复变函数疑难问题分析

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关于复变函数某个题型的讨论题目

关于复变函数某个题型的讨论题目
【实用版】
目录
1.复变函数概述
2.复变函数的题型分类
3.某个题型的具体解题方法
4.结论与展望
正文
一、复变函数概述
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，它是复分析领域的一个重要概念。

复变函数在许多领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、复数微积分等。

对于复变函数的题型，我们需要掌握一定的解题技巧。

二、复变函数的题型分类
复变函数的题型可以分为以下几类：
1.复数的解析式
2.复数的积分
3.复数的级数
4.复数的微分
5.复数的积分路径
三、某个题型的具体解题方法
以复数的积分为例，其解题步骤如下：
1.确定被积函数的解析式
2.选择合适的积分路径
3.计算被积函数在积分路径上的原函数
4.计算原函数在积分路径上的积分
5.根据柯西定理求解复数积分
四、结论与展望
复变函数题型的解题技巧需要我们在学习过程中不断总结和积累，掌握各类题型的解题方法，提高解题效率。

在实际应用中，复变函数题型可能会涉及到更为复杂的数学概念和方法，我们需要不断拓展知识面，提高自己的数学素养。

在未来的学习和研究中，我们应当注重复变函数与其他数学领域的联系，探索其在实际问题中的应用，为解决实际问题提供有力支持。

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复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。

1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2）若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答：有无限个零点。

可以具体写出其所以零点；不矛盾。

因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。

因为0=z 为非孤立的奇点。

2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？sin z 在z 平面上无界。

这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？z e 是以2k i π为周期的函数。

因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？()f z z =在z 平面上不解析。

因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x∂=∂ 但是11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件所以()f z z =在z 平面上不解析。

5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

（1）复球面上与点1)对应的复数；（2）复数1+i 与复球面上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平面。

解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程为21z -==-。

当0z =时，x y ==，所以,,1)22对应。

（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。

复变函数重点知识点及典型例题的多种解题方法

( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
2
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 z1 z2
11
21
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?
y
解 (1) Im z 3, 是一条平行于实轴的直线, 不是区域.
-3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
(2) Re z 2,
以 Re z 2 为右界的半平面 (不包括直线 Re z 2 ),
(其中 y arctan ) 2 x 2
3

当z落于一,四象限时，不变。

。当z落于第三象限时，减。
当z落ห้องสมุดไป่ตู้第二象限时，加
y arctan 2 x 2

5. 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
12
1 例1 已知 z1 (1 3i ), z2 sin i cos , 2 3 3 z1 求 z1 z2 和 . z2 解因为 z1 cos i sin , 3 3 z2 cos i sin , 6 6 i , 所以 z1 z2 cos i sin 3 6 3 6 z1 3 1 i. cos i sin z2 3 6 3 6 2 2

复变函数与积分变换习题解答

练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i ii i 524321----；解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

