2013届高三一轮复习课时训练18：两角和与差的三角函数
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.凸四边形中，其中为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：3分同理在⊿PQB中∴∴ 6分（2） 8分∴当时，。
12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.（1）求B；（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.解：（1）解法一：因为，所以 2分由余弦定理得，整理得所以 4分又因为，所以. 6分解法二：因为，所以 2分由正弦定理得所以整理得因为，所以，所以 4分又因为，所以. 6分（2）8分因为，则， 10分所以，即在上取值范围是. 12分【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【答案】（1）（2）tanα=1或tanα=4【解析】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．5. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B6.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.7.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则s inA+s inB的最大值是（）A．1B．C．D．3【答案】C【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+<,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．9.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切10.已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．【答案】－【解析】由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，∵(α＋β)－α＝β，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.∴tan2β＝11.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝12.计算：(tan10°－)·sin40°.【答案】－1【解析】原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.13.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.【答案】β＝【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴ sin(α－β)＝，∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝15.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则f(x)＝，max依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.16.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.17.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.18.设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及三角形内角和关系，将原式化成，化简得，从而；（2）利用两角差的正切展开，将代入，接着利用均值不等式即可算出最大值.试题解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则；（2）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.两角差的正切；3.均值不等式.19.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．20.的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.21.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.22.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性23.定义运算，则函数的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解析】根据新定义运算得：，所以最小正周期.【考点】1、创新意识；2、三角函数变换；3、三角函数的周期.24.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.25.若，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.26.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.27.化简计算： _.【答案】【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角和的正切公式的运用。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
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3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
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— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
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— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
两角和与差的三角函数练习(含答案)
（1）
；
（2）
﹣
．
16．（2006•上海）已知 α 是第一象限的角，且
17．求值：（1）
；
，求
的值．
（2）tan（ ﹣θ）+tan（ +θ）+ tan（ ﹣θ）tan（ +θ）．
18．（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别交单位圆 于 A，B 两点．已知 A，B 两点的横坐标分别是 ， ．
A
B． ﹣
C．﹣
D
．
．
9．（4 分）（2007•海南）若
，则 cosα+sinα 的值为（ ）
A
B．
C．
D
．
．
10．（4 分）设 α，β 都是锐角，那么下列各式中成立的是（ ）
A sin（α+β）＞sinα+sinβ
B．cos（α+β）＞cosαcosβ
．
C．sin（α+β）＞sin（α﹣β）
的值为（ ）
A
B．
C．
D ﹣2
．
．
2．（4 分）已知
，则
=（ ）
A
B．
C．
D
．
．
3．（4 分）如果 α∈（ ，π），且 sinα= ，那么 sin（α+ ）+cos（α+ ）=（ ）
A
B．
C．
D
﹣
﹣
．
．
7．（4 分）（2008•海南）
=（ ）
A
B．
C．2
D
．
．
8．（4 分）已知 sinθ=﹣ ，θ∈（﹣ ， ），则 sin（θ﹣5π）sin（ π﹣θ）的值是（ ）
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(
)
A．M<N<P B．N<M<P
C．P<M<N D．P<N<M
答案：C
(2)[2023·河北石家庄模拟]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin
7
sin (α＋β)＝________．
18
4
解析：由于sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝ ，
3
16
故(sin α＋cos β)2＝1，(cos α＋sin β)2＝ ，
5
6
6
100
11
D．－
100
答案：B
π
π
π
π
π
π
解析：因为cos ( ＋α)cos ( －α)＝(cos cos α－sin ·sin α)·(cos cos α＋sin sin
6
6
6
6
6
6
3
1
3
1
3
1
3
1
＝( cos α－ sin α)·( cos α＋ sin α)＝ cos2α－ sin2α＝ cos2α－ (1－cos2α)
sin αcos β±cos αsin β
(1)sin (α±β)＝________________．
(2)cos (α±β)＝________________．
cos αcos β∓sinαsinβ
tan ±tan
1∓tantan (α±β)＝ Nhomakorabea_________．
(3)tan
2 + 2 sin（x＋φ）
23
解析：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋tan 1°tan
高考数学(文)一轮复习知能训练：《两角和与差及二倍角的三角函数公式》
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2012年陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ＝( )A.22B.12 C ．0 D ．－1 2．(2013年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．(2012年重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 5．(2012年山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝3 78，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.346．(2012年全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.537．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 8．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________. 9．(2013年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是__________．10．(2012年陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．11．已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7 210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求cos A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．C 解析：a·b ＝0，－1＋2cos 2θ＝0，cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.2．A 解析：∵sin2α＝23， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12×⎝⎛⎭⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. 4．A5．D 解析：∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos2θ<0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，∴sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D. 6．A 解析：∵sin α＋cos α＝33，∴两边平方，得1＋2sin αcos α＝13.∴2sin αcos α＝－23<0.∵已知α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53＝153，∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53.故选A. 7．