1.8-角动量算符的本征方程及其解
角动量算符
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ 13
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
讲解人：沈建其
第四章 量子力学中的力学量
本块内容广博，务必以自学为主。 自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。
– §1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 （§1 与§2可就所发曾谨言教程复印材料第三章学习）
§3 电子在库仑场中的运动 §4 氢原子 （用薛定谔方程再探氢原子，与Bohr半经典半量子理论思路不同） (§3和§4对照本ppt学习，学习其数学思路)
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对8 易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
角动量的本征值和本征态
究量子测量和量子态的演化。
在原子和分子物理中的应用
电子轨道角动量
在原子和分子物理中，电子绕原 子核运动的轨道角动量决定了电
子云的形状和取向。
原子光谱
角动量本征值的差异导致原子能级 的分裂，从而形成原子光谱的精细 结构。
分子振动与转动
分子的振动和转动模式与角动量密 切相关，角动量本征值和本征态有 助于理解分子的振动和转动能级。
矩阵对角化法
对于较复杂的系统，可以通过构造角动量算符的矩阵表示，并利用矩阵对角化方法求解本征值和本征态。这种方法适 用于有限维空间中的角动量算符。
微扰法
当系统受到微扰时，可以利用微扰理论求解角动量算符的本征值和本征态。这种方法适用于微扰较小且 基态已知的情况。
本征态的物理意义
01
角动量本征态描述了物体绕某点旋转的量子化状态。不同的本征态对应不同的 旋转状态，具有不同的角动量大小和方向。
角动量的本征值和本 征态
目录
• 引言 • 角动量的本征值 • 角动量的本征态 • 角动量本征值和本征态的应用 • 角动量本征值和本征态的实验研究 • 结论和展望
01
引言
角动量的定义和性质
角动量是一个物体绕着某点旋转时所具有的动量，它是一个矢量，其方向垂直于旋 转平面，大小等于物体的质量与其到旋转中心的距离和角速度的乘积。
在固体物理中的应用
晶体对称性
固体物理中，晶体的对称性与角动量密切相关，角动量本征态可用于描述晶体的对称性质。
磁性与自旋
固体中的磁性现象与电子自旋密切相关，自旋是角动量的一种表现。角动量本征值和本征态在研 究固体磁性时起到重要作用。
能带结构与电子输运
在固体物理中，角动量影响电子在晶体中的运动，从而影响固体的能带结构和电子输运性质。
第08讲角动量本征方程的解
第09-11讲 角动量本征方程的解一、角动量和角总动量算符的回忆刚体转子的薛定谔方程ψψE H = 中IMH 2ˆ =2 因此方程即是ψψE IM=2ˆ2 (Ⅱ-1) 整理后得ψψψ22ˆ2ˆM IE M== (Ⅱ-2) 其中2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M +=且 ],[ˆy z z y i M x ∂∂-∂∂-= ][ˆzz z z i M y∂∂-∂∂-= , ][ˆx y y x i M z ∂∂-∂∂-= . 式(Ⅱ-2)也是角动量2M 的本征方程。
为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系φθcos sin r x = (r:0→∞) φθsin sin r y = (θ:0→π)θcos r z = (φ:0→2π) (Ⅱ—3)逆变换关系是222z y x r ++=222cos zy x z ++=θxy=ϕtan (Ⅱ—4) 于是有偏微商关系φθcos sin =∂∂xr φθsin sin =∂∂y r θcos =∂∂z rr x φθθcos cos =∂∂ r y φθθsin cos =∂∂ r z θθsin -=∂∂θφφsin sin r x =∂∂ θφφsin cos r y =∂∂ 0=∂∂z φ则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z zy i M x⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=φφθθθφφθθφθy y r y r r z z r z r r i cos sin sin()()()]cos cot sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin [22φφθθφθφθφθφφφθ∂∂-+∂∂--+∂∂--=r r r i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφcos cot sin i同法得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφsin cot cos i M yφ∂∂-=i M z (Ⅱ---5) 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z z y i M x）（ 22cos cot sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφ）（ i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφφφθθφcos cot sin cos cot sin 2 )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=z x x z i M y）（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφφφθθφφφθθφsin cot cos sin cot cos sin cot cos 2222y M)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂-+∂∂∂-∂∂+∂∂-=2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M += )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂+∂∂-222φ∂∂-)cot cot (22222222φφθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=))1(cot cot (222222φθθθθ∂∂++∂∂+∂∂-= )sin 1cot (222222φθθθθ∂∂+∂∂+∂∂-= )sin 1sin sin 1(2222φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1φθθθθθ M (Ⅱ—6) 方程（Ⅱ—2）即为),(),(2),(sin 1sin sin 122222φθψφθψφθψφθθθθk IE ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- (Ⅱ---7) 其中常数22 IEk =。
一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
动量算符和角动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
角动量算符的本征值方程求解
角动量的平均值 、 能值以及取值几 率。 可
关 键词 ： 角动 量 算 符 ； 同本 征 函数 ； 征 值 方 程 共 本 中 图 分 类 号 ： １ Ｏ４ ３ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ７ ５ （ ０ ０ ０ － ０ ３ － ０ １０— ３３２１）６ ０９ ３
ｆ
即 （ ，） ∑ ｃ， ，， 一 （ ）
／２
由此可 见 ， 新 坐 标 系 中 ， 。 表 示 形 式 与 在 ￡ 的
（ 一
旧坐标 系 中表示 形式 一致 ， 的表示 形式 与 旧坐 ￡
标 系 中￡： 示 形 式 一 致 ， 此 ， 以 用 新 坐 标 系 表 因 可
收 稿 日期 ：２ １ 一 １ — ２ ． ００ ０ ０ 作 者 简 介 ：何 崇 荣 （ ９ ５）男 ， 北 省 武 汉 市人 ， １８ 一 ， 湖 中教 二级 ， 究 方 向 ： 学 物 理 教 学 研 中
方程 ， 接求 解 比较 困 难 。 过 旋 转 坐标 系 ， 新 直 通 使
Ｌ ， 的本征值方程简化 ， 且易于求解 。
１ 角 动 量 算 符 的 本 征 值 方 程
角 动量 算符 ￡ 一 Ｘ 在 直 角笛 卡 儿 坐标 中
的 三个 分量 ：
坐 标系 的ｚ 轴 与 轴 重合 （ 图 １ 。 新 旧坐标 之 见 ）则 间的关 系 为 ： Ｙ， ｚ ｚ ＝ ｚ对应 的球极 坐 ｚ 一 Ｙ ＝ ，
，（ ＋ １ ｈ 。 ｌ１ ） 。
由于［ ￡ ］一 ０ 因此它 们有 共 同的本 征 函 ￡ ， ，
高等量子力学 角动量的本征值和本征态
s in
x
方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
值增加 。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b> ， c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于
J
2
JБайду номын сангаас
2 z
J
2 x
J
2 y
，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的
期待值为实数，故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax
和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
D(R)=
,
六、转动算符表示的一般性质
1.由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），
c)乘积
也是成员，其中
乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。
2. 幺正性： v
v
*
D D R1 mm
jm eiJnˆ h jm
jm eiJnˆ h jm
十一、密度算符与量子统计力学
为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
求一般算符函数的矩阵元方法：
f ( A) U Uf ( A)U U U f (UAU )U
其中：(UAU )ij ij (UAU )ii; [ f (UAU )]ij ij f ((UAU )ii )
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
动量算符角动量算符
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
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[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Lˆ y Lˆ z Lˆ2
, , ,
Lˆ z Lˆ x Lˆ x
= ihLˆx = ihLˆ y = Lˆ2 , Lˆ y
=
Lˆ2 , Lˆz
=0
量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量
[ ] Lˆ2, Lˆz = 0 ---- 有共同本征函数完备系
§1.8 轨道角动量的本征方程及其解
应用：原子结构、配位场理论、分子转动、分子散射（反应动力学）
一、定义：对易关系
1. 轨道角动量算符及其分量算符
经典表达式:
r L
=
rr
×
pr
算符化:
Lvˆ = rrˆ × (−ih∇)
rrr i jk Lrˆ = −ih x y z ∂∂∂
∂x ∂y ∂z
角动量
*
E
J
——2J+1
重简并
双粒子刚性转子能级只与J有关，m决定角动量矢量的空间取向。
一般地： E>0，E可取任意值
R(r) r→∞ ≠ 0
（电离态）
E<0， E = En，取特定值
Rn (r) r→∞ = 0 （束缚态）
（ⅱ）由于径向方程中只包含角量子数 l ，不包含磁量子数m。 E至少有 2l+1 重简并
ψ
E
nlm
=
(r,θ
Enl
,ϕ)
=
Rnl
(r)Ylm
(θ