复数与复变函数-难题解答

第1章复数与复变函数-难题解答(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章复数与复变函数§习题2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：11||||n nkkk k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）.3(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =由题2知，z a bi a b ≤+=+故22222222222||2222a ab ba b a b a b ab z +++++==+≤+=，(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设22221210.z z z z λ≠= 则2222212122121112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-即有21212||z z z z λλ-=-成立.5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则11z aaz-=-. 证明：由1z =得1zz =故11z a z azz z az az -=-=-=- 即证之.6．设|a |<1，|z|<1.证明：11z aaz-<-. 证明：提示：（11z aaz-<-⇔2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+ 而2222221||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：22221111()(),nnnk j j j j j j k j j j j k nz z z z ωωωω===≤<≤=--∑∑∑∑并由此推出Cauchy 不等式：222111nnnj jj j j j j z z ωω===⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭，1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=≥⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭， 2det det ||jk jj j k k j jk kk z z z z z z ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原式=210k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，21111122221211...det det .........n njj j j j n nnn j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑222111()()0nnnjjj jj j j zz ωω====-≥∑∑∑.（2）由（1）=（2）可得证.§习题1．把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式.解：1111112222221()2Re (2cos )2i i i i i i i z e e eeeeeθθθθθθθθ-=+=+==.2．问取何值时有(1)(1)n ni i +=-.解：提示（41,1,1k ii i k N i+==∈-）3．证明：01sinsin()22cos ,2sin2nk n k θθθθ=++=∑ 01coscos()22sin ,2sin2nk n k θθθθ=-+=∑ 证明：由于(1)21sin 121sin 2in i n nik i k n ee e e θθθθθθ+=+-==-∑，则即可得00cos Re n n ik k k k e θθ===∑∑，0sin nnikk k k im e θθ===∑∑.4．证明：123z z z ∆和123ωωω∆同向相似的充分必要条件为112233111z z z ωωω=0. 证明：提示（123z z z ∆和123z z z ∆同向相似,a b C ⇔∃∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔=+⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关1122331det 10.1z w z w z w ⇔=）5．设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得12(1)z z z λλ=+-；证明：z 位于以1z 和 2z 为端点的开线段上⇔210,()k z z k z z ∃>-=-210,11z z k z k k⇔∃>=+++ 12(0,1),(1),()1k z z z kλλλλ⇔∃∈=++=+. 6．图是三个边长为1的正方形，证明：2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.E A B C解：以O 为原点，OD 为X 轴，OE 为Y 轴，建立坐标系.设123,,OA z OB z OC z →→→===则1231,2,3z i z i z i =+=+=+，从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)z z z i i i i =+++=.因为i 是单位向量，它的辐角为2π，即2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.10．证明：22221212122(||),z z z z z z ++-=+并说明等式的几何意义. 