函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读(绝对原创)

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可积性与原函数存在性的关系

∫
n
n
) ≤ ∑w i ( g ) ∃ x i < Ε ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。综上, 对上述 Ε> 0 和分法 T 有∑w i ( f ′ , 因此 f ′
i= 1 i= 1
[参考文献]
[ 1 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [ 2 ] 王俊青 . 数学分析中的反例[M ]. 北京: 电子科技大学出版社, 1996. [ 3 ] 马振民 . 数学分析的方法与技巧选讲[M ]. 甘肃: 兰州大学出版社, 1999.
尽管定积分的定义并未与定积分发生关系, 但牛顿 - 莱布尼茨 (N ew ton - L eibn iz) 公式 ( 简称N L 公式) 在二者之间建立了计算上的桥梁, 当然, N - L 公式的意义远不止在计算上, 在以后的内容里起着
不可忽视的作用, 正因为 N - L 公式比较重要, 同时又将原函数与定积分联系起来, 所以致使许多同学产生错觉, 认为只要原函数存在则函数就可积, 或若函数可积, 则其原函数就存在, 其实这二者的关系远非这样简单, 下面就简要的给出二者关系。现行分析课本中, 可积函数分为三类: 一、在 [ a , b ] 上连续的函数 f ( x ) 可积; 二、在 [ a , b ] 上有有限个间断点的有界函数 f ( x ) 可积; 三、在 [ a , b ] 上单调的函数 f ( x ) 可积。第一类可积函数存在原函数, 对于第二类和第三类可积函数, 原函数的存在情况比较复杂, 下面通过具体的例子作以说明。例 1 设 f (x ) =
n
在 [ a , t0 - Φ] 和 [ t0 + Φ , b ] 的分法 T 1 和 T 2 , 使 ( T 1 ) ∑w j ∃ x j <

考研——积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：一、在求导时，是关于x 求导，用讲义上的求导公式直接计算。

二、在求积分时，那么把x 看做常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变更。

（即在积分内的x 作为常数，能够提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1若是)(x f 在],[b a 上持续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，那么⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上持续。

定理2若是)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个中断点，那么)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3若是)(x f 在],[b a 上持续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后取得的函数，性质比原先的函数改良了一步：可积改良为持续；持续改良为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而咱们明白，可导函数)(x f 通过求导后，其导函数)(x f '乃至不必然是持续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：持续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

咱们明白，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把二者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情形求导。

