2020高一数学新教材必修1教案学案 第一章 集合与常用的逻辑用语测试(解析版)
则
f f
1 a 1 a
1 1
0 0
，解得
1
a
1，
Q
1 2
,1
Ü
1,1 ，因此， p 是 q的充分但不必要条件，故选：A.
11．（2019·北京高三期末（理））已知集合 A (s, t) 1 s 50,1 t 50, s N , t N .若 B A ，且对任
意的 (a,b) B ， (x, y) B ，均有 (a x)(b y) 0 ，则集合 B 中元素个数的最大值为（ ）
，或
h t t t＞
t t＜ h ，
t t t＞
解得t t＜t t t或 t＞ t t ；
综上，实数 a 的取值范围是（-3，+∞）．故选 A. 7．（2018·海林市朝鲜族中学高三单元测试）如果不等式|x－a|＜1 成立的充分不必要条件是h
t，则实
数 a 的取值范围是( )
A．h t t
B．h t t
是￢p 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是__________． 【答案】 m≥ 4 或 m 4 【解析】∵条件 p : x2 3x 4 0 ；∴ p : 1 x 4 ，∴ p : x 4 或 x 1，
∵条件 q : x2 6x 9 m2 0 ，，∴ q : x 3 m 或 x 3 m ，
tt
析
（2）因为
tt
析，
题t
所以当
⊆
时，有 题 t t t ，解得t 题 t析
题
所以实数 题 的取值范围是t 题 .
tt 题 t， ，
18．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）已知 p：－x2＋6x＋16≥0，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)．
(1)若 p 为真，求实数 x 的取值范围；
若￢q
是￢p
的充分不必要条件，则
3 m
3
m
1 4
m
4 ，解得： m≥ 4 或 m 4
故答案为： m≥ 4 或 m 4
三、解答题
17．（2018·全国高一单元测试）已知集合
（1）求Βιβλιοθήκη ；（2）若 ⊆ ，求实数 题 的取值范围.
tt
析，
，
题t
题 t.
6
【答案】(1) t t
(2) t 题
【解析】（1）
【解析】因为 痧U A＝2，4，6， U B＝1，3，5 ，所以U＝痧U A U B ．
4．（2017·全国高一单元测试）集合 A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|x>a}，若 A∩B＝A，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3) C．[－∞，3) D．[3，＋∞)
【答案】B
思维导图
第一章 集合与常用的逻辑用语测试
1
单元测试
一、单选题
1．（2018·江西高一单元测试）设集合 M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则 M∩N＝( )
A．(－1,1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
【答案】C
【解析】
th h
，
， 故选
2．（2018·江西高一单元测试）(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜－2 或 x＞2}，则∁UA＝( ) A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】（1） M ( ðU N )＝x | x 4或x 5 ；（2） , 2 4,
【解析】（1）当 a 3 时, N＝x | 4 x 5 , 所以 ðU N＝{x | x 4或x 5}
所以 M CU N ＝x | x 4或x 5
（2）① 2a 1 a 1,即 a 2 时, N , 此时满足 N M . ②当 2a 1 a 1,即 a 2 时, N , 由 N M 得 a 1 5 或 2a 1 2 所以 a 4
a
a
a
7
或 a＝ 1 ；当 a＝0 8
时，集合 A
为空集，符合 A B
.因此
C
0,
1
,
1
7 8
.
14．（2018·海林市朝鲜族中学高三单元测试）命题“∀x∈[1，2]，x2－2x－a≥0”是真命题，则 a 的取值范围是 ________． 【答案】 t t h 【解析】若存在 x∈[1，2]，使 x2－2x－a≥0， 则等价为存在 x∈[1，2]，使 x2-2x≥a， 当存在 x∈[1，2]时，设 y=x2-2x=（x-1）2-1， 则-1≤y≤0，
∵p 是 q 成立的充分不必要条件，
∴[－2，8] [2－m，2＋m]，
∴
(两等号不同时成立)，解得 m≥6.
所以实数 m 的取值范围是 析 ⺁.
19．（2019·浙江高一期末）已知不等式 x2 a 1 x a 0 的解集为 A .