证明：222222121211221122||||||2Re ||||2Re ||z z z z z z z z z z z z ++-=+++-+ 22122(||||)z z =+几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设1,...,n z z 是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n 个点，如果1,...,n z z 是正n 边形的n 个顶点，证明：1nk k z =∑=0.证明：记12...n z z z C ω=+++∈，设该正n 边形的一个圆心角为θ，0θπ<<.由复数乘法几何意义及正n 边形对称性，0i e θωωω=⇒=，即证之.13.设1z ，2z ，3z ，4z 是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为12340z z z z +++=.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L 是由方程0azz z z d ββ+++=所确定的点的轨迹，其中a ，d 是实数，β是复数.证明：（i ）当a =0，β≠0时，L 是一直线；（ii ）当a ≠0，20ad β->时，L 是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径. 证明：（i ）令22d λβ=，则2d λββ=，故原方程为()()0z z βλββλβ+++=，即Re ()0z βλβ+=，即z λβ+与β垂直，从而轨迹是一条通过点λβ-，与β垂直的直线.（ii ）记220ad λβ=->，则2ad ββλ=-，原式22220()()a zz a z a z ad az az az ββββλβλ⇔+++=⇔++=⇔+= 即证之.§习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z 和1z 的球面像关于复平面对称.证明：设z x iy =+其球面对应的坐标为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++.而1z球面像对应的坐标为 1122211'1111z z z zz z x x z z z+++====+++, 2222211'1(1)(1)(1)z z z zz z x x i z i z i z---====+++, 222332221111'1111z z zx x z z z---====-+++,从而有'''112233,,x x x x x x ===-，故z 和1z的球面像关于复平面对称.2. 证明：在复数的球面表示下，z 和ω的球面像是直径对点当且仅当z ω=-1.证明：⇐设z x iy =+，由1z ω=-得11,z z ωω=-=-，由于z 对应的球面像为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++，ω对应的球面像为123',','x x x ，计算可得：11,2233'','x x x x x x =-=-=-，故z 和ω的球面像是直径对点.⇒由球面表示的几何意义知，,z ω位于通过竖坐标轴的平面与xoy 平面交点上，从而,z ω必与原点共线，则,0z ωλλ=->，由33'x x =，易知1λ=.3. 证明：在复数的球面表示下, ∞C 中的点z 和ω的球面像间的距离为.证明：设z 和w 的球面像的坐标为()123,,x x x 和()123',','x x x ，则()()()()222112233112233'''22'''x x x x x x x x x x x x -+-+-=-++，112233'''x x x x x x ++()()()()()()()()22221111z z z z z zωωωωωω++--++-+=++()()()()2222211211zz z ωωω++--=++故(),d z ω==4.证明：在复数的球面表示下，若a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是二阶酉方阵，则∞C 的变换w=az bcz d++诱导了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证(),,,z w c d z w ∀∈=，一定有(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭.而()()22222222()det 11a b az b aw bz w cz d cw dc d az bcz daw bcw daz b aw b cz d cw d ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是二阶酉方阵知，()()222det 1,11||1,11a b a c a b z z az b cz d z z z c d c d b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 类似的有222||1,aw b cw d w +++=+故原式=()()()()()()2222221111ad bc z w z wz w z z ---=++++，故(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数.取a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1001⎛⎫⎪⎝⎭，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.§习题1. 设0(,0]z ∉-∞，0n z ≠，n N ∀∈.证明：复数列{}n z 收敛到0z 的充要条件是0lim n n z z →∞=和0limarg arg n n z z →∞=.