π 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，最小正周期为π. 8.3 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3. 9．a ≥2 解析：∵不等式|f (x )|≤a 对任意实数x 恒成立，令F (x )＝|f (x )|＝|3sin3x ＋cos3x |，则a ≥F (x )max .∵f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6， ∴－2≤f (x )≤2.∴0≤F (x )≤2，F (x )max ＝2.∴a ≥2.即实数a 的取值范围是a ≥2.10．解：(1)∵函数的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为T ＝π.∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫α－ π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3.11．解：(1)∵π4<A <π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7 210， ∴π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210. ∵cos A ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210×22＋7 210×22＝35.∴cos A ＝35. (2)由(1)，得sin A ＝45. ∴f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，x ∈R . ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝12时，f (x )取最大值32； 当sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3.∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32.。
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课堂达标18两角和与差的正弦、余弦和正切公式文新人教
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课堂达标（十八) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A 基础巩固练]1．（2018·福建师大附中检测）若sin 错误!＝错误!，则cos 错误!＝( )A ．－错误!B ．－错误!C 。
错误!D 。
错误![解析] cos 错误!＝cos 错误!＝－cos 错误!＝－错误!＝－错误!.［答案］ A2．(2018·兰州实战考试）若sin 2α＝错误!，0＜α＜错误!，则错误!cos 错误!的值为( ) A ．－错误! B 。
错误!C ．－错误! D.错误!［解析］ 错误!cos 错误!＝错误!错误!＝sin α＋cos α，又∵（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0＜α＜错误!，∴sin α＋cos α＝错误!,故选D 。
［答案] D3．（2018·东北师大附中三模）已知α是第二象限角,且sin （π＋α)＝－35，则tan2α的值为( ） A 。
错误!B ．－错误!C ．－错误!D ．－错误!［解析] 由sin(π＋α）＝－sin α＝－错误!，得到sin α＝错误!，又α是第二象限角，所以cos α＝－错误!＝－错误!，tan α＝－错误!,则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝错误!＝－错误!. [答案］ C4．(2018·河南新乡三模）已知错误!<α<π，且sin 错误!＝错误!，则cos错误!等于（）A。
2013届高三一轮复习课时训练18：两角和与差的三角函数
2013届高三一轮复习课时训练18：两角和与差的三角函数1．在△ABC 中，sin A ＝cos B cos C ，则( )A ．sinB ＋sinC 为常数 B ．cos B ＋cos C 为常数C ．tan B ＋tan C 为常数D ．以上都不对解析：选C.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin[π－(B ＋C )]＝cos B cos C ，sin(B ＋C )＝cos B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝cos B cos C ，所以tan B ＋tan C ＝1.2．(cos15°－cos75°)(sin75°＋sin15°)＝( )A.12B.2C.3 D ．1 解析：选C.原式＝(cos15°－sin15°)(cos15°＋sin15°)＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32. 3．(2011·高考大纲全国卷)已知α∈()π2，π，sin α＝5，则tan2α＝__________. 解析：∵sin α＝55，α∈()π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－25. ∴tan α＝sin α＝－1， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－434．在平面直角坐标系xOy 中，点P (12，cos 2θ)在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．解：(1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12， 即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13， 所以点P (12，23)，点Q (131)， 又点P (12，23)在角α的终边上， 所以sin α＝4，cos α＝3. 同理sin β＝－310，cos β＝10， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×10＋35×(－310)＝－10.一、选择题 1．(2011·高考福建卷)若tan α＝3，则sin2α2的值等于( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6 解析：选D.sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－2cos α＝( ) A.22 B ．－22 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－2cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－2cos α＝45×2＝22.故选A. 3．tan π12－1tan π等于( ) A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3 解析：选D.原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－()cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3. 4．(2011·高考福建卷)若α∈()0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3 解析：选D.∵α∈()0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.5．(2012·洛阳质检)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14B.13C.12D.53 解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝3， 即2331－tan A tan B＝ 3.解得tan A tan B ＝13，故选B. 二、填空题6．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________. 解析：由题意知sin π5sin x －cos π5cos x ＝12， 即cos ()π5＋x ＝－12，故x ＋π5＝±23π＋2k π，k ∈Z ， 又因为x 为锐角，故x ＝715π. 答案：7π157.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：18．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析：根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.答案：1三、解答题9．已知tan α＝2.求sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．解：sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α ＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 10．(2012·黄冈调研)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈()0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15. ∵θ∈()0，π2，∴cos θ＝55⇒sin θ＝255. (2)由5cos(θ－φ)＝35cos φ有5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝35cos φ⇒5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ.又∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝2. 11．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15. (1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin ()A ＋π4的值． 解：(1)∵OM →·ON →＝(sinB ＋cos B )sinC ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15， ∴sin A ＋cos A ＝－15，① 两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425， ∵－2425＜0，∴A ∈()π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.② 联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34， ∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－9＝－247. (2)∵tan A ＝－34， ∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ()A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×()－341＋()－3＝13.。
高三数学一轮复习第3课时两角和与差的三角函数学案
