函数值域方法
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的十种方法
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。
反解得 ，故函数的值域为 。
【练习】
1．求函数 的值域。
2．求函数 ， 的值域。
【参考答案】1． ； 。
四．分离变量法：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
例23、：求函数 的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点(2，3)到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到 的值域。
【练习】
1．求函数 的值域。
【参考答案】1．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例6：求函数 的值域。
解：∵ ，
∵ ，∴ ，∴函数 的值域为 。
适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数)的形式。
例7：求函数 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用分离变量法；则有 。
不妨令： 从而 。
注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母.所以 故 。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
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函数值域方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，舍去；,2324)2(≠-⨯=f （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y 〈〈〈-++-+-= 的最值时，①n 为奇数时，取得最小值；时，当y x x n 21+=②取得最小值。
时，为偶数时，当y x x x n n n ],[122+∈例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f 〈〈〈-++-+-= ， ，无最大值；时，当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i ni x f x f x f x f a =〉∑= ；，时，当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ，无最小值。
时，当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1n i ni x f x f x f x f a =〈∑=例9.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令 上单调递增在R x f )(⇒422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f[-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ⇒二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，写成关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
例10．求函数32x 2x 1x x y 22+-+-=的值域例11．228()1mx x nf x x ++=+已知函数的值域为[1,9]，求m 、n 的值三．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为我们熟悉的函数形式，从而求出值域例12．求135-+-=x x y 的值域 例13．求242x x y -+-=的值域【点评】例12为代数换元，例13为三角换元，带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。
例14．求函数)5,2(,11342∈-+-=x x x x y 的值域 例15．求函数)1,1(,45212-∈+++=x x x x y 的值域 解二： 解二：例16．求函数]2,0[,cos sin cos sin π∈+=x x x x x y 的值域例17．求函数x x y ++-=2312的值域 解一：（三角换元法）]1,2[-∈x由]2,0[,sin 32,cos 313)2()1(22πθθθ∈=+=-⇒=++-x x x x 令则)32arctan sin(39sin 33cos 32+=+=θθθy由39]32arctan 2,32[arctan 32arctan ]2,0[max =⇒+∈+⇒∈y πθπθ3213239min =⋅=y ]39,32[值域为⇒四．分离常数法：一次分式函数dcx bax x f ++=)(及可化为其形式的函数例18．求函数233-+=x x y 的值域 例19．)1,0(),2(log 2∈=x x y x 求函数 解一：五．配凑法：耐克函数、伪耐克函数)0()(〉±=a xax x f 及可化为其形式的函数 例14．求函数)5,2(,11342∈-+-=x x x x y 的值域 例15．求函数)1,1(,45212-∈+++=x x x x y 的值域 解一： 解一：例20．求函数)1,1(,11222-∈++++=x x x x x y 的值域 解：（分离配凑法）六．基本不等式法：若,2222,0,2222b a b a ab b a b a ab b a +≤+≤⇔+≤+≤〉则当且仅当b a =时等号成立。
推广：≤⇔++≤++≤〉32223333,0,,abc c b a c b a abc c b a 则若≤++c b a时等号成立。
，当且仅当c b a c b a ==++2223 例21．求函数)0(22〉+=x x x y 的值域 例22．求函数)0(122〉+=x xx y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域 例23．求函数,2632x x y -=)30(<<x 的值域解二：【点评】利用基本不等式求函数的最值要注意“一正二定三等号”。