证明：因为00(,0],0,..arg z s t z δπδπδ∉-∞∃>->>-+，由不等式 0000||||||||arg arg n n z z z z z z z -≤-+-即得充分性由不等式00||||||n z z z z -≥- 及 0000arg arg ||||||2||sin 2n n z z z z z z z --+-≥并注意0arg arg 222n z z δδππ--+<<-，可得必要性.2. 设z x iy =+∈C ,证明：()lim 1cos sin nx n z e x i y n →∞⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）§习题2．设E ⊂C 是非空点集，,z w ∈C .证明：()(),,d z E d E z ωω-≤-成立，而()()(),,,d z E d E d z E ωω-≤-不成立.证明：,E ξ∀∈有 (,)inf ||||||||Ed z E z z z z ξξξωω∈=-≤-≤-+-||(,)||d z E z ωξω⇒-≥--，取下确界得(,)inf ||(,)||Ed E d z E z ξωωξω∈=-≥--，即(,)(,)||d z E d E z ωω-≤-（1）同样可得(,)(,)||d E d z E z ωω-≤-（2）因此由（1）（2）可得结论成立.反例：令{1},2,1E z ω===.则(,)d z E =1，(,)d E ω=0，(,)d z E ω-=03. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集：(i) N ={k: k 为自然数}；解：内部：空集；边界：N ；闭包：N ={k: k 为自然数}；导集：空集.(ii) E={1k: k 为自然数}：解：内部：空集；边界：E ⋃{}0；闭包：E = E ⋃{}0；导集：{0}.(iii) D=B(1,1) (1,1)B ⋃-;解：内部：D=B(1,1) (1,1)B ⋃-; 边界：{:|1|1D z z ∂=∈-=C 或|1|1}z +=；闭包：{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；导集：'{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；(iv) G={z ∈C : 12z <≤};解：内部：{:1||2}o G z z =∈<<C ；边界：；{:||2G z z ∂=∈=C 或||1}z = 闭包：{:1||2}G z z =∈≤≤C ；导集：'{:1||2}G z z =∈≤≤C ；(v) C .解：内部：C ；边界：空集；闭包：C ；导集：C .4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：(i) Z={k: k 为自然数}；解：闭集，非开集，非紧集；(ii) E 为有限集；解：紧集；(iii) D={}:Im 0\k k z z F ∞=-∞⎛⎫∈>⋃ ⎪⎝⎭C ， {}:,01k z z k iy y F =∈=+≤≤C ；解：开集； (iv) G=B(0,1)\ 1:1k k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为自然数; 解：非开，非闭，非紧；(v) C \B ()R ∞，;解：紧集.8. 设D 是开集，F D ⊂是非空紧集，证明：（i ）(),0;d F D ∂>(ii) ()()1210,,,,...,,,nn k k d F D F z z z F B z D δδ=∂⊂⋃⊂对任意<<存在中的点使得并且()()1,,,n k k d B z D d F D δδ=⎛⎫∂≥∂- ⎪⎝⎭⋃. 证明：（1）由定理可得（2）(,),k B z ζδ∀∈成立(,)(,)(,)(,)||k k d F D d D d z D d D z ζζζδ∂-∂≤∂-∂≤-<即(,)(,)d D d F D ζδ∂>∂-，即n1((,),)inf (,)(,)k k d B z D d D d F D δζδ=⋃∂=∂≥∂-§习题1.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么如果是域，说明它是单连通域还是多连通域（i ）Re 1;z =实部是1的直线，不是域(ii) Im 5z <-;虚部小于-5的开平面，单连通域 (iii) 5;z i z i -++=椭圆曲线不是域 (iv) 2;z i i -≤-闭圆盘单连通域(v) ()arg 1;6z π-= 半射线不是域(vi) 11,Im ;2z z <> 开弓形单连通域 (vii) 12;1z z -≤+ 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg .4z i z i π-<<+左半平面（不含虚轴）与以（-1，0为半径的闭圆盘外部之交多连通域§习题3.证明紧集的连续像为紧集.证明：任取()f E 的开覆盖{}U u =，则11(){()}f U f u --=是E 的一个开覆盖，因为E 为紧集，存在有限个开集11111121(),(),...,()(),..()nn k k f u f u f u f U s t E f u -----=∈⊂⋃，故1()k k f E u ∞=⊂⋃，从而()f E 是紧集..将紧集换成闭集，结论不一定成立.反例：取[1,),E =∞令1().f x x=则()(0,1]f E =不闭.5. 证明：若f 在域D 上一致连续，则对任意()00,lim .z z z D f z →∈∂存在证明：因为f 在域D 上一致连续，故0,ε∀>∃0δ>，对D 上任意的1,2z z ，只要122,z z δ-<有()12f z z ε-<. 因此120,(,)z z D B z δ∀∈⋂，有()12f z z ε-<，由Cauchy 收敛原理，极限存在.。

