数学试题(理)
江西省景德镇市2023届高三上学期第一次质检试题数学(理)试题
江西省景德镇市2023届高三上学期第一次质检试题数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2230,ln 0A x x x B x x =--<=≤，则A B =I （ ）A ．{11}x x -<<B ．{11}x x -<≤C ．{01}x x <≤D ．{01}x x ≤<2．已知复数z 满足()12i i 1z -+=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 53．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙恰好一人入选的概率为（ ）A ．35B ．25C ．15D ．3104．将函数()()cos 2f x x φ=+的图像向右移6π后关于原点中心对称，则ϕ可能的取值是（ ） A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 5．若实数x ，y 满足约束条件30230210x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．135-B ．3C ．6D ．106．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．0B ．12C ．12-D ．-17．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（ ）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE8．已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，若3FA FB ⋅=，则p =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知函数()11,041,0x xf x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值为（ ）A ．4B ．92C ．143D ．510．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A D 中点，过11AC 且与1CD 平行的平面交平面1C CM 于直线l ，则直线l 与平面1BCMA 所成角的正弦值是（ ）ABCD11．已知双曲线C ：2214y x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（ ） ABCD12．已知ABC V 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC V 的面积为S ，若()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则2Sb 的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2二、填空题13．已知()51ax +的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中2x 项的系数为___________.14．已知单位向量a r ，b r，且()2a a b ⊥-r r r ，则a b +=r r ___________.15．对任意实数x ，都有sin cos24a x x +≤恒成立，则a 的取值范围为____________. 16．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q =.数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________.三、解答题17．数列{}n a 满足1123n n a a ++=，且132a =. (1)证明：数列121n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；(2)求数列21n n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n S .18．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱1AA ，1CC 上的点，CM ∥平面BEF ，且M 是AB 的中点.ABB A；(1)证明：平面BEF⊥平面11=，求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.(2)若AC AE19．某核酸检测机构为了提高核酸检测效率，对核酸检测设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：小时）数据，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列联表，并判是否有90%以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异(2)核酸检测机构的检测设备的运行需要进行维护，核酸检测机构对检测设备的维护费用包括正常维护费和额外维护费两种，对检测设备设定维护周期为144小时（开机运行144小时内检测一次）进行维护，检测设备在一个月内（720小时）设5个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若检测设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生额外维护费；若检测设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生额外维护费，经测算，正常维护费为0.56万元/次，额外维护费第一次为0.22万元/周期，此后每增加一次则额外维护费增加0.22万元.已知检测设备在技术改造后一个周期内能连续正常运行的概率为3，求一个月内维护费的分布列及均值.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++）20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，长轴是短轴的2倍，点()P 在椭圆C 上，且P 在x 轴上的投影为点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+. (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为323x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=-. (1)求1C 的普通方程和2C 直角坐标方程；(2)若1C ，2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，求11PA PB +的值.23．已知()23f x x x =-++. (1)解不等式()9f x ≥.(2)记()f x 的最小值为m ，若a b c m ++=，求z =的最小值.。
高三数学(理)联考试卷
2023届高三年级11月联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜x －y ＝0}，B ＝{（x ，y ）｜x －y 2＝0}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{（0，0），（1，1）}D ．∅2．若a ＞b ＞0＞c ，则A ．（a －b ）c ＞0B ．c a ＞cb C ．a －b ＞a －cD ．1a c ＋＜1b c＋3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且n a ＞0，则6328S S a a －＋＝A ．2B ．32C ．1D ．124．已知α为第三象限角，且1cos23α＝，则cos α＝A．－3B．－3C．3D．35．已知数列{n a }是1a ＞0的无穷等比数列，则“{n a }为递增数列”是“k ∀≥2且k N *∈，k a ＞1a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b的夹角正切值为，且（a ＋3b ）⊥（2a －b ），则ab＝A ．2B ．23C ．32D ．17．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC的面积为A ．21512a B ．21512b C ．212a D ．212b 8．