(Ⅰ)若 a 2 ，求集合 A ；
(Ⅱ)若集合 A 是集合 x 4 x 1 的子集，求实数 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) A x 1 x 2 (Ⅱ) a 4,1
5
∴要使 x2-2x≥a，
则-1≥a，即 a≤-1，
故答案为： t t h .
15．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0 恒成立；②∃x0∈Q，
；
③∃x0∈R， h ；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
【答案】1
(2)若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）t
；（2）题 析
【解析】(1)由－x2＋6x＋16≥0，得 x2-6x-16≤0，
解得－2≤x≤8，
所以当 p 为真时，实数 x 的取值范围为 t ．
(2)由 x2－4x＋4－m2≤0(m>0)，解得 2－m≤x≤2＋m(m>0)，
8．（2019·福建省长泰县第一中学高二期末（文））已知命题“ x R, 4x2 (a 2)x 1 0 ”是假命题，则实 4
数 a 的取值范围为( )
A． , 0
B．0, 4
C．4,
D． 0, 4
【答案】D
3
【解析】因为命题“ x R, 4x2 (a 2)x 1 0 ”是假命题， 4
4
A．25
B．49
C．75
D．99
【答案】D
【解析】当 a 或 b 的值较小时，集合 B 中元素个数最多，即
B (1,1), (1, 2), (1,3),, (1,50), (50,1), (49,1), , (2,1) 共有 99 个元素.
12．（2018·四川高考模拟（文））己知命题 ： “关于 的方程 2 t
【解析】(1)因为 t ，
t，
所以t
t，
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】
t或 ，
t
，即
t ， 故选
3．（2017·全国高一单元测试）全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，则( )
A．U＝A∪B B．U＝(∁UA)∪B C．U＝A∪(∁UB) D．U＝(∁UA)∪(∁UB) 【答案】D
所以否定形式为“ x R, 4x2 (a 2)x 1 0 ”是真命题， 4
则 (a 2)2 4 4 1 a2 4a 0 ，解得 0 a 4 ，故选 D. 4
9．（2019·榆林市第二中学高二期末（文））已知集合 A {x | 2 x 5} ， B {x | m 1 x 2m 1}．若
【解析】对于①，因为当 h
时， －t ＋ ，所以命题①是假命题．
对于②，由
得
，是无理数，所以命题②是假命题．
对于③，由于对任意的实数 满足 h 都成立，所以命题③是真命题．
对于④，由原不等式得 － ＋h t h⺁ ，所以命题④为假命题．
综上可得命题③为真命题．
故答案为：1
16．（2019·河北易县中学高二期末（文））已知条件 p : x2 3x 4 0 ；条件 q : x2 6x 9 m2 0 ，若￢q
C．t t或 t h
D．t t或 t h
【答案】B
【解析】根据题意，不等式|x-a|＜1 的解集是 a-1＜x＜a+1，设此命题为 p，
命题h
t，为 q；则 p 的充分不必要条件是 q，
tth h
即 q 表示的集合是 p 表示集合的真子集；则有 t
h
t ，（等号不同时成立）；
解得．h t t故选 B.
