00, 则 f [ f (x )] = _____________________.题型二 对函数性质的理解例2 当 x → 0 时, ff (xx )=11xx 22ssll ss 11xx 是 ( ).(A) 无穷小量 (B) 无穷大量(C) 有界但非无穷小量 (D) 无界但非无穷大量例3 设 f (x ) 是连续函数, F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数, 则 ( ). (A) 当 f (x ) 是奇函数时, F (x ) 必是偶函数 (B) 当 f (x ) 是偶函数时, F (x ) 必是奇函数(C) 当 f (x ) 是周期函数时, F (x ) 必是周期函数(D) 当 f (x ) 是单调增加函数时, F (x ) 必是单调增加函数练习(1) 设 f (x ) 是奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第一类间断点, 则∫xt t f 0)(d 是(A) 连续的奇函数 (B) 连续的偶函数 (C) 在 x = 0 间断的奇函数 (D) 在 x = 0 间断的偶函数 (2) 设f (x )连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是∫x t t f A 02)()(d ∫xt t f B 02)()(d∫−−x t t f t f t C 0)]()([)(d ∫−+xt t f t f t D 0)]()([)(d题型三 数列的极限一、 对概念、性质的理解注意: 此类问题主要考查对极限定义与性质的理解, 一般借助于极限存在的几何意义处理更有效；另外要注意几个基本的结论：子列原理、单调有界原理. 例4 数列{x n } 收敛于实数 a 等价于 ( )(A) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的无穷多项 (B) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的有穷多项 (C) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的无穷多项 (D) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的有穷多项例 5 设函数 f (x ) 在 (−∞, +∞) 内单调有界, {x n } 为数列, 下列命题正确的是 ( ).(A) 若 {x n } 收敛, 则 {f (x n )} 收敛 (B) 若{x n } 单调, 则 {f (x n )} 收敛 (C) 若{f (x n )} 收敛, 则 {x n } 收敛 (D) 若{f (x n )} 单调, 则 {x n } 收敛 练习(1) “存在正数 ε0, 使满足 |xx nn −AA |≥εε00的 x n 有无穷多项”是数列{x n }不收敛于 A 的 ( ).(A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分又非必要条件(2) 设数列{x n }是数列, 下列命题不正确的是( ).(2015年数学三) (A) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa ;(B) 若ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .(C) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa ; (D) 若ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .二、 通项是 n 项和的数列的极限 设 xx nn =∑aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法:(1) 求出和的通项(相对简单:拆项相消、等比数列等); (2) 定积分定义(注意转换) ∑ff (ξξii )ΔΔxx ii nn ii =11→∫ff (xx )ddxx bbaa ; (3) 夹逼准则.例 6 求下列数列的极限:(1) ll ll ll nn→∞�11�nn +11+11�nn +22+⋯+11�nn +nn �(2) ll ll ll nn→∞11nn �11�nn +11+nn+22�nn +22+nn+⋯+nn�nn +nn+nn�练习(1) 求 ll ll ll nn→∞�11nn 22+11+22nn 22+22+⋯+nnnn 22+nn � ;(2) 求 ll ll ll nn→∞�ssll ssππnnnn+11+ssll ss22ππnn nn+11+⋯+ssll ss ππnn+11�三、 通项是 n 项乘积的数列的极限设 xx nn =∏aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法: (1) 求出积的通项; (2) 利用对数化为和的形式; (3) 夹逼准则. 例7 求下列数列极限(1) ll ll ll nn→∞11nn �nn (nn +11)(nn +22)…(22nn −11)nn(2) ll ll llnn→∞11∙33∙55∙… ∙(22nn−11)22∙44∙66∙… ∙(22nn )四、 通项由递推公式给出的数列的极限设 xx nn+11=ff (xx nn ), 求ll ll ll nn→∞xx nn . (注意: 通项也可能是其他形式).一般解法: 先利用单调有界原理证明极限存在, 再令ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 通过递推公式解方程求出极限.例8 (2006年数学一) 数列 {x n } 满足 0 < x 1 < π, x n +1 = sin x n (n = 1, 2, …). (1) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(2) 计算 .lim 211nx n n n x x+∞→练习(1) 设 x 1 > 0, x n +1 = 11−ee −xx nn , n = 1, 2, ….(i) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(ii) 计算ll ll ll nn→∞xx nn xxnn+11xx nn−xxnn+11.(2) 设 a > 0, x 1 > 0, 且定义 xx nn+11=1144�33xx nn +aaxx nn33�(nn =11,22,…), 证明当 n →∞时,数列 {x n } 的极限存在并求出该极限值.五、 利用函数的极限求数列极限注意: 一般是含有 n 的未定式极限, 应该按数列极限处理, 若用到罗比达法则, 最好先求出 x →+∞ 时的极限, 再利用函数极限与数列的极限关系(结论也可以用来说明极限不存在)得出结果.例9 .arctan 2lim nn n∞→π练习求 ll ll ll nn→∞nn �ee �11+11nn �−nn−11�.题型四 函数的极限一、分段函数的极限求分段函数在分段点处的极限, 要利用:.)(lim )(lim )(lim 0A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=−+→→→例11 (2000年数学一) 求.||sin 11lim /4/10+++→x x x x x e e例12 当 x → 1 时, 函数xx 22−11xx−11ee11xx−11的极限为 ( ).(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在二、未定式极限未定式的类型: “0000,∞∞; ∞−∞,00∙∞; 11∞,0000,∞00”. 注意各部分均为极限、罗比达法则不是万能的(先确定极限的类型，再考虑方法，一定要与数的运算分开).1.0000,∞∞型未定式常用方法: 无穷小的等价代换(代换原则: 因式替代); 罗比达法则(注意条件, 使用罗比达法则后及时整理并分离出极限存在的因式); 无穷大转换为无穷小等. 例13 求.)(arcsin arcsin lim3x xx x −→例14 求.ln ln lim 2xt dt x xx ∫+∞→例15 求.sin 114lim 22xx x x x x +++−+−∞→例16 求.)1ln()cos 1(1sin)cos 1(sin 3limx x x x x x ++−+→练习：求下列极限 (1) 213lim21−++−−→x x xx x(2) .13cos 21lim 3−+→x x x x(2004年数学二) (3) 30sin arctan lim x xx x −→(2007年数学二) (4) ll ll llxx→−∞�33xx 22+xx−11+xx−11�xx +ccccss xx2. ∞−∞,00∙∞型未定式方法: 转化为 0000,∞∞ 型(通分、构造分母等)例17 求.11ln lim 2+−∞→x x x x例18 求.2arctan 2lim 22x x x −∞→π练习: 求下列极限(1) .cos sin 1lim 2220−→x x x x (2) .lim−−++∞→x x x x x3. 11∞,0000,∞00型未定式方法: 非1∞类型常使用对数恒等式(或取对数后化为00∙∞型未定式).uu (xx )vv (xx )=ee vv (xx )ll ss uu (xx ).; 1∞类型: ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).例19 求.arcsin lim 210x x x x→例20 求.lim ln 10xkx x+→+例21 求ll ll ll xx→+∞(ll ss xx )11xx−11练习: 求下列极限(1) )1ln(12)(cos lim x x x +→(2003年数学一)(2) .sin 1tan 1lim 310x x x x++→三、极限的综合题说明: 这类题目涉及面稍微广泛, 比如导数的定义、已知一个极限求另一个极限等。