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ，不等式()f x x＜0的解集为（(312，0）∪（0，()312），则不等式f （x ）≤－27的解集为A ．{x ｜x ≤－3或x ＝3}B ．{x ｜x ≤3}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥3或x ＝－3}9．若2a ＝3b ＝6c 且abc ≠0，则A ．a c －a b＝1B ．b a －bc ＝1C ．a c －b c＝1D ．a b －b c＝110．已知函数f （x ）＝sin 3x πω⎛⎫⎪⎝⎭－（ω＞0）的最小正周期为π，则A ．f （2）＜f （0）＜f （－2）B ．f （0）＜f （－2）＜f （2）C ．f （－2）＜f （0）＜f （2）D ．f （0）＜f （2）＜f （－2）11．对任意实数x ，定义[x]为不大于x 的最大整数，如[0．2]＝0，[1．5]＝1，[2]＝2．已知函数f （x ）＝[x]·sin x π，则方程｜f （x ）｜＝3－50x在（0，＋∞）上的实根个数为A ．290B ．292C ．294D ．29612．已知点P 在曲线y ＝－1x（x ＞0）上运动，过P 点作一条直线与曲线y ＝e x 交于点A ，与直线y )1x －交于点B ，则｜｜PA ｜－｜PB ｜｜的最小值为A ．1B ＋1C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝4，则11a ＝__________．14．在平行四边形ABCD 中，AE ＝AD λ ，AF＝AB μ ，λμ＞0，且E ，C ，F 三点共线，则λ＋μ的最小值为__________．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （2π＋x ）＝f （2π－x ），f （2π）＝3，且()sin f x x '＋f （x ）cosx ＞0在（0，2π）内恒成立（()f x '为f （x ）的导函数），若不等式f （4π＋x ）sin （3π－x ）≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．设－1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公差为d 的等差数列，a 2，a 4，a 6成公比为3的等比数列，则d 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，角α，β，γ（α，β，γ∈（0，2π））的顶点在原点，始边均与x 轴正半轴重合，角α的终边经过点A （－1，2），角β的终边经过点B （3，4）．（Ⅰ）求tan （α－β）的值；（Ⅱ）若角γ的终边为∠AOB （锐角）的平分线，求2sin γ的值．18．（12分）已知数列{n a }的各项均不为0，其前n 项的乘积n T ＝12n －·1n a ＋．（Ⅰ）若{n a }为常数列，求这个常数；（Ⅱ）若1a ＝4，设n b ＝2log n a ，求数列{n b }的通项公式．19．（12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝2π，∠BCD ＝4π，5BC ＝CD ，AB，AD ＝3．（Ⅰ）求tan ∠BDC 的值；（Ⅱ）求BD ．20．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋＝4n a ．（Ⅰ）证明：数列{12nn S －}为等差数列；（Ⅱ）求数列{n S }的前n 项和n T ．21．（12分）已知函数f （x ）＝2x －1＋x ae的最小值为1．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f （x ）没有公共点，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ln x＋x（x－3）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x1，x2，x3∈（0，＋∞），且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求证：2x1＋x2＞x3．。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学(理)试题含答案
2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B xx =≤∣，则A B ⋃＝（）A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （）A ．1B C D ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,a =- ，b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（）A ．B ．－1C ．1D 5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1 F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x=±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f（x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（）A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（）A ．函数f （x ）有唯一的极大值点B ．函数f （x ）有唯一的极小值点C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b =，将数列{}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅= （）A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求 n b 取得最大值时的n ．18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PAB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值．20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+．（1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1 F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122F M F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；（2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ．（1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案ABABBDADDABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．15014．1315．20π16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =．方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=；当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或818．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：()1121 255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X1-01P15815415所以()18411015151515E X =-⨯+⨯+⨯=（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥．又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,n PD n PD n PD ⋅==⋅ 设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sin 33θ==因此：当0a >时，可得3633≤（当且仅当1a =时等号成立）又当0a ≤时，易知不符合题意．