所以选 A
二、填空题
13．（2017·全国高一单元测试）已知集合 A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|x2－x－56＝0}．若 A⊆B，则由实数 a
组成的集合 C＝________．
【答案】
0,
1
,
1
7 8
【解析】当 a 0
时，A＝
A
1
，
B＝－7，8
，由 A B
，得 1 ＝－7
或 1 ＝8 ，即 a＝ 1
【解析】∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴a<－3.选 B
5．（2018·海林市朝鲜族中学高三单元测试）已知 p：x2＋x－2＞0，q：x＞a，若 q 是 p 的充分不必要条件， 则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
2
C．(－2，1] D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】由 x2+x-2＞0 得 x＞1 或 x＜-2，若 q 是 p 的充分不必要条件，
（3）由
，h
ht
，可得
，所有元素积为 1，∴ th ⺁ h
， h ， th
ht
h，
h
高中数学新教材必修一第一章导学案
集合与常用逻辑用语第1课时集合的含义学习目标核心素养1.通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.自主预习1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )A ．一切很大的数B ．好心人C ．漂亮的小女孩D ．清华大学2019年入学的全体学生2．用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．用“∈”或“∉”填空： 21_______N ；－3________Z ；________Q ；0________N *；________R . 4．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________.集合的基本概念【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A ．③④B ．②③④C ．②③D ．②④判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x －1)2(x ＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．元素与集合的关系【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ；②∉Q ；③0∈N *；④|－5|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A 中的元素x 满足x -36∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 集合中元素的特性及应用[探究问题]1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．1．(变条件)本例若去掉条件“a ∈A ”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．2．(变条件)已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A3．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．第2课时集合的表示学习目标核心素养1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.自主预习1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}．1．方程x2＝4的解集用列举法表示为()A．{(－2,2)} B．{－2,2} C．{－2} D．{2}2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是()A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组x －y ＝12x ＋y ＝8，的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．描述法表示集合的2个步骤2.用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．集合表示方法的综合应用[探究问题]下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们各自的含义是什么？(2)它们是不是相同的集合？【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.1．思考辨析(1){1}＝1.() (2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．()(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．() (4){x|x2＝1}＝{－1,1}．()2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2,1)} D．{(1，－2)} 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A .1.2集合间的基本关系学习目标核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.自主预习1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．思考2：{0}与∅相同吗？提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.(3)若A⊆B，A≠B，则A B.1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()A．N∈M B．N∉M C．N⊇M D．N⊆M2．下列四个集合中，是空集的为()A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}3．集合{0,1}的子集有________个．4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.集合间关系的判断【例1】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x 是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．判断集合关系的方法.(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()子集、真子集的个数问题【例2】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．1．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．由集合间的关系求参数[探究问题]集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．2．若本例条件“B A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．1．A⊆B隐含着A＝B和A B两种关系．2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．1．思考辨析(1)空集中只有元素0，而无其余元素．() (2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.() (4)空集是任何集合的真子集．()2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()A．16B．8 C．7 D．43．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标核心素养1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图1.借助Venn图培养直观想象素养．2．通过集合并集、交集的运示对理解抽象概念的作用．(难点)算提升数学运算素养.自主预习1．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x ∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．2．交集3．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩AA∪A＝A A∩A＝AA∪∅＝A A∩∅＝∅1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．并集概念及其应用【例1】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________.交集概念及其应用【例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于() A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4 C．3D．21．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2} C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1[探究问题]1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．1．思考辨析(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．()(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. ()(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C.() (4)A∩B⊆A∪B.()2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1}B．{0} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝() A．{1} B．{2} C．{－1,2} D．{1,2,3}4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C .第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)1.通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.自主预习1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1} C．∅D．{0,1}2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁U M＝{6}，则U等于()A．{0,2,4,6} B．{0,2,4} C．{6} D．∅3．若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.补集的运算【例1】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.求集合的补集的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5} C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝______.集合交、并、补集的综合运算【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R B，∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.与补集有关的参数值的求解[探究问题]1．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？2．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．1．(变条件)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？2．(变条件)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．() (2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4} C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁U P＝{－1}，求实数a的值．1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件1.4.2 充要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.自主预习1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列语句是命题的是()A．梯形是四边形B．作直线AB C．x是整数D．今天会下雪吗2．“同位角相等”是“两直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件3．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<24．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的判断【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.定义法判断充分条件、必要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x ∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.充要条件的探求与证明【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c ＝0.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．()2．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．4．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p 是q的充分条件，求实数a的取值范围．1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标核心素养1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.自主预习1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．32．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是53．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞24．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是()。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.3第1课时并集与交集学案含解析第一册