,ϕ
)
（ⅲ）
(ϕ
)
=
−m
2Φ
m
(ϕ
)
得：
Φ
m
(ϕ
)−
h
2
1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂
∂θ
)
+
− m2
sin 2 θ
Θ(θ
)
=
λh2Θ(θ )Φm (ϕ)
约去两边的公共项，变形得：
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
Θ(θ ) + (λ
−
m2 sin 2
θ
)Θ(θ
)
=
0
令：
u = cosθ
得常微分方程:
dΦ
dϕ
=
imΦ
得:
Φ(ϕ) = Aeimϕ
--- 本征函数
由：
Φ(ϕ) = Aeimϕ
利用单值条件: Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π )
eim(ϕ +2π ) = eimϕ eim ⋅ 2π = eimϕ
即：
ei2mπ = 1
ei2mπ = cos 2mπ + i sin 2mπ = 1
=
δδ mm' ll '
几个 l 取值较小的球谐函数 :
Y00 =
1
4π
Y11 =
3
8π
sin θe iϕ
Y1,−1 =
3
8π
sin θe −iϕ
Y22 =
15
32π
sin 2 θe2iϕ
Y10 =
3
4π
cosθ
Y21 =
15
8π
sin θ
cosϕeiϕ
Y20 =
5
16π
(3cos2 θ −1)
Y2,−2
Lˆ2ψ = (2IE)ψ
ψ
jm
= Y jm (θ ,ϕ) =N
Pm
jm j
(cosθ )eimϕ
2IE = J (J + 1)h2
刚性转子S方程解为：
ψ Jm =
EJ =
YJm (θ ,ϕ ) =
J (J + 1)h2 2I
N
Pm
Jm J
(cosθ
)eimϕ
m = 0, ±1, L, ± J ; J = 0, 1, 2L
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——相互对易。
Lˆ2, Lˆz 不包含径向坐标 r 或者是对 r 的运算。
* 守恒量定义：
[ ] ∂∂Ftˆ = 0
Fˆ , Hˆ = 0
* 中心力场： Hˆ , Lˆ2 , Lˆz ——守恒量
2．中心力场径向方程
S—方程 Hˆψ = Eψ
∇2
=
1 r2
∂ ∂r
u → +1
m
Θ → (1 − u) 2
u → −1
m
Θ → (1 + u) 2
②令
∑ m
m∞
Θ = (1 + u) 2 (1 − u) 2 avu v
v=0
代入原方程：
∑ { [ ] ∞ u v av+2 (v + 2)(v + 1) − av v(v −1) + 2( m + 1)v + av (λ − m − m2 )} = 0
l = 0, 1, 2, L m = 0, ±1, ± 2, L, ± l
——球谐函数
——归一化因子 ——角量子数 ——磁量子数
*球谐函数是角动量和z分量的共同本征函数。全部球谐函数构 成一个正交归一的完备集合。
*正交归一性：
∫ ∫2π 0
π
Y*
0 l'm'
(θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ) sinθdθdϕ
l(l + 1)h2 2mr 2
—— “离心能”，离心能对能量为一正的贡献 。 l 越大，角动量越大，离心势能越大，能级越高。
五．双粒子刚性转子
刚性：
r
0
不变，V=0
经典（刚体转动）： T = 1 Iω 2 = L2
2
2I
算符化：
Hˆ = Lˆ2 2I
S方程： 即： 其解为：
Lˆ2 ψ = Eψ
2I
二．本征方程及其解
Lˆ2 , Lˆ z
--- 共同本征函数完备系
本征方程：
LLˆˆ2zYY
(θ (θ
,ϕ ,ϕ
) )
= =
λh2Y (θ ,ϕ) mhY (θ ,ϕ)
1. Lˆz 的本征方程：
LˆzY (θ ,ϕ) = mhY (θ ,ϕ)
或
−
ih
∂
∂ϕ
Y(θ
,ϕ
)
=
mhY(θ
,ϕ)
分离变量： Y(θ ,ϕ ) = Θ(θ )Φ(ϕ )
l
l +1
l ≥ m
l
=
0,1,2......
这样得到一系列多项式，称缔合legendre多项式
得：
Θ ∝ Pl m (u)
= Pl m (cosθ )
---缔合legendre函数
利用：
∫π o
Pl m
(cosθ
)
Pl
m '
(cosθ ) sinθdθ
=
2 (2l + 1)
(l (l
+ −
3.角动量的球坐标表达式
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
可得：
Lˆx
=
ih(sin ϕ
∂
∂θ
+
ctgθ
cosϕ
∂
∂ϕ )
Lˆ y
=
ih(− cosϕ
∂
∂θ
+ ctgθ
sin ϕ
∂
∂ϕ )
Lˆz
=
−ih
∂
∂ϕ
ψ ~ Ylm (θ ,ϕ )
Lˆ2 Lz
− −
l(l + 1)h2 mh
确定值
Lx ,Ly
—— 一般没有确定值
特例：l = m = 0
Y00 =
1
4π
Lˆ x Y00 = 0 Lˆ y Y00 = 0
这说明 Y00 也是 Lˆ x Lˆ y 的本征态，本征值为零。
不对易的算符没有没有共同的本征函数系，但可以有个别的共 同本征函数。
四．中心力场中的粒子
1．中心力场的一般特点
定义：设粒子的质量为m ， V=V（r）
V (r) =
−α
r
1 ω 2r2
2 0 r<a ∞ r ≥ a
---库伦势 ---球谐振子（三维各向同性谐振） ---球方势箱
2
Hˆ = − h ∇2 + V (r) 2m
∇2
=
l(l + 1)
α 角有一定的取值 ，经典α可连续变化
——空间量子化（spatial quantization）
实验证据： Zeeman效应（原子光谱在磁场中的分裂）： ①轨道磁矩与光场的作用；②变化是不连续的
Stern-Gerlach实验等（基态原子在不均匀电场中的偏转 同时证明电子自旋）
2．一个特例
u ≤1
①式
①式为：
d du
(1
−
u
2
)
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
(1
−
u
2
)
d 2Θ du 2
−
2u
dΘ du
+
(λ
−
1
m2 −u
2
)Θ
=
0
---- 缔合legendre方程，它的解是一个特殊函数，即缔 合legendre多项式，
解法（大意）：
①:奇点附近的渐近解： u = ±1