复变函数初步例题和知识点总结

复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。

一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。

例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。

将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。

二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。

例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。

由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。

（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。

例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。

三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。

设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。

复变函数课后部分习题解答

1.2求下列各式的值。

〔1<3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]=25<-3/2-i/2> =-163-16i1.2求下列式子的值〔2〔1+i 6解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2〔cos4π+isin 4π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i=-8i1.2求下式的值 <3>61-因为-1=〔cos π+sin π所以61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] <k=0,1,2,3,4,5,6>. 习题一1.2〔4求<1-i>31的值。

解：<1-i>31 =[2<cos-4∏+isin-4∏>]31 =62[cos<12)18(-k ∏>+isin<12)18(-k ∏>] <k=0,1,2> 1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2即1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-23w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。

复变函数习题解答

复变函数练习题解答一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指明它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论. （1）1()1sin f z z=，（2）11()e 1zf z z=-- 解. （1）1()1sin f z z=有奇点10,(1,2,3,),πk k =∞，因在扩充复平面上 11sin ()f z z=有一阶零点1(1,2,3,),πk k =∞，故1()1sin f z z=有一阶极点1(1,2,3,),πk k =∞，易见0是()f z 的一阶极点1(1,2,3,)πk k =的极限点，因而0不是()f z 的孤立奇点.解. （2）11()e 1z f z z=--有奇点0,2πi(1,2,3,),k k =∞，因000e 1(e 1)lim ()lim lim (e 1)((e 1))z z z z z z z z z f z z z →→→'-+-+=='-- 0001e (1e )e 1lim lim lim e 1e (e 1e )2e e 2z z z z z z z z z z z z z z z →→→'---====-'-+-++ 0是()f z 的可去奇点，易见()f z 有一阶极点2πi(1,2,3,)k k =.事实上2πi2πi2πi 2πilim (2πi)()lim ()e 1zz k z k z k z k z k f z z→→---=-- 2πi 2πi 2πi 1limlim 1e 1ez z z k z k z k →→-===- 因而∞是()f z 的一阶极点2πi(1,2,3,)k k =的极限点，∞不是()f z 的孤立奇点.二、考查函数3322()2f z x y x y i =-+的可微性和解析性，并求出导数（如存在）.解. 因33(,)u x y x y =-，22(,)2v x y x y =，23u x x ∂=∂，23u y y∂=-∂， 24v xy x ∂=∂，24v x y y ∂=∂，故3322()2f z x y x y i =-+仅在两个点33(0,0),(,)44满足C R -条件u v x y ∂∂=∂∂，v uxy ∂∂=-∂∂，因此函数3322()2f z x y x y i =-+处处不解析，仅在两个点33(0,0),(,)44可导和可微，且(0)0f '=，3327()444f i '+=.三、求出圆2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件(0)1f =解.1． 12zz =将圆2z <映为圆11z <，2．因212i z iz e z iθ-=+将半平面2Im 0z >映为圆11z <，故逆映射 121i i i e z z e z θθ+=-将圆11z <映为上半平面2Im 0z >3．2i w z =-将上半平面2Im 0z >映为右半平面Re 0w >4．上述三个映射的复合22i i z e w e zθθ+=-将圆2z <映为半平面Re 0w >，且符合条件(0)1f =.四、证明：级数111(1)i 1n n n ∞-=-+-∑收敛，但不绝对收敛，提示，写成实部和虚部.证因112211111(1)(1)(i)i 1(1)1(1)1n n n n n n n n ∞∞--==--=--+--+-+∑∑ 其实部1211(1)(1)1n n n n ∞-=---+∑条件收敛，虚部1211(1)(1)1n n n ∞-=--+∑绝对收敛因此级数111(1)i 1n n n ∞-=-+-∑收敛，但不绝对收敛.五、计算下列积分（1）1d (31)z zz z =+⎰ （2）2π0d ,(1)cos a a θθ>+⎰ 解. （1）1d 12π(Res(,0)Res(,))0(31)3z z i f f z z ==+-=+⎰，事实上 001Res(,0)lim ()lim131z z f zf z z →→===+1Res(,))3f -103111Res(,)lim()()lim 1333z z f z f z z →→--=+==-（2）已知1a >，为求2π0d cos a θθ+⎰，令i e ,02πz θθ=≤≤，则原积分I =22111d 2d 1i i 21()2z z z zz z z az a z ===++++⎰⎰，记21()21f z z az =++，1z a =-+122πiRe (,)iI s f z =111214πlim4πlim 2122z z z z z z z az z a →→-==+++112πz a ==+六、设函数()f z 在区域D 内解析，试证222222()()4'()f z f z x y∂∂+=∂∂ 证（1）设()i f z u v =+，则222()f z u v =+，（2）左222222222()2()xx y y xx yy xx yy u v u v u u u v v v =+++++++（3）由（2）和Laplace 方程0xxyy u u +=，0xx yy v v +=知，左22222222xx y y u v u v =+++，（4）由（3）和CR -条件v u y x ∂∂=∂∂，u v yx ∂∂=-∂∂知，左2244x x u v =+ （5）由（4）和()i x x f z u v '=+知，右2244x xu v =+ （6）由（4）和（5）知，左=右.七、设()f z 在1z <内解析，且(0)0f =，()1f z <，如果原点0是()f z 的λ阶零点，则（1）当1z <时()f z z λ≤（2）()(0)1!f λλ≤（3）如对于某一点00(01)z z <<，有00()f z z λ=，或者，()(0)1!f λλ=，那么，在1z <内()f z z λμ=，其中μ是一复常数，1μ=证因原点0是()f z 的λ阶零点，故可以将()f z 在1z <展成如下的幂级数1212()f z c z c z c z λλλλλλ++++=+++，且0c λ≠，记212()z c c z c z λλλϕ++=+++，则()z ϕ在1z <内解析，()()f z z z λϕ=，()()f z z zλϕ=，设1r<，0z r <，则由最大模定理知，0()()1()max{()}max max z r z r z r f z f z z z z r zλλϕϕ<==≤=≤<，令10r→-，得0()1z ϕ≤，因此（1）当1z <时()f z z λ≤得证；（2）由1212()f z c z c z c z λλλλλλ++++=+++知，()1()!(1)!f z c c z λλλλλ+=++⋅+，()1()(1)!f z c c z λλλλλ+=+++同（1）类似可以证明()()1!f z λλ≤.（3）如对于某一点00(01)z z <<，有00()f z z λ=或()(0)1!f λλ=，那么由最大模定理知，()z ϕ或()()!f z λλ是常值函数.因此，在1z <内，()f z z λμ=，其中μ是复常数，且1μ=.。