1。
3 集合的基本运算【素养目标】1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象）2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．（数学抽象）3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算）4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．（直观想象）5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．（逻辑推理)6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理）7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)【学法解读】1．在本节学习中,学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集"“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算,从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．第1课时并集与交集必备知识·探新知基础知识知识点1并集自然语言一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（union set)，记作__A∪B__（读作“A并B")．符号语言__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__图形语言(3）A B(4)B A (5）A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集。
思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或"的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．知识点2交集自然语言一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素__组成的集合，称为A 与B的交集（intersection set）,记作__A∩B__(读作“A交B”）符号语言__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__图形语言(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)（2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)（3）A B，则A∩B＝A（4）B A,则A∩B＝B（5)A＝B，A∩B＝B＝A思考2:集合运算中的“且”与生活用语中的“且"相同吗？提示：集合运算中的“且"与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B"表示元素x属于集合A，同时属于集合B．知识点3并集与交集的性质(1）__A∩A＝A__，A∩∅＝∅.（2)__A∪A＝A__，A∪∅＝A．思考3：（1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系?(2）设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．（2）A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．基础自测1．（2019·全国卷Ⅲ理，1）已知集合A＝{－1,0,1，2｝，B＝｛x|x2≤1},则A∩B＝（A）A．｛－1,0，1｝B．{0,1}C．｛－1,1｝D．{0，1,2}[解析]∵B＝｛x｜x2≤1}＝{x｜－1≤x≤1｝，∴A∩B＝{－1，0，1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0，1｝，故选A．2．（2019·江苏宿迁市高一期末测试）设集合M＝｛0,1，2}，N＝{2,4},则M∪N＝(D)A．｛0,1,2} B．｛2｝C．｛2，4｝D．{0,1，2，4｝[解析］M∪N＝{0，1,2}∪{2,4}＝{0,1，2,4}．3．已知集合M＝{x｜－5〈x<3},N＝{x|－4〈x<5｝，则M∩N ＝(A)A．｛x｜－4〈x<3}B．{x|－5<x〈－4｝C．{x｜3〈x<5｝D．｛x｜－5〈x〈5｝[解析］M∩N＝｛x｜－5<x<3｝∩{x｜－4<x<5｝＝｛x｜－4<x<3}，故选A．4．（2019·江苏,1）已知集合A＝｛－1，0，1,6｝，B＝｛x｜x>0，x∈R｝，则A∩B＝__{1,6｝__。
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：1.1 第1课时 集合的含义 (含解析)
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【素养目标】1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理) 3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)【学法解读】在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．第1课时集合的含义必备知识·探新知基础知识知识点1集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__.对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．知识点2集合中元素的三个特性特性含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2无序性构成集合的元素间无先后顺序之分集合{1,0}和{0,1}是同一个集合提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．知识点3元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa__∈__A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a__不属于__集合A(2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：(1)对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点4 常用数集及其记法数集意义 符号 非负整数集(或自然数集)全体非负整数组成的集合 N 正整数集全体正整数组成的集合 N *或N ＋ 整数集全体整数组成的集合 Z 有理数集全体有理数组成的集合 Q 实数集全体实数组成的集合 R＋提示： (1)N 为非负整数集(或自然数集)，而N *或N ＋表示正整数集，不同之处就是N 包括0，而N *(N ＋)不包括0.(2)N *和N ＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N *或N ＋，为避免出错，对于N *和N ＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．基础自测1．下列各组对象中不能组成集合的是( C )A ．清华大学2019年入校的全体学生B ．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C ．中国著名的数学家D ．不等式x －1>0的实数解[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C ．2．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( A )A ．2B ．12C ．－2D ．－13[解析] 2∈R ，且2∉Q ，故选A ． 3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)．①0∈N ；②π∈Q ；③2∈Q ；④－1∈Z ；⑤2∉R .[解析]π，2为无理数，2为实数，故填①④.4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．[解析]方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.关键能力·攻重难题型探究题型一集合的基本概念例1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④2的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__.[分析]结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析]①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.[归纳提升] 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．【对点练习】❶下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2019年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．[解析](1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．题型二元素与集合的关系例2 若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－22是不是集合A中的元素．[分析]根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.[解析]因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝2，b＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A中的元素．[归纳提升] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【对点练习】❷(1)下列关系中，正确的有(C)①12∈R；②5∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)若集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__2,1,0__.[解析](1)12是实数，5是无理数，|－3|＝3是自然数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.例3 已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．[分析]－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．[解析]由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x2＋5x＝－3时，x＝－32或x＝－1(舍去)，当x＝－32时，集合的三个元素分别为－72，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－32.[归纳提升]解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．【对点练习】❸已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1 __.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.课堂检测·固双基1．下列语句能确定一个集合的是(D)A．充分小的负数全体B．爱好飞机的一些人C．某班本学期视力较差的同学D．某校某班某一天的所有课程[解析]由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(D) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．3．用符号“∈”或“∉”填空：0__∈__N；－3__∉__N；0.5__∉__Z；2__∉__Z；13__∈__Q；π__∈__R.4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__0,1__. [解析]因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．[解析](1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．。
2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语集合的概念学案新人教A版必修第一册