所以PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值为63．20．【解析】（1）()()()221112121x x x x f x x x x x----++='=-+=故f （x ）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max 10f x f ==，即()0f x ≤（2）当a ＝0时，()2f x x =-，不存在零点当0a ≠时，由()0f x =得21ln x xa x +=，()0,x ∞∈+设()2ln x x g x x +=，则()312ln x xg x x --'=令()12ln h x x x =--，易知()h x 在()0,∞+上是单调减少的，且()10h =．故()g x 在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于211101e g e e -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11g =，且当1x >时，()0g x >故若函数()f x 有且只有一个零点，则只须11a =或10a<即当(){},01a ∞∈-⋃时，函数()f x 有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12c a =，即2a c =，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF +=+-2225a AF a ≤+=+=，又∵222a b c =+，且52a ≤，故可得：2a =，b =，1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y +=（2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122F M F N =，根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >．设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+①122934y y m =-+②又112F M PF =，得122y y =-③由①②③得，255m =．得直线PM 的方程为2515x y =-20y -+=，设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将5m =代入上式得278PM =，设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127259522838S PM d =⋅⋅=⨯⨯=【选做题】22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+，因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥，即2a b +的取值范围是[)4,∞+．（2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+，当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。
2020年高考试题——数学(理)(全国卷II)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(A∪B)＝1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则UA.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}2.若α为第四象限角，则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为52535456.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k＝A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于D，E两点。
数学理(全国Ⅲ卷)丨2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试卷及答案
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.62.复数113i -的虚部是 A.－310 B.－110 C.110 D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B.p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C.p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D.p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数。
当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.695.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A.(14，0) B.(12，0) C.(1，0) D.(2，0) 6.已知向量a ，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b>＝A.－3135 B.－1935 C.1735 D.19357.在△ABC 中，cosC ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cosB ＝A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6＋2B.4＋2C.6＋3D.4＋3 9.已知2tan θ－tan(θ＋4π)＝7，则tan θ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.210.若直线l 与曲线y x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为 A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋1211.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P 。
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) PDF版含解析
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝04．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)135．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±126．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π207．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c＜b＜a(B)c＜a＜b(C)a＜b＜c(D)b＜c＜a 8．(杨宪伟老师工作坊)(5x2＋8x)9的展开式中含x3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84 9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)3511．(杨宪伟老师工作坊)已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝▲．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2sin B，则A＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n}中，a1＋a5＝7，a6＝132．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n＋1}的前n项和为S n．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}【答案】B【解析】因为集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，所以P ∪Q ＝{－2，－1，0，2，3}，故选(B)．