角动量算符
【精品】5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。
在量子力学中，角动量由角动量算符表示。
5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。
在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。
轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。
3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。
4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。
自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。
3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。
4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。
总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。
总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
动量算符角动量算符
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
5.4角动量算符
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
动量算符和角动量算符
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
exp⎢⎣⎡
i h
( px
−
px′ )⎥⎦⎤dx
=
2πhδ
( px
−
px′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
(py
−
p y′ )⎥⎦⎤dy
=
2πhδ
(
py
−
py′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
( pz
−
pz′ )⎥⎦⎤dz
=
2πhδ ( pz
−
pz′ )
式中 δ ( px − p′x ) 是以 px − p′x 为宗量的 δ 函数，故有
§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
∂ ∂x
−
x
∂ )
∂z
lˆz
=
xpˆ y
−
3.2 动量和角动量算符
得归一化的波函数为
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
(m = 0, ±1, ±2,⋯ )
L2的本征值问题
ˆ L2Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ )
L2 的本征值方程可写为：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 −ℏ [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ ) (3.2.16) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ 2 或：
的本征方程 L2的本征方程
ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)ℏ 2Ylm (θ , ϕ )
(3.2.22） ） Lz的本征方程
ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mℏYlm (θ , ϕ )
(3.2.23） ）
→
l z = mℏ
m = 0,±1,±2, ⋯
例: 若体系的波函数就是球谐函数 Y20 (θ , ϕ ) (1)求其角动量矢量与 z 轴的加角. 求其角动量矢量与 轴的加角
2
1 ∂ ∂ 1 ∂2 [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
(3.2.17)
其中 Y(θ,ϕ) 是 L2 属于本征值 Y(θ λℏ2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程 ℏ 的本征函数。 为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的区域(0, π)内是有限的， 则必须满足：λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ... (3.2.18） ）
− iℏ∇ψ p (r ) = pψ p (r )
求解 采用分离变量法，令： 采用分离变量法，
（3.2.1） ）
ψ p ( r ) = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
3.2动量算符和角动量算符
§3.2 动量算符和角动量算符一．动量算符。
1. 动量算符的本征值方程：()()r p r ip p ψψ=∇，三个分量方程是 （3.2.1） ()()r p r xi p x p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-x ()()r p r yi p y p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-y （3.2.2） ()()r p r zi p z p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-z 通解是()r p i pCe r∙=ψ，C 是归一化常数。
（3.2.3） 2.动量本征函数的归一化。
()()()()()[]⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-'-+'-+'-∙∞+∞-=dxdydze C d r r z p p y p p x p p ip pz z y y x x2τψψ因为()()x x x p p ip p dx ex x '-=⎰∞+∞-'-δπ2，所以有()()()()()()()()p p C p p p p p p C d r r z z y y x x p p'-='-'-'-=∙+∞∞-⎰δπδδδπτψψ323222如果取()232-= πC ，则()r pψ归一化为δ函数。
()()()()()r p i pp per p p d r r∙∙+∞∞-='-=⎰2321;πψδτψψ（3.2.4）（3.2.5）3.箱归一化在A （L/2,y,z ）和A '(-L/2,y,z)点, ()r p i p Ce r∙=ψ的值应相同。
即⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++-=z p y p L p i z p y p L p i z y x z y x CeCe2121()1=L p ix e所以πx xn L p 2=，x n 是正负整数或零。
,1,0,2±==x xx n Ln p π （3.2.6）,1,0,2±==y yy n Ln p π （3.2.7）,1,0,2±==z zz n Ln p π （3.2.8） 当L ∞→时，z y x p p p ,,的本征值就变为连续谱。
12角动量算符 共同完备本征函数系 力学量完全集
ˆ A n an n
ˆ B n bn n
ˆ ˆ [ A, B] 0 则必有 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 证明： BA n an B n an bn n AB n bn A n an bn n ˆ ˆ 于是 [ A, B] n 0 cn n 对于任意态
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
二、角动量算符的本征问题
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。 1．轨道角动量算符的定义
ˆ ˆ Lrp
ˆ Lx yp z zp y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L y zp x xp z ˆ ˆ ˆ Lz xp y yp x
证明：
一个常数因子，即
ˆ B n bn n
ˆ 实际上，当算符 A 的本征值有简并时，可以证明上述结论也是 正确的，但是，此时的共同本征函数系需要加以适当选择。
二、力学量完全集
2
ˆ l 算符 L 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 ˆ Lz 要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 。这样 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集， 或者完整力学数量组。
Y1,0 ( , ) 3 cos 4
3 Y1,1 ( , ) sin ei 8
15 sin cos ei 8
Y1,1 ( , )
3 sin ei 8
Y2,1 ( , )
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设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
首先证明 J 2 的本征值不小于 J Z本征值的平方,即 体的有:
将上式两端分别乘以 λ , m 和 λ , m 所以: λ , m J 2 J 2 λ , m ≥ 0,
Z
,由于 λ , m A + A λ , m ≥ 0,
即: (λ m 2 ) 2 λ , m λ , m ≥ 0,
2 得: λ m ≥ 0 或
λ ≥ m2
上式表明m数值有一定的限制.对于给定 的 符的性质有
J 作态空间的转动变换,设变换为幺正变换,绕 y 轴旋转 i i 转动算符为:R = exp[ π y.J ] = exp[ π J y ], 2 2 这样上小节中求得的本征方程就变换为:
RJ z R 1 .R j , m = m.R j , m , RJ 2 R 1 .R j , m = j ( j + 1) 2 .R j , m
λ ,设m 的最大值为j,则利用升算
J + λ, m = j = 0
则
2 2 0 = J J + λ , j = ( J J z J z ) λ , j = ( λ j 2 j ) 2 λ , j
从而有:
λ = j + j 2 = j( j +1)
类似的设m的最小值为 j ′ ,利用降算符的 性质有 , J λ, m = j′ = 0 2 2 则 0 = J + J λ , j ′ = ( J J z + J z ) λ , j ′ = (λ j 2 + j ′) 2 λ , j ′ 从而有: λ = j ′ 2 j ′ 代入 λ = j( j +1) 解得 j ′ = j 或 j ′ = j + 1 但是 j ′ = j + 1 没有意义,所以: j ≤ m ≤ j
2 2 这样, R j , m 是 J ,J x本征值为 j ( j + 1) ,m 的本征矢.
�Hale Waihona Puke 7.1 角动量算符7.1.1定义
以一下对易关系作为角动量算符的一般定义: 2 2 2 2 J × J = iJ , J = J x + J y + J z
∧
可以证明,J
2
与
2
∧
J
的每一个分量都对易:
2 2
[J , J x ] = [J , J y ] = [J , J z ] = 0
两个算符对易时有共同点本征矢量,因此 J 与 J 的每一个分量,如 J Z , 都有共同的本征矢量,记为 j, m ,本征方程设为
2
∧
∧
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
式中j和m是待定量子数.
7.1.2 升算符和降算符
容易证明: + (1) J + = J (2) [ J + , J ] = 2J z ;
引入升降算符: ± = J x ± iJ y J