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复变函数疑难问题分析1)函数f(z)在区域D 中是否有无限个零点？ 2)是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答：有无限个零点。

可以具体写出其所以零点；不矛盾。

因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。

因为 z 0为非孤立的奇点。

2.“函数sinz 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在 z 平面上无界。

3. “函数e z 为周期函数” 是否正确？e z 是以2k i 为周期的函数。

因为 z C ，e z2ki e z e 2k i e z 1 e z ，k 为整数4. “ f(z) z 是解析函数” 是否正确？f (z) z 在z 平面上不解析。

因为f (z) z x iy ，所以u(x, y) x , v(x, y) y 所以丄1，丄 1，丄0,丄0x y y x但是-11 —，所以u(x, y)，v(x, y)在z 平面上处处不满足C. R.条件xy所以f (z) z 在z 平面上不解析。

5. 根据教材中建立起球面上的点(不包括北极点N)复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

(1)复球面上与点(一^,2,1)对应的复数；2 21.设 f (z)z 2 sin 丄,D zz|z 1 1若上小题的答案是肯定的,iziz这是因为sinz e —，令z iy(y2i0)，则 | sin z| | iz ize e2i(y(2)复数1+i与复球面上的那个点;(3)简要说明如何定义扩充复平面。

解：(1)建立空间直角坐标系(以0点为原点，SON为z轴正半轴)，则过点P(—2, —2,1)与点N(o,o,2)的直线方程为:-、2—-。

当z 0时，2 22 1x y 2，所以(上1,丄1,1)与复数J 、、2i对应。

2 2(2)复数1 i的空间坐标为(1,1,0)。

则直线方程-丄 * 与球面1 1 2x2 y2 (z 1)2 1 相交，其交点为(三2,2)，N(0,0,2)3 3 3(3)z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。

6. 说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数w f(z)在点Z。

处可导，又称为可微，而f(Z)在Z。

处的某个邻域内任一点处均可导(可微)，则称f(z)在Z。

处是解析的。

所以(1) w f(z)在点Z。

处可导(可微)，但不一定在z处是解析的，(2)f(z)在Z0处解析是指在Z0处的某个邻域内任一点处均可导，(3)f(z)在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。

17. f z sin-在区域D : 0 z 1上解析且有无穷多个零点，但在区域D上zf z不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？1 1f (z) sin —在区域D，0 z 1内有无穷多个零点厶一，但lim z k0，z k k但0 D，而区域D是去心邻域，f(z)在z 0点无意义，所以f(z)在z 0处是不解析的，也即f(z) sin丄在D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0,与z零点孤立性定理不矛盾。

8. 复级数a n与b n都发散,则级数(a n b n)和a n b n发散.这个命题是否n 1 n 1 n 1 n 19. 下列说法是否正确？为什么？(1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幕级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点答:(1) 不正确，因为幕级数在它的收敛圆周上可能收敛，也可能发散.⑵不正确，因为收敛的幕级数的和函数在收敛圆周内是解析的 10. 为什么区域|z| R 内解析且在区间(R, R)取实数值的函数f(z)展开成z 的幕级数时，展开式的系数都是实数?因为当z 取实数值时，f(z)与f (x)的泰勒级数展开式是完全一致的,展开成z 的幕级数时，它的系数都是实数。

z2 311.由门z z z°,所以有结果…请解释错误的原因z...要求z...要求z成立？为什么? 答.不一定•反例：a nn 1i2 , b n n n 1但 (a n n 1b n )飞收敛;n(a n b n )n 1-发散; n 1 na nb n[n 1n 1(丄 n1)]收敛.n而在|x| R 内，f(x)的展开式的系数都是实数所以，在区域| z| R 内，f(z)z2z3所以,在不同区域内而 sin z >1 e yx 1 |e yxi 1 e y e y2 2当y时，e y，e y有 | sin(x iy)|当y 时，e y ，e y 0 有 | si n(x iy)| y xi e e y y xi ey xi y xi e e sin z —2 e y 12. z 0是函数f(z)cos(1/ z)的孤立奇点吗？为什么?解:1因为f(z)cosq 的奇点有z 0k n n 1 -z ---------------- (k 0, 1, 2,...) k n n 2 所以在z 0的任意去心邻域，总包括奇点1；，当 k时，z=0。