09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性

§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。

证明对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。

由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。

定理9.10原函数存在定理若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

可积和有原函数的区别

可积和有原函数的区别
可积和有原函数是微积分中非常重要的概念。

可积指的是一个函数可以被积分，而有原函数则是指一个函数可以通过积分得到另一个函数。

在本文中，我们将探讨这两个概念之间的区别。

先来看可积的概念。

一个函数在某个区间上可积，意味着它可以被积分。

积分是一个求和的过程，可以将一个函数在某个区间上的值加起来，得到一个新的函数，这个新函数就是原函数的积分。

例如，函数 f(x) = x^2 在区间 [0,1] 上可积，因为它可以被积分为 F(x) = 1/3 * x^3。

接下来是有原函数的概念。

一个函数有原函数，意味着它可以通过积分得到另一个函数。

例如，函数 f(x) = x^2 有原函数 F(x) = 1/3 * x^3，因为通过对 F(x) 进行积分，可以得到 f(x)。

然而，可积和有原函数之间并不一定存在联系。

一个函数在某个区间上可积，并不意味着它有原函数。

例如，函数 f(x) = 1/x 在区间 [1,2] 上可积，但它没有原函数。

同样，一个函数有原函数，并不意味着它在某个区间上可积。

例如，函数 f(x) = 1/x^2 有原函数F(x) = 1/x,但在区间 [1,2] 上并不可积。

可积和有原函数是微积分中非常重要的概念，它们之间存在一定的联系，但并不一定相互关联。

原函数存在性与可积性概念辨析

数 f ( x ) 不一定可积. 1 , x2
x
0,
定存在原函数. 若将定理 1、定理 2 和定理 3 所涉及的 3 种情形分别记为函数可积的 3 种类型, 则对于第一种类型的可积函数, 即如果 f ( x ) 连续, 由定理 4 知 , f ( x ) 在 [ a, b] 上存在原函数 F( x ) . 对于第二种类型的可积函数, 如果 f ( x ) 的间断点是第一类间断点时, 则 f ( x ) 的原函数必不存在 , 否则与定理 6 相矛盾; 如果 f ( x ) 的间断点是第二类间
x [ 1 2]
推论 2 数. 例如
初等函数在其定义区间内原函数存在.
显然 , 初等函数在其定义域内不一定存在原函 f (x) = co sx - 1 , 它的定义域由孤立点构成, 所以不存在原函数. 其实 , 我们还可以进一步证明以下定理 . 定理 5 证明在区间[ a, b] 上, 每一个具有第一类间设 f ( x ) 在 [ a, b] 上有定义 , x 0 ( a, b) 断点的函数的原函数一定不存在 . 为 f ( x ) 的第一类间断点 , 如果 f ( x ) 在[ a, b] 上有一个原函数 F ( x ) , 则有 f ( x), F ( x) = ( 但是 , I 由拉格朗日中值定理, 得 F ( x 0 ) = xlim x
在任何闭区间上不可积, 也不存在原函数. 这是因为, 积分和
n
(f , ) =
k= 1
D(
k
) x k,
k
当
k
取无理数时 , 积分和为 0, 当
取有理数时, 积分
和为 1, 积分和极限不存在, 所以不可积; 由于任意实数都是 Dir ichlet 函数的非无穷间断点, 由定理 6 的逆否命题知 , Dirichlet 函数不存在原函数. 3 结束语通过上述概念的讨论, 我们不难发现 , 函数的可积性和原函数存在性 , 是两个不同的概念, 它们互不

可变上限积分

定积分换元公式: d F ((t)) F '((t)) '(t) f ((t)) '(t),
b
a
dt
f ( x)dx

f
t (t)dt.
(9)
证由于(9)式两边的被积分函数都是连续函数, 因此它们
的原函数都存在. 设F是f在[a,b]上的一个原函数,
由复合函数微分法,可见 F((t)) 是 f ((t)) '(t)的一个原函数.

4 lncos( t)dt
0
4
0
lncos (d)
4

4 lncos d,
0
它与上面第三个定积分相消.故得

4 ln 2dt ln 2.
0
8
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事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以用初等函数来表示, 因此无法直接使用牛顿——菜布尼茨公式. 可以像上面那样,利用定积分性质和换元公式(9), 消去了其中无法求出原函数的部分, 最终得出这个积分的值.
证若g为单调递减函数,令h(x)=g(x)-g(b),则
h为非负、递减函数。由定理9.11(ⅰ),存在 a,b,
使得
由于
b
af
x h x dx

h

a

a
f
( x)dx
g(a) g(b)

f ( x)dx.
a
b
b
b
f ( x)h( x)dx f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx,
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§5 (二) 定积分的计算
二、换元积分法与分部积分法对原函数的存在性有了正确的认识, 就能顺利

函数可积与原函数存在的关系

函数可积与原函数存在的关系对于函数可积性与原函数存在性的关系，我们首先需要明确函数可积的定义。

在数学中，一个函数在某个区间内是可积的，意味着它在该区间上的积分存在。

而原函数指的是一个函数的导数。

函数可积与原函数存在的关系是密切相关的。

换句话说，若一个函数是可积的，那么它就有一个原函数存在。

证明这个关系的方式是通过反证法。

假设我们有一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，但是它没有原函数F(x)存在。

根据我们对函数可积性的定义，我们可以使用这个函数来构造一个新函数F(x)，并定义它为F(x)=∫f(t)dt，其中t从a到x。

现在我们需要验证这个函数F(x)的性质。

首先我们可以计算F'(x)的导数，并使用积分的性质来求导：F'(x)=d/dx∫f(t)dt根据导数与积分的关系，我们可以将导数和积分符号互相转换，得到：F'(x)=f(x)由于我们假设函数f(x)没有原函数存在，所以这里出现了矛盾。

这个矛盾表明，我们的假设是错误的，即函数f(x)一定有一个原函数F(x)存在。

这个证明说明了函数可积性与原函数存在性之间的紧密联系。

如果一个函数是可积的，那么它就一定有一个原函数存在。

在实际应用中，可积性和原函数存在性是非常重要的概念。

通过研究一个函数的可积性，我们可以得到它的原函数，并从中推导出更多有用的数学性质。

对于实时数据的处理、曲线分析以及微积分等领域，这些概念都发挥着重要的作用。

总结起来，函数可积与原函数存在的关系是紧密相连的。

函数可积意味着它的积分存在，而原函数则表示了一个函数的导数。

证明表明，如果一个函数是可积的，那么它一定有一个原函数存在。

这个关系在数学和应用领域都具有重要意义，对于数学推导和实际问题的解决都有着重要的作用。

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有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究
一、基本概念： ① 原函数：
()()()()()()'
f x F x F x f x F x f x 已知函数是一个定义在某区间的函数，如果存在函数，使得在该区间内的任一点都有=，则在该区间内就称函数为函数的原函数。