例24．若。
的取值范围是则_________,,,22b a b a b ab a R b a ++=+-∈ 解一：2222)(43)2(33)()(3)(b a b a ab b a b a b a ab b a +=+≤=+-+⇒+=-+ ]4,0[0)(4)(2∈+⇒≤+-+⇒b a b a b a【点评】时等号成立，当且仅当，则若b a b a b a ab R b a =+≤+≤∈)(2)(4,222。
七．复合函数外函数法：对复合函数为y = f(g(x))，令函数)(),(x g u u f y ==，先求出内函数)(x g u =的值域，把它作为外函数)(u f y =的定义域，从而求出外函数值域的方法。
例25．求函数()3x 5x 2y 221++-=log 的值域八．反函数法：当函数有反函数时，可求反函数的定义域，从而得到原函数的值域例18．求函数233-+=x x y 的值域 解二：【点评】函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠++=c d x 0c d cx b ax y ,,的值域为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a九．有界性法例26．求函数2cos 31cos 2-+=x x y 的值域 例27．求函数11+-=x x e e y 的值域例28．求函数221x y x =+的值域 例29．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解一： 解一：十．图像法：画出函数的图象，根据图像直观地得出函数的值域例30．若函数.)()5,2()0,3()1(的定义域，求函数的定义域为x f xx f ⋃-+例31．求函数]1,[,22)(2+∈+-=t t x x x x f 的最大值和最小值【举一反三】求函数]1,[,22)(2+∈+-=t t x x x x f 的值域例33.设1||)(2+-+=a x x x f a 为实数，函数.（1）求的最小值；时、、分别取)(101x f a - （2）求的函数解析式的最小值)()(a m x f .【举一反三】设)()2(,1)0()1.(||)(2)(2x f a f a x a x x x f a 求的取值范围；求若为实数，函数≥--+=的最小值.十一.三角恒等变换法例34.cos cos αβαβ+已知sin +sin =求的取值范围。
2十二．绝对值不等式的性质：||||||||||||b a b a b a +≤+≤-（前者取等取等，后者00≥≤ab ab ）例35．求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域 例36．|4||3|---=x x y 的值域解一： 解一：十三.参数法例37．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解二：十四．数形结合法（几何法）例35．求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域 例36．|4||3|---=x x y 的值域解二： 解二：例29．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解二：例37．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解三：例38．的最小值求满足已知22,60125,y x y x y x +=+及此时y x ,的值解一：例40．求函数52122+--+=x x x y 的值域解一：2222)02()1()01()0(-+---+-=x x y)2,1(),1,0(),0,(B A x P 令则||||PB PA y -=22||||||-≥⇒=≤-=-⇒y BA PA PB y ，当且仅当1-=x 时取等号)(1521112252142521)52(122222222+∞→→+-+++=+-+++=+-+++--+=x x x x xx x x x x x x x x x y,1)2[-值域为∴十五．向量法：（1）)(||||||||等异向取等，后者同向取，前者→→→→→→→→⋅≤⋅≤⋅-βαβαβαβα； （2）)(||||||||||||等异向取等，后者同向取，前者→→→→→→→→+≤+≤-βαβαβαβα 例17．求函数x x y ++-=2312的值域 解二：]1,2[-∈x ，令)2,1(),3,2(x x +-==→→βα 则392113||||=++-=⋅≤⋅=→→→→x x y βαβα当且仅当3221,xx+=-→→同向时，即βα]1,2[131-∈=⇒x 时，等号成立即39max =y ，而32}32,33min{)}2(),1(min{min ===f f y ]39,32[值域为∴【举一反三】求函数x x y 434133-++=的值域解二：222222)1(14)1(1+-++=+-++=x x x x y令)2,1(),1,(x x -==→→βα则10|)3,1(|||||||==+≥+=→→→→βαβαy当且仅当310120211,=⇒=+-⇒=-⇒→→x x x x x 同向时等号成立βα此时)2,32(),1,31(==→→βα),10[+∞⇒值域为例40．求函数求函数52122+--+=x x x y 的最小值解二：2222222)1(14)1(1+--+=+--+=x x x x y（1）令)2,1(),1,(x x -==→→βα则10|)3,1(|||||||||||==+≤-=→→→→βαβαy 当且仅当解310120211,=⇒=+-⇒=-⇒→→x x x x x 异向时等号成立βα此时)2,32(),1,31(==→→βα同向、→→⇒βα⇒舍去 （2）令2|)1,1(|||||||||||),2,1(),1,(==+≤-=-=-=→→→→→→βαβαβαy x x 则当且仅当112-=⇒+-=→→x x x 异向取等，即、βα 此时22222||||)2,2(),1,1(min -=⇒-=-=-=⇒⇒=--=→→→→→→y y βαβαβα异向、十六.坐标法：把研究的对象置于直角坐标系下，把点转化为坐标，把条件转化为代数式，把曲线转化为方程，将几何问题转化为代数问题使之能进行代数运算；或用坐标内的几何直观研究代数问题，这样的一种通过坐标使“数”和“形”相互转化研究问题的方法。