2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为z ＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝0【答案】D【解析】令y 28－x 26＝0，可得：2x ±3y ＝0，故选(D)．4．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)13【答案】A 【解析】解法1：因为tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝15，所以tan α＝－23，故选(A)．解法2：tan α＝tan(α＋π4－π4)＝tan(α＋π4)－tanπ41＋tan(α＋π4)tanπ4＝－23，故选(A)．5．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±12【答案】D【解析】f (x )＝x 2－e －ax ，f'(x )＝2x ＋a e －ax ，所以f'(0)＝a ，f (0)＝－1，f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝ax －1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积12×1×1|a |＝1，解得：a ＝±12，故选(D)．6．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π20【答案】C 【解析】解法1：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，得到的是函数y ＝cos2(x －π20)＝cos(2x －π10)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12，得到的是函数y ＝cos(4x －π10)，令4x －π10kπ(k ∈Z)，解得：x ＝π40＋kπ4(k ∈Z)，故选(C)．解法2：函数y ＝cos2x 的一条对称轴为x ＝0，将其向右平移π20个单位长度，再将横坐标缩小到原来的12，可得：x ＝π40，故选(C)．7．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c ＜b ＜a (B)c ＜a ＜b(C)a ＜b ＜c(D)b ＜c ＜a【答案】C【解析】因为a ＝log 32∈(0，0.5)，b ＝0.30.5∈(0.5，1)，c ＝0.5－0.4∈(1，2)，所以a ＜b ＜c ，故选(C)．8．(杨宪伟老师工作坊)(5x 2＋8x)9的展开式中含x 3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84【答案】B【解析】(5x2＋8x)9的展开式中含x3项为C59(5x2)4(8x)5＝C59·54·85x3，故选(B)．9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取B1C1的中点E，连结ME，EN，则平面ME∥CC1，所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角，在△EMN中，MN＝EN＝6，ME＝2，cos∠EMN＝ME2MN＝36，故选(A)．10．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)35【答案】B【解析】由题意：第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，所以μ＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69；σ2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119，σ≈10.9，P (X ＞79.9)＝1－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)2≈0.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：100×0.15865≈16，故选(B)．11．(杨宪伟老师工作坊)已知球O 的内接三棱锥P －ABC 的体积为6，且PA ，PB ，PC 的长分别为6，3，2，则三棱锥A －BOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】V P －ABC ＝V C －P AB ≤13×12×PA ×PB ×PC ＝6，所以PA ，PB ，PC 互相垂直，而O 为三棱锥P －ABC V A －BOC ＝V O －ABC ＝12V D －ABC ＝12V P －ABC ＝3，故选(B)．12．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且g (x )＝2f (x ＋1)－2，2f (x )＋g (x －3)＝2．若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝3，现有四个结论：①g (0)＝4；②4为g (x )的周期；③g (x )的图象关于点(2，0)对称；④g (3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③【答案】C【解析】因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，g (x )＝2f (x ＋1)－2，f (1)＝3，所以g (0)＝2f (1)－2＝4，①正确；又因为2f (x )＋g (x －3)＝2，所以2f (x ＋1)＋g (x －2)＝2，g (x )＝－g (x －2)，即：g (x )＝g (x －4)，故4为g (x )的周期，②正确；因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，2f (x )＋g (x －3)＝2，所以g (x －3)＝g (x ＋1)关于直线x ＝1对称，g (x )关于直线x ＝2对称，③错误；而g (3)＝－g (1)＝g (1)，所以g (3)＝g (1)＝0，④正确，故选(C)．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a ＝(3，2)，b ＝(λ，－4)，若a ⊥(a －b )，则λ＝▲．【答案】7【解析】因为a ⊥(a －b )，所以(a －b )•a ＝0，即：a •b ＝a 2，3λ－8＝13，λ＝7．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．【答案】712【解析】P ＝13＋14＝712．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点为O ，经过过点A ，且F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝3|OF |，则△OAF 的面积为．【答案】2【解析】设A (x 0，y 0)，则|AF |＝x 0＋1＝3|OF |＝3，x 0＝2，|y 0|＝22，故△OAF 的面积＝12|y 0|＝2．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝▲．【答案】2π3【解析】因为sin C ＝2sin B ，所以c ＝2b ，又因为a 2－b 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc －3bc2bc＝－12，A ＝2π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝7，a 6＝132．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为S n ．【解析】(1)因为a 1＋a 5＝2a 3＝7，所以a 3＝72，而a 6＝132，所以{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝1，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋12；(2)1a n a n ＋1＝4(2n ＋1)(2n ＋3)＝2(12n ＋1－12n ＋3)，S n ＝2(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝2(13－12n ＋3)＝4n6n ＋9．