九年级数学 圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案2新人教版
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。
2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来构造垂直于弦的直径，并验证其性质。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂直于弦的直径》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要平分线段的情况？”（如剪绳子时如何确保两段长度相等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直于弦的直径的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尽量用简洁明了的语言解释垂直于弦的直径的概念和性质。但我也意识到，对于一些学生来说，这些理论可能仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加注意用生动的例子和图示来帮助学生理解。
在实践活动环节，我发现分组讨论和实验操作让学生们更积极主动地参与到课堂中来。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些困惑。为了提高实践活动的效果，我考虑在下次课堂上增加一些提示和引导，让学生在操作中更容易理解垂直于弦的直径的性质。
-演示如何运用综合法和分析法证明垂径定理，让学生掌握证明过程；
-设计实际应用题目，让学生学会将垂径定理应用于解决问题。
2.教学难点
（1）理解垂直于弦的直径性质：学生需要理解为什么垂直于弦的直径会平分弦，并掌握这一性质；
（2）证明过程：学生在证明垂径定理时，可能会觉得证明过程复杂，难以理解；
（3）应用问题：学生在解决实际应用问题时，可能不知道如何运用垂径定理进行分析。
人教版九年级数学下册 圆。垂直于弦的直径,弧弦圆心角圆周角教案
24．1 圆的有关性质24．1.1 圆1．认识圆，理解圆的本质属性．2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系．3．利用圆的有关概念进行简单的证明和计算．一、情境导入在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、合作探究探究点：圆的有关概念【类型一】圆的有关概念的理解有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【类型二】圆中有关线段的证明如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”、“公共角”两个条件，再探求证明△AOD ≌△BOC 的第三个条件，从而可证出△AOD ≌△BOC ，根据全等三角形对应边相等得出结论．证明：∵OA 、OB 是⊙O 的半径，∴OA ＝OB .∵点C 、D 分别为OA 、OB 的中点，∴OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，∴OC ＝OD .又∵∠O ＝∠O ，∴△AOD ≌△BOC (SAS)，∴BC ＝AD .方法总结：“同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．【类型三】圆中有关角的计算如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E .已知AB＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．解析：要求∠AOC 的度数，由图可知∠AOC ＝∠C ＋∠E ，故只需求出∠C 的度数，而由AB ＝2DE 知DE 与⊙O 的半径相等，从而想到连接OD 构造等腰△ODE 和等腰△OCD .解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，OC ，OD 是⊙O 的半径，AB ＝2DE ，∴OD ＝DE ，∴∠DOE ＝∠E ＝18°，∴∠ODC ＝∠DOE ＋∠E ＝36°.∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠ODC ＝36°，∠AOC ＝∠C ＋∠E ＝36°＋18°＝54°.三、板书设计教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质.24．1.2 垂直于弦的直径1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5cm. 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.24．1.3 弧、弦、圆心角1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究 探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.24．1.4 圆周角1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明． 2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O 处，乙队员在圆上C 处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补.三、板书设计教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
24.1.2 垂直于弦的直径教学设计
24.1.2 垂直于弦的直径本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．【情景导入】(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？【说明与建议】说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．【归纳导入】(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．①②③(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作折痕CD 的垂线，沿垂线将纸片折叠； 第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？【说明与建议】 说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．命题角度1 垂径定理及推论的理解 1．下列说法正确的是(D)A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是(C)A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE命题角度2 直接利用垂径定理进行计算3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝4，则弦AB 的长为(C)A ．10B ．8C ．6D ．44．如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是(D)A ．10B ．16C ．6D ．8命题角度3 垂径定理的实际应用5．如图，一个隧道的截面图为⊙O 的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆半径长为(D)A ．5米B ．7米C.375米D.377米 6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米，⊙O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是(B)图1 图2 A ．1米B ．(4－7)米C ．2米D ．(4＋7)米魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．1．作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN.2．连接AN ，并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C. 3．连接BN ，并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 延长线于点D. 4．以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆．5．在OM 上作线段MF 等于NC.以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．活动一：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？由此你能得到什么结论？试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性．结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 活动二：出示问题从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O 的直径CD 垂直于弦AA ′，垂足为M ，那么点A 和点A ′是对称点，把⊙O 沿着直径CD 折叠时，点A 与点A ′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD ⊥AA ′，CD 是⊙O 的直径， ∴AM ＝MA ′，AC ︵＝A ′C ︵，AD ︵＝A ′D ︵. 活动三：教师针对图形，提出问题1：垂径定理是由几个条件得到几个结论？ 师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？ 学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【典型例题】例1 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定正确的是(D)A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DE C.AC ︵＝AD ︵D ．OE ＝BE例2 如图，在⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E.若AB ＝6，OE ＝7，则⊙O 的直径为(D)A.10 B ．210 C ．4 D ．8师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为，连接半径，从而构造直角三角形进行解答． 例3 解答赵州桥的问题．教师引导学生分析：根据赵州桥的实物图画出几何图形，如图．教师总结：在圆中解决有关弦长或半径的问题，常需要作垂直于弦的半径或过圆心向弦作垂线段，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r ，弦心距d ，弦长a 之间的关系：r 2＝d 2＋(a 2)2.学生书写解答过程，教师做好点评． 【变式训练】1.如图，⊙O 中弦AB 长为8，OC ⊥AB ，垂足为E.若CE ＝2，则⊙O 半径长是(D)A ．10B ．8C ．6D ．52．如图，一根排水管道的横截面是半径为13 cm 的圆．排水管内有水，若水面宽度AB ＝24 cm ，则水管中水的最大深度为8 cm.3．已知⊙O 的直径CD ＝100 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96 cm ，则AC 的长为(B)A ．36 cm 或64 cmB ．60 cm 或80 cmC ．80 cmD ．60 cm师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导，使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题.A．12.5 B．13 C．25 D．263．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要过圆心作弦的垂线段，利用勾股定理进行解答．2．布置作业：(1)教材第83页练习第2题，教材第89～90页习题24.1第8，9，10，11题．(2)补充题(选做)：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.。
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。
这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。
2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。
2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。
2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。
4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。
5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。