1 解：不一定。

如令f(z) p ，则其在0 |z| 1内解析，且沿任何圆周C:|z| r ， z0 r 1的积分 C f (z)dz c |z| r1 —2 dz z1 但显然f (z)2在z 0处不解析 z 16.设f(z)在单连通区域D 内解析，且不为零，C 为D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分-C^dz 是否为零？为什么? 解：等于零。

因f(z)在D 内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f ⑺在D 内也解析，又因在D 内f ⑺0,故ft 在D 内解析，从而在C上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理，有Q - C f(z)dz f(z) 03 3 ・ x y i 3 3x y ,z 0 ,z 0 17.设 f(z)2 x 0 2 y 否可微？3 3 x y x, y 0,0 解：u x, y2 2x y0 x,y 0,0f (z)在原点是否满足C R 条件，是u x (0,0) lim U (x,°)呃°)X 0 x33x y x, y0,0 v x,y2 2x yx, y0,0lim x1，x 0x同理 U y (0,0) V x (0,0) V y (0,0)从而在原点f(z)满足C R条件又f f (z) ( u i v) (U x(O,O) i V x(O,O)z z=(1 i)( x)3( y (1 i) z(x)3( y)3z当z沿y x 0时f f (z) (1 i)z 2( x)3故f (z)在原点不可微18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子. 例如：f (z) z在z平面上处处不可微.证明：不难看出f (z) z在z平面上处处连续，但对于任意一点z .f(Z o Z) f(Z o) Z o Z % % Z Z o Zz z z z 当z取实数趋于零时，上述极限为1,而当Z取纯虚数趋于零时，上述极限为1，因此上述极限不存在，即f (Z)在点z不可导，由Z的任意性知f (z)在点Z平面上处处不可微.19. “若u(x, y)和v(x, y)均为调和函数，则f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数”是否正确？解：不正确。

例如：u(x,y) x2 y2，v(x, y) 2y2都是调和函数，x y但f (z) u(x, y) iv(x, y)不是解析函数。

事实上，U x 2X,U y 2y, U xx 2,U yy 2，2 22xyx yV x (x 2 y 2)2,V y(x 2y 2)26x 2y 2y 36x 2y 2y 3Vxx2 2\3,Vyy2 2\3(x y )(x y )U xx U yy0; V xx V yy 0 这表示u(x, y),v(x, y)是调和函数。

但u x v y ，即不满足C — R 条件，从而f(z) u(x, y) iv(x, y)不是解析函数。

20. 指出下列推导过程中的错误：设z 0，贝U (1) 因为(z)2 z 2 ； (2) 所以 Ln( z)2Lnz 2 ;(3) 于是有 Ln( z) Ln( z) Lnz Lnz ; (4)所以 2Ln( z) 2Lnz ;(5) 故得 Ln ( z) Lnz 。

解：推理步骤1) --3 )是正确的，但3)至4)是错误的。

Lnz Lnz 可视为由两个相同数集Lnz 各取一个元素相加所得的和的数集。

而2Lnz 只是数集Lnz 中每一数的两倍所成的数集。

2Lnz 仅是Lnz Lnz 的一个真子集。

事实上，Lnz ln | z | i (arg z 2k )， Ln( z) In | z | i (arg z (2k 1) ),k0, 1,...所以Lnz Ln( z)21. 在复变函数中，e z 也可以象实分析中的e x 既可看成以e 为底的指数函数，也可以看成数e 的x 次幕哪样理解吗？不能，在复变函数中，e z表示复变指数函数的一个符号，即e z e x(cosy i si ny)，—般用符号expz表示，习惯上还是用e z表示，但是，这里的e z没有幕的含意。

e z作为指数函数与e的z次幕有很大的差别。

作为指数函数e ze x(cosy i siny)是一单值解析函数。

作为e的z次幕，按照乘幕定义e z exp (zLne) exp[ z(lne 2k i)]=exp[z(1 2k i)] exp z exp(2k zi), k 0, 1, 2,...一般情况下，它是多值的。