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A ，B 两组题，每组都有4道题目，甲对A 组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B 组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A 组中任选2道题或从B 组中任选2道题．(1)若甲选择从A 组中任选2道题，设X 表示甲答对题目的个数，求X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．【解析】(1)记甲选择从A 组中任选2道题，选到的2道题都有思路为事件M ，只有1道题有思路为事件N ，则P (M )＝C 23C 24＝12，P (N )＝12．X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝12×(1－23)2＋12×(1－23)×(1－14)＝1372；P (X ＝1)＝12×C 12×(1－23)×23＋12×[23×(1－14)＋(1－23)×14]＝3772；P (X ＝2)＝12×(23)2＋12×23×14＝1136；X 的分布列为：X 012P137237721136EX ＝0×1372＋1×3772＋2×1136＝98．(2)设甲从B 组中任选2道题作答，答对题目数量为Y ，则Y ～B (2，0.6)，EY ＝2×0.6＝1.2＞EX ＝98，故甲应该选择B 组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，已知AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，2AB ＝AC ＝AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点，G 为CD 的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．【解析】(1)因为F 为AC 的中点，G 为CD 的中点，所以AD ∥GF ，又因为AD ⊄平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，所以AD ∥平面EFG ；(2)解法1：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，D (0，0，4)，C (0，4，0)，BC →＝(－2，4，0)，DC →＝(0，4，－4)，EF →＝(－1，2，0)，FG →＝(0，0，2)，设平面BCD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )•BC →＝0•DC →＝0x ＋2y ＝0－z ＝0，令y ＝1，则n →＝(2，1，1)，设平面EFG 的法向量为m →＝(x 1，y 1，z 1)，•EF →＝0•FG →＝0x 1＋2y 1＝01＝0，令y 1＝1，则m →＝(2，1，0)，cos<m →，n →>＝m →•n →|m →||n →|＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．解法2：取BD 的中点H ，连结EH ，GH ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交EF 于N ，连结DM 交GH 于O ，连结ON ，则H ∈平面EFG ，因为AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，所以AD ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，而AM ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADM ，又因为BC ∥GH ，所以GH ⊥平面ADM ，而平面EFG ∩平面BCD ＝GH ，所以∠MON 平即为面BCD 与平面EFG 所成角，由(1)可得：AD ∥平面EFG ，平面EFG ∩平面ADM ＝ON ，所以AD ∥ON ，∠MON ＝∠ADM ．而AM ＝AB •AC BC ＝455，DM ＝AM 2＋AD 2＝4305，cos ∠ADM ＝AD DM ＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，所以f'(x )＝(x －a )(x －2a )x ，而a ≠0，所以当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，a )和(2a ，＋∞)，减区间为(a ，2a )；当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；(2)因为f (x )有3个零点，所以a ＞0，f (a )＝2a 2(ln a －54)＞0，f (2a )＝2a 2(ln2a －2)＜0，解得：e 54＜a ＜e 22，此时f (1)＝12－3a ＜0，f (6a )＝2a 2ln6a ＞0，f (x )在(1，a )、(a ，2a )和(2a ，6a )各有1个零点，共有3个零点，满足题意，所以a 的取值范围为(e 54，e 22)．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－7a 2＝916，所以a 2＝16，b 2＝7，C 的方程为：x 216＋y 27＝1．(2)F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜4且x 0≠3)，S 1S 2＝|PA |·|PB ||PF 1|·|PF 2|＝5－x 0x 0＋3·5－x 0|x 0－3|＝913，当x 0＜3时，(5－x 0)29－x 20＞1不成立，3＜x 0＜4时，(5－x 0)2x 20－9＝913，解得：x 0＝72，|y 0|＝1058，此时S 1＝12|AB |(5－x 0)＝34|AB |＝913S 2＝913×3|y 0|，故|AB |＝910526．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．【解析】(1)圆M 的半径r ＝|3＋0－5|12＋12＝2，设P (ρ，θ)为圆M 上的任意一点，则在△OPM中，由余弦定理可得：2＝ρ2＋9－6ρcos θ，即：ρ2－6ρcos θ＋7＝0，故圆M 的极坐标方程为：ρ2－6ρcos θ＋7＝0；(2)令θ＝α，可得：ρ2－6ρcos α＋7＝0，1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝6cos α7＝17，解得：cos α＝16，而0＜α＜π2，故tan α＝35，直线AB 的直角坐标方程为y ＝35x ．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．【解析】(1)f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，当x ＝－1时可取等号，故M ＝3，不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|等价于|2x －1|＜3，解得：－1＜x ＜2，故原不等式的解集为(－1，2)；(2)由柯西不等式可得：(a 2＋2b 2)[22＋(22)2]≥(2a ＋b )2，即：2a ＋b ≤362，当且仅当a ＝4b ＝263时取等号，故2a ＋b 的最大值为263．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版)(2)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+g 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦， B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 【答案】 A 【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴Θ的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。
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2014年高考针对性训练(山东卷)
理 科 数 学
本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．训练时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P A B P A P B ⋂=⋅.
