一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
《量子力学》课程6
2 p ( r ) p ( r ) d c e
* 2
d dxdydz
c
i
e
[( p x p x ) ( p y p y ) y ( p z p ) z ] x z
3 2
p (r )
1
e
i p r
量子力学
函数为
(x) px
1 ( 2 )
1/ 2
i
e
pxx
3、箱归一化
如果我们仍然要求按通常的归一化方式 对动量本征函数归一化，就必须放弃无穷空 间的积分，采用箱归一化方法。以一维为例 [ L , L ] 中运 讨论。设粒子只能在有限空间 2 2 动。由
(x) pn
1 L
i 2 n x
e
L
则满足归一化条件
* pn
pn
dx 1
讨论： h L , p n p n 1 p n L 0 1）当 h 则本征谱由分立谱变成了连续谱 L dp 2）三维情况：粒子被限制的边长为 L 的一个 正方形箱中，取箱的中心为坐标原点，波函 数满足的周期性边界条件为：在两个相对的
L
i L
dx
L 2
i
*
dx
2
L 2
) (
L 2
)
所以对于任意的 ,
(L) 2
*
都有
const 1
( L ) 2
*
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
动量算符的本征函数
动量算符的本征函数动量算符是量子力学中的一种物理量算符，表示粒子的动量。
它在动量空间中是Hermitian的，其本征值对应着测量结果，本征函数描述了相应的量子态。
动量算符的本征函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程是描述量子力学系统演化的基本方程，它是一个偏微分方程，其一般形式为：<i>Ĥψ = Eψ</i>其中，Ψ是波函数，表示系统的状态，Ĥ是哈密顿算符，E是能量的本征值。
在动量空间中，薛定谔方程可以写成动量算符p的本征值方程：<p> (p^2/2m)Ψ(p) = EΨ(p)</p>这个方程可以化简为：<p>-(ħ^2/2m) ∇^2 Ψ(p) = EΨ(p)</p>其中，∇^2是动量空间中的拉普拉斯算符。
这个方程的解为：<p>Ψ(p) = Ae^(ipr/ħ)</p>其中，A是归一化常数。
动量算符的本征函数（平面波）描述了自由粒子的行为，其形式为一个平面波的波函数。
平面波具有无限延展性和确定的动量。
其波函数描述了粒子的位置和动量空间的分布。
动量算符的本征函数具有如下特点：1. 平面波性质：动量算符的本征函数描述了自由粒子的行为，其波函数是一个平面波，表现为空间均匀延伸。
2. 经典粒子对应：经典力学中，粒子的动量是直接测量得到的物理量。
在量子力学中，动量算符的本征函数对应着经典粒子的动量。
3. 正交性：动量算符的本征函数在正交归一的基础上构成完备集，即可以通过线性组合构造出任意波函数。
4. 不确定性原理：根据不确定性原理，动量和位置是不能同时精确测量的。
动量算符的本征函数描述了粒子的位置空间波函数分布，与位置算符的本征函数具有相似的统计性质。
动量算符的本征函数在量子力学中有着重要的应用。
在量子力学中，粒子的动量是其运动状态的基本特征之一，动量算符的本征函数描述了粒子的动量分布和运动方式。
通过测量动量算符的本征值，可以得到粒子的动量信息，从而了解量子态的特性和演化过程。
动量算符和角动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件
1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
量子力学中的位置与动量算符
量子力学中的位置与动量算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它的基础是量子力学方程和算符。
在量子力学中，位置和动量是两个基本物理量，它们的算符分别是位置算符和动量算符。
本文将详细介绍量子力学中的位置与动量算符，包括它们的定义、性质以及它们之间的关系。
一、位置算符在经典力学中，位置是一个确定的物理量，可以用一个具体的数值来描述。
然而，在量子力学中，位置并不是一个确定的量，而是一个算符，即位置算符。
位置算符用符号x表示，它的定义是：x = iħ∂/∂p其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂p表示对动量p求偏导数。
位置算符的本质是描述粒子在空间中的位置分布。
位置算符的性质有以下几点：1. 位置算符是厄米算符。
厄米算符是指满足厄米共轭关系的算符。
对于位置算符x来说，它的厄米共轭算符是x†=x。
2. 位置算符的本征态是位置本征态。
位置本征态是指满足位置本征值方程的态。
对于位置算符x来说，位置本征值方程是x|x⟩=x'|x⟩，其中x'是位置本征值，|x⟩是位置本征态。
3. 位置算符的本征值是连续的。
在经典力学中，位置是连续变量，而在量子力学中，位置算符的本征值也是连续的。
二、动量算符动量是一个描述物体运动状态的物理量，它的算符是动量算符。
动量算符用符号p表示，它的定义是：p = -iħ∂/∂x其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂x表示对位置x求偏导数。
动量算符的本质是描述粒子的运动状态。
动量算符的性质有以下几点：1. 动量算符是厄米算符。
对于动量算符p来说，它的厄米共轭算符是p†=p。
2. 动量算符的本征态是动量本征态。
动量本征态是指满足动量本征值方程的态。
对于动量算符p来说，动量本征值方程是p|p⟩=p'|p⟩，其中p'是动量本征值，|p⟩是动量本征态。