② 函数可积：
()[]()[]()[])())[]()(),,,,,,b
a f x a
b f x a b f x i f a x dx
ii a b a b a b b ⎰定积分注：“可积”的说法只是针对定积分而言，即闭区间改成开区间后对定积如果在上的存在，我们就说在上可积分的值不影响，即定积分在开区间。

即是上的可积函数。

依然存在
③ 变上限函数：
()[][]()[]()[](),,,,x
a x
a
x
a
f x a b x a b f x dx x a b x f x dx a b f t dt
⎰⎰⎰设函数在区间上，并且设为上的一点，考察定积分如果积分上限在区间上
任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，
记积分上限函数连续
二、函数可积与原函数理论： ①函数可积的几个条件：
()[][]()
)()[])()[])()[]()[])),,,,,,ii ii f x a b a b i f x a b ii f x a b f x a b iii f x b i a ⇒⎫
⎪
⇒⎬⎪
⎭
：在可积则它必在上界，
即函数可积函数在该区间上有界但有界函数不一定可积，如：狄利克雷函数在上连续
：在上至多有有限个第一类间注：函数可积的充分条件中的和中的“有界”是排除函数出现无穷间断点的情况，在能够保证函数
不存在断点且有界在上无穷间断点时可积
在上单，“有界条调且有”的界函数可积的必要条件函数可积的充分条件件可以舍去
②可积函数的原函数的存在性讨论：
())()[]()()
()[]()()[]()()
[](),,,'=,x
a i f x a
b f x f x a b x f t dt a b x f x a b f x Φ=Φ⎰由函数可积的充分条件可知，有三种函数即满足上述三个条件其中任意一个的一定可积，但这三种函数的原函数的存在性情况是是不一样的，现归纳如下：
如果在上连续，则的原函数一定存在此处引出变上限函数定理：如果函数在上，在上，并且
因此在上的连续函连续则变上限函数连续且可导的原函数在这种条件下就都于它的变上限函数相差一个常数数变上限函数定理())()[]()()()()()()[]()()[]()[]()()00,1,,2,x
a ii f x a
b f x f x f x a b x f t d f x f x f x t f a b f x x a b x x x Φ=∈Φ⎰如果在上有第一类间断点时，下面就发生间断时，讨论和其变上限函数之间的显然此时的变上限函数是的一个原函数
的原函数一定不存在，但此时的变上限函数依然存在，但不是的原函数
可积则变上限函数上一些关系：
、：如果函数在上，在、若在间断非无穷间断，则在也未必可导如：符号连续，
但未必函可导
变上限函数定理的弱化定理()
()[]()()()()()()()
()()()[]()()[]()()
()()0
000000003,'=lim ,4,5'''x x f x x a b x f x f x f x f x x a b f x a b f x f x x f x x x x f →∈Φ≠∈ΦΦ≠Φ数就不可导、若在产生，，
这也就是为什么此时的变上限函数不是的原函数的原因此处类似于左右导数的概念，可去间断点则存在，但是跳跃间断点，则不存在
无穷间断点原函数不存在但变上限函数依然存在原函数存在且存在间断若在产生、若在上有，则的、若的，点这个间断点一定是第二那么类间断点())()[]()6,f x iii f x a b f x 中非无穷性型的存在第二类间断点中非无穷性型的间断点，它的原函数可能存在也可能不存在单、若如果在上，则调有界必存在原函数
③原函数存在的函数的可积性的：
()[]()()[]()[][]()()[],,,,,f x a b f x a b f x a b a b f x f x a b 若在上连续则它必存在原函数，则在上可积；若在上不连续，一般来说，即使在上的原函数存在，在上也不一定可积
小结：从上面的讨论可知，函数的可积性和原函数的存在性是两个不同的概念，它们互不蕴含，这就是说，可积函数的原函数可能存在，也可能不存在；原函数存在的函数可能可积，也可能不可积，当然也存在既不可积，又不存在原函数的函数三、关于变上限函数的奇偶性与周期性;
()()())()()())()()())()()()()0==a T
x
f x x f t dt i f x x f x ii f x f x iii f x T dx x x f x ΦΦΦΦ⎰⎰设连续，是其原函数，则
若是奇函数，及其的所有原函数均为偶函数
若是偶函数，的所有原函数中，其只有是奇函数且0余原函数都是一个奇函数加上一个非零常数若是以为周期的函数，，则具有相同周期要完全掌握并理解证明过程。