八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。
主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。
24.1.2垂直于弦的直径 教学设计
24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.二、教学过程探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴结论证明：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′∴△OAA′是等腰三角形又AA′⊥CD∴AM=MA′即CD是AA′的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段: AE=BE弧：，AC BC AD BD==这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD ⊥AB ，垂足为E .∴ AE =BE ，AC BC AD BD ==，. 垂径定理的几个基本图形：定理辨析：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）是（2）不是，因为没有垂直 （3）是（4）不是，因为CD 没有过圆心 定理推论如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.已知：AB 是⊙O 的一条弦， 作直径CD ，使AM =BM . 求证（1）CD ⊥AB（2）AC BC AD BD 与相等吗？与相等吗？证明:（1）连接AO ,BO ,则AO =BO又AE =BE ，∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AEO =∠BEO =90° ∴CD ⊥AB（2）由垂径定理可得AC BC AD BD ==，垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦(不是直径)，且AE =BE∴ CD ⊥AB ，AC BC AD BD ==，思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.➢ 特别说明：圆的两条直径是互相平分的.例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知，AB =37m ，CD =7.23m 所以，AD =12AB =12×37=18.5(m )，OD =OC -CD =R -7.23 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2=AD 2+OD 2即 R 2=18.52+(R -7.23)2解得 R ≈27.3(m )因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 练习1.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm .求⊙O 的半径. 解：过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接OA .∴AE=BE=12AB=12×8=4(cm)在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即 42+32=AO2解得AO=5cm因此，⊙O的半径为5cm.三、课堂小结在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______，把__垂径 __定理和_ 勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长a之间的关系式2222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.四、作业布置见精准作业设计五、板书设计。
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明《§24.1.2垂直于弦的直径》教案说明一、教材分析1、教材的地位及作用本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时学生学习了有关轴对称和中心对称性质为以后学习解决实际问题奠定了基础根据教材的内容及学生实际，安排这部分的授课时间为2个课时．第1课时：依据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，知识与技能1.理解圆的轴对称性．2.掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关证明、计算问题．过程与方法1.积极引导学生通过观察、折叠等数学活动探索定理，在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．情感态度与价值观通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点教育，结合应用问题向学生进行爱国主义教育．三、教法、学法分析针对教材特点及学生的认知水平，通过问题设计，运用启导法引导、启发学生，激发学生的求知欲，充分调动学生学习的积极性、主动性，让学生在课堂上多观察，主动参与到整个教学活动中来组织学生参与实验---观察---猜想---证明的活动，得出定理这符合现代教育理论中的要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学的观点，也符合教学论中自觉性和积极性、教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则．的设计也反应特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义的观点．教学中我另外，还注重不同图片的颜色对比来启发学生，运用投影仪提高教学效率．预习的习惯第2页共2页你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？设疑激趣探索圆的轴对称性活动探索探索并证明垂径定理猜想论证基础训练运用新知求赵州桥主桥拱的半径回应开头综合训练巩固提高师生小结归纳反思。
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24．1.2 垂直于弦的直径
01 教学目标
1．理解圆的对称性．
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．
3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．
02 预习反馈
阅读教材P 81～83内容，并完成下列问题．
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即
如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB⊥CD，
∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．
3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即 如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)， ∴CD⊥AB；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．
03 新课讲授
知识点1 垂径定理
例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.
(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ；
(2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．
【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．
例2 (例1的变式题)已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB .求证：
AC＝BD.
【解答】证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
【点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助线．
【跟踪训练1】若⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3__cm．
【跟踪训练2】已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．
解：连接OC.
∵AE＝9，BE＝1，∴半径OC＝5，OE＝4.
∵弦CD⊥AB，
∴在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝3.
又∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝6.
【跟踪训练3】⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最大值为5．
【点拨】当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．
知识点2 垂径定理的实际应用
例3(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．
【思路点拨】 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R .
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，
D 是AB 的中点，C 是AB ︵
的中点，CD 就是拱高．
由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ，
所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)， OD ＝OC －CD ＝R －7.23.
在Rt△OAD 中，由勾股定理，得
OA 2＝AD 2＋OD 2，
即R 2＝18.52＋(R －7.23)2
.
解得R ≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.
【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．
【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．
04 巩固训练
1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 3__cm ．
【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．
2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134
__cm ． 3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．
4．(24.1.2习题变式)⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为
8，最长弦的长为10．
【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．
5．(24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.
【点拨】过圆心作垂径．
证明：过点O作OE⊥AB于点E.
则AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD 之间的距离．
【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．
解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.
又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.
①当AB，CD在点O两侧时，如图1.
连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.
由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.
∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；
图1
图2
②当AB，CD在点O同侧时，如图2.
连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.
由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.
∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.
综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.
05 课堂小结
1．垂径定理及其推论．
2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．。