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
2320A x x x =-+=，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.6
2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是
,OA OB ，则12z z +=
A.1
B.
C.2
D.3 3. 22log sin
log cos 212ππ+的值为 A.2-
B. 2-
C.12
D.1
4.设等差数列{}n a 的前n 项和为357899,30n S S S a a a ==++=，若，则
A.27
B.36
C.42
D.63
5.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为
A.96
B.136
C.152
D.192
6.如图，在1,3ABC AB AC ∆==中，，D 是BC 的中点，则
AD BC ⋅=
A.3
B.4
C.5
D.不能确定
7.函数()()2cos x f x x
π=的图象大致是
8.执行右面的程序框图，输出的S 的值为
A.0
B. 2
C.1
D.
9.
设曲线y x =轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机设一点，则该点落入区域(){}22,2x y D x
y ∈+<的概率是 A. 1ππ- B. 1
ππ+ C.
23 D. 34
10.已知定义域为R 的函数()()33sin cos 2cos bx x bx x f x a a b R x
++=+∈+、有最大值和最小值，且最大值与最小值和为6，则32a b -= A.7
B.8
C.9
D.10 第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11.已知关于x 的不等式21x a x -+->的解集为全体实数R ，则实数a 的取值范围是________.
12.已知()()6
11ax x ++的展开式中2x 的系数为3，则a =__________. 13.设0x 是方程10lg x x -=的解，且()()0,1=x k k k Z k ∈+∈，则___________.
14.设变量,x y 满足约束条件32210,28
y x y x y x x y ≤-⎧⎪⎪-+≤⎨⎪+≤⎪⎩则的最大值是____________. 15.过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点()(),00F c c ->，作倾斜角为6π的直线EF 交该双曲线右支于点P ，O 为坐标原点，若()
102OE OF OP OE EF =
+⋅=且，则双曲线的离心率为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C
对应的边分别是,,.2a b c a b A B ==∠=∠且. （I ）求cos B 的值；
（II ）求c 的值.
甲地区有10名人大代表，其中有4名女代表；乙地区有5名人大代表，其中有3名女代表，现采用分层抽样方法从甲、乙两地区共抽取3名代表进行座谈.
（I ）求从甲、乙两地区各抽取的代表数；
（II ）求从甲组抽取的代表中至少有1名女代表的概率；
（III ）记ξ表示抽取的3名代表中女代表数，求ξ的分布列及数学期望.
18.（本小题满分12分）
在四面体A B C D A -⊥中，平面BCD ，
302,BC CD DBC AD BD ⊥∠===，，M 是
AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且
AQ=3QC.
（I ）证明：PQ//平面BCD ；
（II ）求二面角C BM D --的大小.
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n b 满足{}11117242
n n n n b b b T b +=+=，且，为的前n 项和. （I ）求证：数列12n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （II ）如果对任意的2*
22321045n n T n N n n k -+-∈≤++，不等式恒成立，求实数k 的取值范围.
20.（本小题满分13分）
已知曲线C 上任意一点P 到点F （0，1）的距离比它到直线:2l y =-的距离小1，一个圆的圆心为A （0，4），过点A 的直线与曲线C 交于D ，E 两点.
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）当线段DE 长度最短时，曲线C 过D 点的切线与圆A ，求此时圆A 的方程.
已知函数()()21,x ax f x e x g x x e =--=.
（I ）求()f x 的最小值；
（II ）求()g x 的单调区间；
（III ）当1a =时，对于在（0，1）中的任一个常数m ，是否存在正数0x 使得()()002
m f x g x >
成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由.
11。