2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
高数_数学极限总结
高数_数学极限总结
数学极限旨在研究一个变量值接近但未达到一个特定数值时整个表达式的行为。
在极
限理论中，经常被称为“触及极限”(tending to limit)。
极限有两种类型：极限和无穷大。
极限是指表达式越来越接近某个特定的数值的状态，而无穷大则表示表达式几乎接近于一个特定的无限大的数值。
求极限的各种方法:
原函数法：根据变量趋向特定值时函数展开时形成的多项式推导其极限值。
变量迭代法：针对变量求值，当自变量变化时，函数值变化相同。
导数法：根据定义对变量取导数，把导数置零，得到方程和变量取值。
分母重置法：当表达式中存在分式且分母可变，则把它变为分母的重置形式，来求极限。
泰勒公式法：利用泰勒公式求函数展开式的极限。
洛必达斯平方和定理法：用变量求和，然后把求和结果代入平方和定理，求解方程，
进而求极限的值。
三角函数法：利用三角函数的展开式，求三角函数的极限值。
极限也可以作为形函数理论的有用工具，比如求最大值和最小值、极限点、局部极小
点和全局极小点。
极限还可以用于分析函数不可导性、曲线不可娶群及曲线是否对称等问题。
极限在数学中运用广泛，它常常可以把复杂的问题变得容易理解；它也可以解决无法
用解析的方法解决的问题。
极限的概念也可以帮助我们更清晰的理解经典数学中的很多概念，比如微分、积分等。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
高数上极限知识点总结
高数上极限知识点总结
高数上极限是一门比较重要的学科，本文将对极限学科的知识点进行总结。
极限的定义：定义极限的本质是无限，极限的定义为某个函数的值，当函数的变量的值趋
于某一特定的值时，函数的值也趋于一个特定的值，此时称该特定的值为函数的极限。
求极限的方法：
（1）指定极限法：采用指定极限法时，必须先观察函数f（x）在x趋近某一特定值c时，函数f（x）的变化趋势，即当夹着c来看时，函数f（x）是否以c为界限，左易右难或右
易左难，亦或有任何其他的趋势。
（2）量化极限法：在量化极限法中，将函数的表达式改写为形如分母项加1的形式，然
后用幂级数来对其进行展开，再将n无限次方相邻项折叠出，可以把极限证明问题，转换
成求解一系列多项式极限问题，进而求解待证明函数极限。
（3）唯一有理极限法：当等式中存在分子分母中各有两个不同幂次或以上的多项式，而
又这两者有共同的系数幂次时，就可以利用唯一有理极限法来求解该多项式的极限。
以上是极限学科的知识点的总结，其中的概念和方法的应用非常重要，是高数的重要组成
部分。
为高数的学习和理解提供了重要的基础，希望学生们能够仔细学习，把握极限的知识点，加深认识，从而充分发挥函数在高数中的重要作用。
高数数学极限总结资料
高数数学极限总结资料一、定义：极限（limit）是高等数学中一个重要的概念，不管在何时何地，几乎所有的数学定理和实际应用中，都离不开极限的概念，极限的概念的出现，使得很多以前被认为无解的数学问题，得以有效解决。
二、速率极限：速率极限（Rate of Change Limit）是讨论函数变化率（rate of change）时使用的概念。
它指的是一个函数当它处于极限状态时，其变化率（rate of change）会几乎接近于零。
可以说，函数的某个点处的变化率越接近零，则函数处于越接近极限的状态。
速率极限是解决常微分方程的关键，可帮助理解函数的变化率是如何随着自变量的变化而变化的。
三、双边极限：双边极限是在一个定义域中植入一个“小数字”，使得函数趋近某个可观察值。
双边极限定义了曲线就在“极限值”上，即曲线非常接近这一“极限值”。
双边极限可以用来判断函数是否连续，可以用来判断两个函数是否相等、是否存在封闭集等。
双边极限也是解决无穷积分问题的关键。
四、无穷大极限：无穷大极限（infinity limit）是当函数在某一方向上的取值不断增加时，函数的值会几乎趋近于正无穷大或负无穷大，也可以把无穷大极限看做是一个函数在相应方向上的“极限值”。
无穷大极限的发现，使得很多以前无法解决的极大（或极小）量问题得以解决，是极限理论及应用取得巨大成就的基础。
五、极限定理：极限定理(Limit Theorem)是数学分析中，极限理论的更深层次的一个定义。
它是指当一个数序中的每一项都趋近于某个数时，其和也会趋近于这个数。
极限定理的宗旨是使数位的总和趋近于一数值，从而使所有数都趋近于此数值。
在微积分中，极限定理对许多定理，如泰勒公式、极大值定理等初步思想，均有重要作用。
考研数学知识点复习：极限中的“极限”
考研数学知识点复习：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，可以出选择题也可以出填空题，更可以出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
下面，我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，最好记住其定义。
第二，极限的性质。
唯一性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，可以根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就可以写出这一点的导数定义，利用极限的保号性，得出相应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这一部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的最高次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
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2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填
空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极
限的形式给出的。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。
第二，极限的性质。
性，有界性，保号性和保不等式性要理解，
重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的
本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在
做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目
中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个
数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断
是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这个部分是重中之重，这也是三大计算中的
第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会
计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹
逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定
义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：
四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷
形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要
掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换
公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第
二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替
换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则
能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
下面给出推广后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～
tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～
0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。
第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式，比如：公式
中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。
希望同学们在做题目的时候多加注意，熟能生巧。
极限的第三种方法就是洛必达法则。
首先，要想在极限中使用洛
必达法则就必须要满足洛必达法则，说到这里有很多同学会打个问号，什么法则，不就是上下同时求导?其实不尽然。
洛必达有两种，无穷比无穷，零比零，分趋近一点和趋近于无穷
两种情况，以趋近于一点来说明法则条件，
条件一：零比零或者无穷比无穷(0/0，∞/∞);条件二：趋近于这
个点的去心领域内可导，且分母导数不为零;条件三：分子导数比分母
导数的极限存有或者为无穷，则原极限等于导数比的极限。
在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件，缺一不可，特别要注意条件三，导数比的极限一定是存有或者为
无穷，不能把无穷认为是极限不存有，因为极限不存有还包括极限不
存有也不为无穷这种情况，比如：x趋近于零，sin(1/x)的极限不存有也不为无穷。
每次使用都必须验证三条件是否同时满足。
再来看看重要极限，重要极限有两个，一个是x趋近于零时，
sinx/x趋近于零，另一个是x趋近于零时，(1+x)1/x趋近于e，或者
写成x趋近于无穷，(1+1/x)x趋近于e(1∞形式)，总结起来就是(1+
无穷小量)无穷小量的倒数，所以要记住重要极限的特点，并能够将其
推广，即把x换成f(x)，在f(x)趋近零，sinf(x)/f(x)趋近于零，
(1+f(x))1/f(x)趋近于e，或f(x)趋近无穷，(1+1/f(x))f(x)趋近于e，
还要注意当给你幂指函数的极限计算，先要判断他是不是1∞形式，如果是，就能够考虑利用重要极限解决，凑出相对应的形式就能够得出结论。
这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，
∞∞)，这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞能够通过通分、提取或者代换将其转化，0·∞能够将0或者∞放在分母上，以实现转化，1∞，00，∞∞利用对数恒等变化来实现转化，其中1∞还能够利用重要极限计算。
综上所述，等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广，能够将任意变形公式转化为标准形式，并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。
洛必达法则处理七种未定式，灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞，计算时注意满足洛必达法则的三个条件，希望同学们能够掌握基础，灵活地解决不同类型的极限。