3. 动量算符的本征值是连续的。
与位置算符类似，动量算符的本征值也是连续的。
三、位置与动量算符的关系在量子力学中，位置算符和动量算符之间存在一种重要的关系，即不确定关系。
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2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
相邻两个分立值的差：
px
2
L
,
py
2
L
,
pz
2
L
当 L 时， px dpx , py dpy , pz dpz , 分立
值 连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化
为１，归一化常数 C
1
3
，即
L2
p
1
3
exp i p r (10)
L2
证：
p
(r
)
p
(r
2
2
Y
(
,
)Leabharlann Y(,)
(19)
其中，Y ( ,)是 Lˆ2 算符属于本征值 2的本征函数。
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 Y ( ,)
在
，
变化的范围都能取有限值。
: (0, ) : (0, 2 )
必须取限制条件确定本征值 ，才可以使无穷级
数中断成为多项式： l(l 1) l 0,1, 2, (20)
本征值 ( px , py , pz ) p 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
p (r ) C exp( i p r ) 求归一化常数 C ？
计 算 积 分 ：
p
(r
)
p
(r
)d
C2
exp
i
( px
px ) x
( py
py) y
( pz
pz
)
z
dxdydz
６、角动量 z 分量算符 Lˆz的本征值方程
LˆzYlm (,) m Ylm (,) (25) Lˆz 算符的本征值为 m ，本征函数为Ylm ( ,) 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 l 表示角动量的大小， l 称为角量子数，而 m 则称为磁量子数。对于一个 l ，m 0, 1, 2, l ，共
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
＋ exp
－
i
(
px
px ) x dx
2
( px px), 其中 ( px px)
是以px px为宗量的函数。
p
(r
)
p
(r
)d
(2 )3C2 ( px px) ( py py) ( pz pz)
C2 (2 )3 ( p p)
如果取 数。
C2
1
(2
)3
，则动量本征函数归一化到
这样p x 只能取分立值：
px
nx
2
L
nx 0, 1, 2,
(7)
同理，根据周期性条件 (x, L , z) (x, L , z) 和
(x,
y,
L)
(x,
y,
L)
2
可得到
2
2
2
py
ny
2
L
, ny 0, 1, 2,
(8)
pz
nz
2
L
, nz 0, 1, 2,
(9)
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
( L , y, z) ( L , y, z)
2
2
C
exp
i
(
1 2
px L
py y
pz z)
C
exp
i
(1 2
px L
py
y
pz z) (5)
或 exp i ( pxL) 1 pxL 2nx , nx 0, 1, 2, 3 (6)
y r sin sin cos z / r (15)
z r cos tan y / x z
可得
Lˆx i
(sin
ctg cos )
Lˆy
i
(cos
ctg sin ) (16)
y
Lˆz i
x
和
Lˆ2z
2 2 (17)
2
Lˆ2
函
即
p
(r
)
p (r )d
(p
p) (3)
其中 p (r ) 1 3 exp( i p r ) (4) (2 ) 2
为什么 p (r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数：
这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任
意实数，动量本征值构成连续谱。
３、动量本征值的分立化：箱归一化
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
1 (22)
得 Nlm
(l m )! 2l 1 (23)
(l m )! 4
所以，角动量平方算符的本征值是l(l 1) 2， 本征
函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm ( ,) ： Lˆ2Ylm(,) l(l 1) 2Ylm(,) (24)
本征方程(24)是式(18)的简化表示。
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
(z x ) (13) x z
Lˆz xpˆ y ypˆ x
(x y ) i i y x
(x y ) y x
２、角动量平方算符定义：
Lˆ2 Lˆ2 Lˆx2 Lˆy2 Lˆz2
2
(
y
z
z
y
)2
(
z
x
x
z
)2
(
x
y
y
x
)2
(14)
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 (x, y, z) (r,,)
x r sin cos r2 x2 y2 z2