第1课时集合的概念1．了解集合与元素的含义．2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．3．理解集合与元素的关系．4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？[答案] (1)是(2)不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的高个子同学组成集合．( )(2)联合国常任理事国组成集合．( )(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．( )(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．[针对训练]1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号) ①所有的正三角形； ②比较接近1的数的全体； ③某校高一年级16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体； ⑤我校教职员工中的年轻人； ⑥2的近似值的全体．[解析] ①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．[答案] ①③④ 题型二元素与集合的关系【典例2】 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征． [解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C ．(2)当x ＝0时，63－0＝2；当x ＝1时，63－1＝3；当x ＝2时，63－2＝6；当x ≥3时不符合题意，故集合A 中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[针对训练]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. [答案] D3．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有：17 ________A ；－5________A ．[解析] 由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z .所以17∈A ． 令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A ．[答案] ∈ ∉题型三集合中元素的特性【典例3】 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． [思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a ＝1，则a 2＝1，此时集合A 中两元素相同，与互异性矛盾，故a ≠1； 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍去)，此时集合A 中两元素为－1,1，故a ＝－1. 综上所述a ＝－1. [答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值． (2)本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？ [解] (1)若a ＝2，则a 2＝4，符合元素的互异性； 若a 2＝2，则a ＝2或a ＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．[针对训练]4．已知集合A由三个元素m，m2＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值．[解] ∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，则m＝2或m＝±1.当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意．综上知，m＝2或m＝－1.课堂归纳小结1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax 2＋ax ＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a 为( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或4[解析] 当a ＝0时，方程变为1＝0不成立，故a ＝0不成立；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，a ＝4，故选A ．[答案] A5．下列说法正确的是________． ①及第书业的全体员工形成一个集合； ②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素； ④x ，3x 3，x 2，|x |形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x 2－1＝0的解为x ＝±1，方程x ＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④课后作业(一)复习巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素[解析] A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．[答案] C2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A[解析] 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．[答案] C3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集[解析] 由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．[答案] C4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0[解析] 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a ＝0∉A ．故选B ．[答案] B5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B ．[答案] B 二、填空题6．给出下列关系：①13∈Z ；②5∈R ；③|－5|∉N ＋；④|－32|∈Q ；⑤π∈R . 其中，正确的个数为________．[解析] 由Z ，R ，Q ，N ＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2. [答案] 27．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 满足的条件是________．[解析] 由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠4，2－a ≠4，a 2≠2－a ，即a ≠±2，且a ≠1. [答案] a ≠±2且a ≠18．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． [解析] ①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A 中元素为－3，－1，－4，满足题意． ②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A 中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A 中元素为－2,1，－3，满足题意；当a ＝－1时，由②知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1. [答案] 0或1 三、解答题9．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.[解] (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3.且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．当x2－2x＝－2，即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，故方程无解，显然x2－2x≠－2.综上，x＝－2.综合运用11．下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解构成的集合有两个元素．其中正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个[解析] ①最小的数应该是0；②反例：－0.5∉N，且0.5∉N；③当a＝0，b＝1时，a ＋b＝1；④因为元素的互异性，故集合中有一个元素．[答案] A12．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形[解析] 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．[答案] A13．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.[解析] ∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴整数a 为6. [答案] 614．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a 的值为______．[解析] 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ， ∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. [答案] 215．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．[解] ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.。
第一章集合与常用逻辑用语(学案)
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念【学习目标】一．元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把统称为元素，常用小写的拉丁字母表示．2.集合：一些组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母表示．3.集合相等：指构成两个集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．二．元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说，记作.2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说，记作.三．常见的数集及表示符号1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．()2、用“∈”或“∉”填空：1*；5____R.2____N；－3____Z；2____Q；0____N【经典例题】题型一集合的概念例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；⑥2的近似值的全体．【跟踪训练】1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．题型二元素与集合的关系例2 -1给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2 D．1例2-2集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【跟踪训练】2用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，(－1,1)______A.题型三集合中元素的特性例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【跟踪训练】3已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可【当堂达标】1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4 C．4 D．04．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．给出下列关系：①13∈Z；②5∈R；③|－5|∉N＋；④|－32|∈Q；⑤π∈R.其中，正确的个数为________．6．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.第2课时集合的表示【学习目标】1．列举法把集合的元素出来，并用括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法（1）定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()2.大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为____ ____．【经典例题】题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合．【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：(1)绝对值小于5的偶数；(2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集．题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【跟踪训练】2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．题型三 列举法与描述法的综合运用 例3 下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？【跟踪训练】3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合.【当堂达标】1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4s ＋1，s ∈N ，且s <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t <5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ，且s <6} 3．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集； ③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．其中正确说法的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②D ．①③④4．方程⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝5的解集用列举法表示为_______________________；用描述法表示为________________．5．若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为______． 6.已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。
新人教版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语全套教学设计课件及课时作业(287页)
2 题型探究
PART TWO
一、列举法表示集合
反思 感悟
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
跟踪训练2 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝_－__1__.