高三数学一轮复习第3课时两角和与差的三角函数学案【学习目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦预习案【课本导读】1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝ .(2)cos(α＋β)＝ . (3)t an(α＋β)＝ .2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝ (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝．(3)tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3．常用公式的变化形式(1)a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝ .(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(3)1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)．(4)1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)【教材回归】1．sin119°sin181°－sin91°sin29°的值为______2．下列各式中，值为32的是( )A．2si n15°cos15° B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°3．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为( )A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β) C．cosα D．cosβ4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( )A.18B．－18C.47D．－47探究案题型一：知角求值例1 (1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值．(2)化简：sin50°(1＋3tan10°)．(3)求tan20°＋4sin20°的值．思考题1 4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 题型二：知值求值 例2 (1)已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π2)，求sin α的值． (2)已知π2<β<α<3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213，求cos2α的值．思考题2 (1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3(2)已知α，β为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值(3)若c os α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝13，求cos(α－β)的值．题型三：知值求角例3 (1)已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思考题3 (1)已知tan α＝3(1＋m )，tan(－β)＝3(tan αtan β＋m )(m ∈R )，若α，β都是钝角，求α＋β的值．(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.①求ta n2α的值；②求β.题型四：三角函数的化简 例4 化简下列各式： (1)α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β；(2)11－tan θ－11＋tan θ；(3)315sin x ＋35cos x思考题4 化简下列各式： (1)sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)－3cos(2π3－x )；(2)α＋βsin α－2cos(α＋β)．训练案1．cos4π8－sin4π8等于( )A．0 B.22C．1 D．－222．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．在△ABC中，“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的( )A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件4．已知过点(0,1)的直线l：x tanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A．－73B.73C.57D．15．tan70°cos10°＋3sin10°·tan70°－2cos40°的值________6．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cosα的值。
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2013届高三一轮复习课时训练18：两角和与差的三角函数
1．在△ABC 中，sin A ＝cos B cos C ，则( )
A ．sin
B ＋sin
C 为常数 B ．cos B ＋cos C 为常数
C ．tan B ＋tan C 为常数
D ．以上都不对
解析：选C.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，
则sin[π－(B ＋C )]＝cos B cos C ，sin(B ＋C )＝cos B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝cos B cos C ，所以tan B ＋tan C ＝1.
2．(cos15°－cos75°)(sin75°＋sin15°)＝( )
A.12
B.22
C.32
D ．1 解析：选C.原式＝(cos15°－sin15°)(cos15°＋sin15°)＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32
. 3．(2011·高考大纲全国卷)已知α∈()π2，π，sin α＝55
，则tan2α＝__________. 解析：∵sin α＝55，α∈()
π2
，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255. ∴tan α＝sin αcos α＝－12， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－43
4．在平面直角坐标系xOy 中，点P (12，cos 2θ)在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12
. (1)求cos2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
解：(1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12， 即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13， 所以点P (12，23)，点Q (13，－1)， 又点P (12，23)在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35
. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝45×1010＋35×(－31010)＝－1010.
一、选择题
1．(2011·高考福建卷)若tan α＝3，则sin2αcos 2α
的值等于( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．6 解析：选D.sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α
＝2tan α＝2×3＝6. 2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22
cos α＝( ) A.225 B ．－225
C.425 D ．－425
解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A. 3．tan π12－1tan π12
等于( ) A ．4 B ．－4
C ．2 3
D ．－2 3 解析：选D.原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12 ＝－()cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6
＝－2 3. 4．(2011·高考福建卷)若α∈()0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14
，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3
解析：选D.∵α∈()0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3
，∴tan α＝ 3.
5．(2012·洛阳质检)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53
解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，
∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3， 即2331－tan A tan B ＝ 3.解得tan A tan B ＝13
，故选B. 二、填空题 6．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12x ＝________. 解析：由题意知sin π5sin x －cos π5cos x ＝12
即cos ()
π5＋x ＝－12，故x ＋π5＝±23π＋2k π，k ∈Z ， 又因为x 为锐角，故x ＝715π. 答案：7π15
7.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin α
cos α1－sin αcos α
＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α
＝1. 答案：1
8．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析：根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知tan α＝2.求sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．
解：sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α
＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52
. 10．(2012·黄冈调研)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈()0，π2
. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2
，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.
∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15
. ∵θ∈()0，π2，∴cos θ＝55⇒sin θ＝255
. (2)由5cos(θ－φ)＝35cos φ有 5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝35cos φ⇒
5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，
∴cos φ＝sin φ.
又∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22
. 11．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15. (1)求tan2A 的值；
(2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin ()A ＋π4
的值． 解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )
＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15， ∴sin A ＋cos A ＝－15，① 两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425
， ∵－2425＜0，∴A ∈()π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.② 联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34， ∴tan2A ＝2tan A 1－tan A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34， ∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ()A ＋π4
＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×()－341＋()
－34
＝13.。