模型07：方程模型

数学建模课件
主讲人：孙云龙 主讲人：
模型构造
⇒ F ( r , t ) = ∫ p ( s , t ) dr 目标: 求 p(r,t) 0 考察 [r,r+dr),[t,t+dt) t 时刻: [r,r+dr)年龄 t+dt: [r+dr1 ,r+dr+dr1) ←dr1=dt 死亡人数 µ(r,t) p(r ,t)drdt 于是有 t→ → → →t+dt 时人口数变化: p(r ,t)dr - p(r+dr1 ,t+dt)dr = µ(r,t) p(r ,t)drdt 即 [p(r+dr1 ,t+dt) - p(r ,t+dt)] +[p(r ,t+dt) - p(r ,t)] = -µ(r,t) p(r ,t) dt 两边除以 dt 得
∫
rm
0
τ −t
rp ( r , t ) dr
∫0 π ( s ) ds d τ e
R (t ) ω (t ) = S (t )
依赖性指数
N (t ) − L (t ) ρ (t ) = L (t ) L ( t ) = ......
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x′ = − x3 − y, x(0) = 1 y′ = x − y 3 , y (0) = 0.5
l03.m fun3.m
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二、简单物理模型
例1：物体温度变化 ：
室温：20 C 物体：100 C 20 min 60 C 问： ? min 30 C
l01.m
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2、微分方程 、
符号解 通解
缺省？
定量 定性
y=dsolve(f) y=dsolve(f ,’x’) [y1,y2,…]=dsolve(f , g ,…,’x’)
字符串
符号解 数值解 稳定性 ········
注：导数 特解 初始条件 例：
Dy D2y Dny y=dsolve(‘…’,’y(x0)=y0’,’…’) l02.m
x r (t ) = r (1 − ) xm
模型为
x )x x '( t ) = r (1 − xm x (0 ) = x 0
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于是：阻滞增长模型
Logistic模型 模型
x )x x ' ( t ) = r (1 − xm x (0) = x0
专家估计
r=0.2557, xm=392.1
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模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000) = x(1990) + ∆x = x(1990) + rx(1990)[1− x(1990) / xm ]
x ( 2000 ) = 274 . 5
实际为281.4 (百万)
1 x = − 1 + cos( 6
ɶ x= x+x = 0.5( e
g t 6
解
−6 g t )
+e
−
g t 6
) −1
l04.m
答案
t =
6 ln ( 6 + g
35 )
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二、人口模型
问题提出：人口预测 例如： 1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53‰ 预测2000年末：12.5×(1+0.00953)2 ≈ 12.7394 2000年11月1日全国总人口为126583万人 预测2004年末： 12.5×(1+0.00953)6 ≈ 13.2320 2005年1月6日，中国人口总数达到13亿 2008年底，中国人口总数13.2802亿 设 基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r 则 人口增长模型为 xk=x0 (1 +r)k
x(t ) = x0 e rt
离散化 er ≈1+r (r<<1) 则有 x(t) ≈ x0 (1 +r)t l05.m
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模型二：阻滞增长模型 模型二：
Logistic模型 模型 模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数 r(x)=r-sx ，（s、r>0 ） 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量）为 xm r(xm)=0 有
有
∆ x (t ) = rx (t ) ∆t
x '(t ) = rx(t )
初值问题 x' (t ) = rx(t )
x(0) = x0
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于是：指数增长模型
x' (t ) = rx(t ) x(0) = x0
求解 符号演算 Matlab 模型解
T (t ) = 20 + 80e
− t ln 2 20
于是
T (t ) = 30 → t = 60
l04.m
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例2：下滑时间 ：
链条无摩擦下滑 问：需多少时间 链条才能全部划 过桌子 1米
5米
关键 位移变化规律 运动方程： 牛顿第二定律
F = ma
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求解
x (t ) =
xm xm 1+ ( − 1) e − rt x0
l05.m
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图示 指数 指数 阻滞 阻滞
求解 l05.m
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参数估计 统计方法——最小二乘法 ——参数 r 或 r, xm 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
模型应用——预报 预报 模型应用
加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
x(2010)=306.0
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模型三：人口的预测与控制 模型三：
问题提出
主讲人：孙云龙 主讲人：
人口模型
指数模型, 阻滞模型 考虑年龄结构
模型假设
设: 人口分布函数 F(r,t) : 时刻,年龄小于 r 的人口数 人口总数 N(t) , ,最高龄 rm ∴F(0,t) ,F(rm ,t) F(0,t) =0 p(rm ,t)=0 时刻 t 年龄 r 的人的死亡率: µ(r,t) 时刻 t 年龄 r 在 [r,r+dr] 内单位时间死亡人数 µ(r,t) p(r ,t)dr =N(t) 定义:人口年龄密度函数 p(r,t)= ∂F/∂r ≥0 (0≤r≤rm )
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一、 Matlab求解：方程 求解： 求解
1、代数方程 、
符号解
符号 字符串
其他 多项式 代数方程组
系数向量
solve (f) solve (f, x) solve (f,g,…, x,y,…) 数值解
字符串
roots (f) Ax=b x=A\b
例：
fsolve (f, x0) fzero(f, x0)
r
人口模型
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一阶偏微分方程
∂P ∂P + = − µ (r , t ) p (r , t ) ∂r ∂t
人口模型
[p(r+dr1 ,t+dt) - p(r ,t+dt)] +[p(r ,t+dt) - p(r ,t)] = -µ(r,t) p(r ,t) dt
定解条件 ①p(r,0) = p0(r) ②p(0,t) = f(t)
已知
婴儿出生率:预测,控制
模型: ∂ P ∂ P + = − µ (r , t ) p (r , t )
∂r ∂t p ( r ,0 ) = p 0 ( r ) p ( 0, t ) = f (t ) p ( rm , t ) = 0
解
→难!
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模型
建立坐标系 令链条终点位置： x(t ) t 时刻 受力 重力 1米
5米
O
F=
ρ g (1 + x)
质量×加速度
线密度
= 6 ρ x′′
则
6 x′′ − gx − g = 0
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模型
6 x′′ − gx − g = 0 x(0) = 0 x′(0) = 0
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数学建模 与 数学实验
第七讲 方程模型
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方程模型
代数方程 一元方程 方程组
f ( x) = 0 f ( x1 , x2 ) = 0 ...... g ( x1 , x2 ) = 0
微分方程 n阶 阶 初值问题 ……
f ( y ( n ) ,..., y′, y, x) = 0 f ( y ( n ) ,..., y′, y, x) = 0, y ( x0 ) = y0 ,...
−
r
t P0
t=r
f ( t − r ) e ∫0
− π ( s ) ds
r