解析 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时， 集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a＝－1.
跟踪训练2 下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}. (1)它们是不是相同的集合？
解 不相同.
(2)它们各自的含义分别是什么？
解 集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R， 所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}. 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对. 可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 ①∵ 2是无理数，∴ 2∉Q，故①错误；
②－1∉N，②正确； ③∵π是实数，∴π∈R，故③错误； ④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确.
反思
感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的. (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集 合中元素所具有的特征即可.
2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)1.1集合的概念(解析版)
1.1集合的概念运用一 集合的判断【例1】下面几组对象可以构成集合的是 A ．视力较差的同学 B ．2018年的中国富豪C ．充分接近2的实数的全体D ．大于–2小于2的所有非负奇数【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，大于2 小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D.【触类旁通】1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是 A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，到定点的距离等于定长的点为圆，可以组成集合.故本小题选D. 2.考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①油高高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】C【答案】对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；【思路总结】对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于④，“√3的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．故选：C ．运用二 元素与集合的关系【例2】下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误； 在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ． 【触类旁通】1.（2019·浙江高一期末）已知集合是M {x |x N}=∈，则( )A ．0M ∈B ．πM ∈C MD ．1M ∉【答案】A【解析】集合{}0,1,2,3,M =⋅⋅⋅0M ∴∈本题正确选项：A2．（2018·河北武邑中学高一月考）已知{}A x x x R =≤∈，a =b =( ) A ．a A ∈且b A ∉B ．a A ∉且b A ∈C ．a A ∈且b A ∈D ．a A ∉且b A ∉【答案】B【解析】∵A={x|x ≤x ∈R}，，a ∉b ∈A,故选：B ．运用三 元素的互异性【例3】（1）若{1a ∈，222}a a -+，则实数a 的值为 。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册
1.1。
3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。
这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册
第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。
通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。
(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。
新版高一数学必修第一册第一章全部学案
新版高一数学必修第一册第一章全部学案第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；2.选择恰当的方法表示一些简单的集合一、集合的基本概念1．元素与集合的概念(1)把统称为，通常用 ________表示．(2)把叫做 (简称为集)，通常用 ______ 表示．2．集合中元素三个特征：、____________、___________3、集合相等_____________________________________________________4．元素与集合的关系：(1)如果a.是集合A的元素，就说a A(2)如果a不是集合A的元素，就说a A5．常用的数集及其符号表示：非负整数集（自然数集）____________________________记作__________正整数集__________________________________________记作__________整数集____________________________________________记作__________有理数集__________________________________________记作_________实数集____________________________________________记作__________二、集合的表示方法1、列举法：将集合的元素出来，并置于花括号“{__}”内．元素之间要用分隔，列举时与无关．2．描述法：将集合的所有元素表示出来，写成{x|φ(x)}的形式探究一、集合的含义1.考察下列问题：（1）（1）1～20以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形；（4）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点; （5）方程0232=+-x x的所有实数根；（6）地球上的四大洋。